Optimal regularity of stable harmonic maps to spheres
Cornell University（康奈尔大学）
本文研究到球面的稳定调和映射的正则性，确定其奇异集余维数的下界，证明结果最优，并给出n小于k时n维到k维球面非常数调和映射的非平凡指标界。
2026-08-28 math.AP math.DG
The non-parametric problem of Plateau in arbitrary codimension
本文研究了在任意维数和余维数下求具有给定边界数据的最小图的问题。存在性，唯一性，稳定性和正则性。我们首先介绍了著名的结果余维1：Jenkins-Serrin的存在性定理，凸性的唯一性和稳定性的区域和De Giorgi的正则性定理。在高余维下，我们首先讨论Lawson和Osserman的反例.然后我们介绍了王慕涛的最新结果：我们使用中曲率流来证明小边界数据的存在性，并证明了一个新的Bernstein定理（也是由于王慕涛），它对每一个面积减少的最小图都成立。最后，我们从Bernstein定理推出面积减少的极小图总是光滑的。
2004-11-26 math.AP math.DG
Spherical Bernstein theorems for codimension 1 and 2
Solomon（On the Gauss map of an area-minimizing hypersurface. 1984. Journal of Differential Geometry，19（1），221-232.）指出球面$S^{k+1}$的紧致极小超曲面$M^k$在$S^{k+1}$中是全测地的，其中$H^1(M)=0$的高斯映射省略了$S^{k-1}$赤道的邻域。我们发展了一种新的证明策略，它也可以得到$S^{k+1}$的余维2紧极小子流形的类似结果。
2020-01-05 math.DG
Regularity of optimal transport maps on multiple products of spheres
本文讨论了黎曼流形上的最优输运映射的正则性，该流形是任意多个具有任意大小和尺寸的圆球的乘积。已知这样的流形是非负交叉弯曲的[KM 2]。在转移的源和目标密度的有界性和非零性假设下，证明了最优映射远离割轨迹（代价表现为奇异性），并得到了最优映射的内射性和连续性.这与Liu，Trudinger和Wang [LTW]的结果一起也意味着对于更光滑的（C^α/C ^\infty）密度，最优映射具有更高的正则性（C^{1，α}/C ^\infty）.这是第一个全球性的正则性结果，我们知道有关最佳映射的非平坦黎曼流形具有一些消失的截面曲率。此外，这种乘积流形在统计学（见[S]）和统计力学（其中由许多自旋组成的系统的状态经典地由通过取许多球面乘积获得的相空间中的一个点来建模）中具有潜在的相关性。对于证明，我们应用并扩展了[FKM 1]中开发的方法，其中我们证明了R^n中区域上的最优映射对于光滑非负交叉曲线成本的内射性和连续性。本文的主要困难是处理非平凡割轨迹和平坦方向的存在性。
2010-06-10 math.AP math.DG
Existence and Regularity of Spheres Minimising the Canham-Helfrich Energy
证明了$2$ -球面的弱浸入类（可能是分支的和冒泡的）中的Canham-Helfrich能量极小元的存在性和正则性.这解决了Helfrich在1973年提出的最小化问题（球形情况），模拟脂质双层膜。在证明主要结果的过程中，我们建立了弱浸入（可能是分支的和泡状的）在弱收敛下的Canham-Helfrich能量的下半连续性.
2020-02-10 math.AP math.DG math.OC
Regularity of minimizing $p$-harmonic maps into spheres and sharp Kato inequality
该研究针对取值于3维球面的3维单位球上的极小$p$-调和映射，结合经典方法与新工具拓展了已知正则性的$p$值区间，还证明了二维区域下的精确Kato不等式。
2024-03-08 math.AP math.DG
Uniqueness of Hypersurfaces of Constant Higher Order Mean Curvature in Hyperbolic Space
本文研究了双曲空间中极球面与等距球面的唯一性，将 Bernstein 定理推广至常高阶平均曲率的嵌入超曲面，证明了浸入超曲面的 Bernstein 型结果，并确立了极球面与等距球面的刚性。
2020-08-25 math.DG
Towards the smoothness of optimal maps on Riemannian submersions and Riemannian products (of round spheres in particular)
Ma，Trudinger和Wang关于最优运输映射正则性的关键条件A3 w由运输成本引起的伪黎曼曲率（我们称之为交叉曲率）的非负性所隐含。对于黎曼距离平方代价，证明了：（1）两个流形的乘积保持交叉曲率非负性;（2）A3 w和交叉曲率非负性都被黎曼浸入所继承;（3）$n$维球面满足交叉曲率非负性.从这些结果，一个大的新类的黎曼流形满足交叉曲率非负（因此A3 w），包括许多其截面曲率是远离常数。所有已知的障碍的规律性的最佳地图是缺席这些流形，使他们成为一类，这是很自然的猜想，规律性举行。在复射影空间CP^n上证明了这一猜想.
2008-06-02 math.AP math.DG
Tensor tomography on negatively curved manifolds of low regularity
本文研究了低正则性负曲率流形上的张量层析成像问题，证明了 $C^{1,1}$ 度量简单 Riemannian 流形上测地 X 射线变换的螺线管式内射性，核心方法是利用非光滑单位球丛上输运方程的 Pestov 能量估计并对光滑证明方法进行实质性修改。
2024-02-14 math.AP math.DG
Equivariant min-max theory and the spherical Bernstein problem in $\mathbb{S}^4$
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Fudan University（复旦大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文通过等变极小最大理论，在四维球面中构造了非赤道极小超球面，解决了Chern的球形伯恩斯坦问题，并展示了相关问题的解的正则性。
2026-08-12 math.DG
Minimal hypertori in the four-dimensional sphere
本文证明四维标准球面中存在极小嵌入超环面及无穷多个互不等距的浸入超环面，并由此给出四维和六维陈省身球面 Bernstein 猜想的自足解。
2023-09-25 math.DG
Regularity of minimal surfaces near quadratic cones
Hardt-Simon证明了每一个只有孤立奇点的面积最小超锥$\mathbf{C}$都通过光滑的、面积最小的超曲面渐近于$\mathbf{C}$而适合于$\mathbb{R}^{n+1}$的一个叶理。在本文中，我们证明了，如果一个固定的$n$ -varifold $M$在单位球$B_1 \subset \mathbb{R}^{n+1}$在于充分接近一个最小化的二次锥（例如，西蒙斯锥$\mathbf{C}^{3,3}$），那么$\mathrm{spt} M \cap B_{1/2}$是一个$C^{1,α}$扰动的锥本身，或一些叶其相关的叶理。特别是，我们表明，这些锥上的奇点模型确定的局部结构不仅$M$，但任何附近的极小曲面。我们的结果也意味着Bernstein型的结果Simon-Solomon，它的特点是面积最小化的超曲面渐近的二次锥的锥本身，或一些叶。
2019-10-01 math.AP math.DG
A geometric proof of regularity of all anisotropic minimal surfaces in $\mathbb{R}^{2}$
一个局部有限周长$E \subset \mathbb{R}^{n}$的集合称为开集$A$中的各向异性极小曲面，如果对于某个表面能$Φ(E;A) = \int_{\partial^{*}E \cap A} \| ν_{E}\| d \mathcal{H}^{n-1}$和所有局部有限周长$F$的集合都满足$Φ(E;A) \le Φ(F;A)$，使得$E ΔF \subset \subset A$ .在这个简短的说明中，我们提供了一个几何证明的细节，验证所有各向异性表面极小的$\mathbb{R}^{2}$，其相应的被积函数$\| \cdot \|$是严格凸的局部不相交的工会的线段。这表明，在平面上，$\| \cdot \|$的严格凸性是正则性的充分必要条件.证明了相应的Bernstein定理：全局各向异性极小元$E \subset \mathbb{R}^{2}$是半空间.
2020-07-25 math.AP math.DG math.OC
Regularity properties of spheres in homogeneous groups
研究了存在单参数位似自同构族的李群上的左不变距离。主要的例子是卡诺群，特别是具有标准膨胀的海森堡群。我们感兴趣的标准意味着，当地和远离对角线，距离是欧几里得Lipschitz，因此，度量领域的边界Lipschitz域在欧几里得意义上。在本文的第一部分，我们考虑测地距离。在这种情况下，我们实际上证明了距离的正则性，在更一般的情况下，子芬斯勒流形没有异常测地线。其次，对于一般群，我们用扩张自同构给出了一个代数判据，例如，它使我们得出了Heisenberg群上齐次距离的正则性，在这样的群中，我们更详细地分析了度量球的几何。我们还提供了齐次群的例子，球提出尖点。
2015-09-13 math.DG math.GR math.MG
Improved $C^{1,1}$ regularity for multiple membranes problem
本文证明了多重膜问题平稳 $C^{1,α}$ 解的 $C^{1,1}$ 正则性，该估计为作者近期关于 Yau 四极小球猜想的工作提供了关键工具。
2024-06-17 math.AP math.DG
Regularity theorems for Lipschitz viscosity solutions to the minimal surface system
University of Notre Dame（圣母大学）
该研究针对极小曲面方程组的Lipschitz粘性解，通过解耦引理等证明了内部解析性、部分正则性等多个正则性定理，拓展了粘性方法在极小图正则性研究中的应用。
2026-10-14 math.AP math.DG
Uniform small energy regularity for fractional geometric problems
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）
本文证明了分数阶几何问题中关于抛物边界反应Ginzburg-Landau问题的小能量正则性，以及分数谐映射到球面的小能量正则性结果，并在s趋近于1时保持均匀性。
2026-05-07 math.AP math.DG
Higher Regularity of Weak Limits of Willmore Immersions II
我们在任意余维上得到了Willmore曲面实现Willmore极大极小问题在球面上的宽度的奇异性阶上的可移除性结果。因此，在全曲率大于$-12π$的$\mathbb{R}^3$中的12个非平面极小曲面族中，只有3个可能出现在Willmore最小-最大问题中作为气泡的共形图像。
2019-04-22 math.AP math.DG
Optimal regularity for minimizers of the prescribed mean curvature functional over isotopies
本文证明了同痕类上预定平均曲率泛函极小子的最佳 $C^{1,1}$ 正则性，并在标准三维球面中针对特定 $L^{\infty}$ 范数条件下的预定函数找到了具有预定平均曲率的嵌入球面。
2025-03-05 math.DG
A boundary partial regularity and a regularity criterion for New Harmonic Heat flows
在K. Horihata，我们提出了一个Ginzburg-Landau系统与时间相关的参数，然后通过极限，我们已经构建了一个谐波热流到球。由于这个计划，我们建立了几个能量不等式的流：（i）单调不等式和（ii）在任何边界点的反向Poincare不等式。这些不等式（i）和（ii）导出了纯流在非连续点集上的较小的估计，与以前的结果相反。我们称之为Y。Chen和Y. Chen，J. Li，F. H.是林书其次，我们引入了两个关于整个区域正则性的充分条件，一个是边界能量小，另一个是S. Hildebrandt和K. O.威德曼
2015-07-31 math.AP math.DG
Liouville theorem for immersed minimal surfaces in any codimension
MIT（麻省理工学院）
研究了浸入最小盘在余维数任意情况下的李维定理，证明了谐函数的负部分以亚线性速率增长时为常数，从而得出更高余维数的伯恩斯坦定理，并通过猫眼曲面、螺旋面和恩内珀族曲面证明结果最优，同时展示了谐函数的均匀霍尔德正则性。
2026-06-25 math.AP math.DG
Regularity Theorems and Energy Identities for Dirac-Harmonic Maps
研究了一组新的耦合场方程，该方程是由量子场论的非线性超对称σ模型激发的。这些方程将一个映射耦合到一个黎曼流形中，该流形由一个类似调和映射的作用量控制，该作用量具有一个沿该映射的旋量场。研究了从黎曼曲面到球面的Dirac-调和映射的解$§^n$。我们证明了弱狄拉克调和映射实际上是光滑的，并证明了在爆破过程中能量恒等式成立。
2004-11-15 math.AP math.DG
Curvature estimates for minimal hypersurfaces via generalized longitude function
在球面的某些特定凸支撑集上，我们找到了一个广义经度函数，其水平集是全测地的。给定球面上的任意（弱）调和映射，广义经度函数与调和映射的合成满足一个发散型椭圆型方程。借助于相应的Harnack不等式，建立了图像的收缩性质，并得到了图像的正则性结果。应用这些结果研究了欧几里得空间中极小超曲面的Gauss象，得到了曲率估计和相应的Bernstein定理.
2013-07-08 math.DG
Fractional $Q$-curvature on the sphere and optimal partitions
本文通过变分方法，利用对称性和新的Hölder正则性结果，证明了球面上与分数阶Q-曲率相关的最优划分的存在性，并建立了非局部竞争系统无穷多个解的存在性及其渐近行为。
2025-04-23 math.AP math.DG
On Hölder regularity of the singular set of energy minimizing harmonic maps into closed manifolds
已知流形之间的能量极小调和映射在余维$3$的可求长集（称为奇异集）之外是光滑的。这个集合不是流形，但其中有任意多个小间隙的可能性一般不被排除。在这里，我们证明了奇异集的某些部分-其特征在于拓扑和分析性质的切映射-是一个拓扑流形。在球面${\mathbb S}^2$上的映射的特殊情况下，我们得出奇异集的整个顶维部分是一个流形-这推广了Hardt和Lin在二维域上的一个类似结果。
2018-06-22 math.AP math.DG
Elastic bilayer membranes under confinement -- Existence, regularity, and rigidity
该研究针对细胞生物学相关的约束弹性膜问题，证明了受限闭合曲面Helfrich能量极小化子的存在性，推导了带测度值拉格朗日乘子的欧拉-拉格朗日方程，得到解的最优正则性，并发现单位球约束下问题的刚性及极小化子为球面的参数范围。
2025-06-17 math.AP math.DG
Generic regularity of Level Set Flows with spherical singularity
本文研究了平均曲率流中球面奇点的通用动力学，证明了在水平集流表述下，具有球面奇点的到达时间函数通常至多具有$C^2$正则性。
2024-03-21 math.AP math.DG math.DS
Regularity of Cohomogeneity two equivariant isotopy minimization problems and minimal hypersurfaces with large first Betti number on spheres
该研究通过证明二重共性等价同调最小化问题的正则性，构造了具有大第一贝蒼衛数的球面上最小超曲面，并展示了其拓扑类型及收敛性质。
2025-12-13 math.DG
Achronal limits, Lorentzian spheres, and splitting
80年代初，T.丘提出了建立霍金-彭罗斯奇点定理刚性的问题。解决这个问题的方法涉及到引入洛伦兹Busemann函数和研究其水平集的几何-horospheres。洛伦兹情形下的正则性理论比黎曼情形下的正则性理论复杂得多，也不完全。在本文中，我们介绍了一个广泛的推广的概念，在洛伦兹几何的horosphere，并采取完全不同的（和高度几何）的方法来正则性。这些广义horospheres的定义在“非时限”，我们得到的改进的正则性是基于非时限边界的正则性。我们建立了一个分裂的结果广义horospheres，专门为'柯西horospheres'产生新的结果Bartnik分裂猜想，具体实现的问题所提出的丘。我们的方法也适用于具有正宇宙学常数的时空。我们得到了与[1，7]中结果相关的未来渐近de Sitter时空的刚性奇异性结果.
2013-10-20 gr-qc math.DG
Regularity of stable capillary minimal hypersurfaces
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Mathematisches Institut Universität Freiburg（弗赖堡大学数学研究所）
本文研究了半空间中具有接触角θ∈(0,π)和维度n≥2的稳定毛细极小超曲面的正则性和紧性理论，并由此得到嵌入的完整稳定毛细极小超曲面的广义伯恩斯坦定理。核心创新是通过精心选择适当的倾斜过剩函数，消除了稳定性不等式中出现的边界项，进而建立边界分层定理。
2026-08-19 math.DG
Integral-Einstein hypersurfaces in spheres
本文结合内蕴与外蕴几何推广爱因斯坦流形为积分-爱因斯坦子流形，建立高桥型定理刻画单位球面中常数量曲率极小超曲面，并导出积分不等式及球面伯恩斯坦定理。
2025-10-28 math.DG
