Primality proving using elliptic curves with complex multiplication by imaginary quadratic fields of class number three
本文将Abatzoglou等人的复乘椭圆曲线素性证明框架推广到类数为三的虚二次域，利用2分裂的类数三虚二次域得到更高效的素性证明算法，并给出基于Q(√-23)和Q(√-31)的两个特殊整数序列及计算结果。
2024-08-09 math.NT
A primality criterion based on a Lucas' congruence
设$p$为素数。1878年，卢卡斯证明了同余式$$ {p-1\choose k}\equiv (-1)^k\pmod{p}$$对任何非负整数$k\in\{0,1,\ldots,p-1\}$成立。在1997年由E. Deutsch和I. M杰塞尔在本文中，我们通过以下结果推广了这个相反的断言：如果$n>1$和$q>1$是整数，使得对于每个整数$k\in\{0,1,\ldots, n-1\}$都有$$ {n-1\choose k}\equiv (-1)^k \pmod{q}$$，则$q$是素数，$n$是$q$的幂。
2014-07-29 math.NT
The Sufficient Set of Congruences of Binomial Coefficients for Primality
Abdullah Gul University（阿卜杜拉·居尔大学）
该研究证明整数p的素性等价于二项式系数模p的⌈(1/2)log₂p⌉个同余式，并将结果推广到其他类似同余式，为素性判定提供了新的充分条件。
2026-08-31 math.NT
A Modification of LLR
Mersenne数的Lucas-Lehmer（LL）素性检验是已知最快的素性检验。在1969年，Hans Rietter发表了LL的一个修改，以测试形式为$N = h \cdot 2^n - 1$的数，其中$h < 2^n$是奇数，而$n \ge 2$是\cite{Riesel}。这个测试现在被称为Lucas-Lehmer-Rifford（LLR）素数测试。在算法\ref{PrimalityAlgorithm}中，我们提出了一种对LLR的修正，它适用于任意奇数$N$。我们的算法的概率版本运行在预期的时间$\tilde{O}(\log^3 N)$，并在预期的$\tilde{O}(\log^4 N)$的确定性版本。最后，我们提出一个猜想，如果这个猜想成立，就意味着存在一个多项式时间算法来分解整数。
2013-04-15 math.NT
Primality of numbers of the form $ap^{k}+1$
1876年，爱德华·卢卡斯证明了如果存在一个整数$b$，使得对于$n-1$的所有素因子$p$，$b^{n-1} \equiv 1 (\mathrm{mod} \ n)$和$b^{(n-1)/p} \not\equiv 1( \mathrm{mod} \ n)$都是，那么$n$是素的，这个结果被称为卢卡斯对费马小定理的逆。这个结果在1914年被Henry Pocklington大大改进，他证明了不需要知道$n-1$的所有素因子就可以确定$n$是否是素数。在本文中，我们优化Pocklington的素数测试的形式$ap^{k}+1$，其中$p$是素数，$a<p$，$k\ge 1$。本文给出了卢卡斯关于费马小定理的逆定理的一个推广。我们还证明了一个新的通用素性测试，要求只有一个单一的奇素数因子的$n-1$被发现的测试实施。与著名的结论相反：任何基$b$都有无穷多个Fermat伪素数;本文证明了整数形式的Fermat伪素数的有限性。
2021-04-10 math.NT
Elliptic periods and primality proving
我们定义了模为整数$n$的椭圆周期环，并给出了AKS素性判据的椭圆形式。
2009-06-23 math.AG math.NT
A primality test for $Kp^n+1$ numbers
本文推广了经典的整数Proth定理，其形式为$N=Kp^n+1$ .对于这些家庭，我们提出了一个素性测试的计算复杂性是$\widetilde{O}(\log^2(N))$，更重要的是，只需要一个模幂类似的费马的测试。因此，所提出的测试改进了最常用的一个，来自Pocklington定理，这通常需要计算几个模幂连同一些GCD的。
2011-04-26 math.NT
Pairwise Relative Primality of Positive Integers
给定一个图$G=(V,E)$与$V=\{1,2,...,k\}$，$k$正整数$a_1,a_2, ...,a_k$是$G$ -式互质的，如果$(a_i, a_j)=1$对于$\{i,j\} \in E$ .本文考虑了求k个正整数是$G$ -式互质的概率$A_G$的问题.作为结果的应用，我们解决了P. Moree提出的k个正整数有（或至少）r个互素对的概率问题.
2014-06-12 math.CO math.NT math.PR
Kummer surfaces for primality testing
本文利用超椭圆曲线雅可比矩阵的Kummer曲面的算法研究了$4m^2 5^n-1$型整数的素性。我们提供了一个算法，能够证明这些家庭中的大多数整数的素性或复合性，并详细讨论了必要的步骤，在计算机上实现该算法。虽然不确定性是可能的，在这种情况下，应使用另一种选择的初始参数，我们证明，达到这种情况的概率是非常低的，并呈指数下降与$n$。
2020-05-19 math.AG math.NT
A primality test for $Kp^\ell - 1$ numbers
Department of Mathematics, IIT Madras（印度理工学院马德拉斯分校数学系）
本文提出一种基于二次域的代数框架，用于推广Miller-Rabin素性测试，针对形式为$N = K p^{\ell} - 1$的整数设计确定性素性测试，仅需一次模幂运算，计算复杂度为$\tilde{\mathcal{O}}(\log^2 N)$，并建立Korselt准则的类比。
2026-04-29 math.NT
Ternary arithmetic, factorization, and the class number one problem
通过考虑六边形格的离散体积，可以将自然数的普通二进制乘法以非平凡的方式推广到三进制运算。通过这种操作，定义了一个自然的“3-素数”概念--关于三进制乘法的素数，结果是3-素数很少。它们对应于虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$，$n>0$，具有奇判别式，其整数环允许唯一因子分解.我们还描述了如何确定数字作为三进制积的表示以及用于通常的素性测试和整数因式分解的相关算法。
2020-12-25 math.NT
A primality test for $Kp^n+1$ numbers and a generalization of Safe Primes and Sophie Germain Primes
Azhar University（阿兹哈尔大学）
本文对形式为$Kp^n+1$的整数推广了普罗特定理，提出了一种仅需一次模幂运算的质数测试方法，无需计算任何GCD。同时提供了两种测试以提高验证$Kp^n+1$数质数的可能性。作为这些测试的推论，我们给出了三个整数家族$N$，其质数性只能通过证明$a^{N-1} \equiv 1 \pmod N$（费马测试）来确认。还推广了安全质数，定义为$a$-安全质数，因其$N-1$具有与安全质数相同的大型质因数。我们讨论了这些数的分布问题，并提出了关于相关数$a$-索菲·热尔曼质数分布的猜想。
2022-07-25 math.NT
An $\tilde{O}(\log^2(N))$ time primality test for Generalized Cullen Numbers
广义库伦数是$C_b(n):=nb^n+1$形式的正整数。在这项工作中，我们推广了一些已知的整除性质的库伦数，并提出了两个素数测试这一家庭的整数。第一个测试是基于来自这个家族的素数的以下性质：$n^{b^{n}}\equiv (-1)^{b}$（mod $nb^n+1$）。它比费马检验（对于碱基$b$和$n$）和米勒-拉宾检验（对于碱基$n$）更强，计算量更少。这种新的检验的伪素数似乎是非常稀缺的，只有4个伪素数已被发现在数以百万计的广义卡伦数测试。我们还提出了第二个，更苛刻的，没有pseudoprimes的测试已经found. This测试导致“准确定性”的测试，运行在$\tilde{O}(\log^2(N))$时间，这可能是非常有用的搜索广义卡伦素数。
2010-07-06 math.CO math.NT
The Density of Tuples Restricted by Relatively r-Prime Conditions
为了考虑不一定要求戴德金整环中所有元素的j元组都是相对r素的j向相对r素性条件，我们定义了关于固定j一致超图H的j向相对r素性的概念.这使我们不仅对代数整数环，而且对环F_q[x]的自然密度的几个结果提供了进一步的推广。
2021-07-05 math.NT
Integer properties of a composition of exponential generating functions
本文研究了指数母函数的一种复合。我们得到了新的性质，这种组合，它允许区分素数从合数。利用文[1]的结果，我们得到了Bell数的已知性质（$k=0$的Touchard同余）和欧拉数的新性质.关键词：指数母函数，母函数的合成，合成，素性，Touchard同余，贝尔数，欧拉数。
2012-11-09 math.NT
New properties for a composition of some generating functions for primes
本文研究了外函数为对数母函数，内函数为整数系数的普通母函数的母函数合成系数的性质。利用生成函数的复合和复合的概念，我们得到了这种复合的新性质。这些性质可用于区分素数和合数。作为一个应用，所得结果可用于获得新的素性准则。我们得到了Mersenne数、Lucas数、Pell-Lucas数、Jacobsthal-Lucas数和Lucas序列的素性准则。关键词：母函数，母函数的合成，合成，素性判据。
2015-06-19 math.CO math.NT
On representations of positive integers by $(a+c)^{1/3}x + (b+d)y$, $(a+c)x + \bigl(k(b+d) \bigr)^{1/3} y$, and $\bigl(k(a+c) \bigr)^{1/3} x + l(b+d) y$
我们使用刘维尔类型的和来计算在一定的相对素性条件下，对于非负整数$a,b,c,d,k,l,x,y$，正整数可以由形式$(a+c)^{1/3}x + (b+d)y$、$(a+c)x + \bigl(k(b+d) \bigr)^{1/3} y$和$\bigl(k(a+c) \bigr)^{1/3} x + l(b+d) y$表示的方式的数量。
2014-03-10 math.NT
Taxonomy and Practical Evaluation of Primality Testing Algorithms
King Fahd University of Petroleum and Minerals（国王法赫德国立石油与矿产大学）
本文综述并分类了经典和量子算法用于因数分解与素性测试，分析其优劣、时间复杂度及应用比较，揭示量子算法在因数分解上的优势，但素性测试方面尚未有明显突破。
2026-07-03 cs.CR math.NT
The number of multinomial coefficients based on a set of partitions of n into k parts and divided by k evenly
本文利用多项式系数的性质得到了一个原始整数序列。我们研究了一个性质的序列，显示连接与素性测试。对于任何素数n，序列中的第n项比n的分割数小1。我们假设存在一个素数检验的渐近算法。
2012-04-30 math.CO math.NT
Average Case Error Estimates of the Strong Lucas Test
针对强卢卡斯素性检验尚无平均情况误差界的问题，本文建立了其平均情况误差界，给出随机奇k比特数经t轮检验返回合数的概率上界，提出排除小素数倍数的改进算法并分类高贡献数，提升检验应用信心。
2023-06-15 cs.CR math.NT
Generalizations of Carmichael numbers I
证明了复合正整数$n$是{ \it弱Carmichael数}的充要条件是对$n$的每个素除子$p-1\mid n-1$是弱Carmichael数.这与Korselt的准则一起产生了这样一个事实，即每个Carmichael数也是一个弱Carmichael数。本文主要研究弱Carmichael数的算术性质。受近百年来Carmichael数研究的启发，本文建立了弱Carmichael数和与弱Carmichael数密切相关的数的若干相关结果、概念、例子和计算搜索.进一步，利用数学软件{ \tt Mathematica 8}给出了所有小于$2\times 10^6$的非素幂弱Carmichael数的表.受启发式论证、我们的计算和Carmichael数的一些旧的定理和结果的启发，我们提出了弱Carmichael数和其他几类Carmichael类数的定理.最后，我们考虑了弱Carmichael数的Fermat素性检验。我们相信，在某些有关Fermat-like素性检验和广义黎曼假设的问题中，涉及某些特定类的弱Carmichael数是有意义的。
2013-05-04 math.NT
Fermat test with gaussian base and Gaussian pseudoprimes
群$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\star$的结构和费马小定理是一些著名的素性测试算法的基础。许多相关的概念出现：Euler的totient函数和Carmichael的lambda函数，Fermat伪素数，Carmichael和循环数，Lehmer的totient问题，Giuga猜想等。在本文中，我们提出和研究类似的一些以前的概念时，我们考虑的基础群$\mathcal{G}_n:=\{a+bi\in\mathbb{Z}[i]/n\mathbb{Z}[i] : a^2+b^2\equiv 1\ \textrm{$ \pmod n $}\}$。特别是，我们通过一个Korselt的标准，高斯卡迈克尔数的特点，我们提出了它们与高斯循环数的关系。最后给出了数$n \equiv 3 \pmod{4}$的Gaussian Carmichael数与1-Williams数之间的关系.也没有已知的合数小于$10^{18}$在这个家庭，这两个伪素数基地$1+2i$和2-伪素数。
2014-01-19 math.NT
On Taking Square Roots without Quadratic Nonresidues over Finite Fields
我们提出了一个新的想法来计算平方根有限域，没有被赋予任何二次非剩余，没有假设任何未经证明的假设。算法是确定性的，证明是初等的。在某些情况下，平方根算法在具有$q$元素的有限域上以$\tilde{O}(\log^2 q)$位运算运行。作为应用，我们构造了一个确定性素性证明算法，该算法在$\tilde{O}(\log^3 N)$中运行，对某些整数$N$。
2010-02-12 math.NT
From Worst to Average Case to Incremental Search Bounds of the Strong Lucas Test
本文研究强Lucas测试的错误界，证明通过t轮连续测试及额外标准测试的整数为素数的概率大于1-(4/15)^t，并首次给出基于强Lucas测试的增量搜索算法的错误界。
2024-06-07 cs.CR math.NT
On a property of superposition of the generating functions ln(1/(1-F(x)))
得到了生成函数ln（1/（1-F（x）的一个新的叠加性质，其中F（x）是整系数生成函数，它允许构造一个素性检验.证明了基于正数合成的定理及其推论。并给出了实例。关键词：母函数，母函数的叠加，自然数的合成.
2011-12-05 math.CO math.NT
The Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
高斯整数上的最小欧氏函数
2018-02-22 math.NT
Representation of even Gaussian integer à la Chen
该研究类比有理数域的陈景润定理，证明了范数充分大的偶高斯整数可表示为一个高斯素数与至多含两个高斯素因子的高斯整数之和。
2024-06-24 math.NT
Ideal class groups of some quadratic number fields and factorization of values of some quadratic polynomials
本文填补了A. Gica关于二次多项式f_d(x)=d+x²素因子个数相关结论的空白，确定了满足对应素因子个数约束的奇偶正整数d，初步探究了f_d(x)=d-x²的同类问题。
2025-11-19 math.NT
Quadratic Equations in Three Variables over Gaussian Integers
给出了研究高斯整数环上三元丢番图二次方程的一种代数方法。
2016-07-25 math.NT
Cyclotomic matrices over the Eisenstein and Gaussian integers
本文对Eisenstein整数和Gaussian整数上的分圆矩阵，即所有特征值都在区间[-2，2]内的埃尔米特矩阵进行了分类.
2012-10-03 math.NT
A quantum algorithm for computing the Carmichael function
量子计算机可以有效地解决许多数论问题。本文利用有效的量子算法作为预言机，给出了一个计算任意整数$N$的Carmichael函数的算法，该算法的概率尽可能接近1.该算法需要$O((\log n )^3n^3)$量子运算，或使用快速乘法的$O(\log\log n (\log n)^4 n^2)$运算。验证，量子优化和应用RSA和素性测试进行了讨论。
2021-11-03 math.NT quant-ph
Gaussian integer solutions for the fifth power taxicab number problem
著名的公开问题寻找正整数解$a^5 + b^5 = c^5 + d^5$被认为是，并在两个不同的设置相关的解决方案被发现：首先，其中$a$和$b$都是正整数与$c$和$d$都高斯整数;其次，其中所有的$a$，$b$，$c$，和$d$是高斯整数。
2015-11-21 math.NT
On the Form of Odd Perfect Gaussian Integers
通过高斯整数将因子和函数推广到复平面上。然后证明了奇完满数的欧拉分类的一种修正形式。
2008-05-14 math.NT
The elliptic fixed points of the Picard modular group over the Gaussian integers
在二维复双曲空间上，我们明确地计算了Picard模群在高斯整数上作用的椭圆点和各向同性群.
2007-03-20 math.NT
A Universal Quaternary Quadratic Form over Gaussian Integers
在这篇文章中，我们表明，形式$x^2 + iy^2 + z^2 + iw^2$代表所有的高斯整数。在这个证明中使用的主要工具是费马的小定理（在有限域扩展），Mordell-Niven定理（一些高斯的表示），和广义欧拉恒等式在有限域扩展。
2014-05-08 math.NT
Extending a problem of Pillai to Gaussian lines
设$L$是一条本原高斯直线，即复平面中包含两个互质高斯整数的直线，因此包含无穷多个互质高斯整数。证明了存在一个整数$G_L$，使得对于每一个整数$n\geq G_L$，在$L$上存在无穷多个连续的高斯整数序列，且序列中没有一个高斯整数与其他所有高斯整数互质.我们还研究了最小整数$g_L$，使$L$包含一个序列的$g_L$连续高斯整数与此属性。我们表明，$g_L\neq G_L$一般。给出了$g_L\geq 7$的充要条件，并用$L$描述了无穷多条高斯线。我们推测$g_L$和$G_L$都可以是任意大的。我们的结果将著名的Pillai问题从有理整数推广到高斯整数。
2022-06-30 math.NT
Lehmer's conjecture for Hermitian matrices over the Eisenstein and Gaussian integers
本文解决了Eisenstein整数和Gaussian整数上一类由埃尔米特矩阵构成的多项式的Lehmer问题，即证明了这类多项式的Mahler测度至少为Lehmer数τ 0 = 1.17628. .
2012-06-08 math.NT
On the Distribution of the Greatest Common Divisor of Gaussian Integers
对于一对随机高斯整数选择均匀和独立的一组高斯整数的范数$x$或更少的$x$走向无穷大，我们发现渐近的平均范数的最大公因数，与明确的错误条款。我们还提出了更高的时刻与计算数据支持的结果，第二，第三，第四，第五时刻。Diaconis和Erdös研究了整数的类似问题。
2015-03-01 math.NT
Prime Gaps In The Gaussian Integers
本文定义了高斯整数中的素数间隙，并利用数值方法证明了其渐近上界为 O(log^2|p_n|)。
2024-11-11 math.NT
Multidimensional exponential divisor function over Gaussian integers
令$\taue_k \colon \Z\to\Z$是乘性函数，使得$ \taue_k(p^a) = \sum_{d_1... d_k=a} 1 $。本文介绍了高斯整数环$\Zi$上的$\taue_k$的推广.通过证明一个一般性结果确定了它们的极大序模，并建立了它们的平均序模的渐近公式。
2012-11-04 math.NT
A Deterministic Cryptographic Prime Generation Chain over Monogenic Cubic Number Fields and their Generalizations
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
提出一种从已知素数构造新素数的直接方法，利用单项纯三次域结构，仅需一次模幂运算即可在拟二次时间内完成素性证明，并推广到任意素数次数的纯数域。
2026-06-16 math.NT
The second moment of symmetric square L-functions over Gaussian integers
本文证明了高斯整数上Maass形式对称平方L函数二阶矩的新上界，并结合已有结果改进了Picard流形素数测地线定理的误差项。
2020-08-31 math.NT
The Diophantine equation $x^4\pm y^4=iz^2$ in Gaussian integers
本文利用椭圆曲线求出了$\mathbb Q(i)$上丢番图方程$x^4\pm y^4=iz^2$的所有解。利用同样的方法，我们给出了Hilbert关于方程$x^4\pm y^4=z^2$在高斯整数中只有平凡解的结果的一个新的证明.
2010-05-10 math.NT
On the magnitude of the gaussian integer solutions of the Legendre equation
Holzer证明了Legendre方程$$ax^2+by^2+cz^2=0, $$的正规形式在整数中有非平凡解时有解$(x,y,z)$，其中$|x|\leq\sqrt{|bc|}, \quad |y|\leq\sqrt{|ac|}, \quad |z|\leq\sqrt{|ab|}.$本文证明了一个类似的定理，对于系数为$a, b,c$的高斯整数Legendre方程$\mathbb{Z}[i]$有解$(x,y,z)$，其中$$ |z|\leq\sqrt{(1+\sqrt{2})|ab|}.$$
2014-05-08 math.NT
Dirichlet divisor problem on Gaussian integers
我们改进了现有的黎曼ζ函数的矩估计。因此，我们能够得到新的估计的渐近行为的$\sum_{N α\le x} \mathfrak{t}_k(α)$，其中$N$代表的一个复数的范数和$\mathfrak{t}_k$是$k$ -维除数函数的高斯整数。
2018-12-22 math.NT
The Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
1949年，Motzkin证明了每个欧几里得整环$R$都有一个极小的欧氏函数$ϕ_R$。他表明，当$R = \mathbb{Z}$，最小的功能是$ϕ_{\mathbb{Z}}(x) = \lfloor \log_2 |x| \rfloor$。七十多年来，$ϕ_{\mathbb{Z}}$一直是数域中唯一一个显式计算的极小函数。给出了非平凡数域上第一个显式计算的极小函数$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$，它计算了任意高斯整数的最短可能$(1+i)$ -ary展开式的长度.我们还提出了一个算法，使用$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$计算高斯整数的最小$(1+i)$ -ary展开。我们只用初等方法来解决这些问题。
2021-10-25 math.NT
Quartic Equations with Trivial Solutions over Gaussian Integers
本文用预解式方法研究了高斯整数上的$aX^4+bX^2 Y^2+cY^4=dZ^2$型方程。本文将$X^4+6X^2 Y^2+Y^4=Z^2$（Mordell's equation over $\mathbb{Z}[i]$），$X^4+6(1+i)X^2Y^2+2iY^4=Z^2$和$X^4\pm Y^4=(1+ i)Z^2$作为一个新的方程进行研究，并给出了关于$X^4+Y^4=Z^2$（Fermat-Hilbert），$X^4\pm Y^4=iZ^2$（Szabó-Najman）的已知定理的新证明.
2016-07-28 math.NT
Generalizing Abundancy Index to Gaussian Integers
绝对指数是指一个数的约数之和与该数本身的比值。它是定义友好数和完满数的一个非常重要的概念。在这里，我们描述了一个合适的推广abbandom指数的环的高斯整数（$\mathbb{Z}[i]$）。我们首先表明，这种推广具有许多有用的性质，传统的抽象指数在$\mathbb{Z}$。然后，我们研究$k$ -强大的$τ$ -完满数，并证明有关它们的存在性在$\mathbb{Z}[i]$的结果。
2020-04-24 math.NT
The Prouhet-Tarry-Escott problem for Gaussian integers
给定自然数$n$和$k$，使用$n>k$，Prouhet-Tarry-Escott（PTE）问题要求$\Z$的不同子集，例如$X=\{x_1,...,x_n\}$和$Y=\{y_1,...,y_n\}$，使得\[x_1^i+...+x_n^i=y_1^i+...+y_n^i\]用于$i=1,...,k$。在19世纪末和20世纪初，这个问题得到了许多部分的解决。当$n=k-1$时，我们称解为$X=_{n-1}Y$理想解。这被认为是最有趣的案例。理想的解决方案已经找到了使用初等方法，椭圆曲线和计算技术。在2007年，Alpers和Tijdeman给出了关于高斯整数的PTE问题的解决方案的例子。本文扩展了这个设置的问题的框架。我们证明了文献中的结果的推广，并使用这些信息与计算技术一起找到理想的解决方案的PTE问题的高斯整数。
2011-02-13 math.NT
Walking to infinity on gaussian lines
研究了复平面中实数直线上的有理整数与其它直线上的高斯整数之间的类比关系。这包括一个高斯模拟的伯特兰兹假设，孙子剩余定理，和周期性的整除。我们还计算调查分布的高斯素数沿这些线，并留给读者几个开放的问题。
2020-01-14 math.NT
Sizes of Pre-Images of the Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
Center for Computing Sciences/IDA（计算科学中心/ID）
本文基于前人研究，通过几何描述证明了二次整数环上最小欧几里得函数预像大小的公式。
2026-03-13 math.NT
Wolstenholme's theorem over Gaussian integers
本文将 Wolstenholme 定理推广至 Gaussian 整数环，证明互素 Gaussian 整数倒数和模 $p^4$ 为零，扩展至高次幂和，并以小素数计算验证及提出二项式系数相关猜想。
2025-03-30 math.NT
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
2019-05-22 math.NT
Modular Inverse and Reciprocity Formula
证明了非零整数模逆的一个互易公式，并给出了互易公式在计算或验证某些特定形式的模逆中的应用，包括高斯整数模另一高斯整数的模逆.
2013-04-25 math.NT
