On Fourier coefficients of modular forms of half integral weight at squarefree integers
证明了在无平方因子的整数下，与半整权Hecke本征形的傅里叶系数相关的狄利克雷级数解析地扩展到半平面$\re s\textgreater{}\tfrac{1}{2}$中的全纯函数.这表现出系数在无平方整数处的高波动。
2016-04-20 math.NT
General solutions of sums of consecutive cubed integers equal to squared integers
通过将$\left(a+M-1\right)$和$\left(a-1\right)$的三角数的差与和的乘积分解为它们的最大公约数$g$和剩余平方因子$δ^{2}$和$σ^{2}$的乘积，得到$c=gδσ$，从而找到$M$连续立方整数$\left(a+i\right)^{3}$（$a>1$，$0\leq i\leq M-1$）的和等于平方整数$c^{2}$的问题的所有整数解$\left(M,a,c\right)$。此外，$g$必须是整数的几个特定的和一般的情况下产生广义佩尔方程的解决方案允许找到所有整数解决方案$\left(M,a,c\right)$，这些解决方案出现递归的条件。特别是，发现对于$M$的所有奇数值、$a$的所有奇数整数平方值以及$M$的所有偶数值等于整数平方的两倍的情况，总是存在至少一个解。
2015-01-24 math.NT
Representation of an integer as the sum of a prime in arithmetic progression and a square-free integer
一致地为小$q$和$(a,q)=1$，我们得到的加权方式的数量的估计，一个足够大的整数可以表示为一个素同余$a$模$q$和一个无平方整数的总和。我们的方法基于Ramaré提出的局部模型概念，可以被视为一种抽象的圆方法。
2020-10-02 math.NT
Sums of squares of integers except for a fixed one
本文研究除固定整数外的整数平方和问题，对任意非负整数$n$找到了能表示所有相关正整数的最小平方数数量，推广了Dubouis在$n=0$时的结果。
2025-04-04 math.NT
On partitions of integers with restrictions involving squares
本文研究了正整数的带平方限制的分拆问题。我们主要建立了以下两个结果（Sun在2013年提出）：（i）每个正整数$n$都可以写为$n=x+y+z$ with $x,y,z$正整数使得$x^2+y^2+z^2$是正方形，除非$n$具有形式$n=2^{a}3^{b}$或$2^{a}7$ with $a$和$b$非负整数. (ii)具有$n\not=11,14,17$的每个整数$n>7$可以被写为具有$x,y,z$正整数的$n=x+y+2z$，使得$x^2+y^2+2z^2$是正方形。
2021-05-26 math.NT
Representing positive integers as a sum of a squarefree number and a small prime
证明了不等于$1$，$2$，$3$，$6$，$11$，$30$，$155$，$247$的正整数$n$都可以表示为一个无平方数与一个不超过$\sqrt{n}$的素数之和.
2023-01-29 math.NT
On products of primes and square-free integers in arithmetic progressions
我们得到了一个渐近公式的方式来表示每一个减少剩余类作为一个产品的素数和平方自由整数的数量。这可能被认为是一个宽松的版本猜想的埃尔德什，Odlyzko，和Sárközy。
2020-01-20 math.NT
On integers which are representable as sums of large squares
证明了集合$\{n^2,(n+1)^2,\ldots \}$中不可表示为元素的整系数线性组合的最大正整数是渐近的$O(n^2)$，从而验证了Dutch和Rickett的一个猜想.此外，我们问一个问题的代表性的整数作为总和的四个大广场。
2015-04-11 math.NT
Sums of squares in $S$-integers
在全实数域上，我们刻画了$S$ -整数环（通过反转一个有理整数$m$得到），使得它们的全正元素都表示为平方和.我们进一步得到部分答案的问题：当所有的全正代数整数，可整除的$m$表示为平方和？
2020-09-25 math.NT
Finite sequences of integers expressible as sums of two squares
本文构造了无穷多组满足特定间隔条件的整数序列，使其各项均可表示为两个非零整数平方和，并给出连续三项、四项、五项及公差为4的五项算术级数等参数化结果。
2024-04-09 math.NT
On the Generation of Pythagorean Triples and Representation of Integers as a Difference of Two Squares
给出了求由给定数x生成的所有本原三元组和非本原三元组的个数的一般公式。此外，公式找到完整的数量表示的整数作为一个差异的两个平方已获得。
2017-11-07 math.NT
On the representation of integer as sum of a square-free number and a prime of special type
本文证明存在无穷多个整数可表示为一个无平方因子整数与一个满足特定丢番图不等式条件的素数之和，其中系数α为无理数。
2025-04-10 math.NT
Rounding the arithmetic mean value of the square roots of the first $n$ integers
本文研究了第一个$n$整数的平方根的算术平均值$Σ(n)$。对于这个量，我们给出了一个渐近表达式，并导出了它的整数部分的公式，这个公式最近在M.马尔卡此外，我们解决了大$n\gg 1$的$Σ(n)$的数值评估。
2018-03-01 math.NT
On a conjecture for representations of integers as sums of squares and double shuffle relations
本文证明了Chan和Chua关于整数表示为8s整平方和的个数的一个猜想。证明使用了Imamoglu和Kohnen的一个定理，以及2级的二重爱森斯坦级数所满足的二重洗牌关系。
2012-01-17 math.NT
On the distribution of squarefree integers in arithmetic progressions
本文研究了无平方数整数个数的渐近公式的误差项，该公式在一定范围内，且位于某个等差数列a（mod q）中。特别是，我们证明了它的方差的上界作为一个变化超过$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$，大大提高了早期的工作Blomer。
2014-11-10 math.NT
Three integers whose sum, product and the sum of the products of the integers, taken two at a time, are perfect squares
针对欧拉提出的三整数和、积及两两乘积之和均为平方数的问题，本文用新方法得到低次多项式参数化解及数值较小的解。
2025-05-25 math.NT
On an infinite number of solutions to the Diophantine equation $ x^{n}+y^{p}=z^{q}$ over the square integer matrices
本文利用Cayley-Hamilton定理的某些推广来寻找一类满足非线性丢番图方程$ x^{n}+y^{p}=z^{q}$的整数元矩阵，其中$n,p$和$q$是任意的正整数.
2018-08-29 math.NT
On the number of pairs of positive integers $\mathbf{x, y \leq H}$ such that $\mathbf{x^2+y^2+1}$, $\mathbf{x^2+y^2+2}$ are square-free
本文证明了存在无穷多个连续的$x^2+y^2+1$，$x^2+y^2+2$形式的无平方数.我们还给出了正整数对$x, y \leq H$使得$x^2+y^2+1$，$x^2+y^2+2$无平方数的个数的渐近公式.
2019-07-25 math.NT
Representing Integers as the Sum of Two Squares in the Ring $\Z_n$
欧拉在数论中的一个经典定理指出，一个正整数$z$可以写成两个平方的和，当且仅当$z$的所有素因子$q$，与$q\equiv 3 \pmod{4}$，在$z$的素因子分解中有偶数指数。人们可以考虑这个定理的一个微小的变化，不允许使用零作为在$z$表示为两个平方和的被加数。查看这些问题中的每一个$\Z_n$，整数模$n$的环，我们给出了所有整数$n\ge 2$的一个特征，使得每一个$z\in \Z_n$可以被写为$\Z_n$中的两个平方和。
2014-04-01 math.NT
Sums of squares of integer-multiple of an integral element on real bi-quadratic fields
本文在实双二次域中构造全正代数整数，给出其正整数倍不能表示为整数平方和的必要条件，并分两类整数以表格示例验证。
2024-02-09 math.NT
Sums of Kloosterman sums over square-free and smooth integers
本文受近期关于 Kloosterman 和的双线性型及扭曲和的研究启发，研究了由无平方因子整数和光滑整数参数化的 Kloosterman 和之和的若干新问题。
2024-11-18 math.NT
Sums of integers and sums of their squares
假设一个正整数$n$被写为$m$整数的平方和。关于这些$m$整数之和本身的值$T$，我们能说些什么呢？如果把$n$的所有可能表示都看作是$m$整数的平方和，那么可以得到哪个$T$？Goldmakher和Pollack用$\mathscr{S}_m(n)$表示所有可能的$T$的集合，并使用初等参数给出了$\mathscr{S}_4(n)$的简单特征。他们的结果可以重新解释的莫德尔的理论表示的二元整二次型的平方和积分线性型。基于这种方法，我们的特点$\mathscr{S}_m(n)$的所有$m\leq 11$，并提供了一些部分结果，任意$m$。我们还展示了如何莫德尔的结果可以用来研究原来的问题，其中整数的总和是由这些整数的线性型取代的变化。这样，我们恢复和推广了Z.W. Sun et. al..
2019-02-20 math.NT
Explicit bounds for large gaps between squarefree integers
该研究得到无平方因子整数间隙渐近上界的显式形式，证明对任意$x≥2$，区间$(x, x + 11x^{1/5}\log x]$内必有一个无平方因子整数，且当$x$足够大时常数11可改进。
2023-08-26 math.NT
Sums of squares in Quaternion rings
拉格朗日四平方定理指出，任何正整数都可以表示为四个整数的平方和。我们研究了四元数环上的类似问题，重点是整数系数四元数环元素的平方。确定了无穷多个四元数环的最小必要平方数，并给出了其整体上界和下界。
2016-10-23 math.NT
On Sets of Integers where Each Pair Sums to a Square
我们讨论的问题，找到不同的整数集$\{x_1,x_2,...,x_n\}$，其中每个总和$x_i+x_j, i \ne j$是一个平方，和$n \le 7$。我们确认最小的结果拉格朗日和尼古拉斯为$n=5$和三元组的相关问题。我们为$n=6$提供新的解决方案集，以添加到单个已知集。这为Guy的{ \it Unsolved Problems in数论}中的问题D15提供了新的信息
2009-09-09 math.NT
On the sum of two squares and at most two powers of 2
我们证明，有无穷多个整数不能表示为两个整数的平方和，最多两个非负整数2的权力。
2016-10-17 math.NT
Sequences of odd numbers, even numbers and integer squares: gaps in frequency distributions of unit's digits of minor totals
本文考虑了几个整数序列的次和中单位数的出现。这些序列包括偶数序列、奇数序列和$p = 2$上的Faulhaber多项式。应用差分表可以预测哪些数字可以作为序列的次总计中的单元数字出现。某些数字的缺失（频率分布中的“间隙”）通常取决于所应用的编号系统。然而，在奇数“整数的情况下，在从3到10的基数的所有编号系统下都可以找到间隙。
2017-12-04 math.NT
Additional congruence conditions on the number of terms in sums of consecutive squared integers equal to squared integers
在$a$、$M$和$s$中寻找从$a^{2}\geq1$开始的$M$连续整数平方和等于平方整数$s^{2}$的所有整数解的问题，如果是$M\equiv3,5,6,7,8$或$10\left(mod\,12\right)$则没有解，如果是$M\equiv0,9,24% or %33\left(mod\,72\right)$ ;或$M\equiv1,2$或$16\left(mod\,24\right)$ ;或$M\equiv11\left(mod\,12\right)$则有整数解。在本文中，额外的合同条件证明了对允许值的$M$，产生的解决方案，通过使用Beeckmans的八个必要条件，进一步细化的可能值的$M$的$M$连续整数平方和等于整数平方。
2014-08-20 math.HO math.NT
A sum of squares not divisible by a prime
设$p$为素数。我们定义$S(p)$为最小数$k$，使得每个正整数至多是不能被$p$整除的整数的$k$平方的和。在这篇文章中，我们证明了$S(2)=10$，$S(3)=6$，$S(5)=5$，和$S(p)=4$对于任何素数$p$大于$5$。特别地，证明了除唯一的正整数$79$外，每个正整数至多是四个不能被$5$整除的平方和.
2018-05-08 math.NT
On certain ratios regarding integer numbers which are both triangulars and squares
我们研究同时具有三角形和正方形性质的整数，即存在整数$m$和$n$使得$ a = n^2 = \frac{m \cdot (m+1)}{2} $的数$a$。特别是，我们对这种连续数之间的比率感兴趣。虽然增加$a$的比率的极限在文献中是已知的，但据我们所知，增加$a$的连续比率的差的比率的极限是新的研究。我们给出了后一极限的一个结果，表明它与前一极限重合，并对有关极限提出了一个猜想。
2017-03-20 math.NT
Counting integer matrices with square-free determinants
University of New South Wales（新南威尔士大学）
研究整数矩阵集合中行列式为平方自由数的矩阵数量，并推导出相关渐进行为，同时改进方法计算矩阵行列式与欧拉函数的和。
2026-10-12 math.NT
Squarefree values of polynomials over the rational function field
本文研究了有限域F上的多项式环F[t]中的无平方多项式用F[t][x]中的多项式表示。这是用整数多项式表示无平方数整数的问题的函数域版本，其中证明了具有整数系数的可分多项式f（x）具有无穷多个无平方数值，除了一些简单的例外情况，事实上f（n）是无平方数的整数n具有正密度。我们证明了如果f（x）在F[t][x]中是可分的，且无平方成分，有界的次数和高度，那么当有限域大小#F趋于无穷大时，对几乎所有的首一多项式a（t），多项式f（a）是无平方成分的.
2013-07-13 math.NT
Variance of square-full integers in short intervals and arithmetic progressions
本文在拟黎曼假设下给出短区间内全平方整数方差的预期阶上界，并证明等差数列中方差的渐近公式，对二次剩余与非剩余各半平均，其阶对大素数q更小。
2025-09-03 math.NT
Numbers represented by restricted sums of four squares
本文利用Lipschitz整数环上的四元数算术证明了四元数限制平方和的一些结果。例如，我们证明了每个非负整数$n$都可以写成$x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$，其中$x,y,z,t$是整数，$x+y+2z+2t$是正方形或立方体。
2021-05-28 math.NT
Some periodic integer continued fraction expansions of $\sqrt{m}$ and application to the Pell equations
周期整数连分数（PICF）是正则周期连分数（RPCF）的推广。无理数的RPCF展开式是唯一的，这是经典的。但是，它对于PICF扩展不再是唯一的。因此，确定所有无理数的PICF展开式是一个自然的问题。本文确定了无平方因子正整数的平方根的某些类型的PICF展开式。为了得到这一结果，确定Brock-Elkies-Jordan中出现的某些PCF品种的整数点起着重要作用。作为这些结果的应用，我们利用无平方正整数的平方根的PICF展开和RPCF展开得到了Pell方程的基本解.
2023-03-24 math.NT
Sums of three squares in Q(sqrt(3)), and in Q(sqrt(17))
利用Hilbert模形式的Shimura提升映射，研究了全正整数在$\mathbf{Q}(\sqrt{3})$和$\mathbf{Q}(\sqrt{17})$中表示为三个整数平方和的个数.我们显示以下结果。在$\mathbf{Q}(\sqrt{3})$的情况下，当且仅当$b$是偶数时，全正整数$a+b\sqrt{3}$被表示为三个整数平方的和。在$\mathbf{Q}(\sqrt{17})$的情况下，全正整数表示为三个整数平方和，当且仅当它不是具有$μ\equiv7\pmod{π_{2}^{3}}$的$π_{2}^{2e}π_{2}'^{2e'}μ$或$μ\equiv7\pmod{π_{2}'^{3}}$的形式，其中$π_{2},π_{2}'$是具有$2=π_{2}π_{2}'$的素元素。在$\mathbf{Q}(\sqrt{3})$和$\mathbf{Q}(\sqrt{17})$两种情形下，都得到了与高斯三平方定理相似的结果，并作为其应用，给出了它们的全虚扩张类数表.
2020-04-20 math.NT
Sums of squares of integers from residue classes
Korea University（高丽大学）
本文研究了余类模m的整数余类的平方和性质，证明了当余数d≡±1 mod m时，该余类是s-平方universal，并确定了最小的s值。
2026-02-15 math.NT
Reducing Every Set of 36 Consecutive Integers to Zero by Differences of Squares
Central South University（中南大学）
该研究解决了Hickerson与Kleber提出的问题，给出将任意36个连续整数通过平方差化为零的明确方法，结合已有结果得出整数集可对所有整数n化为零的长度条件为12整除且不小于24。
2026-09-02 math.NT
On the Asymptotic Behavior of a Multiplicative Arithmetic Function Related to the Divisor Function Over Perfect Squares Integers Generated by Shifting
Faculty of Matter Sciences and Computer Sciences, Department of MathematicsFIMA Laboratory, University of Djilali Bounaama（吉拉利·布纳马大学物质科学与计算机科学学院数学系）
本文研究了与完美平方整数相关的除数函数的渐进行为，推导了特定求和式的渐近公式。
2026-02-24 math.NT
On a product of three theta functions and the number of representations of integers as mixed ternary sums involving squares, triangular, pentagonal and octagonal numbers
本文推导了三个theta函数乘积的线性组合一般公式，并由此得到两个theta函数乘积的公式，进而应用于整数表示为平方数、三角数、广义五角数和广义八边形数的混合三元和问题。
2024-10-17 math.NT
On the sum of a prime and a square-free number co-prime to any integer with at most two prime factors
University of the West of England（西英格兰大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）
研究证明大于2的自然数可表示为素数与特定平方数之和，并明确给出了渐进行为结果。
2026-03-30 math.NT
Representation of even integers as a sum of squares of primes and powers of two
1951年，Linnik证明了存在一个常数$K$，使得每个足够大的偶数都是两个素数的和，且至多是2的$K$的幂。从那时起，这种近似风格被认为是类似于哥德巴赫猜想的问题。一个这样的问题是表示一个足够大的偶数作为四个平方的素数和最多$k$权力的2。2014年，赵用$k = 46$证明了这一点。在本文中，我们将其简化为$k = 31$。
2022-11-11 math.NT
On the Existence of Integers with at Most 3 Prime Factors Between Every Pair of Consecutive Squares
The University of Queensland（昆士兰大学）
本文通过改进Dudek和Johnston的结果，证明了每对连续平方之间存在一个具有最多3个素因子的整数，从而在素数分布理论中取得进展。
2026-05-19 math.NT
Representations of integers by certain positive definite binary quadratic forms
本文证明了Borwein和Choi关于无平方数整数N的n=x^2+Ny^2的解的个数的平方的估计的猜想的一部分。
2004-12-13 math.NT
A characterization of Büchi's integer sequences of length 3
本文给出了整数上长度为3的广义Büchi序列（其平方序列具有常数二次差$(a)$，对某个固定整数$a$）的一个新的刻画，并给出了攻击Büchi n方问题的一个策略.长度为3的整数Büchi序列的已知特征实际上是有理数上的特征，加上一些保持整数序列的整除性准则。
2010-11-10 math.NT
Finding Almost Squares III
类型2的几乎平方是整数$n$，可以用两种不同的方式分解为$n = a_1 b_1 = a_2 b_2$，即$a_1$、$a_2$、$b_1$、$b_2 \approx \sqrt{n}$。本文改进了以往关于含2型殆平方的短区间的结果。这导致在$x$周围寻找包含可被具有$0 < c < 1$的$[x^c, 2 x^c]$中的某个整数整除的整数的短间隔的查询。
2007-09-17 math.NT
Prime Plus a Non-Square-Free Integer: An Elementary Approach
The University of Queensland（昆士兰大学）
本文用初等同余和有限计算，无条件证明了 Lee-O'Clarey 猜想对不被 997# 整除的 n>24 成立，反例必被所有≤997 的素数整除且大于 10^415。
2026-09-15 math.NT
On squares of sums of three cubes
我们证明，几乎每个正整数都可以表示为四个整数的平方和，这些整数表示为三个正立方体的和。
2020-10-27 math.NT
Algebraic integers with continued fraction expansions containing palindromes and square roots with prescribed periods
本文刻画了连分数展开包含回文序列且具有指定周期的代数整数，特别利用 Fibonacci 多项式处理各项均为 m 的特殊情形，并推导出相应整数平方根展开及正负 Pell 方程的基本解。
2024-06-07 math.NT
The Erdős discrepancy problem over the squarefree and cubefree integers
设$g:\mathbb{N}\to\{-1,1\}$是完全乘性函数，$μ$是默比乌斯函数，$μ_2^2(n)$是$n$是无立方的指示器.我们证明了$f=μ^2g$和$f=μ_2^2g$有无界的部分和。我们的证明是建立在Klurman和Mangerel的证明Chudakov的猜想，Klurman的工作相关的乘性函数和陶的决议Erdkov的差异问题。
2021-09-13 math.NT
Differences of squares of upper-triangular $2\times 2$ integer matrices
University of Zagreb（萨格勒布大学）
研究上三角整数矩阵能表示为两个上三角整数矩阵平方差的条件，给出基于数的平方差表示和额外整除条件的完整判据，并分类可表示矩阵的同余条件。
2026-05-08 math.NT
Gaussian Integers, Rings, Finite Fields, and the Magic Square of Squares
我们证明了3乘3的幻方的平方问题等价于解决四次多项式与某些因式分解的限制在一个阿贝尔扩展的有理数。我们分析了一个特殊的情况下，其中所述扩展被假定为高斯整数，从而产生一个新的搜索法。此外，本文还分析了有限域和Z/nZ形式的环上的幻方，给出了能构造幻方的幻方的环和有限域的枚举图。代码可用。
2019-08-12 math.NT math.RA
On the Distribution of Rational Squares
令$a$为正整数，令$σ(a)$表示最小自然数$s$，使得整数平方位于$s^2 a$和$s^2 (a+1)$之间;令$τ_s(a)$表示这样的整数平方的数目。函数$σ(a)$和序列$(τ_s(a))_{s \in \mathbb{Z}^+}$进行了研究，并观察到表现出令人惊讶的混沌行为。推导出$σ(a)$的上界和下界，以及它们何时是尖锐的标准。
2015-10-26 math.NT
Fast square-free decomposition of integers using class groups
本文提出一种基于二元二次型类群的算法，用于快速求 $n=a^2b$ 的无平方因子分解，在 $a,b$ 为密码学规模素数时是目前最快的方法，对依赖此类整数分解困难性的密码系统具有重要意义。
2023-08-11 math.NT
