Two-bubble dynamics for threshold solutions to the wave maps equation
在等变情形下考虑能量临界波映射方程$\mathbb R^{1+2} \to \mathbb S^2$，其等变度为$k \geq 2$ .已知能量$ < 8kπ$和拓扑度为零的初始数据导致在两个时间方向上分散的全局解。我们考虑能量$8kπ$的阈值情况。我们证明了该解决方案是定义为所有的时间，无论是在两个时间方向上的散射，或收敛到两个谐波映射在一个时间方向上的叠加和在其他时间方向上的散射。在后一种情况下，我们描述了两个调和映射的尺度的渐近行为。证明结合了经典的集中紧技术的Kenig-Merle与调制分析的相互作用的两个谐波映射在没有多余的辐射。
2019-03-18 math.AP
Construction of infinite time bubble tower solutions for energy critical equivariant Schrödinger maps
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文通过反向构造、调制分析及高阶能量估计，结合达布坐标与修正项，证明了能量临界等变薛定谔映射存在无穷时间气泡塔解。
2026-10-06 math.AP
Bubble decomposition for the harmonic map heat flow in the equivariant case
在等变对称条件下，我们研究了从平面上取球面上的值的调和映射的热流。众所周知，初值问题的解可以沿着一系列时间呈现出冒泡--该解叠加成集中在不同尺度上的谐波映射和解释其余能量的体映射的叠加。我们证明了这种泡沫分解是唯一的，并在时间上连续发生。在证明中的主要新成分是碰撞间隔的概念，作者最近的工作激发的孤立子分辨率问题的等变波映射。
2022-10-26 math.AP
Concentric bubbles concentrating in finite time for the energy critical wave maps equation
本研究针对共旋转指标k=2的共旋转能量临界波映射方程，构造出有限能量的有限时间爆破解，其在两个频率尺度上集中同心气泡，验证了该方程存在含2个坍缩轮廓的孤子分解气泡树情形。
2025-01-14 math.AP
Resonant modal approximation of time-domain elastic scattering from nano-bubbles in elastic materials
建立了弹性材料中声气泡散射场低频部分的时域共振模态展开式。由于纳米气泡的阻尼作用，可以在一定的离散共振频率下诱导Minnaert共振，这为利用复合材料理论有效构建弹性超材料奠定了基础。在这项工作中有两个主要贡献。首先给出了密度的一种特殊形式，用有限个模式近似入射场，然后得到了时谐区声弹性波散射的有限个模式展开式。其次，我们表明，在时域中的散射场的低频部分可以很好地近似使用尖锐的误差估计的共振模态展开。有趣的是，我们发现，$0$ -th模式是主要的贡献，共振模式的扩展。
2023-02-02 math.AP
Compactness and Bubbles Analysis for 1/2-harmonic Maps
本文研究了1/2-调和映射序列$u_k\colon\R\to {\cal{S}}^{m-1}$的紧性和量子化性质，使得$|u_k|_{\dot H^{1/2}(\R,{\cal{S}}^{m-1})}\le C.$更精确地证明了在$\R$中存在弱1/2-调和映射$u_\infty\colon\R\to {\cal{S}}^{m-1}$和可能的空集${a_1,...,a_\ell}$，使得直到序列$$(|(-Δ)^{1/4}u_k|^2 \rightharpoonup |(-Δ)^{1/4}u_{\infty}|^2)dx+\sum_{i=1}^{\ell}λ_i δ_{a_i}, in Radon measure,$$为$k\to +\infty$，且$λ_i\ge 0.$.在$\dot W^{1/2,p}_{loc}(\R\setminus{a_1,...,a_\ell})$中，$u_k$到$u_\infty$的收敛是强的，对于每一个$p\ge 1.$我们量化的能量损失的弱收敛，我们表明，在非常数的1/2-调和映射的情况下，值在$ {\cal{S}}^2\,$一个有$λ_i=2 πn_i$，与$n_i$一个正整数。
2012-10-09 math.AP
Lojasiewicz inequalities for almost harmonic maps near simple bubble trees
本文针对正亏格曲面到一般解析目标流形、接近简单气泡树的调和映射，证明了Lojasiewicz不等式，并据此获得调和映射流收敛性与小能量调和映射能谱的新结果。
2025-07-07 math.AP math.DG
A weak energy identity for $(n+α)$-harmonic maps with a free boundary in a sphere
本文证明了球中自由边界 $(n+α)$-调和映射序列收敛到泡树，并建立了极限能量等于宏观极限能量与各泡能量加权和的弱能量恒等式。
2025-03-27 math.AP
Bubble Tree Convergence of Conformally Cross Product Preserving Maps
本文研究了一类弱共形$3$ -调和映射，称之为结合Smith映射，它是从$3$ -流形到$7$ -流形的映射，它在具有$\mathrm{G}_2$ -结构的黎曼$7$ -流形中参数化了结合$3$ -折叠.结合的Smith映射是共形不变的非线性一阶PDE系统的解，称为Smith方程，可以被看作是$J$ -全纯曲线的Cauchy-Riemann系统的$\mathrm{G}_2$ -模拟。本文证明了结合Smith映射与辛几何中的$J$ -全纯曲线具有许多相同的解析性质。特别是，我们证明：（i）内部正则性定理，（ii）可去奇点结果，（iii）能隙结果，和（iv）平均值不等式。虽然我们的方法是由全纯曲线的情况下，一些非平凡的扩展涉及，主要是由于史密斯方程的退化。上述结果的核心是一个$\varepsilon$ -正则性定理，它给出了在$3$ -能量小的假设下，$W^{1,3}$结合Smith映射的定量的$C^{1,β}$ -正则性.证明结合了以前的工作弱$3$ -调和映射和观察到的关联史密斯方程表现出一定的“补偿现象”，出现在许多其他的几何偏微分方程。结合这些分析性质和共形不变性的史密斯方程，我们解释了如何序列的关联史密斯映射有界$3$ -能源可能是共形重新缩放，以产生泡沫树等地图。当$\mathrm{G}_2$ -结构闭时，我们证明了$3$ -能量和同伦都保持在泡树极限中.这个结果可以看作是…
2021-07-18 math.AP math.DG
Generalized neck analysis of harmonic maps from surfaces
本文研究了广义颈域上能量一致有界曲面上的调和映射序列的性质。广义颈域是虚泡和环形颈域的结合，它连接了非平凡泡。证明了能量密度的一个上界，并利用它研究了序列的零点和指数的极限。
2020-06-22 math.AP math.DG
Low energy $\varepsilon$-harmonic maps into the round sphere
School of Mathematics, University of Leeds（利兹大学数学学院）
研究低能ε-调和映射从正曲率曲面到圆球的分类，发现所有度数为±1的映射均接近气泡配置，气泡半径与ε^{1/4}成正比。
2026-04-16 math.AP math.DG
Topping's conjecture for solutions of harmonic map flow with isolated bubbles
本文通过建立加权Lojasiewicz-Simon不等式，证明了调和映射流在仅形成孤立气泡的有限时间奇点情形下的体映射连续性的Topping猜想。
2026-10-12 math.AP math.DG
Harmonic maps from degenerating Riemann surfaces
研究了能量一致有界的退化黎曼曲面上的调和映射，给出了所谓的广义能量恒等式。我们发现的条件是必要的和充分的紧性在$W^{1,2}$和$C^{0}$模泡沫序列的地图。
2008-03-25 math.AP math.DG
Continuous in time bubble decomposition for the harmonic map heat flow
本文研究平面到二维球面映射的调和映射热流，证明解在连续时间中趋近多气泡构型族，并由此推出任意时间序列均存在发生气泡化的子序列。
2023-04-12 math.AP math.DG
Compactness Results for Sequences of Approximate Biharmonic Maps
在这篇文章中，我们证明了能量量子化的近似（内在和外在）的双调和映射到球的近似映射是在$L \log L$。此外，我们证明了如果近似映射的$L\log L$范数不集中，则气泡的图像是无颈连接的。
2015-03-26 math.AP math.DG
Low-energy $α$-harmonic maps into the round sphere
本文对常曲率闭非球面黎曼曲面到圆球的低能 $α$-调和映射按气泡尺度和中心分类，证明在能量接近临界值时度为一的映射在显式函数的临界点以特定尺度产生气泡。
2024-02-06 math.AP math.DG
Analysis of boundary bubbles for almost minimal cylinders
我们分析的Teichmüller调和映射流的解决方案的渐近行为从气缸，更一般的“几乎最小的气缸”，在地图满足高原边界条件的三点条件退化的情况下。我们证明，这样一个退化的边界条件迫使域伸展作为一个边界气泡的形式。我们的主要结果，然后建立，规定的边界曲线，满足道格拉斯的分离条件，这些边界泡将不仅是谐波，但将自己的分支最小浸入。与以前的工作一起，这特别完成了Teichmüller调和映射流将$\mathbb{R}^n$中的每个初始曲面跨越这样的边界曲线变成相应的道格拉斯-高原问题的解的证明。
2017-07-25 math.AP math.DG
Energy identity for approximations of harmonic maps from surfaces
证明了Sacks-Uhlenbeck极小极大序列的能量恒等式和调和映射从曲面到一般目标流形的双调和逼近。证明依赖于两个近似和估计的浓度半径的气泡的霍普夫微分型估计。
2008-09-11 math.AP math.DG
Non-Uniqueness of Bubbling for Wave Maps
我们考虑从$\mathbb R^{2+1}$到一个$C^\infty$ -光滑黎曼流形$\mathcal N$的波映射.这样的映射可以表现出能量集中，并且在集中点处，已知映射（适当地重新缩放和平移）微弱地收敛到谐波映射，称为气泡。我们给出了一个例子的波地图，表现出一种类型的非唯一性的冒泡。特别是，我们展示了一个连续的不同的泡沫在原点，其中每一个出现的弱极限沿着不同的时间序列接近爆破时间。这是第一个已知的例子，非唯一性鼓泡色散方程。我们的构造受到Peter Topping [Topping 2004]的工作的启发，他证明了类似的现象可以发生在调和映射热流的设置中，并且我们的非唯一性机制是与该工作中表现出的相同的“缠绕”行为。
2022-12-21 math.AP math.DG
Index estimates for sequences of harmonic maps
本文研究带一致有界Dirichlet能量的二维到紧流形调和映射序列的index与零化度上下界，通过对角化随序列变化的双线性型的index形式证明特征函数收敛，还将方法推广到二维共形不变变分问题临界点序列。
2024-05-16 math.AP math.DG
