On the stability of type II blowup for the 1-corotational energy supercritical harmonic heat flow
本文考虑了从$\mathbb{R}^d$到具有$d \geq 7$的$d$球$\mathbb{S}^d$的能量超临界谐波热流.在1-共转对称的附加假设下，问题简化为一维半线性热方程$$\partial_t u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$。我们为该方程构造一族$\mathcal{C}^{\infty}$解，其通过通用轮廓$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$的集中在有限时间内爆破，其中$Q$是方程的稳态解，并且速度由量化率$$λ(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}γ, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; 2\ell > γ= γ(d) \in (1,2].$$给出。构造依赖于两个参数：由于Merle，Raphaël和Rodnianski开发的鲁棒通用能量方法和调制技术，将问题减少到有限维[Camb. Jour. Math，3（4）：439-617，2015]对于能量超临界非线性薛定谔方程和Raphaël和Schweyer [Anal. PDE，7（8）：1713-1805，2014]，然后我们通过矛盾来解决有限维问题，并使用Brouwer不动点定理得出…
2017-04-04 math.AP math.DG
Stable self-similar blowup in the supercritical heat flow of harmonic maps
考虑了从$\mathbb R^3$到三球面共转调和映射的热流，证明了一个特殊的自相似收缩器的非线性渐近稳定性，该自相似收缩器的封闭形式未知.我们的方法为抛物型发展方程自相似爆破的稳定性分析提供了一种新的、系统的、鲁棒的和建设性的方法。特别是，我们完全避免使用微妙的李雅普诺夫泛函，单调性公式，间接的论点，或脆弱的抛物线结构，如最大值原理。实际上，我们的方法将自相似收缩算子的非线性稳定性分析归结为自伴线性化算子的谱分析。
2016-10-29 math-ph math.AP math.DG
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
2011-06-10 math-ph math.AP math.MP
Soliton resolution for equivariant wave maps on a wormhole: I
本文研究了（1+3）维时空$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2) \rightarrow \mathbb{S}^3$中的有限能量等变波映射，其中$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2)$上的度规为ds ^2 = -dt ^2 + dr ^2+（r ^2 + 1）\left（d θ ^2 + \sin^2 θd φ ^2 \right），\quad t，r \in \mathbb{R}，（θ，φ）\in \mathbb{S}^2 .每个常数时间片都由黎曼流形$\mathcal M := \mathbb R \times \mathbb{S}^2$给出，度量为ds ^2 = dr ^2+（r ^2 + 1）\left（d θ^2 + \sin^2 θd φ^2 \right）。黎曼流形$\mathcal M$在$r \rightarrow \pm \infty$处包含两个渐近欧几里得端点，它们通过面积为$4 π^2$的球形喉道连接。时空$\mathbb R \times \mathcal M$是广义相对论中虫洞几何的一个简单例子。在这项工作中，我们将考虑1-等变或共旋波映射。每个共旋波图可以通过其拓扑度$n$来索引。对于每个$n$，存在唯一的能量最小化共转调和映射$Q_…
2016-09-27 math.AP
Globally stable blowup profile for supercritical wave maps in all dimensions
研究超临界波映射的共旋自相似爆破解，通过基于全空间相似变量的新方法证明其在所有维度下整体非线性稳定，验证了相关爆破行为猜想。
2023-06-29 math-ph math.AP math.DG
Stable blow up dynamics for the 1-corotational energy critical harmonic heat flow
我们展示了一个稳定的有限时间爆破制度的1-共转能量临界谐波热流从$\Bbb R^2$到一个光滑的紧凑的旋转表面的$\Bbb R^3$减少到半线性抛物问题$$\partial_t u -\pa^2_{r} u-\frac{\pa_r u}{r} + \frac{f(u)}{r^2}=0$$的一个适当的功能类$f$。在能量临界拓扑中，相应的初始数据可以选择为光滑的、局域性好的、任意接近基态调和映射的数据。我们给出了相应的奇异性形成的尖锐渐近性，这种奇异性形成是通过以[Van den Bergh，J.; Hulshof，J.; King，J.，调和映射热流中鼓泡的形式渐近性，SIAM应用数学，第63卷，o 5。第1682-1717页]。我们的方法在于继续[Raphaël，P.;罗德年克希岛，临界共旋波映射和等变杨米尔斯问题的稳定爆破动力学，将出现在预备数学IHES。[Merle，F.; Raphaël，P.; Rodnianski，I.，Blow up dynamics for smooth solutions to the energy critical Schrodinger map，preprint 2011.]。
2011-06-05 math.AP
Threshold for blowup for equivariant wave maps in higher dimensions
我们考虑超临界维数$3\leq d\leq 6$中从$\mathbb{R}^{d+1}$到$\mathbb{S}^d$的等变波映射.利用混合数值和分析方法，我们证明了爆破的阈值是由余维一稳定流形的自相似解的一个不稳定。
2016-08-27 math.AP
Mode stability of self-similar wave maps without symmetry in higher dimensions
Universität Wien（维也纳大学）
本文研究了从(1+d)维Minkowski空间到d球面的波映射，在高维情况下证明了无对称性的自相似解的模态稳定性。
2026-04-15 math-ph math.AP math.MP
Generic self-similar blowup for equivariant wave maps and Yang-Mills fields in higher dimensions
我们考虑从$(d+1)$维Minkowski时空到$d\geq 4$的$d$球的等变波映射.我们找到了一个新的显式稳定的自相似解，并给出了数值证据，它起着通用爆破的普遍吸引子的作用。对$d\geq 6$的$SO(d)$对称杨-米尔斯场也得到了类似的结果。
2014-09-29 math.AP
Threshold dynamics for corotational wave maps
我们研究了在阈能下从$\mathbb R^{1+2} \rightarrow \mathbb S^2$得到的共旋波图的动力学性质。已知具有能量$< 8π$的拓扑平凡波映射是全局的并且分散到常数映射。本文证明了能量等于$8π$的共旋波映射是全局定义的，并且在一个时间方向上是散射的，而在另一个时间方向上，要么是全局定义的，并且是散射的，要么是在有限时间内分解的，并且收敛于两个调和映射的叠加.后一种行为与具有阈值能量的更高等变波图形成鲜明对比，阈值能量已被证明是全球定义的。利用本文发展的技术，我们还构造了一个能量为$= 8π$的共旋波映射，它在有限时间内爆炸。我们构造的爆破解决方案提供了第一个例子，一个最小的拓扑平凡的非分散解决方案的全波地图的演变。
2018-09-05 math.AP
Blowup dynamics for smooth equivariant solutions to energy critical Landau-Lifschitz flow
本文研究了具有任意给定系数$ρ_1\in \mathbb{R}$，$ρ_2>0$的$\mathbb{R}^2$到$\mathbb{S}^2$的能量临界1-等变Landau-Lifschitz流.我们证明了存在一个余维一光滑的局部化的初始数据集任意接近基态，产生II型有限时间爆破解决方案，并给出了相应的奇异性形成的精确描述。在我们的证明中，薛定谔部分和热部分在构造近似解和混合能量/Morawetz泛函中起着重要的作用.然而，爆破率是独立的系数。
2022-09-29 math.AP
Stable blowup for the supercritical hyperbolic Yang-Mills equations
我们考虑$(1+d)$维Minkowski时空中的Yang-Mills方程。已知在超临界情况下，即，对于$d \geq 5$，这些方程允许封闭形式的等变自相似爆破解\cite{BieBiz15}。这些解决方案进一步证明是通用的大等变数据演化的普遍吸引子。本文部分证明了这一猜想。也就是说，我们表明，所有奇数$d \geq 5$的爆破机制表现出这些解决方案是稳定的。
2022-08-05 math-ph math.AP math.DG
(In-)Stability of Singular Equivariant Solutions to the Landau-Lifshitz-Gilbert Equation
本文利用形式渐近论证来理解铁磁体Landau-Lifshitz-Gilbert模型等变解的稳定性。我们还分析了调和映射热流和薛定谔映射流极限的情况。详细的数值实验，以及一个强大的拓扑参数验证了所有的渐近结果。本文的主要结果是，这些问题的爆破解决方案是余维1，因此都是不稳定的和非通用的。允许偏离径向对称的解决方案仍然是全球性的所有时间，但可能，适当的初始数据，方法任意接近爆破。对爆破附近解的渐近分析表明，有限时间爆破对应于低维动力系统的鞍不动点。径向对称排除了除稳定流形上以外的任何地方的运动趋向爆破。在等变条件下也会出现类似的情况：爆破是不稳定的。更准确地说，blowup在等变对称类和非限制初始数据类中都是余维1。Landau-Lifshitz-Gilbert方程中的参数值在等变爆破的分析中起着非常温和的作用，导致所有参数值的爆破率和空间尺度相同。一个值得注意的例外是内尺度（冒泡）和外尺度（保留）中的解决方案之间的角度，这取决于参数值。分析近爆破解，我们发现，在内部尺度，这些解决方案迅速旋转一个角度π。因此，对于爆破解，很自然地考虑爆破后的连续场景，其中立即重新连接球体（从而恢复爆破中损失的能量），但旋转角度为π。这种延续是自然的，因为它导致对初始数据的持续依赖。
2011-07-13 math.AP
Blowup dynamics for equivariant critical Landau--Lifshitz flow
二维Landau-Lifshitz方程的有限时间爆破解的存在性是一个长期存在的问题，至少从2001年开始就存在于文献中（E，Mathematics Unlimited-2001 and Beyond，Springer，Berlin，P.410，2001）。在等变类中更精确的描述在（van den Berg和Williams，European J. Appl. Math.，24（6），912- 948，2013）。本文考虑Landau-Lifshitz方程$$ \partial_tu=\mathfrak{a}_1u\timesΔu-\mathfrak{a}_2u\times(u\timesΔu),\quad x\in\mathbb{R}^2, $$的爆破动力学，其中$u\in\mathbb{S}^2$，$\mathfrak{a}_1+i\mathfrak{a}_2\in\mathbb{C}$ with $\mathfrak{a}_2\geq0$和$\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2=1$ .我们证明了在最低能量稳态附近存在1-等变Krieger-Schlag-Tataru型爆破解。更精确地说，我们证明了，对于任何$ν>1$，存在一个1-等变有限时间爆破解的形式$$ u(x,t)=ϕ(λ(t)x)+ζ(x,t),\quad λ(t)=t^{-1/2-ν}, $$…
2022-12-31 math.AP
Singularities of Equivariant Lagrangian Mean Curvature Flow
本文研究了$\mathbb{C}^n$中几乎校准的$O(n)$ -等变拉格朗日中曲率流，证明了有限时间奇点的第I型和第II型爆破的结构定理.特别是，我们证明了任何I型爆破这样的流动必须是一个特殊的拉格朗日对的横切面，任何II型爆破必须是具有相同的渐近线的劳勒颈，这些爆破是独立的选择重新标度。我们还给出了一个部分分类时，奇点发生在等变的情况下，并检查中间尺度之间的I型和II型模型。
2020-12-07 math.AP math.DG
A globally stable self-similar blowup profile in energy supercritical Yang-Mills theory
本文研究奇数维等变杨-米尔斯理论中能量超临界非线性波动方程的自相似爆破剖面，利用双曲相似坐标和自由波增长估计证明其全局非线性稳定性。
2024-05-07 math-ph math.AP math.MP
Stable blowup for the supercritical Yang-Mills heat flow
本文研究了$\mathbb{R}^5 \times SO(5)$上Yang-Mills联络的热流。在$SO(5)-$等变条件下，Yang-Mills热方程化为一个半线性反应扩散方程，Weinkove \cite{Wei04}发现了该方程的显式自相似爆破解.我们证明了该解在小扰动下的非线性渐近稳定性。特别地，我们证明了在一个合适的拓扑结构中存在一个初始条件的开集，使得相应的解在有限时间内爆破并收敛到一个无界区域上的非平凡自相似爆破轮廓。收敛性得到适当的Sobolev规范和$L^{\infty}$。
2016-04-26 math-ph math.AP math.DG
Sharp universal rate for stable blow-up of corotational wave maps
本文研究了映射到二维球面的能量临界共旋1-等变波映射的稳定爆破问题，证明其爆破速率中的有界因子收敛于普适常数，从而得到了精确的普适收缩速率。
2023-09-07 math.AP
Nonlinear stability of homothetically shrinking Yang-Mills solitons in the equivariant case
本文研究了$\mathbb R^d \times SO(d)$上Yang-Mills连接的热流。众所周知，在$5 \leq d \leq 9$维中，该模型允许同调收缩孤子，即，自相似爆破解，Weinkove \cite{Wei04}给出了一个明确的例子。我们证明了Weinkove解在小的等变扰动下的非线性渐近稳定性，从而将第二作者和Donninger关于$d=5$的一个结果推广到高维.同时，我们提供了一个一般的框架，证明了自相似爆破解的稳定性的一个大类半线性热方程在任意空间维$d \geq 3$，包括一个强大的和简单的方法来解决潜在的谱问题。
2020-05-27 math-ph math.AP math.DG
Existence and stability of shrinkers for the harmonic map heat flow in higher dimensions
本文研究了高维调和映射热流的奇异性形成，通过构造旋转对称目标流形，证明了稳定共旋自相似收缩解的存在性，揭示了 Cauchy 问题的稳定爆破机制。
2023-04-08 math.AP math.DG
Critical $O(d)$-equivariant biharmonic maps
研究了临界维数下的$O(d)$ -等变双调和映射.我们研究的一个主要结果涉及相应的热流。更准确地说，我们证明了爆破发生在双调和映射热流从$B^4(0, 1)$到$S^4$。据我们所知，这是双调和映射热流爆破的第一个例子。由于双调和情形下的最大值原理的不适用性，这样的结果一直难以证明。此外，我们分类可能的$O(4)$ -等变双调和映射从$\mathbf{R}^4$到$S^4$，我们表明，存在，在对比的调和映射模拟，等变双调和映射从$B^4(0,1)$到$S^4$的周围缠绕$S^4$，因为我们希望很多次。我们相信，这里开发的想法可能是有用的其他高阶抛物型方程的研究。
2015-09-11 math.AP
Global-in-space stability of singularity formation for Yang-Mills fields in higher dimensions
本文研究(1+d)维Minkowski空间中Yang-Mills方程在d≥5能量超临界情形下，显式等变自相似爆破解在小等变扰动下的非线性空间全局渐近稳定性，补充了奇数维并首次给出了偶数维的稳定性结果。
2023-05-17 math-ph math.AP math.DG
On collapse of wave maps
我们得到了从2+1 Minkowski时空到2-球面的1次等变波映射（sigma模型的解）的普适坍缩律。为此，我们引入了一个非线性变换从原始变量爆破。我们的正式推导证实了数值模拟。
2009-09-16 math-ph math.AP math.MP
Soliton resolution for equivariant wave maps on a wormhole: II
在本文中，我们继续我们的研究等变的\emph{wave maps on a wormhole}在我们的同伴文件中发起的。更确切地说，我们研究有限能量$\ell$ -等变波映射从（1+3）维时空$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2) \rightarrow \mathbb{S}^3$的度量$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2)$是由\begin{align*} ds^2 = -dt^2 + dr^2 + (r^2 + 1) \left ( d θ^2 + \sin^2 θd φ^2 \right ), \quad t,r \in \mathbb R, (θ,φ) \in \mathbb{S}^2. \end{align*}的常数时间片每个由黎曼流形$\mathcal M$与两个渐近欧几里德结束在$r = \pm \infty$是由2-球连接在$r = 0$。时空$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2)$在广义相对论文献中作为虫洞几何的原型出现（但在自然界中并不存在）。每个$\ell$ -等变有限能波映射都可以用它的拓扑度$n$来索引。对于每个$\ell$和$n$，存在唯一的、线性稳定的能量极小化$\ell$ …
2016-09-27 math.AP
A stability theory beyond the co-rotational setting for critical Wave Maps blow up
该研究针对能量临界波映射爆破解，突破此前等变扰动限制，考虑无对称约束的非等变扰动，通过变量分离、畸变傅里叶变换及半经典WKB谱分析等方法，证明了解的刚性及动力学一致性。
2024-05-23 math.AP
Infinite time blow-up solutions to the energy critical wave maps equation
在1-等变、拓扑度为1的条件下，研究了区域$\mathbb{R}^{2+1}$和目标$\mathbb{S}^{2}$的波映射问题.在这种情况下，我们记得孤子是从$\mathbb{R}^{2}$到$\mathbb{S}^{2}$的调和映射，极角等于$Q_{1}(r) = 2 \arctan(r)$。利用方程的标度对称性，证明了$Q_λ(r) = Q_{1}(r λ)$也是一个调和映射，并且所有这类$Q_λ(r) = Q_{1}(r λ)$族都是能量有限、1-等变、拓扑度为1的调和映射能量的唯一极小元.在这项工作中，我们构造了无限时间爆破解沿$Q_λ$家庭。更准确地说，对于$b>0$，以及对于满足某些$C_{l}, C_{m,k}>0$，$$\frac{C_{l}}{\log^{b}(t)} \leq λ_{0,0,b}(t) \leq \frac{C_{m}}{\log^{b}(t)}, \quad |λ_{0,0,b}^{(k)}(t)| \leq \frac{C_{m,k}}{t^{k} \log^{b+1}(t) }, k\geq 1 \quad t \geq 100$$的所有$λ_{0,0,b} \in C^{\infty}([100,\infty))$，存在具有以下性质的波图。如果$u_{b}$表示到$\mathbb{S}^{2}$的波映射的极角，则我们有$$u_{b}(t…
2020-10-18 math.AP
