A maximal extension of the Bloom-Maynard bound for sets with no square differences
我们表明，如果$h\in\mathbb{Z}[x]$是一个多项式的次数$k$，使同余$h(x)\equiv0\pmod{q}$有一个解决方案，为每一个正整数$q$，然后任何子集的$\{1,2,\ldots,N\}$没有两个不同的元素与形式的差异$h(n)$，与$n$正整数，密度最多$(\log N)^{-c\log\log\log N}$，为一些常数$c$，只取决于$k$。这改进了文献中的最佳界限，由于赖斯，并推广了最近的结果布卢姆和梅纳德。
2023-03-06 math.NT
On square-free numbers generated from given sets of primes II
该研究延续此前工作，分析由指定素数集生成的不超过x的正无平方因子数计数函数Q_𝒫(x)的渐近行为，重点探究素数集满足Dirichlet特征χ(p)=1条件下的函数性质。
2023-08-27 math.NT
Hilbert cubes in progression-free sets and in the set of squares II
令$S_2$为整数平方的集合。证明了Hilbert立方体$a_0+\{0,a_1\}+...+ \{0, a_d\}\subset S_2$的维数$d$是由$d=O(\log \log N)$有界的
2012-07-05 math.CO math.NT
On square-free numbers generated from given sets of primes
本文研究由给定素数集生成的无平方因子数的计数问题，在素数集大小随参数单调增长且趋于无穷的条件下，分析不超过某实数的这类整数的数量估计。
2023-08-28 math.NT
Square-free values of multivariate polynomials over function fields in linear sparse sets
设f是Fq[t][x]中的无平方多项式，其中Fq是q个元素的域。我们将f视为变量x的多项式，其系数在环Fq[t]中。本文研究了由线性条件给出的Fq[t]的稀疏子集中f的无平方值。我们研究的动机是一个用整数多项式表示无平方数整数的类似问题，其中证明了，抛开一些简单的例外情况，Z[x]中的无平方数多项式f取无穷多个无平方数值。设c（t）是Fq[t]中次数小于m的多项式，且k我们的主要结果的一个后果，是，如果q是足够大的关于m和度的f在t和x，则存在$β_1,β_2$在Fq，使$f(t,c(t)+β_1t^k+β_2)$是平方自由。此外，当q趋于无穷大时，最后一个对于Fq中几乎所有的$β_1$和$β_2$都成立。主要结果表明，类似的结果也适用于其他情况。然后将结果推广到多元多项式。
2015-03-03 math.NT
On primes amongst squares of naturals
分析了不等式$\sqrt{P_{k+1}}-\sqrt{P_{k}}<1,\ k\in\mathbb{N}$，讨论了素数在任意区间$(r,s),\ r<s,\ r,s\in\mathbb{R}$上的存在性，最后讨论了自然数平方之间的素数问题.
2011-08-25 math.NT
Sets whose differences avoid squares modulo m
我们证明了，如果$\varepsilon(m)\to 0$任意慢，那么对于几乎所有的$m$和任何$A\subset\mathbb{Z}_m$，使得$A-A$不包含非零二次剩余，我们有$|A|\leq m^{1/2-\varepsilon(m)}.$
2021-02-11 math.CO math.NT
A new upper bound for sets with no square differences
我们证明了如果$A\subset \{1,\ldots,N\}$对$a-b=n^2$和$n\geq 1$没有解，那么对于某个绝对常数$c>0$，有\[|A|\ll \frac{N}{(\log N)^{c\log\log \log N}}\].这改进了Pintz-Steiger-Szemerédi的一个结果。
2021-02-24 math.CO math.NT
Squares and difference sets in finite fields
对于无穷多个素数$p=4k+1$，我们给出了一个稍微改进的集合$B\subset \ZZ_p$的最大基数的上界，使得差集$B-B$只包含二次剩余.也就是说，而不是“平凡的”绑定$|B|\leq \sqrt{p}$，我们证明$|B|\leq \sqrt{p}-1$，在适当的条件下$p$。新的界限对大约四分之三的素数$p=4k+1$是有效的。
2013-05-02 math.CO math.NT
Topology of zero sets of polynomials with square discriminant
本研究针对满足特定封闭性的整数系数集合，证明了该集合系数的整系数多项式零点可由同集合系数、平方判别式的整系数多项式零点任意逼近，揭示这类多项式零点集复闭包的拓扑结构与判别式是否为平方无关，区别于伽罗瓦群的相关性质。
2024-12-11 math.DS math.NT
Delone sets generated by square roots
Delone集是局部有限点集，使得（a）任何两个点被给定的最小距离分开，并且（b）存在给定的半径，使得该半径的每个球至少包含一个点。重要的例子包括彭罗斯镶嵌的顶点集和其他规则模型集，它们作为准晶的数学模型。本文证明了对于任何$α>0$，由值$\sqrt{n} e^{2πi α\sqrt{n}}$和$n=1,2,3,\ldots$给出的点集是复平面上的Delone集.这补充了秋山最近的观察（见arXiv：1904.10815），即$\sqrt{n} e^{2πi α{n}}$与$n=1,2,3,\ldots$形成一个Delone集，当且仅当$α$被有理数很差地近似。一个关键的区别是，我们的设置不需要$α$上的丢番图条件。
2020-03-18 math.MG math.NT
Additive Representations of Natural Numbers
任何大于2的自然数都可以写成一个素数和一个无平方数之和。我们建立了几个概括这一点，通过放置整除条件的平方自由数。
2020-11-11 math.NT
On products of sets of natural density one
本文通过构造一个密度为1的集合$A$使其乘积集合$A\cdot A$具有“大”补集，推进了Bettin等人关于自然密度为1集合乘积最优收敛速率的确定问题。
2025-04-02 math.NT
Infinite sets of Mutually Coprime Locally Square-free Elements, Inside the Range of Polynomials with Values in Principal Ideal Domains
设$\mathcal R$是主理想整环，$\mathcal K = {\rm quot}(\mathcal R)$ .假设$P_1,\ldots P_n\in \mathcal K[X]$是取$\mathcal R$到$\mathcal R$的多项式，并且$P$是它们的乘积。如果$P_i$满足必要条件，则存在无限集合$S$，使得当$m$在$S$中变化时，元素$P(m)$互质，并且对于每个$i\ne j$，$P_i(m)$与$P_j(m)$互质。我们证明，除了上述性质，如果$P_i$没有重根时，$i$属于$\{1,\ldots n\}$的某个子集，$S$可以构造在这样一种方式，$P_i(m)$是整除一些素数$p$，但不是由$p^2$。这个结果是本文最后提出的一个猜想的基础，根据这个猜想，只要$P$没有重根，就可以从$P$的值集中提取出无穷多个无平方根的元素。在这篇文章的过程中，全本原多项式的概念被引入和阐述，以提供一个方便的框架，这些问题，或其他问题的多项式的值集。这一框架使得著名的布尼亚科夫斯基和辛泽尔理论的陈述更有启发性，似乎更普遍。
2022-09-08 math.NT
Sieving with square conditions and applications to Hilbert cubes in arithmetic sets
本文探讨了Gallagher筛法在模素数平方下的应用局限，并提出通过转换余数信息以提升筛法效果，同时研究了Hilbert立方体在不同乘法定义集中的最大维度，得出了相关上界。
2026-03-17 math.CO math.NT
Liouville Random functions and normal sets
本文定义了一个随机Liouville函数（λ_Q），它依赖于一个随机集（Q），并证明了（A_Q = \{\in \mathbb{N}| λ_Q（n）= -1 \}）几乎处处正态。这一事实使我们能够生成一个正规集族，使得方程（xy =z）在其中不可解。证明了方程（xy=z^2，x^2 + y^2 = square，x^2 - y^2 = square）在任意正规集上可解，且对任意方程（xy=cn^2）（（c > 1），不是平方），存在正规集（A_c）使得方程在（A_c）内不可解.
2005-09-14 math.CO math.NT
Permutation polynomials induced from permutations of subfields, and some complete sets of mutually orthogonal latin squares
本文给出了一种由子域置换得到有限域上置换多项式的一般方法。通过将这种技巧应用于子域上最简单的置换多项式类，我们得到了几个新的置换多项式族。其中一些具有额外的性质，即f（x）和f（x）+x都诱导场的置换，这具有组合后果。我们使用我们的置换多项式来展示相互正交拉丁方的完整集合。此外，我们解决了开放的问题，从最近的一份文件，吴和林，我们更简单的证明更一般的版本的结果在最近的两份文件。
2013-12-09 cs.IT math.CO math.IT
Extendibility of Some P_{k} Sets
一组m个不同的正整数{ a_{1}，.如果对于每个1 \leqi <j \leqm，a_{i} a_{j} +n是正方形，则a_{m} }被称为丢番图m元组。本文的目的是证明当k=2和k=-3时，某些P_{k}集不能扩张为丢番图四元组，并给出了P_{k}集的一些性质.
2017-04-11 math.NT
Complexity of natural numbers and arithmetic compact sets
自然数的复杂度$\Vert n\Vert$是使用5个符号$(, ), *, +, 1$来表示$n$所需的最少数目的$1$。自然数$n$称为稳定数是$\Vert 3^kn\Vert =\Vert n\Vert +3k$。对于每一个自然数$n$，数$3^an$对于某些$a\ge0$是稳定的，我们定义$n$的稳定复杂度为$\Vert n \Vert _{\rm st}=\Vert 3^an\Vert -3a$。我们表明，封闭的集合的所有分数$n/3^{\lfloor \Vert {n}\Vert _{\rm st}/3\rfloor}$具有显着的属性;自相似性$3K'''=K$，良好的秩序，和一定的算术性能。我们提出这个契约的唯一性的问题。这个问题提出了一些关于自然数复杂性的问题，我们无法回答。
2023-02-13 math.NT
Cardinalities of Jordan Diophantine sets of upper triangular integer matrices
University of Zagreb（萨格勒布大学）
该研究确定了上三角整数矩阵环中Jordan D(N)-集存在无限集的N的条件，明确了有限集的最大基数，还给出了两类特殊无限集存在的充要条件。
2026-10-09 math.NT
On Linnik's conjecture: sums of squares and microsquares
我们证明了几乎所有不能被4整除的自然数n和不能全等于7模8的自然数n都可以表示为三个平方的和，其中一个平方是不大于（log n）^{1+e}的整数的平方（任何e>0）。这回答了猜想林尼克几乎所有的自然数，并锐化的结论布尔甘，鲁德尼克和Sarnak关于最近邻距离之间的正规化积分点的领域。
2013-02-06 math.NT
On polynomial systems of equations in square matrices filled with natural numbers
本文研究元素为自然数的方阵上多项式方程组的可判定性，证明其正存在理论构成的包含格与整除格同构，并指出这些集合及系数为整数方阵的丢番图方程均算法不可判定。
2025-07-21 math.LO math.NT
On supra-SIM sets of natural numbers
引入了自然数的超SIM集类。我们证明了这个类在有限可嵌入下是划分正则的和闭的。我们还证明了一些结果的和集和SIM集的积极Banach密度模拟的动机。
2018-05-15 math.CO math.NT
A note on the natural density of product sets
给出自然密度为$1$的两组自然数$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，证明了它们的乘积集$\mathcal{A}\cdot \mathcal{B}:=\{ab:a\in\mathcal{A},\,b\in\mathcal{B}\}$也有自然密度$1$ .另一方面，对于任何$\varepsilon>0$，我们发现有集$\mathcal{A}$的密度$>1-\varepsilon$的产品集$\mathcal{A}\cdot\mathcal{A}$有密度$<\varepsilon$。这回答了Hegyvári，Hennecart和Pach的两个问题。
2020-06-23 math.CO math.NT
A study in quantitative equidistribution on the unit square
单位正方形上平移流的分布性质在不同的数学领域都有研究，包括代数几何和差异理论。量化均匀分布的一种方法是比较转换流在特定集合$E \subset [0,1]^2$中花费的实际时间与预期时间之间的误差。本文证明了当$E$在凸集生成的代数中时，对除可数个方向外的所有方向，误差至多为$\log(T)^{1+\varepsilon}$阶.只要方向是不好的近似边界可以锐化为$\log(T)^{1/2+\varepsilon}$。我们产生的误差估计是小于一般的可测集的Beck证明，而我们的类的例子是大于在工作的Grepstad-Larcher谁获得了有界剩余财产为他们的集合。我们的证明依赖于局部凸性的边界和规则性的部分流之间的对偶性。
2023-02-28 math.DS math.MG math.NT
Arithmetic structures in random sets
我们扩展两个著名的结果在加性数论，Sárközy定理的平方差在稠密集和一个定理的绿色长等差数列的和集，子集的随机集的渐近密度为0。我们的证明依赖于限制型傅立叶分析的绿色和绿色陶参数。
2007-03-26 math.CO math.NT
Geometric progressions in syndetic sets
为了研究加法大集合中的乘法结构，Beiglböck等人提出了一个重要的开放性问题，即是否每个有界间隙的自然数子集（syndetic set）都包含任意长的等比数列。Erdés的一个结果暗示了联合集包含一个具有整数公比的$2$ -项几何级数，但我们仍然不知道它们是否包含这样一个公比为完全平方的级数.在这篇文章中，我们证明了，对于每个$k\in \mathbb{N}$，一个syndetic集包含$2$ -项等比数列的形式$n^kr_1$和$p^kr_2$，其中$p\in\mathbb{P}$（素数集），$n$是一个合数，$r_1\equiv 1 \pmod{n}$，$r_2\equiv 1\pmod{p}$和$r_1,r_2\in \mathbb{N}$的共同比例。我们还表明，2-syndetic集（有界间隙2集）包含无限多个$2$ -长期等比数列，其各自的公比是完美的平方。
2019-04-28 math.CO math.NT
A realization theorem for sets of lengths in numerical monoids
本文证明了对任意大于或等于2的整数的有限非空集L，存在一个数值么半群H和一个无平方元a $\in$ H，其长度集L（a）等于L.
2018-01-17 math.AC math.NT
Sets of natural numbers with proscribed subsets
College of Staten Island (CUNY)（纽约市立大学史泰登岛学院）
本文研究了禁止特定子集的自然数集，提出了关于G_A(n)上界的新的理论框架和具体例子，包括等比数列和乘法平方的排除问题。
2015-06-13 math.CO math.NT
Structural theorems on the distance sets over finite fields
设$\mathbb{F}_q$是$q$阶有限域. Iosevich和Rudnev（2005）证明了对于任何集合$A\subset \mathbb{F}_q^d$，如果$|A|\gg q^{\frac{d+1}{2}}$，则距离集合$Δ(A)$包含所有距离的正比例。虽然这个结果在奇数维中是尖锐的，但它被证明在偶数维中右指数应该是$\frac{d}{2}$。在过去的15年里，只有一些改进已经在二维，和猜想仍然是开放的更高的维度。为了填补这一空白，我们需要对距离集的结构有更多的了解，本文的主要目的是提供一些关于平方距离和非平方距离分布的结构定理。
2022-05-02 math.CO math.NT
