高斯整数上的最小欧氏函数
The Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
摘要：
高斯整数上的最小欧氏函数
英文摘要：
The Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
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范数-欧氏整数环中的单位分式
Unit Fractions in Norm-Euclidean Rings of Integers
本文给出了Erdens-Straus猜想的一个高斯整数版本，并求解了范数欧氏二次域的整数环上的Erdens-Straus丢番图方程.
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复二次域上的$S$ -整数欧氏环
Euclidean rings of $S$-integers in complex quadratic fields
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高斯整数最小欧几里得函数的一个除法算法
A Division Algorithm for the Gaussian Integers' Minimal Euclidean Function
本文提出首个针对高斯整数环相对于其最小欧几里得函数的除法算法，使读者能据此执行欧几里得算法。
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高斯整数上的最小欧氏函数
The Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
1949年，Motzkin证明了每个欧几里得整环$R$都有一个极小的欧氏函数$ϕ_R$。他表明，当$R = \mathbb{Z}$，最小的功能是$ϕ_{\mathbb{Z}}(x) = \lfloor \log_2 |x| \rfloor$。七十多年来，$ϕ_{\mathbb{Z}}$一直是数域中唯一一个显式计算的极小函数。给出了非平凡数域上第一个显式计算的极小函数$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$，它计算了任意高斯整数的最短可能$(1+i)$ -ary展开式的长度.我们还提出了一个算法，使用$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$计算高斯整数的最小$(1+i)$ -ary展开。我们只用初等方法来解决这些问题。
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二次整数环上最小欧几里得函数预像的大小
Sizes of Pre-Images of the Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
Center for Computing Sciences/IDA（计算科学中心/ID）
本文基于前人研究，通过几何描述证明了二次整数环上最小欧几里得函数预像大小的公式。
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高斯整数上最小欧氏函数的初等证明
An Elementary Proof of the Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
每个欧几里得整环$R$都有一个极小欧氏函数$ϕ_R$。一个配套文件\cite{Graves}介绍了一个公式来计算$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$。它是非平凡数域的整数环的最小欧几里得函数的第一个公式。它通过研究集合$B_n = \left \{ \sum_{j=0}^n v_j (1+i)^j : v_j \in \{0, \pm 1, \pm i \} \right \}$的几何来实现，然后应用Lenstra的结果$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}^{-1}([0,n]) = B_n$来提供$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$的简短证明。伦斯特拉的证明需要大量的代数背景知识。本文利用集合$B_n$的新几何证明了$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$的公式，而不用Lenstra的结果.新的几何方法让我们只使用初等方法来证明伦斯特拉定理。然后，我们应用新的公式来回答Pierre Samuel的开放性问题：$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}^{-1}(n)$的大小是多少？附录提供了答案表和相关的SAGE代码。
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具有欧氏理想类的非Pólya双二次域
Non-Pólya bi-quadratic fields with an Euclidean ideal class
对于整环$R$，$R$上的{整值多项式\it环}由所有多项式$f(X) \in R[X]$组成，使得$f(R) \subseteq R$ .一个有趣的情况下，研究是当$R$是一个戴德金域，特别是当$R$是一个代数数域的整数环。一个具有整数环$\mathcal{O}_{K}$的代数数域$K$称为Pólya域，如果$K$上的整数值多项式的$\mathcal{O}_{K}$ -模有正则基.与$K$相关联的是$Cl_{K}$的理想类群的子群$Po(K)$，称为{ \it Pólya group of $K$ }，其测量$K$作为Pólya场的失败。本文证明了三个两两不同的全实双二次域的存在性，每个域具有同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的Pólya群.这扩展了Heidaryan和Rajaei在\cite{rajaei-jnt}和\cite{rajaei}中考虑的已知数域族。我们的结果还建立了在温和的假设下，可能无限族的双二次域有一个非主欧几里德理想类，认为在\cite{self-jnt}，不Pólya领域。
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关于欧氏循环三次域的一个注记
A note on Euclidean cyclic cubic fields
设$K$是循环三次域，$\mathcal{O}_K$是它的整数环.本文证明了导体在区间$ [73, 11971]$内且类数为1的循环立方数域都是欧氏的.
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允许并行加法的最小非整数字母表
Minimal non-integer alphabets allowing parallel addition
并行添加，即，除了有限的进位传播，迄今为止已经研究了复杂的基地和整数字母表。我们专注于字母组成的整数组合的权力的基础。给出了允许并行加法的字母表的必要条件。在一定的假设下，我们证明了相同的下界的大小的广义字母表是已知的字母表组成的连续整数。我们还扩展了基础的特性，允许并行除了计数系统与非整数字母表。
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通过欧几里得算法处理某些丢番图方程及其在纯指数方程中的应用
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本文通过经典和新方法研究三元指数丢番图方程，验证了R.Scar和R.Styer猜想在特定条件下成立，并应用于多项式-指数丢番图方程。
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2-adic整数上3x+1映射的奇偶序列与欧几里得嵌入
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研究3x+1映射下2-adic整数与奇偶序列的对应，提出逆变换新公式，分析诱导自同构的遍历性、不动点与周期环，并给出具有仿射自相似性的平面嵌入。
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欧几里得空间和整数格的稠密子集里的单形中心构型
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该研究针对欧几里得空间及整数格的稠密子集，证明了含单形及其重心的构型的密度拉姆齐定理，在特定条件下推广了相关度量下的等距副本存在性结果。
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鲁棒的加法基底而不含最小子基底
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Euclidean Algorithm的最小步数及其在有理缠结中的应用
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我们定义了正则欧几里德算法和一般形式，它导致了最小绝对逼近法和负逼近法。我们将证明，如果从减法的角度来看，最小绝对乘法和常规方法具有相同的步骤数，这实际上是可能的最小步骤数。这使我们能够将理论应用于理性缠结，以确定解开理性缠结的最有效方法。
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某些八次数环的显式欧几里得除法算法
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本文提出了一种用于某些八次数环的显式欧几里得除法算法，基于Lenstra的证明和最近向量计算，并在SageMath中实现。
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严格的R. P. Brent的二元Euclidean algorithm模型
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二进制欧几里德算法是用于计算最大公因数的经典欧几里德算法的修改，其避免了普通整数除法，仅有利于除以2的幂。二进制欧几里德算法应用于有界大小的整数对时所需步骤数的期望值首先由R。P. Brent在1976年通过一个启发式模型把算法看作一个随机动力系统。通过对相关Ruelle转移算子的期望值的数值研究，Brent得到了该算法在处理大小受大整数限制的奇数对时所需平均步数的渐近表达式. 1998年B. Vallée通过一个归纳方案修改了Brent的模型，以严格证明该算法执行的平均步骤数的渐近公式;然而，这个结果与Brent的算法的关系仍然是不确定的。本文建立了Brent转移算子的先验性质，直接证明了它具有谱隙并保持唯一的连续密度。这个密度是全纯扩展到复杂的右半平面，并有一个对数奇点在零。将这些结果与经典解析数论的方法相结合，证明了三个关于期望步数的公式的正确性，解决了D. E. Knuth在《计算机程序设计的艺术》一书中。
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3-adic整数集上的极小多项式动力学
Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic integers
本文用系数刻划了所有轨道在3-adic整数集中稠密的多项式。
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关于非对称整数矩阵的最小谱半径
On the minimal spectral radii of skew-reciprocal integer matrices
University of Fribourg（弗里堡大学）
研究确定了非对称整数矩阵在特定维度下的最小谱半径，并展示了其比对称矩阵更小的特性。
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关于整数的极小可加补数
On minimal additive complements of integers
令$C,W\subseteq \mathbb{Z}$。如果是$C+W=\mathbb{Z}$，则集合$C$被称为$\mathbb{Z}$中$W$的加法补码。如果没有$C$的真子集是$W$的加法补，则称$C$为极小加法补。令$X\subseteq \mathbb{N}$。如果存在一个正整数$T$，使得对于所有足够大的整数$x\in X$，$x+T\in X$，那么我们称$X$最终为周期的。本文研究了当$W$最终为周期或非周期时，$W$的极小补的存在性.这部分回答了Nathanson的一个问题。
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整数中作为极小可加补数产生的集合
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阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。
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各向异性扩张域族中的整数点数
The number of integer points in a family of anisotropically expanding domains
研究了欧几里得空间中一族有界域上整数点个数渐近公式中的余项，这些整数点沿着某个线性子空间保持不变，并在与该子空间正交的方向上扩展.我们证明了一些估计的其余部分，施加额外的假设域的边界。我们研究了平均余项估计，其中平均值由欧几里得空间R^n的正交变换的群SO（n）的子群在域的旋转图像上取。利用这些结果，我们改进了紧致流形上具有Riemann叶状结构的Laplace算子的特征值分布函数的绝热极限公式中的余项估计，特别是当叶状结构是环面上的线性叶状结构，度量是环面上的标准欧氏度量时.
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整数格和整格中的无穷余极小对
Infinite co-minimal pairs in the integers and integral lattices
给定一个群$G$的两个非空子集$A, B$，如果$A \cdot B = G$和$A' \cdot B \subsetneq G$对任何$\emptyset \neq A' \subsetneq A$和$A\cdot B' \subsetneq G$对任何$\emptyset \neq B' \subsetneq B$，则称它们形成一个余最小对。在这篇文章中，我们给出了整数格和整格中余极小对的几个新结果。证明了对任何$d\geq 1$，群$\mathbb{Z}^{2d}$允许无穷多个自同构，使得对于每个自同构$σ$，存在$\mathbb{Z}^{2d}$的子集$A$，使得$A$和$σ(A)$形成余极小对.具有无限基数的子集$A$和$B$（$A\neq B$）的整数中的余极小对的存在性和构造是未知的。我们表明，这样的对存在，并明确构建这些对满足一些代数性质。
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Borel--Bernstein 和 Hirst 型定理对于欧几里得虚二次域上的最接近整数复连分数
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Seoul National University（首尔大学）
本文研究了五类欧几里得虚二次域上的最接近整数复连分数映射，证明了两个度量结果，扩展了Borel-Bernstein定理和Hirst型定理，应用于稀疏模式、收缩目标和几乎必然的Levy-和Khinchine型定律。
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区域中的奇点与绝热极限
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证明了在具有光滑边界的欧几里得空间中，一族有界域中沿某个线性子空间保持不变并沿正交于该子空间的方向伸展的整数点个数的一个渐近公式.当区域为严格凸时，得到了余项的更精确的估计。利用这些结果，我们改进了绝热极限公式（由于第一作者）的特征值分布函数的Laplace算子的特征值的剩余估计与一个类似的度量在一个特定的情况下，配备了黎曼叶状的紧流形上的叶状是一个线性叶状的环面和度量是标准的欧氏度量的环面。
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整数与高斯整数连分数的最优局部收敛准则
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该研究确定了整数与高斯整数连分数的最优局部收敛准则，分类了两类连分数的极小限制条件，还构造了强于任意有限集合的无限基数规范限制集合。
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