约束映射最小化的尖锐 $C^{1,1}$ 目标阈值
The Sharp $C^{1,1}$ Target Threshold for Minimizing Constraint Maps
AI总结：
本文证明当目标区域边界为 $C^{1,1}$ 时，Dirichlet 能量局部极小元具有 $C^{1,1}$ 正则性，并构造反例表明 $C^{1,1}$ 是 Hölder 尺度下的最优阈值。
AI中文摘要：
设 $K\subset\R^m$ 为有界域闭包，其边界为紧致嵌入超曲面，并令 $\overline M=\R^m\setminus\operatorname{int}K$ 为允许目标。我们证明：若 $\partial K$ 属于 $C^{1,1}$ 类，则每个取值于 $\overline M$ 的 Dirichlet 能量 $E(u;B):=\int_B|Du|^2\dd x$ 的局部极小元在其连续集上局部属于 $W^{2,\infty}$，从而局部属于 $C^{1,1}$。对每个 $0<\alpha<1$，我们还构造一个具有 $C^{1,\alpha}$ 边界的凸体以及一个处处连续的全局极小元，该极小元不属于 $C^{1,1}$。因此，$C^{1,1}$ 是 Hölder 尺度下目标正则性的尖锐阈值。
英文摘要：
Let $K\subset\R^m$ be the closure of a bounded domain whose boundary is a compact embedded hypersurface, and let \( \overline M=\R^m\setminus\operatorname{int}K \) be the allowed target. We prove that if $\partial K$ is of class $C^{1,1}$, then every $\overline M$-valued local minimizer of the Dirichlet energy $E(u;B):=\int_B|Du|^2\dd x$ is locally $W^{2,\infty}$, and hence locally $C^{1,1}$, on its continuity set. For every $0<α<1$, we also construct a convex body with $C^{1,α}$ boundary and an everywhere continuous global minimizer that is not $C^{1,1}$. Thus $C^{1,1}$ is the sharp target regularity threshold in the Hölder scale.
