The gradient flow of the $L^2$ curvature energy near the round sphere
研究了四维流形上黎曼曲率的$L^2$范数梯度流的低能行为。具体地说，当初始度量具有正的Yamabe常数和小的初始能量时，我们证明了长时间存在性和指数收敛到常截面曲率度量。
2010-03-08 math.AP math.DG
Negatively Curved Minimal Surfaces in the Round Four-Sphere
University of Warwick（华威大学）
该研究在四维单位球面中构造了处处负高斯曲率的光滑闭嵌入极小曲面，其亏格随整数m增大而增大，面积趋近于4π²，解决了丘成桐1982年公开问题列表中的第101个问题。
2026-11-03 math.AP math.DG
Nonexistence of minimizers for the second conformal eigenvalue near the round sphere in low dimensions
Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；McGill University（麦吉尔大学）
该研究证明3至10维中接近球面圆度量的共形类里，共形拉普拉斯第二共形特征值无极小值子，与11维及以上的存在性结果形成对比，还推广了低维Yamabe方程变号解能量下界的结论。
2026-10-14 math.AP math.DG
Towards the smoothness of optimal maps on Riemannian submersions and Riemannian products (of round spheres in particular)
Ma，Trudinger和Wang关于最优运输映射正则性的关键条件A3 w由运输成本引起的伪黎曼曲率（我们称之为交叉曲率）的非负性所隐含。对于黎曼距离平方代价，证明了：（1）两个流形的乘积保持交叉曲率非负性;（2）A3 w和交叉曲率非负性都被黎曼浸入所继承;（3）$n$维球面满足交叉曲率非负性.从这些结果，一个大的新类的黎曼流形满足交叉曲率非负（因此A3 w），包括许多其截面曲率是远离常数。所有已知的障碍的规律性的最佳地图是缺席这些流形，使他们成为一类，这是很自然的猜想，规律性举行。在复射影空间CP^n上证明了这一猜想.
2008-06-02 math.AP math.DG
The round sphere minimizes entropy among closed self-shrinkers
超曲面的熵是一个几何不变量，它可以度量复杂性，并且在刚性运动和膨胀下是不变的。它由所有具有不同中心和尺度的高斯积分的上确界给出。它在中曲率流下是单调的，从而给出了一个李雅普诺夫泛函。因此，初始超曲面的熵限制了所有未来奇点的熵。我们在这里表明，不仅圆球具有任何封闭奇点的最低熵，但有一个差距，以第二低。
2012-05-09 math.AP math.DG math.MG
Evolving to Non-round Weingarten Spheres: Integer Linear Hopf Flows
在20世纪50年代，霍普夫给出了欧氏三维空间中具有旋转对称的非圆凸2-球面的例子，这些球面满足它们的主曲率之间的线性关系。在本文中，我们研究的条件下，通过线性组合的曲率半径产生一个霍普夫球的光滑旋转对称球。当流的系数具有某些整数值时，初始球的命运完全由其孤立脐点的局部几何形状决定。一个令人惊讶的各种行为被发现：收敛到圆球和非圆的霍普夫球，以及发散到无穷大。临界量是在孤立脐点处散光消失的速率-曲率半径的差。事实证明，该量的大小与流函数中的系数的关系决定了演化的命运。该方程的几何设置是曲率半径空间，被视为一对双曲/AdS半平面沿其边界（脐地平线）连接。一个旋转对称的球体在这个平面上确定一个参数化曲线，其端点在脐地平线上。曲线在脐地平线的斜率由Codazzi-Mainardi方程与散光消失的速率相联系，对于一般的初始条件，可以用来确定流动的结果。在流动过程中，斜坡可以跳跃，并给出了一些例子：初始斜坡的瞬时跳跃，以及在有限时间内收缩到点并“弹出”斜坡的脐圈。最后，我们提出了类似孤子的解决方案：曲线下的线性流动的相互双曲/AdS等距（膨胀和平移）的曲率半径空间。即将发表的一篇论文将把这些几何思想应用于非线性曲率流。
2017-09-02 math.AP math.DG
Optimal regularity of stable harmonic maps to spheres
Cornell University（康奈尔大学）
本文研究到球面的稳定调和映射的正则性，确定其奇异集余维数的下界，证明结果最优，并给出n小于k时n维到k维球面非常数调和映射的非平凡指标界。
2026-08-28 math.AP math.DG
The regularity of harmonic maps into spheres and applications to Bernstein problems
我们证明了正则性，并推导出先验估计的（弱）调和映射从黎曼流形到欧氏球面的假设下，图像避免了一些邻居的半赤道。证明结合了严格凸函数的构造和拟线性椭圆方程组的正则性理论。将这些结果应用于极小超曲面的球面和欧氏Bernstein问题，得到了球面中的紧致极小超曲面或欧几里得空间中的完备极小超曲面平凡的新条件.
2009-12-02 math.AP math.DG
A gap theorem for $α$-harmonic maps between two-spheres
本文考虑由Sacks-Uhlenbeck引入的从$S^2$到$S^2$的映射的调和能量的近似。我们继续了[6]中关于能量一致有界的$α$ -调和映射极限的分析。利用文献[7]中的一个能量恒等式，我们得到了次数为$-1, 0$或$1$的$α$ -调和映射的一个最优间隙定理.
2020-12-07 math.AP math.DG
High-Dimensional Families of Minimal Surfaces of Arbitrary Genus in Round Spheres
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）
本文在偶数维球面中构造任意亏格与共形结构的极小曲面的任意高维参数族，其维数随次数趋于无穷。
2026-09-24 math.AP math.CV math.DG
On the size of the singular set of minimizing harmonic maps into the 2-sphere in dimension four and higher
我们将我们最近的预印本[arXiv：1811.00515]的结果扩展到更高的维度$n \geq 4$。对于从$n$维域到二维球面的极小调和映射$u\in W^{1,2}(Ω,\mathbb{S}^2)$，我们证明了：（1）Almgren和Lieb线性定律的推广，即\[\mathcal{H}^{n-3}(\textrm{sing} u) \le C \int_{\partial Ω} |\nabla_T u|^{n-1} \,d\mathcal{H}^{n-1};\];（2）Hardt和Lin稳定性定理的推广，即奇异集的大小在边界的$W^{1,n-1}$范数的小扰动下是稳定的.
2019-02-08 math.AP math.DG
Minimal surfaces in the three-Sphere by doubling the Clifford Torus
我们在圆形三球面中构造嵌入式闭极小曲面，类似于Clifford环面的两个平行副本，由m^2个小悬链面桥连接，这些小悬链面桥沿着环面上的点的正方形网格对称地排列。
2007-02-19 math.AP math.DG
Low energy levels of harmonic maps into analytic manifolds
本文研究从球面到闭黎曼流形$N$的调和映射的能量谱$Ξ_E(N)$.虽然一个众所周知的猜想断言，只要$N$是解析的，$Ξ_E(N)$就是离散的，但对于大多数解析目标，只知道能量谱的任何潜在的聚集点必须由至少两个谐波球的能量之和给出。因此可能潜在地是$Ξ_E$的累积点的最低能级因此是$2 E_{min}$。在本文中，我们排除了这种可能性的一般3流形，并证明了额外的结果，建立障碍的调和球和Lojasiewicz估计几乎调和映射的粘合。
2023-03-01 math.AP math.DG
Isolated singularities of harmonic maps with generic boundary data
Cornell University（康奈尔大学）
本文研究具有一般边界数据的调和映射孤立奇点，提出最小指标原理，证明在低维情况下奇点切映射为径向投影，并建立无穷远刚性定理。
2026-09-25 math.AP math.DG
Three spheres theorem for p-harmonic functions
证明了n维欧氏空间中定义在k-球补上的p-调和函数的三球型定理。
2010-02-24 math.AP
Partial regularity for fractional harmonic maps into spheres
本文讨论了任意维上到$s\in(0,1)$阶球面上的平稳或极小分数调和映射的正则性问题。证明了这样的分数调和映射是$C^\infty$远离一个小的闭奇异集。奇异集的豪斯多夫维数也估计在$s\in(0,1)$和平稳/极小假设。
2020-01-16 math.AP
Rigidity in the Ginzburg--Landau approximation of harmonic spheres
该研究针对调和球面的Ginzburg--Landau逼近问题，证明并非所有球面间调和映射都可作为Ginzburg--Landau临界点极限，一次可逼近调和映射仅为旋转，并通过刚性定理给出小参数下低能临界点的具体形式。
2025-09-02 math.AP math.DG
n/p-Harmonic maps: regularity for the sphere case
我们引入n/p-调和映射作为E（v）的Lp-范数的α-拉普拉斯算子v的临界点，其中点态v映射Rn到一个球面上，并且α = n/p.这种能量结合了Riviere和第一作者引入的分数调和映射的非局部行为和n-拉普拉斯算子的退化参数.在这种情况下，我们将证明Holder连续性。
2012-02-06 math.AP
3-Commutators Estimates and the Regularity of 1/2 Harmonic Maps into Spheres
证明了从实直线到球面的弱1/2-调和映射的正则性。我们的结果的关键点是首先将1/2-调和映射方程表述为非局部线性薛定谔型方程，其右端是一个3项的调和子。然后，我们建立一个尖锐的估计，这些3-因子。
2009-07-24 math.AP
Global dissipative half-harmonic flows into spheres: small data in critical Sobolev spaces
我们建立了半调和热流和耗散Landau-Lifshitz方程强解的整体存在性、唯一性、正则性和长时间渐近性，对空间维数为$n \le 3$的齐次Sobolev范数$\dot{H}^{\frac n 2}$中的小初值有效.
2018-06-18 math.AP
Integro-differential harmonic maps into spheres
我们引入（积分-微分）调和映射到球，这被定义为临界点的Besov-Slobodeckij能量$\int\limits_Ω\int\limits_Ω \frac{|v(x)-v(y)|^{p_s}}{|x-y|^{n+sp_s}}\ dx\ dy$。对于$p_s = 2$这些是经典的分数调和映射首先考虑的大利奥和里维耶尔。对于$p_s \neq 2$，这是一种新的能量，它具有退化的非局部欧拉-拉格朗日方程。对于临界情形，$p_s = n/s$，我们证明了这些映射的Holder连续性。
2014-01-27 math.AP
Minimizing 1/2-harmonic maps into spheres
本文在目标流形为$(m-1)$维球面的情况下，改进了极小化$1/2$ -调和映射的部分正则性理论。对于$m\geq 3$，我们证明了极小化的$1/2$ -调和映射在2维是光滑的，并且在更高的维上有一个余维至少为3的奇异集.对于$m=2$，证明了在正交变换下，$x/|x|$是唯一的从平面到圆$\mathbb{S}^1$的非平凡$0$ -齐次极小化$1/2$ -调和映射.作为推论，从二维区域到$\mathbb{S}^1$的极小化$1/2$ -调和映射的每个点奇点的拓扑荷等于$\pm1$ .
2019-01-17 math.AP
Eigenvalue gaps for the Laplacian on hypersurfaces of the sphere
我们对圆球面的超曲面的拉普拉斯算子的特征值给出了较低的估计。
2014-02-13 math.AP
Supercritical elliptic problems on the round sphere and nodal solutions to the Yamabe problem in projective spaces
给定$n$维圆球面上的等参函数$f$，我们考虑$u=w\circ f$形式的函数，将具有$λ>0$和$1<p$的半线性椭圆问题\[ -Δ_{g_0}u+λu=λ | u\ | ^{p-1}u\qquad\text{ on }\mathbb{S}^n \]化为形式为$w'' + \frac{h(r)}{\sin r} w' + \fracλ{\ell^2}\ (| w|^{p-1}w - w\ )=0$的$[0,π]$中的奇异常微分方程，其中$h$是严格递减函数，在此区间内恰好有一个零点，$\ell$是几何常数.利用双重打靶法，结合这类常微分方程的振荡解的结果，我们得到了第一个问题的一系列变号解，这些解在与$f$相关的等参超曲面上是常数，并且在生成等参族的一个或两个焦点子流形上爆破.我们的方法也适用于当$p>\frac{n+2}{n-2}$，即，在超临界的情况下。此外，使用减少通过调和态射，我们证明了存在性和多重性的符号变化的解决方案的Yamabe问题的复杂和四元数空间，有一个有限的不相交的工会等参超曲面作为定期的水平集。
2019-08-21 math.AP
Partial Regularity for Harmonic Maps into Spheres at a Singular or Degenerate Free Boundary
University of Bath（巴斯大学）
本文证明了在域度量沿自由边界以$d^α$速率退化或奇异时，具有自由边界数据的弱平稳调和映照的部分正则性。
2020-10-22 math.AP
Lp-gradient harmonic maps into spheres and SO(N)
我们考虑能量$E(v) := \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla^s v|^{\frac{n}{s}}$的临界点，其中$v$局部映射到球体或$SO(N)$中，并且$\nabla^s = (\partial_1^s,\ldots,\partial_n^s)$是形式分数梯度，即$\partial_α^s$是分数拉普拉斯算子与$α$ th Riesz变换的组合。我们证明了这个能量的临界点是Hölder连续的。作为特殊情况，对于$s = 1$，我们得到了Fuchs和Strzelecki关于球面上$n$ -调和映射的正则性结果的一个新的、更稳定的证明，这个结果本身就很有趣.
2014-04-03 math.AP
From refined estimates for spherical harmonics to a sharp multiplier theorem on the Grushin sphere
本文证明了$\mathbb{R}^3$中单位球面上Grushin算子的Mihlin-Hörmander型尖锐乘子定理，以及相应的Bochner-Riesz平均的有界性结果.证明取决于球谐函数的精确逐点界。
2019-04-29 math.AP math.FA
Regularity of n/2-harmonic maps into spheres
本文证明了从Rn的子集到球面的n/2-调和映射的Hoelder连续性。这推广了F. Da Lio和T.里维耶尔任意尺寸。证明依赖于补偿效果，我们量化适应的方法温特不等式L。鞑靼，而不是贝索夫空间的参数，其中使用的一维情况下。此外，Hodge分解和高阶Poincare不等式的分数类似物以及类似于分数Laplacian的非局部算子的几个局部化效应也得到了发展和应用.
2010-06-28 math.AP
Quaternionic spherical harmonics and a sharp multiplier theorem on quaternionic spheres
对四元数球面上的一个特殊次拉普拉斯算子，证明了一个精确的Mihlin-Hörmander型$L^p$谱乘子定理.这是第一个这样的结果紧分黎曼流形的水平空间corank大于一。证明铰链上的四元数球谐分解的分析，其中我们提出了一个初等推导。
2019-04-16 math.AP math.FA
Sphere-valued harmonic maps with surface energy and the $K_{13}$ problem
我们考虑的能量泛函的动机著名的$K_{13}$问题的Oseen-Frank理论的液晶。它被定义为球值函数，并表现为通常的Dirichlet能量和附加的表面项。众所周知，这种能量是无界的，我们的目标是研究局部极小。我们表明，即使有一个临界点在一个合适的能量空间施加严格的限制边界条件。有适当的边界条件使能量泛函有界，在这种情况下，我们研究的部分正则性的极小。
2016-07-05 math.AP
A weak energy identity for $(n+α)$-harmonic maps with a free boundary in a sphere
本文证明了球中自由边界 $(n+α)$-调和映射序列收敛到泡树，并建立了极限能量等于宏观极限能量与各泡能量加权和的弱能量恒等式。
2025-03-27 math.AP
Three-spheres theorem for harmonic functions (non-concentric case)
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia（亚美尼亚国家科学院数学研究所）
研究非同心球体中调和函数的三次球定理，通过倒置技术扩展到相关非同心非接触球体，并应用于小量传播和调和函数的唯一性。
2026-04-03 math.AP math.CV
Stable blowup for the harmonic map heat flow into perturbed spheres
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
该研究针对3至6维、靶流形为单位球面微小扰动的调和映射热流，构造了稳定自相似爆破解并证明其渐近非线性稳定性，采用类似波映射方程相关问题的摄动方法完成论证。
2026-08-05 math.AP math.FA
On a fractional Ginzburg-Landau equation and 1/2-harmonic maps into spheres
本文研究有界区域上分数阶Ginzburg-Landau方程的渐近分析，其中Laplacian算子被定义在Fourier空间中的与平方根Laplacian算子相关的积分-微分算子所取代.在奇异Ginzburg-Landau极限下，我们证明了具有一致有界能量的解弱收敛于球值1/2-调和映射，即，通常调和映射的分数类似物。此外，在远离有限（n-1）-Hausdorff测度的（n-1）-可求长闭集的光滑函数空间中，收敛性也成立.证明依赖于表示的平方根拉普拉斯算子作为一个狄利克雷到诺依曼算子在一个更多的维度，并对边界版本的金斯堡-朗道方程的分析。除了对分数阶Ginzburg-Landau方程的分析外，我们还给出了任意维平稳1/2-调和映射的一般部分正则性结果。
2014-07-21 math.AP
Epsilon-regularity for p-harmonic maps at a free boundary on a sphere
证明了向量值p-调和映射的$ε$ -正则性定理，该定理对于部分自由边界条件是临界的，即它们将边界映射到一个圆球面上.这似乎并不遵循Scheven用于具有自由边界的调和映射的反射方法（即，案例$p=2$）：反射方程可以被解释为到流形中的$p$ -调和映射方程，但是这种方程的正则性理论仅对于圆形目标是已知的。相反，我们遵循最后命名的作者最近的工作的精神自由边界调和映射，并选择一个好的框架直接在自由边界。这导致增长估计，这在临界状态$p=n$，意味着解决方案的Hölder正则性。在超临界状态下，$p < n$，我们结合了几何反射参数的增长估计：反射方程是超临界的，但是，在增长估计的假设下，解决方案是经常的。在$p<n$情形下，对于具有自由边界的平稳$p$ -调和映射，作为单调性公式的结果，我们得到了直到远离一组$(n-p)$ -维Hausdorff测度的边界的部分正则性.
2019-07-02 math.AP
Spherical harmonics and point configurations on the sphere
California State University, Northridge（北岭加州州立大学）
该研究构造了极点为间距合适的点构型的二维单位球面上的球谐函数，发现当极点构型均匀分布时球谐序列呈现量子遍历性，上确界范数受极点聚类程度定量控制。
2026-09-01 math-ph math.AP math.CA
Global controllability to harmonic maps of the heat flow from a circle to a sphere
本文研究从圆周到球面的调和映射热流的全局能控性与镇定问题，结合控制理论与微分几何等方法，证明了小时间局部能控性及同伦类内的全局能控性等重要性质。
2024-02-14 math.AP math.OC
Generic non-uniqueness of minimizing harmonic maps from a ball to a sphere
Universite Claude Bernard Lyon 1, ICJ UMR5208, CNRS, Ecole Centrale de Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学）
本文研究了从三维球体到二维球面的最小调和映射的非唯一性，通过同调构造证明了通过小变化可使边界映射具有多个极小值。
2026-02-13 math.AP
Sphere Constraints and Harmonic Map Flow: Controllability and Reachability by Low-Mode Forcing
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）；Institut Teknologi Sepuluh Nopember（十月中理工学院）；Montanuniversität Leoben（莱奥本矿业大学）
研究退化强迫下球面约束演化方程的可控性与可达性，以调和映射热流为例。通过利用几何结构转化为控制仿射系统，分析李代数，证明迭代李括号可产生新方向，为控制流形值演化方程提供李代数框架。
2026-07-29 math.AP math.OC
Controlled harmonic map heat flow and blow-up from the disk to the sphere
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文研究圆盘到球面的单余旋调和映射热流，提出适应控制的粘合策略以阻止爆破，并证明边界控制可驱动爆破或阻止无限时间浓度。
2026-09-10 math.AP math.OC
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
2011-06-10 math-ph math.AP math.MP
