3-Commutators Estimates and the Regularity of 1/2 Harmonic Maps into Spheres
证明了从实直线到球面的弱1/2-调和映射的正则性。我们的结果的关键点是首先将1/2-调和映射方程表述为非局部线性薛定谔型方程，其右端是一个3项的调和子。然后，我们建立一个尖锐的估计，这些3-因子。
2009-07-24 math.AP
A Regularity Theory for Stationary Two-valued Harmonic Functions
本文研究平稳二值调和函数的正则性，利用 Almgren 单调性公式和爆破方法证明其 Lipschitz 连续性，并刻画节点集的解析结构，可用于分离模型极限问题。
2025-05-16 math.AP
Interior continuity of two-dimensional weakly stationary-harmonic multiple-valued functions
在他的大型正则性论文中，Almgren证明了质量最小化积分流的正则性定理。在他的论文中的一个关键步骤是导出正则性的Dirichlet最小化$\mathbf{Q}_{Q}(\mathbb{R}^{n})$值函数的Sobolev空间$\mathcal{Y}_{2}(Ω, \mathbf{Q}_{Q} (\mathbb{R}^{n}))$，其中域$Ω$是开放的$\mathbb{R}^{m}$。本文引入了弱平稳调和$\mathbf{Q}_{Q} (\mathbb{R}^n)$ -值函数类。这些函数是狄利克雷积分在光滑变域和变程下的临界点。证明了若$Ω$是$\mathbb{R}^{2}$中的二维区域，且$f\in\mathcal{Y}_{2}(Ω,\mathbf{Q}_{Q}(\mathbb{R}^{n}))$是弱平稳调和的，则$f$在区域$Ω$内部连续.
2013-05-09 math.AP
A global regularity theory for shpere-valued fractional harmonic maps
本文针对球值分数阶调和映射，利用 Cheeger-Naber 定量微分方法建立奇异集的定量分层理论，从而获得全局正则性估计。
2024-09-04 math.AP
Convexity in Multivalued Harmonic Functions
本文研究了\mathcal{Q} -值函数的三圈型定理的变形.在\mathcal{Q} -值环境中证明了与L^{2}增长函数相关的一些凸性不等式.最后讨论了这些不等式的最优性，并与实值调和函数的情形作了比较。
2022-10-26 math.AP
Global dissipative half-harmonic flows into spheres: small data in critical Sobolev spaces
我们建立了半调和热流和耗散Landau-Lifshitz方程强解的整体存在性、唯一性、正则性和长时间渐近性，对空间维数为$n \le 3$的齐次Sobolev范数$\dot{H}^{\frac n 2}$中的小初值有效.
2018-06-18 math.AP
Integro-differential harmonic maps into spheres
我们引入（积分-微分）调和映射到球，这被定义为临界点的Besov-Slobodeckij能量$\int\limits_Ω\int\limits_Ω \frac{|v(x)-v(y)|^{p_s}}{|x-y|^{n+sp_s}}\ dx\ dy$。对于$p_s = 2$这些是经典的分数调和映射首先考虑的大利奥和里维耶尔。对于$p_s \neq 2$，这是一种新的能量，它具有退化的非局部欧拉-拉格朗日方程。对于临界情形，$p_s = n/s$，我们证明了这些映射的Holder连续性。
2014-01-27 math.AP
Minimizing 1/2-harmonic maps into spheres
本文在目标流形为$(m-1)$维球面的情况下，改进了极小化$1/2$ -调和映射的部分正则性理论。对于$m\geq 3$，我们证明了极小化的$1/2$ -调和映射在2维是光滑的，并且在更高的维上有一个余维至少为3的奇异集.对于$m=2$，证明了在正交变换下，$x/|x|$是唯一的从平面到圆$\mathbb{S}^1$的非平凡$0$ -齐次极小化$1/2$ -调和映射.作为推论，从二维区域到$\mathbb{S}^1$的极小化$1/2$ -调和映射的每个点奇点的拓扑荷等于$\pm1$ .
2019-01-17 math.AP
Partial Regularity for Harmonic Maps into Spheres at a Singular or Degenerate Free Boundary
University of Bath（巴斯大学）
本文证明了在域度量沿自由边界以$d^α$速率退化或奇异时，具有自由边界数据的弱平稳调和映照的部分正则性。
2020-10-22 math.AP
Lp-gradient harmonic maps into spheres and SO(N)
我们考虑能量$E(v) := \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla^s v|^{\frac{n}{s}}$的临界点，其中$v$局部映射到球体或$SO(N)$中，并且$\nabla^s = (\partial_1^s,\ldots,\partial_n^s)$是形式分数梯度，即$\partial_α^s$是分数拉普拉斯算子与$α$ th Riesz变换的组合。我们证明了这个能量的临界点是Hölder连续的。作为特殊情况，对于$s = 1$，我们得到了Fuchs和Strzelecki关于球面上$n$ -调和映射的正则性结果的一个新的、更稳定的证明，这个结果本身就很有趣.
2014-04-03 math.AP
Analytical Study of Minimizers of an N-Field System with Sphere-Valued Constraints
Univ Paris Est Creteil, CNRS, LAMA（巴黎东克雷泰伊大学，法国国家科学研究中心，LAMA）；Univ Gustave Eiffel, LAMA（古斯塔夫·埃菲尔大学，LAMA）；LyRIDS, ECE Paris, Graduate School of Engineering（ECE巴黎理工学院，研究生院，LyRIDS）
研究具有球值约束的 N 场系统变分模型，分析惩罚参数趋于无穷时极小值的渐近行为与正则性。通过建立二分法，对 N = 2 和 N≥3 情况分别研究，还推导极限能量表征等，扩展单场模型结果到多场设置。
2026-07-27 math.AP
Two-scale density of almost smooth functions in sphere-valued Sobolev spaces: A high-contrast extension of the Bethuel-Zheng theory
本文将 Bethuel-Zheng 的开创性论证推广至双尺度设定，证明了球面值 Sobolev 空间中映射的强双尺度逼近结果，并应用于高对比度微磁学的变分问题。
2024-11-12 math.AP
Regularity of n/2-harmonic maps into spheres
本文证明了从Rn的子集到球面的n/2-调和映射的Hoelder连续性。这推广了F. Da Lio和T.里维耶尔任意尺寸。证明依赖于补偿效果，我们量化适应的方法温特不等式L。鞑靼，而不是贝索夫空间的参数，其中使用的一维情况下。此外，Hodge分解和高阶Poincare不等式的分数类似物以及类似于分数Laplacian的非局部算子的几个局部化效应也得到了发展和应用.
2010-06-28 math.AP
Harmonic mappings valued in the Wasserstein space
本文给出了映射μ：Ω->（P（D），W2）的Dirichlet能量的定义，该映射μ：Ω->（P（D），W2）定义在R^p的一个子集Ω上，且取值于R^q的一个紧凸子集D上的概率测度空间P（D），该子集D具有二次Wasserstein距离.我们的定义依赖于Benamou-Brenier公式的直接推广（已经由Brenier引入），但也等价于Koorevaar，Schoen和Jost作为近似Dirichlet能量极限的定义，以及度量空间中值的索伯列夫空间的Reshetnyak的定义。我们研究调和映射，即在边界d Omega上的值固定的情况下狄利克雷能量的最小值。通过取R的一段作为Ω，恢复了Wasserstein空间中等速测地线的概念。由于Wasserstein空间（P（D），W_2）在Alexandrov意义下是正弯曲的，我们不能应用Koorevaar，Schoen和Jost的理论，而是使用基于最优输运的参数.在边值为Lipschitz的条件下，我们得到了调和映射的存在性，唯一性是一个公开问题.如果Ω是R的一段，则已知在Wasserstein空间P（D）中取值的曲线可以看作是在D中取值的曲线的叠加。我们证明了在更高的维度中不再是这样：一般映射Omega -> P（D）不能表示为映射Omega -> D的叠加。我们能够证明最大值原理的有效性：函数F：P（D）-> R沿广义测地线是凸的，调和映…
2019-05-28 math.AP
A weak energy identity for $(n+α)$-harmonic maps with a free boundary in a sphere
本文证明了球中自由边界 $(n+α)$-调和映射序列收敛到泡树，并建立了极限能量等于宏观极限能量与各泡能量加权和的弱能量恒等式。
2025-03-27 math.AP
Rectifiability of the singular set of multiple valued energy minimizing harmonic maps
本文研究了从$\mathbb{R}^m$到无边界光滑紧致流形$\mathcal{N}$的Dirichlet极小$Q$值映射的奇异集.类似的情况下发生的单值极小调和映射，我们表明，这个集合总是$(m-3)$ -可求长的均匀Minkowski界。此外，相对于单值的情况下，我们证明了目标$\mathcal{N}$是非正弯曲，但不是单连通并不意味着连续的地图。
2017-08-07 math.AP math.DG
On a fractional Ginzburg-Landau equation and 1/2-harmonic maps into spheres
本文研究有界区域上分数阶Ginzburg-Landau方程的渐近分析，其中Laplacian算子被定义在Fourier空间中的与平方根Laplacian算子相关的积分-微分算子所取代.在奇异Ginzburg-Landau极限下，我们证明了具有一致有界能量的解弱收敛于球值1/2-调和映射，即，通常调和映射的分数类似物。此外，在远离有限（n-1）-Hausdorff测度的（n-1）-可求长闭集的光滑函数空间中，收敛性也成立.证明依赖于表示的平方根拉普拉斯算子作为一个狄利克雷到诺依曼算子在一个更多的维度，并对边界版本的金斯堡-朗道方程的分析。除了对分数阶Ginzburg-Landau方程的分析外，我们还给出了任意维平稳1/2-调和映射的一般部分正则性结果。
2014-07-21 math.AP
Epsilon-regularity for p-harmonic maps at a free boundary on a sphere
证明了向量值p-调和映射的$ε$ -正则性定理，该定理对于部分自由边界条件是临界的，即它们将边界映射到一个圆球面上.这似乎并不遵循Scheven用于具有自由边界的调和映射的反射方法（即，案例$p=2$）：反射方程可以被解释为到流形中的$p$ -调和映射方程，但是这种方程的正则性理论仅对于圆形目标是已知的。相反，我们遵循最后命名的作者最近的工作的精神自由边界调和映射，并选择一个好的框架直接在自由边界。这导致增长估计，这在临界状态$p=n$，意味着解决方案的Hölder正则性。在超临界状态下，$p < n$，我们结合了几何反射参数的增长估计：反射方程是超临界的，但是，在增长估计的假设下，解决方案是经常的。在$p<n$情形下，对于具有自由边界的平稳$p$ -调和映射，作为单调性公式的结果，我们得到了直到远离一组$(n-p)$ -维Hausdorff测度的边界的部分正则性.
2019-07-02 math.AP
From refined estimates for spherical harmonics to a sharp multiplier theorem on the Grushin sphere
本文证明了$\mathbb{R}^3$中单位球面上Grushin算子的Mihlin-Hörmander型尖锐乘子定理，以及相应的Bochner-Riesz平均的有界性结果.证明取决于球谐函数的精确逐点界。
2019-04-29 math.AP math.FA
Generic non-uniqueness of minimizing harmonic maps from a ball to a sphere
Universite Claude Bernard Lyon 1, ICJ UMR5208, CNRS, Ecole Centrale de Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学）
本文研究了从三维球体到二维球面的最小调和映射的非唯一性，通过同调构造证明了通过小变化可使边界映射具有多个极小值。
2026-02-13 math.AP
Fine properties of branch point singularities: Two-valued harmonic functions
在20世纪80年代，Almgren发展了一个理论的多值Dirichlet能量极小化功能$n$维域和使用它，在一个重要的方式，以约束的豪斯多夫维数的奇异集面积极小化整流电流的尺寸$n$和余维$\geq 2$。第二作者最近的工作表明，$n$维域上的二值$C^{1, μ}$调和函数是Dirichlet能量的典型非极小化驻点，在研究$n$维稳定余维1可整流电流的重2分支点中起着重要作用.在所有这些情况下（多值调和函数和最小电流），它是已知的分支集的豪斯多夫维数$\leq n-2.$在本文中，我们开始研究的局部结构的分支集。证明了二值Dirichlet能量极小化函数或二值$C^{1, μ}$调和函数在其定义域的每个闭球上的分支集要么为空，要么具有正的$(n-2)$ -维Hausdorff测度，并且等于有限个局部紧的局部$(n-2)$ -可求长集的并.我们的方法受到L.西蒙关于紧的重数为1的类中的极小子流形的奇点的结构。
2013-11-04 math.AP math.DG
Optimal regularity of stable harmonic maps to spheres
Cornell University（康奈尔大学）
本文研究到球面的稳定调和映射的正则性，确定其奇异集余维数的下界，证明结果最优，并给出n小于k时n维到k维球面非常数调和映射的非平凡指标界。
2026-08-28 math.AP math.DG
The regularity of harmonic maps into spheres and applications to Bernstein problems
我们证明了正则性，并推导出先验估计的（弱）调和映射从黎曼流形到欧氏球面的假设下，图像避免了一些邻居的半赤道。证明结合了严格凸函数的构造和拟线性椭圆方程组的正则性理论。将这些结果应用于极小超曲面的球面和欧氏Bernstein问题，得到了球面中的紧致极小超曲面或欧几里得空间中的完备极小超曲面平凡的新条件.
2009-12-02 math.AP math.DG
Quaternionic spherical harmonics and a sharp multiplier theorem on quaternionic spheres
对四元数球面上的一个特殊次拉普拉斯算子，证明了一个精确的Mihlin-Hörmander型$L^p$谱乘子定理.这是第一个这样的结果紧分黎曼流形的水平空间corank大于一。证明铰链上的四元数球谐分解的分析，其中我们提出了一个初等推导。
2019-04-16 math.AP math.FA
Low energy $\varepsilon$-harmonic maps into the round sphere
School of Mathematics, University of Leeds（利兹大学数学学院）
研究低能ε-调和映射从正曲率曲面到圆球的分类，发现所有度数为±1的映射均接近气泡配置，气泡半径与ε^{1/4}成正比。
2026-04-16 math.AP math.DG
A gap theorem for $α$-harmonic maps between two-spheres
本文考虑由Sacks-Uhlenbeck引入的从$S^2$到$S^2$的映射的调和能量的近似。我们继续了[6]中关于能量一致有界的$α$ -调和映射极限的分析。利用文献[7]中的一个能量恒等式，我们得到了次数为$-1, 0$或$1$的$α$ -调和映射的一个最优间隙定理.
2020-12-07 math.AP math.DG
Existence of weak solutions for two-phase matrix-valued harmonic map flows
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学科学学院）
研究两相矩阵值调和映射流弱解存在性，基于改进最小化运动方案，离散时间并通过插补相关变分问题极小值构建近似解，此解寿命由规定界面决定，该系统是特定问题的极限方程。
2026-07-15 math.AP math.DG
Monotonicity for p-harmonic vector bundle-valued k-forms
通过研究$p$ -调和向量丛值$k$ -形式的能量动量张量，研究了这种形式的单调性。由此得到了$p$ -调和映射和Yang-Mills联络的单调性公式的统一证明，并在此过程中证明了$p$ -Yang-Mills联络的单调性公式.此外，它示出了如何这种技术可以适应产生一个类似的单调性公式杨米尔斯希格斯对。最后，我们得到了这类形式的Liouville型定理和Yang-Mills-Higgs对作为应用。
2015-06-10 math-ph math.AP math.DG
Three-spheres theorem for harmonic functions (non-concentric case)
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia（亚美尼亚国家科学院数学研究所）
研究非同心球体中调和函数的三次球定理，通过倒置技术扩展到相关非同心非接触球体，并应用于小量传播和调和函数的唯一性。
2026-04-03 math.AP math.CV
Stable blowup for the harmonic map heat flow into perturbed spheres
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
该研究针对3至6维、靶流形为单位球面微小扰动的调和映射热流，构造了稳定自相似爆破解并证明其渐近非线性稳定性，采用类似波映射方程相关问题的摄动方法完成论证。
2026-08-05 math.AP math.FA
Global controllability to harmonic maps of the heat flow from a circle to a sphere
本文研究从圆周到球面的调和映射热流的全局能控性与镇定问题，结合控制理论与微分几何等方法，证明了小时间局部能控性及同伦类内的全局能控性等重要性质。
2024-02-14 math.AP math.OC
Dualities in Comparison Theorems and Bundle-Valued Generalized Harmonic Forms on Noncompact Manifolds
观察并利用微分方程和微分不等式中的对偶性，微分方程中比较定理之间的对偶性，得到微分方程中“交换”比较定理的对偶性.这些对偶产生比较定理的微分方程的混合类型I和II，并导致比较定理在黎曼几何与分析，几何，P.D.E.和物理应用。特别地，我们在不同的径向里奇曲率或径向曲率假设下证明了Hessian比较定理和Laplacian比较定理，推广和推广了Han-Li-Ren-Wei和Wei的工作.我们还将函数或微分形式增长的概念扩展到各种类型的单值微分形式增长，并讨论了它们之间的相互关系。这些提供了工具，在扩展的概念，可积性和分解的广义调和形式的那些值的广义调和形式，引进条件W的值微分形式，并证明对偶定理和统一定理，推广的工作Andreotti和Vesentini，魏。然后应用Hessian和Laplacian比较定理得到了中曲率的比较定理、广义尖锐Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式、加权索伯列夫空间的嵌入定理、几何微分积分不等式、黎曼流形上的广义尖锐Hardy型不等式、向量丛上值的$k$次微分形式的单调性公式和消灭定理，如$F$ -Yang Mills场（当$F$是恒等映射时，它们是Yang-Mills场），流形上的广义Yang-Mills-Born-Infeld场，$F$ -调和映射的Liouville型定理，向量丛值微分$F$-形式和$F$ -调和映射在星形域上的…
2021-04-11 math.AP math.DG
On the size of the singular set of minimizing harmonic maps into the 2-sphere in dimension four and higher
我们将我们最近的预印本[arXiv：1811.00515]的结果扩展到更高的维度$n \geq 4$。对于从$n$维域到二维球面的极小调和映射$u\in W^{1,2}(Ω,\mathbb{S}^2)$，我们证明了：（1）Almgren和Lieb线性定律的推广，即\[\mathcal{H}^{n-3}(\textrm{sing} u) \le C \int_{\partial Ω} |\nabla_T u|^{n-1} \,d\mathcal{H}^{n-1};\];（2）Hardt和Lin稳定性定理的推广，即奇异集的大小在边界的$W^{1,n-1}$范数的小扰动下是稳定的.
2019-02-08 math.AP math.DG
Sphere Constraints and Harmonic Map Flow: Controllability and Reachability by Low-Mode Forcing
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）；Institut Teknologi Sepuluh Nopember（十月中理工学院）；Montanuniversität Leoben（莱奥本矿业大学）
研究退化强迫下球面约束演化方程的可控性与可达性，以调和映射热流为例。通过利用几何结构转化为控制仿射系统，分析李代数，证明迭代李括号可产生新方向，为控制流形值演化方程提供李代数框架。
2026-07-29 math.AP math.OC
Spherical harmonics and point configurations on the sphere
California State University, Northridge（北岭加州州立大学）
该研究构造了极点为间距合适的点构型的二维单位球面上的球谐函数，发现当极点构型均匀分布时球谐序列呈现量子遍历性，上确界范数受极点聚类程度定量控制。
2026-09-01 math-ph math.AP math.CA
Low-energy $α$-harmonic maps into the round sphere
本文对常曲率闭非球面黎曼曲面到圆球的低能 $α$-调和映射按气泡尺度和中心分类，证明在能量接近临界值时度为一的映射在显式函数的临界点以特定尺度产生气泡。
2024-02-06 math.AP math.DG
Low energy levels of harmonic maps into analytic manifolds
本文研究从球面到闭黎曼流形$N$的调和映射的能量谱$Ξ_E(N)$.虽然一个众所周知的猜想断言，只要$N$是解析的，$Ξ_E(N)$就是离散的，但对于大多数解析目标，只知道能量谱的任何潜在的聚集点必须由至少两个谐波球的能量之和给出。因此可能潜在地是$Ξ_E$的累积点的最低能级因此是$2 E_{min}$。在本文中，我们排除了这种可能性的一般3流形，并证明了额外的结果，建立障碍的调和球和Lojasiewicz估计几乎调和映射的粘合。
2023-03-01 math.AP math.DG
Controlled harmonic map heat flow and blow-up from the disk to the sphere
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文研究圆盘到球面的单余旋调和映射热流，提出适应控制的粘合策略以阻止爆破，并证明边界控制可驱动爆破或阻止无限时间浓度。
2026-09-10 math.AP math.OC
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
2011-06-10 math-ph math.AP math.MP
Rigidity in the Ginzburg--Landau approximation of harmonic spheres
该研究针对调和球面的Ginzburg--Landau逼近问题，证明并非所有球面间调和映射都可作为Ginzburg--Landau临界点极限，一次可逼近调和映射仅为旋转，并通过刚性定理给出小参数下低能临界点的具体形式。
2025-09-02 math.AP math.DG
Coercivity and Gamma-convergence of the $p$-energy of sphere-valued Sobolev maps
研究球面值 Sobolev 映射在 $p\uparrow n$ 时的 $p$-能量，证明 Jacobi 矩阵收敛于积分 $m$-流且能量 Gamma-收敛为其质量，并推出极小映射与给定奇异性情形的新结果。
2025-03-18 math.AP math.DG math.FA
