AI 中文总结
本文针对满足一般性质的多项式系统，建立了关于其最大公因数函数的有界强乘性函数和的渐近公式，并由此推导出$k$元组互素密度的Ekedahl-Poonen公式的误差项版本。
AI 中文摘要
设$F=(f_1(x_1,\ldots,x_k),\ldots, f_m(x_1,\ldots,x_k))$为具有整数系数的$k$个变量的非常数多项式系统，并设\\[ {\gcd}_F(x_1,\ldots,x_k)= \gcd(f_1(x_1,\ldots,x_k),\ldots, f_m(x_1,\ldots,x_k)). \\] 我们获得了和式\\[ \sum_{1\le x_1,\ldots,x_k\le x} h({\gcd}_F(x_1,\ldots,x_k)) \\] 的无条件渐近公式，其中$F$是满足某些一般性质的$m\ge 2$个$k\ge 2$变量多项式系统，$h$是有界强乘性函数。特别地，我们推导出关于正整数$k$元组$(x_1,\ldots,x_k)$满足${\gcd}_F(x_1,\ldots,x_k)=1$的密度的带误差项的渐近公式，该公式由Ekedahl-Poonen公式给出。
英文摘要
Let $F=(f_1(x_1,\ldots,x_k),\ldots, f_m(x_1,\ldots,x_k))$ be a system of nonconstant polynomials of $k$ variables with integer coefficients and let \[ {\gcd}_F(x_1,\ldots,x_k)= \gcd(f_1(x_1,\ldots,x_k),\ldots, f_m(x_1,\ldots,x_k)). \] We obtain an unconditional asymptotic formula for the sum \[ \sum_{1\le x_1,\ldots,x_k\le x} h({\gcd}_F(x_1,\ldots,x_k)), \] where $F$ is a system of $m\ge 2$ polynomials of $k\ge 2$ variables subject to certain general properties, and $h$ is a bounded strongly multiplicative function. In particular, we deduce an asymptotic formula with error term concerning the density of $k$-tuples of positive integers $(x_1,\ldots,x_k)$ such that ${\gcd}_F(x_1,\ldots,x_k)=1$, given by the Ekedahl-Poonen formula.
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