Construction of type II blowup solutions for the 1-corotational energy supercritical wave maps
考虑了从$\mathbb{R}^d$到具有$d \geq 7$的$d$球$\mathbb{S}^d$的能量超临界波映射.在1-共转对称的附加假设下，问题简化为一维半线性波动方程$$\partial_t^2 u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$。我们为该方程构造一族$\mathcal{C}^{\infty}$解，其通过通用轮廓$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$的集中在有限时间内爆破，其中$Q$是方程的稳态解，并且速度由量化速率$$λ(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}γ, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; \ell > γ= γ(d) \in (1,2].$$给出。构造依赖于两个参数：利用Merle，Raphaël和Rodnianski提出的能量超临界非线性Schr dinger方程的鲁棒泛能量方法和调制技术，将问题化为有限维问题，然后利用Brouwer不动点定理，通过矛盾法求解有限维问题.
2018-05-17 math.AP math.DG
Existence of a stable shrinker for the corotational harmonic map heat flow in higher space dimensions
Universität Innsbruck（因斯布鲁克大学）
该研究将三维共旋转调和映射热流的稳定自相似剖面结果推广到4、5、6维，借助严格计算机辅助证明了稳定收缩子存在，还得到共旋转类自相似剖面的有限余维稳定性。
2026-07-30 math.AP
Stable blow up dynamics for the 1-corotational energy critical harmonic heat flow
我们展示了一个稳定的有限时间爆破制度的1-共转能量临界谐波热流从$\Bbb R^2$到一个光滑的紧凑的旋转表面的$\Bbb R^3$减少到半线性抛物问题$$\partial_t u -\pa^2_{r} u-\frac{\pa_r u}{r} + \frac{f(u)}{r^2}=0$$的一个适当的功能类$f$。在能量临界拓扑中，相应的初始数据可以选择为光滑的、局域性好的、任意接近基态调和映射的数据。我们给出了相应的奇异性形成的尖锐渐近性，这种奇异性形成是通过以[Van den Bergh，J.; Hulshof，J.; King，J.，调和映射热流中鼓泡的形式渐近性，SIAM应用数学，第63卷，o 5。第1682-1717页]。我们的方法在于继续[Raphaël，P.;罗德年克希岛，临界共旋波映射和等变杨米尔斯问题的稳定爆破动力学，将出现在预备数学IHES。[Merle，F.; Raphaël，P.; Rodnianski，I.，Blow up dynamics for smooth solutions to the energy critical Schrodinger map，preprint 2011.]。
2011-06-05 math.AP
Quantized slow blow up dynamics for the corotational energy critical harmonic heat flow
我们考虑从$\Bbb R^2$到$\Bbb R^3$的光滑紧致旋转曲面的能量临界调和热流。对于具有共旋对称性的初始数据，演化归结为半线性径向对称抛物问题$$\partial_t u -\pa^2_{r} u-\frac{\pa_r u}{r} + \frac{f(u)}{r^2}=0$$，对于适当的一类函数$f$。给定一个整数$L\in \Bbb N^*$，我们展示了一组任意接近能量临界拓扑中的最小能量调和映射$Q$的初始数据，使得相应的解通过以{ \it量化}速率给出的速度集中其能量$$\nabla u(t,r)-\nabla Q(\frac{r}{ł(t)})\to u^* in L^2$$而在有限时间内爆炸：根据正式预测[3]，$$ł(t)=c(u_0)(1+o(1))\frac{(T-t)^L}{|\log (T-t)|^{\frac{2L}{2L-1}}},$$。L=1的情况对应于[37]中显示的稳定状态，并且$L\ge 2$的数据在某种弱意义上留在余维$(L-1)$的流形上。我们的分析是[36，32，37]的继续，进一步展示了激发慢爆破率的存在机制和这些阈值动力学的相关不稳定性。
2013-01-09 math.AP
Self-similar blowup from arbitrary data for supercritical wave maps with additive noise
该研究针对d≥3维能量超临界的随机扰动波映射，证明共旋非退化高斯加性噪声可使任意共旋初始数据以正概率产生自相似爆破，弥补了无噪声情形下大数据对应结论仅为猜想的空白。
2025-10-29 math-ph math.AP math.DG
Optimal blowup stability for supercritical wave maps
研究了从$(1+4)$维Minkowski空间到$4$维球面的共旋波映射.证明了在临界索伯列夫空间中，一个明确已知的自相似波映射在小扰动下的稳定性。
2022-01-27 math-ph math.AP math.MP
Stability of global self-similar solutions to the cubic wave equation and the wave maps equation
Universität Innsbruck（因斯布鲁克大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究能量超临界非线性波动方程（六维三次波动方程和四维共转波映射方程）整体自相似解在临界Sobolev空间小扰动下的长时间稳定性，基于相似变量中带势波动方程的Strichartz估计。
2026-07-03 math.AP
Construction of a spectrally stable self-similar blowup solution to the supercritical corotational harmonic map heat flow
证明了从$\mathbb R^3$到三球面的共转调和映射的热流的（谱）稳定的自相似爆破解$f_0$的存在性。特别地，我们的结果验证了作者提出的谱隙猜想，并为证明$f_0$的非线性稳定性奠定了基础.在我们的分析的核心在于一个新的单调自相似解$f_0$的存在性结果。虽然这种解决方案已经被构造之前，我们的方法揭示了大量的定量性质的$f_0$，导致稳定的结果。其中一个关键因素是使用了区间运算：一种严格的计算机辅助函数估计方法。这是很容易验证我们的结果，强大的数值，但本文的目的是提供数学上严格的证明。
2018-04-20 math-ph math.AP math.DG
Mode stability of self-similar wave maps without symmetry in higher dimensions
Universität Wien（维也纳大学）
本文研究了从(1+d)维Minkowski空间到d球面的波映射，在高维情况下证明了无对称性的自相似解的模态稳定性。
2026-04-15 math-ph math.AP math.MP
Dynamics for the corotational energy-critical wave map equation with quantized blow-up rates
本文研究从$\mathbb{R}^{1+2}$到$\mathbb{S}^2$的波映射在$k$-共旋对称下的一维半线性方程，构造能量任意接近基态解的初始数据，证明解在有限时间内以量化速率爆破。
2024-02-06 math.AP
Optimal blowup stability for three-dimensional wave maps
本文研究(1+3)维Minkowski空间到三维球面的同旋转波映射，通过在相似坐标下证明带势径向波方程的Strichartz估计，确立了显式自相似波映射在分数阶临界Sobolev空间微扰下的渐近稳定性。
2023-06-29 math-ph math.AP math.MP
Construction of infinite time bubble tower solutions to critical wave maps equation
Seoul National University（首尔大学）
本文通过逆向构造方法与Morawetz型函数，构造了临界波映射方程在二维球面上的多气泡解，展示了在单个时间方向上全局存在性的多气泡解的存在性。
2026-03-05 math.AP
Existence and stability of shrinkers for the harmonic map heat flow in higher dimensions
本文研究了高维调和映射热流的奇异性形成，通过构造旋转对称目标流形，证明了稳定共旋自相似收缩解的存在性，揭示了 Cauchy 问题的稳定爆破机制。
2023-04-08 math.AP math.DG
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
2011-06-10 math-ph math.AP math.MP
Soliton resolution for equivariant wave maps on a wormhole: II
在本文中，我们继续我们的研究等变的\emph{wave maps on a wormhole}在我们的同伴文件中发起的。更确切地说，我们研究有限能量$\ell$ -等变波映射从（1+3）维时空$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2) \rightarrow \mathbb{S}^3$的度量$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2)$是由\begin{align*} ds^2 = -dt^2 + dr^2 + (r^2 + 1) \left ( d θ^2 + \sin^2 θd φ^2 \right ), \quad t,r \in \mathbb R, (θ,φ) \in \mathbb{S}^2. \end{align*}的常数时间片每个由黎曼流形$\mathcal M$与两个渐近欧几里德结束在$r = \pm \infty$是由2-球连接在$r = 0$。时空$\mathbb R \times (\mathbb R \times \mathbb{S}^2)$在广义相对论文献中作为虫洞几何的原型出现（但在自然界中并不存在）。每个$\ell$ -等变有限能波映射都可以用它的拓扑度$n$来索引。对于每个$\ell$和$n$，存在唯一的、线性稳定的能量极小化$\ell$ …
2016-09-27 math.AP
Threshold for blowup for equivariant wave maps in higher dimensions
我们考虑超临界维数$3\leq d\leq 6$中从$\mathbb{R}^{d+1}$到$\mathbb{S}^d$的等变波映射.利用混合数值和分析方法，我们证明了爆破的阈值是由余维一稳定流形的自相似解的一个不稳定。
2016-08-27 math.AP
Assessment of a Threshold Method for Computing Activation Maps from Reconstructed Transmembrane Voltages
针对心电成像激活图中人工阻滞线问题，提出基于预定义阈值检测激活时间的方法，结合Tikhonov正则化可生成平滑激活图，评估显示其能保留真实不连续性，为激活图计算提供简单有效方案。
2024-11-29 math.AP
Two-bubble dynamics for threshold solutions to the wave maps equation
在等变情形下考虑能量临界波映射方程$\mathbb R^{1+2} \to \mathbb S^2$，其等变度为$k \geq 2$ .已知能量$ < 8kπ$和拓扑度为零的初始数据导致在两个时间方向上分散的全局解。我们考虑能量$8kπ$的阈值情况。我们证明了该解决方案是定义为所有的时间，无论是在两个时间方向上的散射，或收敛到两个谐波映射在一个时间方向上的叠加和在其他时间方向上的散射。在后一种情况下，我们描述了两个调和映射的尺度的渐近行为。证明结合了经典的集中紧技术的Kenig-Merle与调制分析的相互作用的两个谐波映射在没有多余的辐射。
2019-03-18 math.AP
Globally stable blowup profile for supercritical wave maps in all dimensions
研究超临界波映射的共旋自相似爆破解，通过基于全空间相似变量的新方法证明其在所有维度下整体非线性稳定，验证了相关爆破行为猜想。
2023-06-29 math-ph math.AP math.DG
Uniqueness of two-bubble wave maps
这是两篇论文系列的第二部分，该系列建立了在两个时间方向上都不分散的阈值能量波图的唯一性和规律性。考虑1 + 2维Minkowski空间上的两球值等变能量临界波映射方程，等变类k> 3。我们知道，每个拓扑平凡的波映射，其能量小于唯一k-等变调和映射Q的能量的两倍，在两个时间方向上都是散射的。我们研究的地图，正是阈值能量，即，能量的两倍。在本系列的第一部分中，我们给出了一个阈值波图的精细构造，该阈值波图渐近地叠加成两个调和图（气泡）的叠加，其中一个调和图在尺度上是集中的。在本文中，我们证明了这个解是唯一的（直到方程的自然不变性）双泡波映射。结合我们以前的工作，我们现在可以给出每个阈值波图的精确描述。
2020-03-12 math.AP
An asymptotic expansion of two-bubble wave maps
这是两篇论文系列的第一部分，该系列建立了在两个时间方向上都不分散的阈值能量波图的唯一性和规律性。考虑1+2维Minkowski空间上的两球值等变能量临界波映射方程，等变类k>3。我们知道，每个拓扑平凡的波映射，其能量小于唯一k-等变调和映射Q的能量的两倍，在两个时间方向上都是散射的。我们研究的地图，正是阈值能量，即，能量的两倍。在本文中，我们给出了一个改进的构造波映射的阈值能量，收敛到两个谐波映射（泡沫）的叠加，渐近解耦的规模。我们证明了该双泡解具有H^2正则性。我们给出了一个精确的动力学描述的调制参数以及扩展的映入配置文件。在该系列的下一篇论文中，我们证明了这个解是唯一的（直到方程的自然不变性），这取决于这里构造的解的详细性质。结合我们以前的工作，我们现在可以给出每个阈值波图的精确描述。
2020-03-12 math.AP
The Sharp $C^{1,1}$ Target Threshold for Minimizing Constraint Maps
本文证明当目标区域边界为 $C^{1,1}$ 时，Dirichlet 能量局部极小元具有 $C^{1,1}$ 正则性，并构造反例表明 $C^{1,1}$ 是 Hölder 尺度下的最优阈值。
2026-09-09 math.AP
A note on exterior stability of isolated singularity formation for nonlinear wave equations
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进研究所数学系）；University of Leipzig（莱比锡大学）
研究非线性波映射方程和幂非线性波方程中I型和II型奇点形成外部的稳定性，通过特定初始数据和合适数据建立解的存在性，采用坐标变换和散射结果证明，探讨对称性限制的放宽。
2026-05-08 math.AP
A refined threshold theorem for (1+2)-dimensional wave maps into surfaces
最近建立的能量临界波图的阈值定理指出，能量小于基态能量的波图（即，最小能量非平凡调和映射）在（1+2）维Minkowski空间上是全局正则的和散布的.当目标为闭可定向曲面时，通过考虑问题的一个附加不变量，即拓扑度，给出了该定理的一个改进.我们表明，全球规则性和散射的尖锐的能量阈值，实际上是两倍的能量的基态波地图度为零，而波地图与非零度必须至少有基态的能量。我们还讨论了（1+4）维Minkowski空间上能量临界的$SU(2)$ Yang-Mills方程的一个精化阈值猜想的形式.
2015-02-11 math-ph math.AP math.MP
Conditional global regularity of Schrödinger maps: sub-threshold dispersed energy
我们考虑薛定谔映射到球的初值问题在2+1维光滑，衰减，亚阈值的初始数据。假设解的先验$L^4$有界性条件，证明了薛定谔映射系统存在唯一的整体光滑解，只要初始数据是充分能量分散的.还显示的是全球的时间上的某些Sobolev规范的解决方案。为此，我们建立了改进的局部平滑和双线性Schhartz估计，适应Planchon-Vega方法，这样的估计薛定谔映射的非线性设置。
2013-01-28 math-ph math.AP math.MP
Quantization of time-like energy for wave maps into spheres
在这篇文章中，我们考虑大能量波映射在2+1维，在解决的阈值猜想的斯特本茨和Tataru，但更具体地到单位欧几里德球，并进一步研究的动力学序列的波映射后，得到的斯特本茨和Tataru最后重新标度在第一，有限或无限，时间奇点。我们证明了，在适当选择的时间片序列在这个尺度上，有一个分解的地图，直到一个误差与渐近消失的能量，到一个解耦的总和重新缩放孤子集中在内部的光锥和一项具有渐近消失的能量色散范数，集中在零边界和收敛到一个常数局部内部的圆锥，在能源领域。
2016-05-08 math.AP
Characterization of large energy solutions of the equivariant wave map problem: I
考虑从1+2维到2-球面的1-等变波映射.对于拓扑度为零的波映射，我们证明了能量小于由球极平面投影给出的调和映射Q的能量的两倍的波映射的整体存在性和散射性。我们通过第二作者和Merle发展的集中紧度/刚性方法推导出这个结果。特别是，我们建立了一个分类的等变波映射的轨迹是预紧的能量空间的标度对称的方程。事实上，这种类型的波图只能是0或Q，直到重新缩放。这给出了适用于零度理论的阈值猜想的改进版本的等变情况下的证明，其中真正的阈值是2 E（Q），而不是E（Q）。上述的整体存在性和散射陈述也可以通过考虑Sterbenz和Tataru在等变背景下的工作来推导。对于拓扑度为1的波映射，我们建立了能量小于3倍于Q能量的有限时间爆破解的分类。在这种能量限制下，我们证明了一次爆破解本质上是一个重标度的Q加上一个能量小于两倍于Q的拓扑度为零的余项的和.这一结果揭示了Krieger，第四作者，Tataru以及Raphael和Rodnianski的一阶1-等变波映射爆破构造的普适性质.
2019-03-18 math.AP
Stability of stationary equivariant wave maps from the hyperbolic plane
本文首次研究了从二维双曲空间到旋转对称曲面的等变波映射。这个问题表现出显着不同的现象，比它的欧几里德对应的，由于指数体积增长的同心测地球上的域。特别是，当目标是2-球，我们发现一个家庭的等变谐波映射索引的参数，衡量多远的图像，每个谐波映射环绕球。这些映射的能量取零和唯一的共旋转欧氏调和映射Q的能量之间的所有值，Q是从欧氏平面到2-球面的，由球极平面投影给出。我们证明了调和映射是渐近稳定的参数值小于小于阈值，是足够大的，以允许地图，包装超过一半左右的领域。事实上，我们证明了通过线性化这样的调和映射周围的运营商的哈茨估计。然而，对于能量接近于Q的欧几里德能量的调和映射，线性化算子谱中存在间隙特征值，从而排除了基于Eschhartz估计的扰动变元的渐近稳定性.当目标是二维双曲空间时，我们找到了一类连续的渐近稳定的等变调和映射，它们具有任意小和任意大的能量。这与欧几里得空间上的相应问题形成鲜明对比，在欧几里德空间中，当时间趋于无穷大时，所有有限能量解都分散到零。
2014-11-14 math.AP
Limits of $α$-harmonic maps
已知Dirichlet能量à la Sacks-Uhlenbeck的近似的临界点在适当的意义下收敛到调和映射。然而，我们表明，不是每一个调和映射可以近似的临界点的扰动能量。事实上，我们证明，恒定的地图和旋转的$S^2$是唯一的临界点的$E_α$的地图从$S^2$到$S^2$的$α$ -能量低于某个阈值。特别是，非平凡的伸缩（这是调和）不能出现的强极限的$α$ -调和映射。
2015-08-05 math.AP math.DG
Semi-global controllability of a geometric wave equation
证明了具有空间域$\mathbb{S}^1$和目标$\mathbb{S}^k$的$(1+1)$维波映射方程的半全局能控性和半全局稳定性。首先，我们表明，阻尼稳定的系统时，能量严格低于阈值$2π$，谐波地图出现作为障碍的全球稳定。然后，我们采用迭代控制方法得到了波映射方程的低能精确能控性。该结果在$k=1$情况下是最佳的。
2022-05-02 math.AP math.OC
Equivariant self-similar wave maps from Minkowski spacetime into 3-sphere
证明了从3+1 Minkowski时空到3-球面的可数族球对称自相似波映射的存在性。这些图可以被看作是激发的基态波图之前发现的Shatah。第一个激励是特别有趣的柯西问题的背景下，因为它扮演的角色，一个关键的解决方案，坐在奇点形成的阈值。我们分析了我们的波映射的线性稳定性，并证明了关于一个给定的映射的不稳定模式的数量等于它的激发指数。最后，我们制定了一个条件下，这些结果可以推广到更高的维度。
2000-05-25 gr-qc math-ph math.AP
Global controllability and stabilization of the wave maps equation from a circle to a sphere
本文研究$(1+1)$维波映射方程，证明目标为$\mathbb{S}^k$（$k>1$）时的全局精确能控性，并确立$2\pi$能量界是连续时变反馈一致渐近镇定的严格阈值。
2023-07-17 math.AP math.OC
Multisoliton solutions for equivariant wave maps on a $2+1$ dimensional wormhole
本文研究$2+1$维虫洞到2球面的等变波映射，利用集体坐标建立有限维ODE模型，预测并通过PDE验证交替扭结-反扭结多孤子链的渐近膨胀与湮灭阈值行为。
2025-01-12 gr-qc math-ph math.AP
