Deterministic elliptic curve primality proving for a special sequence of numbers
我们给出了一个确定性算法，非常迅速地证明了在一定的序列中的整数N的素性或复合性，使用椭圆曲线E/Q与Q（sqrt（-7））的整数环的复乘。该算法在环Z/NZ上使用O（log N）的算术运算，这意味着位复杂度在log N中是准二次的。值得注意的是，经典的“N-1”或“N+1”素性测试都不适用于我们序列中的整数。我们将讨论如何应用该算法，结合筛分技术，有效地搜索非常大的素数。这使我们能够证明几个整数的素数超过100，000个十进制数字，其中最大的有超过一百万位在其二进制表示。在它被发现的时候，它是最大的已被证明的素数N，对于它，N-1或N+1的部分因式分解是未知的。
2015-03-16 math.NT
Primality test for numbers of the form $(2p)^{2^n}+1$
我们描述了数$M=(2p)^{2^n}+1$的一个素性检验，其中$p$是奇素数，而$n$是正整数。并给出了所有不超过19的奇素数$p$的特殊素性准则。所有这些素性测试在日志$_{2}(M)$中以多项式时间运行。利用一个特殊的$2p$ -th互易律来推导我们的结果.
2013-07-07 math.NT
An $\tilde{O}(\log^2(N))$ time primality test for Generalized Cullen Numbers
广义库伦数是$C_b(n):=nb^n+1$形式的正整数。在这项工作中，我们推广了一些已知的整除性质的库伦数，并提出了两个素数测试这一家庭的整数。第一个测试是基于来自这个家族的素数的以下性质：$n^{b^{n}}\equiv (-1)^{b}$（mod $nb^n+1$）。它比费马检验（对于碱基$b$和$n$）和米勒-拉宾检验（对于碱基$n$）更强，计算量更少。这种新的检验的伪素数似乎是非常稀缺的，只有4个伪素数已被发现在数以百万计的广义卡伦数测试。我们还提出了第二个，更苛刻的，没有pseudoprimes的测试已经found. This测试导致“准确定性”的测试，运行在$\tilde{O}(\log^2(N))$时间，这可能是非常有用的搜索广义卡伦素数。
2010-07-06 math.CO math.NT
A framework for deterministic primality proving using elliptic curves with complex multiplication
我们提供了一个框架，用于使用椭圆曲线和复乘来确定性准二次时间中位于特殊序列中的整数的素性或复合性。我们用它来寻找大素数，包括目前已知的最大素数，其素数性无法用经典方法证明。
2014-10-11 math.NT
A primality criterion based on a Lucas' congruence
设$p$为素数。1878年，卢卡斯证明了同余式$$ {p-1\choose k}\equiv (-1)^k\pmod{p}$$对任何非负整数$k\in\{0,1,\ldots,p-1\}$成立。在1997年由E. Deutsch和I. M杰塞尔在本文中，我们通过以下结果推广了这个相反的断言：如果$n>1$和$q>1$是整数，使得对于每个整数$k\in\{0,1,\ldots, n-1\}$都有$$ {n-1\choose k}\equiv (-1)^k \pmod{q}$$，则$q$是素数，$n$是$q$的幂。
2014-07-29 math.NT
The Sufficient Set of Congruences of Binomial Coefficients for Primality
Abdullah Gul University（阿卜杜拉·居尔大学）
该研究证明整数p的素性等价于二项式系数模p的⌈(1/2)log₂p⌉个同余式，并将结果推广到其他类似同余式，为素性判定提供了新的充分条件。
2026-08-31 math.NT
A Modification of LLR
Mersenne数的Lucas-Lehmer（LL）素性检验是已知最快的素性检验。在1969年，Hans Rietter发表了LL的一个修改，以测试形式为$N = h \cdot 2^n - 1$的数，其中$h < 2^n$是奇数，而$n \ge 2$是\cite{Riesel}。这个测试现在被称为Lucas-Lehmer-Rifford（LLR）素数测试。在算法\ref{PrimalityAlgorithm}中，我们提出了一种对LLR的修正，它适用于任意奇数$N$。我们的算法的概率版本运行在预期的时间$\tilde{O}(\log^3 N)$，并在预期的$\tilde{O}(\log^4 N)$的确定性版本。最后，我们提出一个猜想，如果这个猜想成立，就意味着存在一个多项式时间算法来分解整数。
2013-04-15 math.NT
Primality of numbers of the form $ap^{k}+1$
1876年，爱德华·卢卡斯证明了如果存在一个整数$b$，使得对于$n-1$的所有素因子$p$，$b^{n-1} \equiv 1 (\mathrm{mod} \ n)$和$b^{(n-1)/p} \not\equiv 1( \mathrm{mod} \ n)$都是，那么$n$是素的，这个结果被称为卢卡斯对费马小定理的逆。这个结果在1914年被Henry Pocklington大大改进，他证明了不需要知道$n-1$的所有素因子就可以确定$n$是否是素数。在本文中，我们优化Pocklington的素数测试的形式$ap^{k}+1$，其中$p$是素数，$a<p$，$k\ge 1$。本文给出了卢卡斯关于费马小定理的逆定理的一个推广。我们还证明了一个新的通用素性测试，要求只有一个单一的奇素数因子的$n-1$被发现的测试实施。与著名的结论相反：任何基$b$都有无穷多个Fermat伪素数;本文证明了整数形式的Fermat伪素数的有限性。
2021-04-10 math.NT
Strengthening the Baillie-PSW primality test
Baillie-PSW素性测试结合了Fermat和Lucas可能素性测试。它报告一个数是合数或可能是素数。没有奇数复合整数已报告通过这种组合的素性测试，如果参数选择在一个适当的方式。在这里，我们描述了一个显着加强这个测试，几乎没有额外的计算成本。这是通过在测试中包括我们称之为卢卡斯-V伪素数来实现的，其中只有五个小于$10^{15}$。
2021-06-11 cs.CR math.NT
Ternary arithmetic, factorization, and the class number one problem
通过考虑六边形格的离散体积，可以将自然数的普通二进制乘法以非平凡的方式推广到三进制运算。通过这种操作，定义了一个自然的“3-素数”概念--关于三进制乘法的素数，结果是3-素数很少。它们对应于虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$，$n>0$，具有奇判别式，其整数环允许唯一因子分解.我们还描述了如何确定数字作为三进制积的表示以及用于通常的素性测试和整数因式分解的相关算法。
2020-12-25 math.NT
New properties for a composition of some generating functions for primes
本文研究了外函数为对数母函数，内函数为整数系数的普通母函数的母函数合成系数的性质。利用生成函数的复合和复合的概念，我们得到了这种复合的新性质。这些性质可用于区分素数和合数。作为一个应用，所得结果可用于获得新的素性准则。我们得到了Mersenne数、Lucas数、Pell-Lucas数、Jacobsthal-Lucas数和Lucas序列的素性准则。关键词：母函数，母函数的合成，合成，素性判据。
2015-06-19 math.CO math.NT
The number of multinomial coefficients based on a set of partitions of n into k parts and divided by k evenly
本文利用多项式系数的性质得到了一个原始整数序列。我们研究了一个性质的序列，显示连接与素性测试。对于任何素数n，序列中的第n项比n的分割数小1。我们假设存在一个素数检验的渐近算法。
2012-04-30 math.CO math.NT
A primality test for $Kp^n+1$ numbers and a generalization of Safe Primes and Sophie Germain Primes
Azhar University（阿兹哈尔大学）
本文对形式为$Kp^n+1$的整数推广了普罗特定理，提出了一种仅需一次模幂运算的质数测试方法，无需计算任何GCD。同时提供了两种测试以提高验证$Kp^n+1$数质数的可能性。作为这些测试的推论，我们给出了三个整数家族$N$，其质数性只能通过证明$a^{N-1} \equiv 1 \pmod N$（费马测试）来确认。还推广了安全质数，定义为$a$-安全质数，因其$N-1$具有与安全质数相同的大型质因数。我们讨论了这些数的分布问题，并提出了关于相关数$a$-索菲·热尔曼质数分布的猜想。
2022-07-25 math.NT
The Density of Tuples Restricted by Relatively r-Prime Conditions
为了考虑不一定要求戴德金整环中所有元素的j元组都是相对r素的j向相对r素性条件，我们定义了关于固定j一致超图H的j向相对r素性的概念.这使我们不仅对代数整数环，而且对环F_q[x]的自然密度的几个结果提供了进一步的推广。
2021-07-05 math.NT
Taxonomy and Practical Evaluation of Primality Testing Algorithms
King Fahd University of Petroleum and Minerals（国王法赫德国立石油与矿产大学）
本文综述并分类了经典和量子算法用于因数分解与素性测试，分析其优劣、时间复杂度及应用比较，揭示量子算法在因数分解上的优势，但素性测试方面尚未有明显突破。
2026-07-03 cs.CR math.NT
On representations of positive integers by $(a+c)^{1/3}x + (b+d)y$, $(a+c)x + \bigl(k(b+d) \bigr)^{1/3} y$, and $\bigl(k(a+c) \bigr)^{1/3} x + l(b+d) y$
我们使用刘维尔类型的和来计算在一定的相对素性条件下，对于非负整数$a,b,c,d,k,l,x,y$，正整数可以由形式$(a+c)^{1/3}x + (b+d)y$、$(a+c)x + \bigl(k(b+d) \bigr)^{1/3} y$和$\bigl(k(a+c) \bigr)^{1/3} x + l(b+d) y$表示的方式的数量。
2014-03-10 math.NT
From Worst to Average Case to Incremental Search Bounds of the Strong Lucas Test
本文研究强Lucas测试的错误界，证明通过t轮连续测试及额外标准测试的整数为素数的概率大于1-(4/15)^t，并首次给出基于强Lucas测试的增量搜索算法的错误界。
2024-06-07 cs.CR math.NT
On the asymptotic density of $k$-tuples of positive integers with pairwise non-coprime components
本文利用多变量算术函数卷积方法，研究分量两两不互素及含指定数量互素对的正整数 $k$ 元组计数，给出渐近公式并回答、推广前人结果。
2024-12-06 math.CO math.NT
The cardinality of a set containing the pairwise sums of a fixed number of integers
研究显示，当集合A的大小超过n+1.2×10⁸时，存在五个不同整数的pairwise和均在A中。通过调整常数，可保证三个或四个整数的pairwise和也在A中。
2026-04-28 math.NT
Generalizations of Carmichael numbers I
证明了复合正整数$n$是{ \it弱Carmichael数}的充要条件是对$n$的每个素除子$p-1\mid n-1$是弱Carmichael数.这与Korselt的准则一起产生了这样一个事实，即每个Carmichael数也是一个弱Carmichael数。本文主要研究弱Carmichael数的算术性质。受近百年来Carmichael数研究的启发，本文建立了弱Carmichael数和与弱Carmichael数密切相关的数的若干相关结果、概念、例子和计算搜索.进一步，利用数学软件{ \tt Mathematica 8}给出了所有小于$2\times 10^6$的非素幂弱Carmichael数的表.受启发式论证、我们的计算和Carmichael数的一些旧的定理和结果的启发，我们提出了弱Carmichael数和其他几类Carmichael类数的定理.最后，我们考虑了弱Carmichael数的Fermat素性检验。我们相信，在某些有关Fermat-like素性检验和广义黎曼假设的问题中，涉及某些特定类的弱Carmichael数是有意义的。
2013-05-04 math.NT
On Sequences Containing at Most 4 Pairwise Coprime Integers
令$f(n,k)$是不超过$n$的正整数的最大数目，从中不能选择$k+1$成对互质整数，并且令$E(n,k)$是不超过$n$并且可以被$p_1, p_2,..., p_k$中的至少一个整除的正整数的集合，其中$p_i$是$i$的第一个素数。1962年，P. Erd \H证明了$f(n,k)=|E(n,k)|$适用于所有$n\ge p_k$。1973年，S. L. G. Choi证明了这个猜想对$k=3$是正确的。在1994年，Ahlswede和Kachatrian反驳了对$k=212$的猜想。本文证明了：对于$n\ge 49$，若A（n，4）是一个不超过$n$的正整数集合，且不能从中选出5个两两互质整数和$|A(n,4)|\ge |E(n,4)|$，则有$A(n,4)=E(n,4)$ .特别地，该猜想对于k=4是正确的。提出了一些有待进一步研究的问题和建议。
2011-09-30 math.NT
On a conjecture of Erdős about sets without $k$ pairwise coprime integers
设$\mathbb{Z}^{+}$是正整数的集合。令$C_{k}$表示$\mathbb{Z}^{+}$的所有子集，使得它们都不包含$k + 1$成对互质整数和$C_k(n)=C_k\cap \{1,2,\ldots,n\}$。令$f(n, k) = \text{max}_{A \in C_{k}(n)}|A|$，其中$|A|$表示集合$A$的元素的数目。令$E_k(n)$是不超过$n$的正整数的集合，这些正整数可被至少一个素数$p_{1}, \dots{}, p_{k}$整除，其中$p_{i}$表示第$i$个素数。在1962年，Erdibs为每一个$n \ge p_{k}$定义了$f(n, k) = |E(n,k)|$。最近Chen和Zhou证明了关于这个猜想的一些结果。本文解决了Chen和Zhou的一个公开问题，并证明了关于该猜想的几个相关结果。
2017-05-16 math.NT
On some properties of the number of permutations being products of pairwise disjoint $d$-cycles
令$d\geq 2$为整数。本文研究了序列$(H_d(n))_{n\in\N}$的算术性质，其中$H_{d}(n)$是$S_{n}$中的排列数，这些排列是固定长度$d$的两不相交圈的乘积.特别是，我们处理的周期性模一个给定的正整数，行为的$p$ -进估值和各种整除属性。此外，我们还引入了一些相关的多项式族，并研究了它们的性质。在许多结果中，我们得到定性描述的$p$ -进值的数$H_{d}(n)$扩展在这种方式以前的结果落合和石原，落合，竹原和吉田。
2019-04-06 math.CO math.NT
The cardinality of a set containing the pairwise sums of four positive integers
该研究改进了 Choi、Erdős 和 Szemerédi 关于集合包含四个不同正整数两两之和的基数下界，证明常数 C 可从 3166 优化至最优值 4，并借助 AI 与形式推理智能体完成证明。
2026-10-01 math.NT
The Diophantine Frobenius Problem revisited
本文重新考察丢番图 Frobenius 问题，证明了在系数互素且表示中变量也互素的条件下存在最大不可表示数，并显式研究了二元情形的大小，强化了经典结果。
2025-09-10 math.CO math.NT
On functions taking only prime values
对于n= 1，2，3，.将S（n）定义为最小整数m>1，使得对于k=1，.，n是成对不同的;我们证明了S（n）是大于2n-2的最小素数，因此函数S（n）的值集恰好是所有素数的集合.对于每个n= 4，5，.证明了最小素数p> 3 n，其中3| p-1恰好是最小的正整数m，使得18 k（3 k-1）（k=1，.，n）是成对不同的模m。对于d= 4，6，12和n= 3，4，.，我们证明了最小素数p>2n-2，其中p=-1（mod d）是最小整数m，使得那些（2k-1）^d，k=1，.，n是两两不同的模m。我们还提出了几个具有挑战性的命题素数。例如，我们发现了一个令人惊讶的递归素数，即，对于每一个n= 10，11，.第（n+1）个素数p_{n+1}恰好是最小的正整数m，使得2s_k^2（k=1，.，n）是两两不同的模m，其中s_k = sum_{j=1} ^k（-1）^{k-j}p_j.我们还猜想，对于任何正整数m，存在连续的素数p_k，.，p_n（k<n）不超过2 m +2.2*sqrt（m），使得m = p_n- p_{n-1} +.+ (-1)^{n-k}p_k.
2013-04-17 math.CO math.NT
Goldbach Conjecture: Violation Probability and Generalization to Prime-like Distributions
该研究利用素数分布性质，为哥德巴赫猜想失败概率建立上界，并推广至类素数分布子集，通过随机平移构造验证了广义猜想。
2025-04-19 math.CO math.NT
Pairwise non-coprimality of triples
如果$\gcd(a_i,a_j) \ne 1$对所有$1 \le i <j \le k$都是，我们说$(a_1,...,a_k)$是两两非互质的。令$a_1,a_2,a_3$是小于$H$的正整数。得到了两两非互质的$(a_1,a_2,a_3)$个数的渐近公式。随机选取的无界正整数三元组两两非互质的概率约为17.4%。设$φ(n)$为欧拉函数。我们还给出了一个上界的误差项的渐近公式$\sum_{n=1}^H (φ(n)/n)^m$的$m \ge 2$和$H \rightarrow \infty$。
2014-05-07 math.NT
On the Asymptotic Density of $k$-tuples of Positive Integers Satisfying Arbitrary GCD Conditions
本文研究满足任意gcd条件的正整数k元组的渐近计数问题，通过建立存在性条件并利用多变量狄利克雷级数导出渐近公式，推广了Tóth关于两两条件的结果。
2025-05-08 math.CO math.NT
An Ehrhart theoretic approach to generalized Golomb rulers
本研究将基于内外多面体理论的Ehrhart理论方法，从经典Golomb尺的计数函数结构研究拓展至h元和、g次重复等各类广义Golomb尺的相关研究中。
2023-08-22 math.CO math.NT
Maximum GCD Among Pairs of Random Integers
修复$α>0$，并从$\{1,2,\ldots ,\lfloor e^{αN}\rfloor \}$中随机均匀采样$N$整数。给定$η>0$，成对GCD的最大值位于$N^{2-η}$和$N^{2+η}$之间的概率收敛于1，即$N\to \infty $。得到了更精确的估计。这是一个生日问题：两个随机整数可能共享某个$N^2/\log [N]$阶素因子。证明推广到任何算术半群的适当形式的素数定理是有效的。
2009-11-13 math.NT math.PR
Ideal class groups of some quadratic number fields and factorization of values of some quadratic polynomials
本文填补了A. Gica关于二次多项式f_d(x)=d+x²素因子个数相关结论的空白，确定了满足对应素因子个数约束的奇偶正整数d，初步探究了f_d(x)=d-x²的同类问题。
2025-11-19 math.NT
On the modular Erdős-Burgess constant
令$n$为正整数。对于任何整数$a$，如果$a^2\equiv a\pmod n$，我们说$a$是模$n$幂等的。$n$模Erdens-Burgess常数是最小的正整数$\ell$，使得任何$\ell$整数都包含一个或多个整数，其乘积是模$n$幂等的。给出了$n$ -模Erdens-Burgess常数的一个精确下界，特别是当$n$是素数幂或两两不同素数的乘积时，给出了$n$ -模Erdens-Burgess常数的一个精确下界.
2018-07-19 math.CO math.NT
A Deterministic Cryptographic Prime Generation Chain over Monogenic Cubic Number Fields and their Generalizations
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
提出一种从已知素数构造新素数的直接方法，利用单项纯三次域结构，仅需一次模幂运算即可在拟二次时间内完成素性证明，并推广到任意素数次数的纯数域。
2026-06-16 math.NT
Modular Schur numbers
对于任何正整数l和m，一个整数集合被称为（弱）l-无和模m，如果它不包含满足同余式$x_1+\...+x_l\equiv y\bmod{m}$的（两两不同的）元素$x_1,x_2,...,x_l,y$。证明了对任意正整数k和l，存在一个最大整数$n$，使得第一个$n$正整数$\{1,2,\...,n\}$的集合可划分为模m的k个（弱）l-自由和集.这个数被称为广义（弱）舒尔数模$m$，与k和l相关联。本文对所有正整数k和l，确定了m=1，2，3时这些模Schur数的精确值。
2013-06-24 math.CO math.NT
Density-based structural frameworks for prime numbers, prime gaps, and Euler products
本文提出基于密度的结构框架，用于分析素数、素数间隙和欧拉乘积，揭示了Hardy-Littlewood、Cramer和PNT预测之间的张力，并通过截断欧拉乘积分析ζ函数的临界线与零点分布。
2026-01-22 math.CV math.NT
On a problem of Sierpinski
令$s\ge 2$为整数。用$μ_s$表示最小整数，使得每个整数$\ell >μ_s$都是两两互质的$s$整数$>1 $的和。1964年，Sierpienski要求测定$μ_s$。设$p_1=2$，$p_2=3, ...$是连续素数序列，设$μ_s = p_2+p_3+...+p_{s+1}+c_s$ . Erd \H证明了存在一个具有$-2\le c_s\le C$的绝对常数$C$。在本文中，我们确定所有$s\ge 2$的$μ_s$。作为推论，我们证明了$-2\le c_s\le 1100$和具有$μ_s= p_2+p_3+... +p_{s+1}+1100$的整数集合$s$具有渐近密度1。
2012-05-20 math.CO math.NT
Prime-Interval Algebras
研究从正整数\(n\)出发，在无先验信息时构造多项式商环，通过模指数运算恢复\((n,2n]\)内素数，仅用前一个素数就能得下一个素数，还发展了环结构、扩展结果并给出实现。
2026-07-27 math.NT
On a discriminator for the polynomial $f(x)=x^3+x$
令$Δ(n)$表示最小正整数$m$，使得$a^3+a(1\le a\le n)$以$m$为模是成对不同的。本文的目的是对所有正整数$n$确定$Δ(n)$.
2021-11-24 math.NT
Constellations in prime elements of number fields
对任意数域，证明了整数环存在由两两互不相关的素元组成的任意形状的星座。这一结果推广了著名的格林-陶有理素数等差数列定理和陶高斯素数星座定理。此外，我们证明了一个关于整数系数二元二次型素表示的星座定理。更确切地说，对于非负定的非退化本原二元二次型$F$，存在由整数对$(x,y)$组成的任意形状的星座，其中$F(x,y)$是有理数素数。后一个定理是通过将框架从整数环推广到一个阶及其可逆分式理想对而得到的。
2022-04-04 math.CO math.NT
A sharp 5/8 bound for an Erdős-Sós pairwise-sums problem
研究集合中两两和均属于原集合的三元组存在性问题，证明最小集合大小上界为 5N/8+O(1)，并确定精确渐近值。
2026-06-28 math.CO math.NT
Combinatorial Identities Via Phi Functions and Relatively Prime Subsets
设$n$是正整数，$A$是正整数的非空有限集.我们说，如果$\gcd(A) =1$是相对素的，如果$\gcd(A,n)=1$是相对素的，则$A$与$n$是互素的。在这项工作中，我们计数的非空子集的$A$是互素和非空子集的$A$是互素$n$的数量。对于具有固定基数的子集的个数，也得到了相关的公式。这扩展了以前的工作的情况下，$A$是一个区间或一组等差数列。应用包括：a）得到了$A$中与$n$互素的元素个数的精确公式;注意，如果$A=[1,n]$，则该个数为$ϕ(n)$。b）给出了正整数的非空有限集的元素都是两两互质的代数特征，并由此给出了$A$的元素都是两两互质的非空子集的个数公式. c）给出了包含Mertens函数的组合公式。
2010-02-17 math.NT
The first elements of the quotient of a numerical semigroup by a positive integer
给定三个两两互质的正整数$a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{Z}^+$，我们证明了存在的关系的第一个元素的集合之间的三个等价物$\frac{\langle a_i,a_j \rangle}{a_k}$，可以为每个$\{i.j,k\}=\{1,2,3\}$。然后我们利用这个结果给出了关于Frobenius数$g(a_1,a_2,a_3)$的Johnson半显式公式的一个改进版本，并且对$a_1,a_2,a_3$的选择没有限制，并且给出了一类特殊的数值半群的显式公式.
2015-04-11 math.NT
On a conjecture of Sun involving powers of three
给定一个正整数$n\ge 2$，令$D(n)$表示最小正整数$m$，使得$a^3+a(1\le a\le n)$以$m^2$为模是两两不同的。Z的一个猜想W. Sun声明$D(n)=3^k$，其中$3^k$是不小于$\sqrt{n}$的$3$的最小幂。本文的目的是证实这一猜想。
2021-11-04 math.NT
Three Simple Reduction Formulas for the Denumerant Functions
本文利用 Bernoulli-Barnes 多项式，将 Ehrhart 等人针对三参数且元素两两互素情形建立的受限分拆函数约化公式推广到一般集合 $A$。
2024-04-24 math.CO math.NT
Sumsets contained in sets of upper Banach density 1
每一个上Banach密度为1的正整数集合$A$都包含一个两两不相交子集$(B_i)_{i=1}^{\infty}$的无穷序列，使得$B_i$对所有$i \in \mathbf{N}$都有上Banach密度1，对每一个正整数的非空有限集$I$都有$\sum_{i\in I} B_i \subseteq A$.
2017-08-18 math.NT
Salajan's conjecture on discriminating terms in an exponential sequence
给定一个不同正整数序列$v_1,v_2,\ldots$和任何正整数$n$，将最小$D_v(n)$定义为最小正整数$m$，使得$v_1,\ldots,v_n$是模$m$的两两不全等。我们考虑序列$u_1,u_2,\ldots$的实数，其中$u_j$等于$((-3)^j-5)/4$的绝对值，即$u_j=(3^j-5(-1)^j)/4$。我们证明了Sabin Salajan在2012年提出的一个猜想，该猜想刻画了序列$u_1,u_2,\ldots$的连续性。
2015-04-22 math.NT
The least modulus for which consecutive polynomial values are distinct
令$d\ge4$和$c\in(-d,d)$是互质整数。我们表明，对于任何足够大的整数$n$（特别是$n>24310$足以$4\le d\le 36$），最小的素数$p\equiv c\pmod d$与$p\ge(2dn-c)/(d-1)$是最小的正整数$m$与$2r(d)k(dk-c)\ (k=1,\ldots,n)$成对不同模$m$，其中$r(d)$是$d$的根。我们还猜想，对任意整数$n>4$，最小正整数$m$使得$|\{k(k-1)/2\ \mbox{mod}\ m:\ k=1,\ldots,n\}|= |\{k(k-1)/2\ \mbox{mod}\ m+2:\ k=1,\ldots,n\}|=n$是最小素数$p\ge 2n-1$，且$p+2$也是素数.
2015-10-22 math.NT
Je{ś}manowicz' conjecture for polynomials
本文针对数论中Jeśmanowicz关于勾股数对应指数方程仅有正整数解(2,2,2)的猜想，证明了其多项式版本的类比结论，拓展了该猜想的研究范畴。
2019-12-29 math.NT
Inclusion-exclusion polynomials with large coefficients
证明了对任意正整数$k$，存在高度至少为$c^{2^k}\prod_{j=1}^{k-2}q_j^{2^{k-j-1}-1}$的包含-排除多项式$Q_{\{q_1,q_2,...,q_k\}}$，其中$c$为正常数，$q_1<q_2<...<q_k$为任意大的两两互质.
2012-02-01 math.NT
Binary recurrences for which powers of two are discriminating moduli
给定一个不同正整数序列$w_0 , w_1, w_2, \ldots$和任意正整数$n$，我们定义一个正整数函数$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$为最小正整数$m$使得$w_0,\ldots, w_{n-1}$是模$m$的两两不相合.在本文中，我们对由不同整数项组成的所有二进制递归序列$\{w_n\}_{n\geq 0}$进行分类，使得对于每个$e\geq 1.$，$\mathcal{D}_{\bf w}(2^e)=2^e$对于所有这些序列，人们可以对每个$n\ge 1.$，实际上给出$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$的相当简单的描述对于这样的序列的两个无限族，这已经由Faye，Luca和Moree分别在2019年完成。
2020-11-30 math.NT
Is the Multiset of $n$ Integers Uniquely Determined by the Multiset of Its $s$-sums?
本文综述由 $s$-和多重集恢复 $n$ 元整数多重集这一Moser问题六十年来的研究成果、方法与技术，并提出新发现和开放问题。
2023-06-07 math.HO math.NT
Deterministic methods to find primes
给定一个大的正整数$N$，人们多久能构造出一个大于$N$（或介于$N$和2N之间）的素数？使用概率方法，通过随机选择$N$和2N之间的数字，并依次测试每个数字的素性，直到发现素数，可以以高概率在最多$\log^{O(1)} N$的时间内获得素数。然而，如果人们寻求一个确定性的方法，那么问题就困难得多，除非人们假设一些数论中未经证明的假设;蛮力方法给出了一个$O(N^{1+o(1)})$算法，而最好的无条件算法，由于Odlyzko，具有$O(N^{1/2 + o(1)})$的运行时间。在本文中，我们讨论了一种方法，可能会改善后，$O(N^{1/2+o(1)})$的约束，提出了一种策略，以确定在时间$O(N^{1/2-c})$的一些$c>0$是否在$[N,2N]$中的一个给定的间隔包含一个素数。虽然这个策略还没有完全实现，但它可以用来建立部分结果，例如能够在时间$O(N^{1/2-c})$上确定$[N,2N]$中给定区间内素数数量的\emph{parity}。
2012-05-26 math.NT
Quadratic sequences with prime power discriminators
整数序列$\textbf{s} = (s(i))_{i \geq 0}$的模是由Arnold、Benkoski和McCabe在1985年引入的，它是一个函数$D_{\textbf{s}} (n)$，它将$n$发送给最小整数$m$，使得数字$s(0), s(1), \ldots, s(n - 1)$以$m$为模成对不全等。在本文中，我们试图确定所有的二次序列，其序列是由$p^{\lceil \log_p n \rceil}$给素$p$，即，$p$的最小幂是$\geq n$。我们确定了所有这样的序列的$p = 2$，表明有没有为$p \geq 5$，并提供了一些部分结果为$p = 3$。
2022-10-07 cs.DM math.NT
