Number of Irreducible Polynomials and Pairs of Relatively Prime Polynomials in Several Variables over Finite Fields
讨论了有限域上多元给定次数的不可约多项式和给定次数的互素多项式对的计数结果。考虑了度的两个概念，{ \em全次数}和{ \em向量度}。我们证明了不可约数可以递归地按度计算，并且互素对的数目可以用不可约数来表示。我们还得到了不可约数和互素对数的渐近公式。不可约数的渐近公式推广和改进了Carlitz，Cohen和Bodin的一些结果.
2008-11-24 math.NT
Counting $r$-tuples of positive integers with $k$-wise relatively prime components
设$r\ge k\ge 2$为固定的正整数。设$\varrho_{r,k}$表示具有$k$式互素分量的正整数$r$元组集合的特征函数，即它们中的任何$k$都是互素的.利用卷积方法，通过初等变元建立了和$\sum_{n_1,\ldots,n_r\le x} \varrho_{r,k}(n_1,\ldots,n_r)$的渐近公式.我们的结果改进了J. Hu（2013）获得的误差项。
2016-04-08 math.NT
Digital images unveil geometric structures in pairs of relatively prime numbers
我们提出了一个变换，基于Bézout的身份，映射的集合的互素数$(p,q)$与固定的$p$和$0<q<p$，对互素数在$p\times p$广场在$\mathbb R^2$，在这样一种方式，有趣的二次弧出现。我们展示参数化的二次曲线，适合这样的二次弧，我们也证明代数随之而来的几何形状。
2019-07-02 math.NT
On numbers $n$ relatively prime to the $n$th term of a linear recurrence
设$(u_n)_{n \geq 0}$是整数的非退化线性递归，$\mathcal{A}$是正整数$n$的集合，使得$u_n$和$n$是互素.我们证明了$\mathcal{A}$有一个渐近密度，这个密度是积极的，除非$(u_n / n)_{n \geq 1}$是一个线性递归。
2017-04-04 math.NT
The Density of Tuples Restricted by Relatively r-Prime Conditions
为了考虑不一定要求戴德金整环中所有元素的j元组都是相对r素的j向相对r素性条件，我们定义了关于固定j一致超图H的j向相对r素性的概念.这使我们不仅对代数整数环，而且对环F_q[x]的自然密度的几个结果提供了进一步的推广。
2021-07-05 math.NT
Arithmetic progressions of integers that are relatively prime to their digital sums
The College of Idaho（爱达荷学院）；Cedar Crest College（雪松crest学院）；Bryn Mawr College（布林茅尔学院）；University of Michigan（密歇根大学）；Kutztown University of Pennsylvania（宾夕法尼亚库兹敦大学）
本文研究了$b$-反尼文数等差数列的最大长度，探讨了其在不同基底下的性质和特征。
2023-08-09 math.NT
Counting relatively prime pairs of palindromes
本文针对任意基数下固定奇数长度的回文数对，给出了互素回文数对数量的渐近公式，解决了 Banks 和 Shparlinski 提出的开放问题。
2024-03-15 math.NT
Relatively prime pairs in the Piatetski-Shapiro sequences
本文证明了任意大阶Piatetski-Shapiro序列中互素对数量的渐近公式，改进了先前阶数限制的结果，关键方法包括平均技巧和推广Deshouillers的分布结果。
2024-03-16 math.NT
Denominators in the Farey Sequence, the Stern Sequence, and the Frobenius Problem with Relatively Prime Multipliers
该研究针对带系数互素限制的弗罗贝尼乌斯开放问题，证明此类问题仍存在无法表示的最大整数，并探究其与斯特恩序列等的关联及相关性质。
2026-10-14 math.NT
A remark on relatively prime sets
Nathanson定义了四个计算具有特殊性质的$\{1, 2, ..., n\}$的子集数的函数，并被许多作者推广。他们推导出所有四个函数的显式公式。在本文中，我们指出，我们只需要计算其中之一，因为其他人将遵循的结果。此外，我们的方法是简单的，导致更一般的结果比文献中的。
2013-06-11 math.NT
Uniform upper bounds of the distribution of relatively r-prime lattice points
我们估计了相对$r$ -素格点在数域$K$中的分布，其分量的范数小于$x$。在前一篇文章中，我们得到了一致的上界作为$K$贯穿所有数域假设Lindelöf假设。同时我们也给出了度小于或等于$6$的阿贝尔扩张的无条件结果。本文去掉了关于数域的所有假设，改进了一致上界。在本文中，我们考虑整数$\mathcal{O}_K$环的理想分布的估计，并获得一致的上界。当$K$在三次扩域上运行时，我们得到了比Lindel假设下更好的一致上界.
2017-09-01 math.NT
The probability that random positive integers are k-wise relatively prime
一个正整数的s-元组是k向互素的，如果它们中的任何k是互素的。得到了s个正整数是k-互互素的概率的精确公式。
2012-08-07 math.CO math.NT math.PR
Norm forms represent few integers but relatively many primes
范数形式，其例子包括$x^2 + y^2$、$x^2 + x y - 57 y^2$和$x^3 + 2 y^3 + 4 z^3 - 6 x y z$，是由数域上的范数产生的整数形式。证明了由范数形式表示的整数集合的自然密度为零，而由范数形式表示的素数集合的相对自然密度存在且为正.这些结果需要类域理论的工具，包括Artin-Chebotarev密度定理和Hilbert类域。我们介绍这些工具，因为我们需要他们在过程中的主要论点。这篇文章是暂时的性质，并假定只有第一当然代数数论。
2019-09-19 math.NT
Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums
对于正整数的非空有限集$A$，设$\gcd\left(A\right)$表示$A$中元素的最大公约数。令$f\left(n\right)$和$Φ\left(n\right)$分别表示使得$\gcd\left(A\right) = 1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目和使得$\gcd\left(A\cup\left\{n\right\}\right) =1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目。令$D\left(n\right)$是$f\left(n\right)$的除数和。本文得到了$f\left(n\right)$，$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的部分和.我们还得到了$D\left(n\right)$的组合解释和同余性质。在本文的最后，我们给出了有关$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的开放性问题。
2013-06-20 math.NT
Boundary slopes for the Markov ordering on relatively prime pairs
在McShane的基础上，我们利用模环上同调的稳定范数研究了由互素整数对$(q,p)$和$q\ge p\ge0$构成的集上的Markov序.我们的主要定理是一个斜坡上的马尔可夫顺序是单调的$q$，确认李李Rabideau-Schiffler，完善Aigner的代数的特征。主要的工具是一个明确的计算的斜率在角落的稳定规范球的模块化环面。
2021-08-09 math.GT math.NT
On some properties of the function of the number of relatively prime subsets of $\{1, 2, ..., n\}$
在本文中，我们解决了几个问题提出的Prapanpong Pongsriiam。令$f(n)$表示$\{1, 2, 3, \dots, n\}$的互素子集的数目，并且$g(n)$表示$\{1, 2, 3, \dots, n\}$的子集$A$的数目，使得gcd $(A)>1$和gcd $(A, n+1)=1$。我们表明，$f_n^2-f_{n-k}f_{n+k}>0$为$n\geq k+1\quad (k\geq2)$。我们还显示了大$n$的$\frac{g(6n-2)}{g(6n-4)}>\frac{g(6n)}{g(6n-2)}>\frac{g(6n+2)}{g(6n)}<\frac{g(6n+4)}{g(6n+2)}$。
2019-10-06 math.CO math.NT
Principality of prime ideals of algebraic number fields
讨论了由不可约多项式$f(x)\in \mathfrak{O}_{K}[x]$和$f(θ)=0$定义的代数数域$K ([K:\mathbb{Q}]<\infty)$上的有限代数数域$L=K(θ)$的素理想的主性.我们的主要定理是：如果主素理想$(π)\subset \mathfrak{O}_{K}$与导体$\mathfrak{F} =\{α\in \mathfrak{O}_{L}|$是$\mathfrak{O}_{L}\subset \mathfrak{O}_{K}[θ]\}$的主理想$(α)$互素，并且在$L$：$(π)\mathfrak{O}_{L}=\prod \mathfrak{p}_{i}$上完全分裂，则对于所有的$i$，$\mathfrak{p}_{i}$是$\mathfrak{O}_{L}$的主理想，其中$\mathfrak{O}_{L}= L \cap \overline{\mathbb{Z}}$是$L$的整数环.利用超椭圆曲线$y^{l}=f(x)$的非奇异射影曲线模型的Jacobian簇证明了主要定理，其中$l$是一个与$f(x)$和$(π)$的次数互质的足够大的素数.
2021-03-26 math.NT
The relative Schinzel hypothesis
Schinzel猜想是关于整数上的单变量不可约多项式的一个猜想：在某种标准条件下，它们应该假设整数上有无穷多个素数。我们考虑一个相对的版本：如果多项式是互素的，没有素数将它们的所有值整除为整数，那么它们至少在一个整数处假设互素值。我们将这个问题推广到所有的整环，并证明了其中的一些：PID，UFD包含一个无限域，多项式环上的UFD。应用程序包括一个新的“积分”版本的希尔伯特不可约定理，其中不可约的结论是在环。
2020-02-12 math.NT
Dirichlet's theorem and Jacobsthal's function
如果$a$和$d$是互素，我们把全等于$a$ mod $d$的整数集合称为“合格”等差数列。狄利克雷的一个定理说，每一个合格的等差数列包含无穷多个素数;该定理从断言，每一个合格的等差数列包含至少一个素数。Jacobsthal函数$g(n)$被定义为最小正整数，使得$g(n)$连续整数的每个序列包含与$n$互素的整数。在本文中，我们通过一个组合的论点，每一个合格的算术级数与$d\le76$包含至少一个素数，我们表明，某些合理的界限上的Jacobsthal函数的素数将意味着，每一个合格的等差数列包含至少一个素数。也就是说，Jacobsthal函数的某些合理的界限将导致狄利克雷定理的初等证明。
2017-08-17 math.NT
Conjectures about Primes and Cyclic Numbers
本文定义了循环数，回顾并提出了素数与循环数的类比猜想，利用小于$10^8$的循环数进行测试，推翻了Hardy和Littlewood素数第二猜想的循环类比。
2025-08-10 math.NT
Bounded gaps and perfect power gaps in sequences of consecutive primes
本文研究连续素数间隙中是否存在较大间隙或完美幂间隙，并探讨相关数学问题。
2026-02-07 math.NT
Predicting the size ranking of minimal primes in the generalised Goldbach partitions
本文研究广义哥德巴赫划分中最小素数大小的排序，提出仅依赖m2和m1素因子的预测函数，与实验数据高度相关，并给出数值结果。
2025-10-23 math.NT
Infinitude of palindromic almost-prime numbers
本文证明了在任意基数下，存在无穷多个至多含六个较大素因子的回文数，通过等分布估计和矩上界实现。
2024-07-23 math.NT
Malle's Conjecture for $S_n\times A$ for $n = 3,4,5$
基于Malle猜想的证明结果和良好的一致性估计，我们提出了一个证明Malle猜想的框架。利用这种方法，我们可以证明Malle关于任意数域$k$上的$S_n\times A$的猜想：对于$n=3$和$A$，是一个阶数为2的互质阿贝尔群;对于$n= 4$和$A$，是一个阶数为6的互质阿贝尔群;对于$n=5$和$A$，是一个阶数为30的互质阿贝尔群.因此，我们证明了Malle猜想在$S_9$表示中对$C_3\wr C_2$成立，而它的$S_6$表示是Klüners给出的Malle猜想的第一个反例.
2017-10-17 math.NT
Partitioning the Primes and Efficient Non-trivial Factor Generation using the Least Odd Partition Identity in Conjunction with Dirichlet Linear Progressions and the Reduced Residue System Modulo 18
在这项工作中，我们介绍了数字常数，LOPI，N LOPI是全等LOPI模18，等于最低奇分区单位连同减少剩余系统模18，一个完整的不相交覆盖剩余系统时，考虑在其整个剩余集从0到17。通过对每个LOPI超集的特定LOPI Dirichlet线性级数的卷积，顺序地且唯一地生成6个模18约化剩余同余类的非素元.通过对每个LOPI同余类中的所有合数进行基于序贯因子生成模式的集合生成和完全合数子集生成，多重性成为定义素性度的可能工具。我们证明了一个整数的数字的最低和，偶数或奇数，是一个常数不受限制的分区身份包含每个自然数，并等于模18中的剩余之一。我们把这个常数称为最低奇或偶划分恒等式或LOPI或LEPI。当整数被视为核心LOPI-LEPI值的分区时，无限自然数表示Mod 18的余数，每次向无穷大扩展18个连续循环。LOPI mod 18是一个因子生成系统，它演示了为什么素数不是通过将特定的狄利克雷线性级数卷积到LOPI非素数子集矩阵中生成的，揭示了素数的模式实际上是六个循环模式。在查询这类3，4特殊非素矩阵的重数时，我们提出了基于重数的素数和非素数的另一种定义，其中0是素数，1是次素数，依此类推，并给出了一个Ox，Ox ~ 3有效的确定性算法，描述了因子生成和素性检验的过程.
2019-12-09 cs.CR math.NT
Generating Bézout trees for Pythagorean pairs
整数的互素对可以表示为三路分支树中的节点。我们构造了Bézout系数的树，这些系数对应于上述树中的互素对。作为一个应用，我们比较了这些树中的Bézout系数与Matlab中gcd函数返回的系数。作为另一个应用，我们使用这些树来减少创建计算机生成的双曲线墙纸设计所需的计算时间。
2018-03-13 math.NT
A Congruence for Sums of Integer Powers Modulo Products of Distinct Primes
本文证明了在特定条件下，不同素数乘积模下的整数幂和满足一种同余关系。
2025-10-12 math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
Counting $k$-tuples of positive integers such that the values of several polynomials of $k$ variables are relatively prime
本文针对满足一般性质的多项式系统，建立了关于其最大公因数函数的有界强乘性函数和的渐近公式，并由此推导出$k$元组互素密度的Ekedahl-Poonen公式的误差项版本。
2026-09-24 math.NT
Prime Labeling of Ladders
一个具有$n$顶点的图的素标号是用与$\{1, 2,\ldots , n\}$不同的整数对它的顶点进行标号，使得任意两个邻顶点的标号是互素的。T. Varkey证明了梯形图有一个素数标号。我们证明了这个猜想。
2019-02-05 math.CO math.NT
On the Lehmer's problem involving Euler's totient function
欧拉函数$ φ(n) $对与$ n $互质的正整数进行计数，直到给定整数$ n$。我们解决了一个问题，由于Lehmer，没有合数$ n $，使$ φ(n)\mid n-1 $。我们还注意到，有无穷多个素数不是苏菲·热尔曼素数。
2019-07-01 math.NT
Large Zsigmondy Primes
该数论研究明确了互素正整数对$(a,b)$与正整数$n$对应的大Zsigmondy素数的定义，完成了所有不存在大Zsigmondy素数的整数三元组$(a,b,n)$的分类工作。
2023-10-03 math.NT
Simple proof of the integrality of the Somos-5 sequence
本文给出了Somos-5序列只能产生自然数的一个简单证明。我们也给出了简单的证明，每个$a_n$的Somos-5序列是互素，它的四个前辈。完整性证明的方式取自Janice在1992年对Somos-4序列完整性的证明。L.马卢夫证明每一个$a_n$都与它的四个前序素数的方法取自Michael J. Crabb的一篇论文，他证明了Somos-5序列中的每一个$a_n$都与它的两个前序互素。
2021-05-07 math.AC math.NT
Pairwise Relative Primality of Positive Integers
给定一个图$G=(V,E)$与$V=\{1,2,...,k\}$，$k$正整数$a_1,a_2, ...,a_k$是$G$ -式互质的，如果$(a_i, a_j)=1$对于$\{i,j\} \in E$ .本文考虑了求k个正整数是$G$ -式互质的概率$A_G$的问题.作为结果的应用，我们解决了P. Moree提出的k个正整数有（或至少）r个互素对的概率问题.
2014-06-12 math.CO math.NT math.PR
The natural density of some sets of square-free numbers
设$P$和$T$是$T$有限的不相交素数集.给出了能被$T$中所有素数整除而不能被$P$中任何素数整除的无平方数集合的自然密度的一个简单公式。如果$P$是与$r$模$m$全等的素数集合（其中$m$和$r$是互素），则这个自然密度被证明是$0$。
2021-02-09 math.NT
Closed-Form Formula for the Partition Function and Related Functions
本文为分拆函数及 Andrews 的 spt 函数推广提出了新的闭式算术与递归公式，利用容斥原理推导了非互质分拆函数公式，并通过分拆的最大公约数定理将分拆与素数联系，推导出互质函数公式及多个数论函数的新恒等式。
2024-01-08 math.CO math.NT
On the divisibility of odd perfect numbers, quasiperfect numbers and amicable numbers by a high power of a prime
我们将给出形式为$N=p_1^{α_1}\cdots p_s^{α_s} q_1^{β_1}\cdots q_t^{β_t}$且$β_1, \ldots, β_t$受给定常数约束的多完全数的最小素因子的一个显式上界。对于拟完全数和相反宇称的互素亲和对，我们也将给出类似的结果。
2021-09-07 math.NT
Primes in numerical semigroups
设0 < a < b是两个互素整数，<a，b>是由a和b生成的具有Frobenius数g（a，b）=ab-a-b的数值半群.本文证明了当乘积ab足够大时，在<a，b>中存在一个素数p，且p < g（a，b）.提出并讨论了两个相关的示意图。
2020-04-21 math.CO math.NT
Minimal Ramification in Nilpotent Extensions
设$G$是有限幂零群，$K$是挠率与$G$的阶互素的数域.利用一系列具有循环核的中心群扩张，得到了$K$的Galois扩张与$G$同构的最小素理想个数的上界.这锐化和扩展Geyer和Jarden和计划的结果。利用Schur乘子证明了Boston关于中心扩张族分歧素数的最少个数的猜想。
2010-07-22 math.NT
A p-adic identity for Wieferich primes
设$n$为正整数，$p$为奇素数，$a,b \not= 0$与$gcd(a,b)=1$，$p \nmid ab$，$p|(a^n \pm b^n)$为正整数，我们证明了$$ν_p(a^n \pm b^n)-ν_p(n)=ν_p(a^{p-1}-b^{p-1}).$$的恒等式。一个意想不到的有趣的直接结果是Wieferich的FLT准则的以下变体：设$x^n+y^n=z^n$与$n$素数和$x,y,z$两两相对素数。则每个奇素数$p|y$满足$ν_p(z^{p-1}-x^{p-1}) \ge n-1$，每个奇素数$p|x$满足$ν_p(z^{p-1}-y^{p-1}) \ge n-1$，每个奇素数$p|z$满足$ν_p(x^{p-1}-y^{p-1}) \ge n-1$，即.每一个除$xyz$的奇素数都是至少$n-1$阶的Wieferich素数。在$n \nmid xyz$的“第一种情况”下，Wieferich阶的下限可以改进为$n$。这给了我们很强的直觉，为什么即使对于中等大小的$n$也不应该有任何解决方案。
2021-12-08 math.NT
Smooth squarefree and square-full integers in arithmetic progressions
我们得到了模为素数$p$的剩余类中直到$x$的光滑无平方整数个数的新下界，与$x$相比，它相对较大，在$p$和$x$的某些范围内改进了A.和C. Pomerance（1992年）。我们还估计了最小的squarefull数在几乎所有的剩余类模一个素数$p$。
2019-03-08 math.NT
Wilson's theorem modulo higher prime powers II: Bernoulli numbers and polynomials
该研究将作者此前用费马商幂和超同余描述威尔逊定理与威尔逊商的成果，转化为幂和与伯努利数的同余式，给出更简洁的证明，还算出了模p⁴的威尔逊商等结果并可推广到更高素数幂。
2025-10-30 math.NT
Triquadratic p-Rational Fields
在他的工作约伽罗瓦表示，格林伯格obturtured存在，任何奇素数p和任何正整数t，一个多二次p-有理数域的程度2 t。本文证明了存在无穷多个素数p使得三次域Q（p（p + 2），p（p - 2），i）是p-有理数的.为了做到这一点，我们使用了一个分析结果，在第\S 4节中单独证明，为我们提供了无穷多个素数p，使得p + 2 et p - 2有“大"平方因子。因此，相关的虚二次域Q（i $\sqrt$ p + 2），Q（i $\sqrt$ p - 2）和Q（i（p + 2）（p - 2））对于无穷多个素数p都有“小"判别式.根据Brauer-Siegel估计的精神，证明了这些虚二次域的类数与p是互素素的，从而证明了它们的p-合理性.
2021-03-29 math.NT
An easy method for finding many very large prime numbers
翻译自拉丁原文“Facillima methodus pluimos numeros primos praemagnos inveniendi”（1778年）。Enestrom指数中的E718。如果m是一个4k+1形式的数，并且是两个互素平方的和，那么它是素数当且仅当它不是另外两个平方的和。在本文中，欧拉想推广这一准则。他观察232 aa +1何时代表一个素数。他使用他的“numeri idonei”（合适的数字，方便的数字，idoneal数字）。
2008-08-23 math.HO math.NT
An inverse problem in number theory and geometric group theory
本文描述了组合数论与几何之间的一种新的联系。主要结果是：A是互素正整数的有限集当且仅当A =（K-K）\cap N，其中K是紧实数集，使得对每个实数x，在K中存在y，x \equiv y mod 1.在一个方向上，给定一个互素正整数的有限集A，证明构造一个适当的紧集合K，使得A =（K-K）\cap N。另一方面，应用几何群论中一个基本定理的强形式，证明了当K满足适当的几何条件时，（K-K）\cap N是有限的互素正整数集.并讨论了一些相关结果和尚待解决的问题。
2009-06-01 math.MG math.NT
The distribution of powers of primes related to the Frobenius problem
本文推广了 Ding, Zhai 和 Zhao 的成果，证明了当参数趋于无穷时，满足特定 Frobenius 问题线性组合条件的素数幂分布的渐近公式。
2024-12-25 math.NT
The least modulus for which consecutive polynomial values are distinct
令$d\ge4$和$c\in(-d,d)$是互质整数。我们表明，对于任何足够大的整数$n$（特别是$n>24310$足以$4\le d\le 36$），最小的素数$p\equiv c\pmod d$与$p\ge(2dn-c)/(d-1)$是最小的正整数$m$与$2r(d)k(dk-c)\ (k=1,\ldots,n)$成对不同模$m$，其中$r(d)$是$d$的根。我们还猜想，对任意整数$n>4$，最小正整数$m$使得$|\{k(k-1)/2\ \mbox{mod}\ m:\ k=1,\ldots,n\}|= |\{k(k-1)/2\ \mbox{mod}\ m+2:\ k=1,\ldots,n\}|=n$是最小素数$p\ge 2n-1$，且$p+2$也是素数.
2015-10-22 math.NT
On $β$-adic expansions of powers of algebraic integer omitting a digit
East China Normal University（华东师范大学）；Jinan University（暨南大学）
本文研究了代数整数幂的β进制展开中排除特定数字的性质，证明了其数量随N的变化规律。
2025-12-04 math.NT
On the Sum of Dilations of a Set
我们证明了对于任何互素整数$1\leq p<q$和任何有限$A \subset \mathbb{Z}$，都有$$|p \cdot A + q \cdot A | \geq (p + q) |A| - (pq)^{(p+q-3)(p+q) + 1}.$$
2013-11-19 math.NT
Asymptotic estimates for phi functions for subsets of {m+1, m+2,...,n}
设f（m，n）表示{m+1，m+2，.，n}，并且令Phi（m，n）表示{m+1，m+2，.，n}，使得gcd（A）与n互互素。设f_k（m，n）和Phi_k（m，n）是限制在基数k的集合上的类似计数函数.简单的显式公式和渐近估计得到这四个功能。
2007-09-18 math.CO math.NT
On amicable tuples
对于一个整数$k\ge2$，如果等式\[ σ(M_1)=\cdots=σ(M_k)=M_1+\cdots+M_k \]成立，则$k$正整数$(M_i)_{i=1}^{k}$的元组称为友好$k$ -元组.这是一个广义的友好对。亲和对是一对不同的正整数，其中每一个都是另一个的真因子之和。Gmelin（1917）证明了不存在相对素亲和对，Artjuhov（1975）和Borho（1974）证明了对任何固定的正整数$K$，只有1/2个相对素亲和对$(M,N)$与$ω(MN)=K$。最近，Pollack（2015）获得了这种友好对的上界\[ MN<(2K)^{2^{K^2}} \]。本文将这个上界推广到\[ MN<\frac{π^2}{6}2^{4^K-2\cdot 2^K} \]，并推广到一般的亲和元组。
2017-11-18 math.NT
A Multivariable Chinese Remainder Theorem
使用秦九韶从13世纪的方法的改编，可以证明线性模方程组a（i，1）x（i）+. + a（i，n）x（n）= b（i）mod m（i），i=1，.，如果m（i）>1是成对的互素，并且在每一行中，至少一个矩阵元素a（i，j）与m（i）是互素，则n具有整数解。孙子剩余定理是A只有一列的特殊情况。
2012-06-22 math.HO math.NT
Note on the Radicals of Numbers
本文证明了对任意给定的s > 0，小于n且与n互素的phi（n）的根的几何平均值大于K（s）R（n）^（-s）n，其中K（s）是只依赖于s的绝对常数.
2006-08-01 math.NT
Some notes about power residues modulo prime
让$q$是一个素数。我们对奇素数$p\neq q$进行了分类，使得方程$x^2\equiv q\pmod{p}$有解，具体地说，我们找到了与$4q$互素的整数乘法群$\mathbb{U}_{4q}$的子群$\mathbb{L}_{4q}$（模$4q$），使得对于某些$p\equiv c\pmod{4q}$有解当且仅当.此外，$\mathbb{L}_{4q}$是$\mathbb{U}_{4q}$的唯一包含$-1$的半阶子群。考虑环$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$，对于任何奇素数$p$，已知方程$x^2\equiv 2\pmod{p}$有解当且仅当方程$x^2-2y^2=p$有整数解。我们问这是否可以扩展的背景下，$\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$与$n\geq 2$，即：对于任何总理$p\equiv 1\pmod{n}$，是真的$x^n\equiv 2\pmod{p}$有一个解决方案，如果方程$D^2_n(x_0,\ldots,x_{n-1})=p$有一个解决方案的整数？这里$D^2_n(\bar{x})$表示$\mathbb{Q}$的域扩展$\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})$的范数。我们解决了这个问题的一些弱版本，其中与$p$的等式被$0\pmod{p}$（可被$p$整除）取代，并且“规范”$D^r_n(\bar{x})$被认为是任何$r\…
2022-03-17 math.NT
