On sums of weighted averages of $\gcd$-sum functions
令$\gcd(j,k)$为整数$j$和$k$的最大公约数。本文给出了$\gcd$ -和函数$f(\gcd(j,k)) $和函数$\sum_{d|k, d^{s}|j}(f*μ)(d) $对任意正整数$j$和$k$的加权平均的几个有趣的渐近公式，即$$ \sum_{k\leq x}\frac{1}{k^{r+1}}\sum_{j=1}^{k}j^{r}f(\gcd(j,k)) \quad \text{and} \quad \sum_{k\leq x}\frac{1}{k^{s(r+1)}}\sum_{j=1}^{k^s}j^{r} \sum_{\substack{d|k d^{s}|j}}(f*μ)(d), $$对任意固定整数$s> 1$和任意算术函数$f$的加权平均.我们还建立了$\gcd$ -和函数$f(\gcd(j,k)). $的部分和的渐近公式的误差项的均值公式
2018-01-11 math.NT
On the Asymptotic Density of $k$-tuples of Positive Integers Satisfying Arbitrary GCD Conditions
本文研究满足任意gcd条件的正整数k元组的渐近计数问题，通过建立存在性条件并利用多变量狄利克雷级数导出渐近公式，推广了Tóth关于两两条件的结果。
2025-05-08 math.CO math.NT
Improvements on the accelerated integer GCD algorithm
本文对右移$k$-元整数GCD算法的$k$-元约简中求整数$(a,b)$-元对的算法进行了分析和改进。虽然韦伯的“加速整数GCD算法”的最坏情况的复杂性是$\cOł(\log_ϕ(k)^2\r)$，我们表明，最坏情况下的迭代次数的while循环正好是$\tfrac 12 ł\lfloor \log_ϕ(k)\r\rfloor$，其中$ϕ:= \tfrac 12 ł(1+\sqrt{5}\r)$。\par我们建议后者的平均复杂度的改进，也提出了两个新的更快的剩余算法：顺序和并行之一。同时给出了并行残差算法中避免while循环的概率下界。
2014-02-10 cs.DC cs.DM math.NT
Factorization of power GCD matrices and power LCM matrices on certain gcd-closed sets
对于整数$x$和$y$，$(x, y)$和$[x, y]$分别代表$x$和$y$的最大公约数和最小公倍数。用$|T|$表示有限集合$T$的元素个数。令$a,b$和$n$是正整数，并且令$S=\{x_1, \cdots, x_n\}$是$n$不同正整数的集合。我们用$(S^a)$表示（分别）。$(x_i,x_j)$的$a$次幂的$n\times n$矩阵（分别为$[x_i,x_j]$）作为其$(i,j)$ -条目。对于任何$x\in S$，定义$G_{S}(x):=\{d\in S: d<x, d|x \ {\rm and} \ (d|y|x, y\in S) \Rightarrow y\in \{d,x\}\}$。本文证明了如果$a|b$和$S$是gcd闭的（即$(x_i, x_j)\in S$对所有整数$i$和$j$都有$1\le i, j\le n$）且$\max_{x\in S}\{|G_S (x)|\}=3$使得任意元素$y_1,y_2\in G_S(x)$满足$[y_1,y_2]=x$和$(y_1,y_2)\in G_S(y_1)\cap G_S(y_2)$），则$(S^a)|(S^b)$，$(S^a)|[S^b]$和$[S^a]|[S^b]$在环$M_{n}({\mathbb Z})$中成立.这推广了2022年得到的Chen-Hong-Zhao定理。这也部分地证实了Ho…
2025-10-07 math.NT
On the asymptotic density of the ordered pairs $(a,b)$ of positive integers such that $\gcd(ab,a+b)=\gcd(a,b)$
研究二元算术函数 $f(a,b)=\gcd(ab,a+b)/\gcd(a,b)$，推导了形如 $\sum_{a,b\le x} h(f(a,b))$ 的和的渐近公式，特别得到了满足 $f(a,b)=m$ 的有序对数量的渐近公式，其中 $m=1$ 时密度为二次类数常数 $C$。
2026-08-26 math.NT
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
2022-05-28 math.CO math.NT
Sums of averages of gcd-sum functions II
令$\gcd(k,j)$表示整数$k$和$j$的最大公约数，并且令$r$是任何固定的正整数。定义$$ M_r(x; f) := \sum_{k\leq x}\frac{1}{k^{r+1}}\sum_{j=1}^{k}j^{r}f(\gcd(j,k)) $$用于任何大实数$x\geq 5$，其中$f$是任何算术函数。令$ϕ$和$ψ$分别表示欧拉函数和戴德金函数。本文改进了$M_r(x; {\rm id})$，$M_r(x;ϕ)$和$M_r(x;ψ)$的渐近展开式.进一步，在Riemann假设和Riemann zeta函数零点的简单性下，对满足$x=[x]+\frac{1}{2}$的任意大正数$x>5$，我们建立了$M_r(x;{\rm id})$的渐近公式.
2020-02-27 math.NT
On GCD(Φ_N(a^n),Φ_N(b^n))
在过去的十年里，人们对序列{gcd（a^n-1，b ^n-1）}，n= 1，2，3，.，其中a、b是有理整数、复数上的单变量多项式或有限域上的单变量多项式中的固定（乘法独立）元素。在有理数的情况下，Bugeaud、Corvaja和Zannier得到了对任何给定的ε>0和所有大的n的上界exp（εn），并通过从Adleman、Pomerance和Rumely的论文中提取对无穷多个n的下界\exp（\exp（c \frac{log n}{loglog n}））来证明它的近似清晰度，其中c是绝对常数。对于任意正整数N，上界直接推广为gcd（Φ_N（a^n），Φ_N（b^n）），其中Φ_N（x）$是第N个分圆多项式，前一个是N=1的情况。该下界已在第一作者的博士论文中推广。thesis =2。本文推广了广义黎曼假设（GRH）下任意N的下界. Silverman证明了F_q[T]上gcd（a^n-1，b ^n-1）的下界的类似结果，我们证明了相应的推广（不含GRH）.
2013-01-17 math.NT
On a class of Lebesgue-Ljunggren-Nagell type equations
给定奇数互质整数$a$，$b$（$a>0$），我们考虑丢番图方程$ax^2+b^{2l}=4y^n$，$x, y\in\Bbb Z$，$l \in \Bbb N$，$n$奇素数，$\gcd(x,y)=1$ .在条件$2^{n-1}b^l\not\equiv \pm 1(\mod a)$和$\gcd(n,b)=1$下，我们完全解出了$a\in\{7,11,19,43,67,163\}$和$b$为奇素数幂的上述丢番图方程。对于其它无平方数的整数$a>3$和$b$，证明了上述丢番图方程对满足$2^{n-1}b^l\not\equiv \pm 1(\mod a)$，$\gcd(n,b)=1$和$\gcd(n,h(-a))=1$的所有整数$x$，$y$和（$\gcd(x,y)=1$），$l\in\mathbb{N}$和所有奇素数$n>3$都无解，其中$h(-a)$表示虚二次域$\mathbb Q(\sqrt{-a})$的类数.
2020-01-14 math.NT
Erdős's integer dilation approximation problem and GCD graphs
针对Erdős1948年提出的整数膨胀逼近问题，本文利用第一作者与James Maynard在丢番图逼近研究中引入的GCD图机制，证明了满足特定密度条件的可数集存在无穷多对元素可被整数膨胀逼近，从而解决该问题。
2025-02-13 math.CO math.DS math.NT
On some applications of GCD sums to Arithmetic Combinatorics
利用GCD和，我们证明了素数集与任意指数大整数集$S$具有小的公共乘法能量，特别是$S$中任意以零为起点的等差数列的大小至多为$O(\log |S| \cdot \log \log |S|)$ .这个结果可以被认为是Vinogradov关于最小二次非剩余问题的一个整数模拟。证明依赖于函数$f(x)=\log x$的某种排斥性质。此外，我们考虑的情况下，一般的$k$ -凸函数$f$和曲线$y=f(x)+c$的集合得到一个新的关联结果。
2020-10-24 math.CO math.NT
Hyperbolic summation for functions of the GCD and LCM of several integers
本文研究了多个整数最大公约数与最小公倍数函数在双曲区域上的求和问题，推导了带有余项的渐近公式，并推广了作者先前在二元情形下的结果。
2023-09-07 math.NT
Coprime values of polynomials in several variables
给定两个多项式$P(\underline x)$、$Q(\underline x)$，它们是一个或多个变量的整数系数，它们互质的性质如何与它们在整数点$\underline n$的值$P(\underline n), Q(\underline n)$互质有关？我们证明了所有$\gcd (P(\underline n), Q(\underline n))$的集合在gcd和lcm下是稳定的。一个值得注意的结果是Schinzel的结果：如果另外$P$和$Q$没有固定的素除子（即，没有素数整除所有值$P(\underline n)$、$Q(\underline n)$），则$P$和$Q$假定在“许多”整数点处互质。相反，我们表明，如果“足够多”的整数点产生互质（或小gcd）的值，那么原来的多项式必须互质。另一个值得注意的后果，本文是一个版本的整数环的希尔伯特的不可约定理。
2022-09-29 math.NT
On the gcd graphs over polynomial rings
受数域与函数域类比启发，本文定义并研究有限域系数多项式环上的 gcd 图，建立其基本谱与结构性质。
2025-10-04 math.AC math.CO math.NT
Extremal problems for GCDs
我们证明，如果$A \subseteq [X, 2X]$和$B \subseteq [Y, 2Y]$是整数的集合，使得$\gcd(a,b) \geq D$至少$δ|A||B|$对$(a,b) \in A \times B$，然后$|A||B| \ll_{\varepsilon} δ^{-2 - \varepsilon} XY/D^2$。这是一个新的结果，即使当$δ= 1$。证明使用Koukoulopoulos和Maynard的思想和一些额外的组合参数。
2020-12-16 math.CO math.NT
A generalization of Tóth identity in the ring of algebraic integers involving a Dirichlet Character
$k$维广义欧拉函数$φ_k(n)$被定义为有序$k$元组$(a_1,a_2,\ldots, a_k) \in \mathbb{N}^k$与$1\leq a_1,a_2,\ldots, a_k \leq n$的数量，使得乘积$a_1a_2\cdots a_k$和$a_1+a_2+\cdots+a_k$都与$n$互质. Tóth证明了恒等式\begin{equation*} \sum_{\substack{a_1,a_2,\ldots, a_k=1 \\ \gcd(a_1a_2\cdots a_k,n)=1\\ \gcd(a_1+a_2+\cdots+a_k,n)=1}}^n \gcd(a_1+a_2+\cdots+a_k-1,n) =φ_k(n)σ_0(n), \;\; \text{ where } σ_s(n) = \sum_{d\mid n}d^s \;\; \text{ holds. } \end{equation*}这个恒等式也可以看作是梅农恒等式的推广。本文将这个恒等式推广到含算术函数和Dirichlet特征标的代数整数环。
2021-06-26 math.NT
Note on Fractional Sums with Fixed GCD
本文研究了具有固定最大公约数的分数和的渐近公式，分析了算术函数在不同整数乘积下的表示个数及其相关性质。
2026-02-12 math.NT
Counting $k$-tuples of positive integers such that the values of several polynomials of $k$ variables are relatively prime
本文针对满足一般性质的多项式系统，建立了关于其最大公因数函数的有界强乘性函数和的渐近公式，并由此推导出$k$元组互素密度的Ekedahl-Poonen公式的误差项版本。
2026-09-24 math.NT
Gcd-closed sets and divisibility among power GCD matrices and power LCM matrices
Hubei Minzu University（湖北民族大学）
本文证明了Hong猜想，即在满足特定条件的gcd闭集上，幂GCD矩阵和幂LCM矩阵在a|b时能被幂GCD矩阵整除。
2026-08-19 math.NT
Integer Programming with GCD Constraints
该研究针对带GCD约束的整数规划非线性扩展问题，证明其可行性属于NP且最优解具多项式比特长度，通过识别整数存在性理论的相关片段并改进局部-全局原理，还建立了适用于同余与非同余系统的中国剩余型定理。
2023-08-25 cs.LO math.NT
On the g.c.d. of an infinite number of integers
证明了广义等差数列的无穷多个整数的广义差集与等差数列无关地保持有界性。利用这一点，我们还得到了算术群的某些同余子群的指数的界。
2004-09-21 math.NT
The Skolem-Abouzaid theorem in the singular case
设F（X;Y）在Q[X;Y]中是Q-不可约多项式.在1929年Skolem证明了以下定理：“假设F（0;0）= 0。则对每个非零整数d，方程F（X;Y）= 0在整数（X;Y）中只有n个解，且gcd（X;Y）= d”。Skolem方法允许人们明确地根据多项式F和整数d的系数来约束解。2008年，Abouzaid对Skolem定理进行了广泛的推广。他延长它在两个方向：首先，他研究的解决方案不仅在合理的整数，但在任意代数数。其次，他不仅用对数gcd来界定解，而且得到了坐标的高度和它们的对数gcd之间的一种渐近关系。不幸的是，Abouzaid假设比Skolem稍微更严格：他不仅假设点（0;0）属于平面曲线F（X;Y）= 0，而且假设（0;0）是该曲线上的非奇点。本文的目的是摆脱这种非奇异性假设。
2015-01-21 math.NT
Divisibility among power GCD and power LCM matrices on certain gcd-closed sets
本文研究gcd闭集上幂GCD与幂LCM矩阵的整除性，证明满足特定条件时三类整除关系成立，还找到不满足该条件仍成立的集合，推广了已有定理并部分证实相关猜想。
2025-10-06 math.NT
On sums of arithmetic functions involving the greatest common divisor
令$\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})$是正整数$d_{1},\ldots,d_{k}$的最大公因数，对任意整数$k\geq 2$，并令$τ$和$μ$分别表示除数函数和莫比乌斯函数。对任意算术函数$g$，对任意实数$x>5$和任意整数$k\geq 3$，定义了和$$ S_{g,k}(x) :=\sum_{n\leq x}\sum_{d_{1}\cdots d_{k}=n} g(\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})) $$.本文给出了$k\geq 3$的和$S_{τ,k}(x)$和$S_{μ,k}(x)$的渐近公式.
2021-02-07 math.NT
On a congruence involving harmonic series and Bernoulli numbers
在2003年，Zhao发现了一个涉及调和级数和Bernoulli数的奇怪的同余式：对于任何奇素数$p$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,p)=1\ı+j+k=p}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3} \pmod{p},$$其中$B_n$是第$n$个Bernoulli数。Wang和Cai在2014年推广了这个同余式，Cai，Shen和Jia在2017年分别用奇素数幂和两个奇素数幂的乘积替换了求和和模中的奇素数$p$。特别地，蔡、沈和贾提出了一个代数同余：对任意正整数$n$，有一个奇素因子$p$，使得$p^r \parallel n$，其中$r\ge 1$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,n)=1\ı+j+k=n}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3}\cdot \frac{n}{p}\cdot \prod_{\substack{\text{prime $q\mid n$}\\q\ne p}}\left(1-\frac{2}{q}\right)\left(1-\frac{1}{q^3}\right) \pmod{p^r}.$$本文建立了他们猜想的如下推广：对于具有奇素数因子$p$的任何正整数$n$，使得$p^r \parallel n$，其中$r\g…
2021-10-18 math.NT
On decompositions of quadrinomials and related Diophantine equations
令$A,B,C,D$是使得$ABC \neq 0$的有理数，并且令$n_1>n_2>n_3>0$是正整数。我们在$f,g \in \mathbb{Q}[x]$中求解方程$$ Ax^{n_1}+Bx^{n_2}+Cx^{n_3}+D = f(g(x)),$$。然后利用Bilu-Tichy方法证明了方程$$ Ax^{n_1}+Bx^{n_2}+Cx^{n_3}+D = Ey^{m_1}+Fy^{m_2}+Gy^{m_3}+H, $$积分解的有限性，其中$A,B,C,D,E,F,G,H$为有理数$ABCEFG \neq 0$，$n_1>n_2>n_3>0$，$m_1>m_2>m_3>0$，$\gcd(n_1,n_2,n_3) = \gcd(m_1,m_2,m_3)=1$，$n_1,m_1 \geq 9$ .以及方程$$ A_1x^{n_1}+A_2x^{n_2}+\ldots+A_l x^{n_l} + A_{l+1} = Ey^{m_1}+Fy^{m_2}+Gy^{m_3}, $$其中$l \geq 4$是固定整数，$A_1,\ldots,A_{l+1},E,F,G$是非零有理数，除了可能的$A_{l+1}$，$n_1>n_2>\ldots > n_l>0$，$m_1>m_2>m_3>0$是正整数使得$\gcd(n_1,n_2, \ldots n_l) = \gcd(m_1,m_2,m…
2015-12-09 math.NT
Circulant graphs and GCD and LCM of Subsets
给定两个整数集合$A$和$B$，我们考虑寻找一个集合$S \subseteq A$的最小可能基数，使得$S \cup B$的元素的最大公约数等于$A \cup B$的元素的最大公约数. $B = \emptyset$和$\#B = 1$的特殊情况是特别有趣的，并且与图论有一些联系。我们还考虑了元素的最小公倍数的相应问题。我们通过将这些问题与最小覆盖问题联系起来，建立了这些问题的NP完全性和近似结果。
2014-02-21 cs.CC math.NT
Alpay Folded Prime Enumerator via gcd and Floors: Exact Enumeration, Record-Lift, and Non-Synonymy/Minimality Certificates
本文提出仅用整数算术、gcd和取整函数的单一闭合表达式$f_{\text{Alpay},U}(x)$以返回第$(x+1)$个素数，给出两种调度并证明其非同义性与渐近极小性界，还提供形式复杂度分析。
2025-08-15 math.NT
On the Diophantine equation $cx^2+p^{2m}=4y^n$
设$c$是无平方因子的正整数，$p$是满足$p\nmid c$的素数.令$h(-c)$表示虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-c})$的类数。本文研究了丢番图方程$$cx^2+p^{2m}=4y^n,~~x,y\geq 1, m\geq 0, n\geq 3, \gcd(x,y)=1, \gcd(n,2h(-c))=1,$$，给出了它的所有整数解.我们的主要工具在这里是突出的结果Bilu，Hanrot和Albertier存在的原始因子在Lehmer序列。
2021-02-16 math.NT
Gcd-closed sets and divisibility among power LCM matrices
Hubei Minzu University（湖北民族大学）
研究gcd-封闭集S上幂LCM矩阵之间的整除性，证明当S满足条件G时，若a|b则[S^a]整除[S^b]，证实了Hong的猜想。
2026-08-19 math.NT
On the sequence $\mathrm{gcd}(a^n-1,b^n-1)$
Morningside Center of Mathematics, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
研究整数序列 $g_n=\gcd(a^n-1,b^n-1)$ 的整除性质，证明其满足常系数线性递推当且仅当 $a$ 与 $b$ 乘法相关，并给出局部结构公式，推进了整数 Ailon-Rudnick 猜想。
2026-08-26 math.NT
Random gap processes and asymptotically complete sequences
研究了随机正整数权序列$\{ W_n \}$的生成过程，其中权序列$\{ X_n = W_n - W_{n-1} \}$之间的间隔是独立同分布的.正整数值随机变量。我们证明了只要间隙分布具有有限的$\frac{1}{2}$ -矩，几乎必然地，所得到的权重序列是渐近完备的，即，可能间隙值的GCD的所有足够大的倍数可以被写为不同权重的和。然后，我们展示了一个强得多的结果，如果间隙分布具有足够大的收敛半径的矩母函数，那么间隙值的gcd的每一个足够大的倍数可以被写为对于任何固定的$m \geq 2$的$m$不同权重的总和。
2019-09-18 math.CO math.NT math.PR
On Relatively Prime Subsets and Supersets
一个正整数A的非空有限集，如果gcd（A）= 1，则A是互素的;如果gcd（A [ fng]）= 1，则A与n是互素的. A的与n互素的非空子集的个数为Φ（A，n），基数为k的子集的个数为Φ_k（A，n）。给定正整数l1、l2、m2和n，使得l1 <= l2 <= m2，我们给出Φ（[1;m1][[l2;m2]; n）和Phi_k（[1;m1] [ [l2;m2]; n）。给定正整数l、m和n，使得l <= m，我们对{l，l+1，.，m}是[l;m]中与n互素的超集的个数，我们计算与n互素的超集的个数。公式也得到相应的超集具有固定的基数。中间的后果包括一个公式的数量互素集与非空的交集与一些固定的一组正整数。
2009-10-24 math.NT
Sharp $p$-adic Extrema and Least Extremal Rows for Restricted Binomial GCDs
本文证明受限二项式GCD的p-adic极值恰为r_p(m)，并构造达到该值的行，对m=p^a+1精确给出最小极值行p^{3a}+1，结合Kummer定理与显式见证。
2026-10-02 math.NT
Joint distribution in residue classes of the base-$q$ and Ostrowski digital sums
令$q$为整数$\geq 2$，并且令$S_q(n)$表示基$q$中的$n$的位数之和。对于\[ α=[0;\overline{1,m}],\ m\geq 2, \]，让$S_α(n)$表示$n$的Ostrowski $α$表示中的数字之和。令$m_1,m_2\geq 2$是具有$$\gcd(q-1,m_1)=\gcd(m,m_2)=1.$$的整数我们证明存在$δ>0$，使得对于所有整数$a_1,a_2$，\begin{eqnarray*} &&|\{0\leq n<N: S_{q}(n)\equiv a_1\pmod{m_1},\ S_α(n)\equiv a_2\pmod{m_2}\}| &=&\frac{N}{m_1m_2}+O(N^{1-δ}). \end{eqnarray*}该等式所隐含的渐进关系已由Coquet、Rhin和Toffin证明，并且该等式已由Spiegelhofer证明了$α=[\ \overline{1}\ ]$情况下的等式。
2017-10-26 math.NT
The generalized Pillai equation $\pm r a^x \pm s b^y = c$
本文研究了方程$ (-1)^u r a^x + (-1)^v s b^y = c$在非负整数$x, y$和整数$u, v \in \{0,1\}$中的解的个数$N$，对于给定的整数$a>1$，$b>1$，$c>0$，$r>0$和$s>0$ .我们表明，$N \le 2$时，$\gcd(ra, sb) =1$和$\min(x,y)>0$，除了有限数量的情况下，可以发现在有限数量的步骤。对于任意的$\gcd(ra, sb)$和$\min(x,y) \ge 0$，我们表明，当$(u,v) = (0,1)$，我们有$N \le 3$，与无限数量的情况下，N=3。
2011-02-22 math.NT
Waring's Theorem for Binary Powers
如果自然数的二进制表示由$k$连续的相同块组成，则该自然数是二进制的$k$次幂。我们证明了二进制$k$次幂和的Waring定理的一个类似定理。更精确地说，我们证明了，对于每个整数$k \geq 2$，存在正整数$W(k)$，使得每个足够大的倍数的$E_k := \gcd(2^k - 1, k)$是最多$W(k)$二进制$k$的幂和。(The作为$E_k$的倍数的假设不能被省略，因为我们表明二进制$k$的幂的$\gcd$是$E_k$。）此外，我们解释了我们的结果可以扩展到任意整数基$b > 2$。
2018-01-13 cs.DM math.CO math.NT
Positive rational number of the form $φ(km^{a})/φ(ln^{b})$
令$k, l, a$和$b$是正整数，其中$\max\{a, \, b\}\ge2$。本文证明了每一个正有理数都可以写成$φ(km^{a})/φ(ln^{b})$的形式，其中$m, \, n\in\mathbb{N}$当且仅当$\gcd(a, \,b)=1$或$(a, b, k, l)=(2,2, 1, 1)$ .此外，如果是$\gcd(a, b)>1$，则这种表示的适当表示是唯一的。
2022-12-02 math.NT
Greatest common divisors of shifted primes and Fibonacci numbers
令$(F_n)$是斐波那契数序列，对于每个正整数$k$，令$\mathcal{P}_k$是素数$p$的集合，使得$\gcd(p - 1, F_{p - 1}) = k$。证明了$\mathcal{P}_k$的相对密度$\text{r}(\mathcal{P}_k)$的存在性，并给出了用绝对收敛级数表示的$\text{r}(\mathcal{P}_k)$的计算公式.此外，我们给出了一个有效的准则，以建立如果一个给定的$k$满足$\text{r}(\mathcal{P}_k) > 0$，我们提供了上和下界的计数函数的这种$k$的集合。作为我们结果的应用，我们给出了整数集合的计数函数的一个下界的新证明，其形式为$\gcd(n, F_n)$，对于某个正整数$n$ .我们的证明是更基本的比前一个由Leonetti和Sanna，它依赖于Cubre和Rouse的结果。
2022-04-19 math.NT
On terms in a dynamical divisibility sequence having a fixed G.C.D with their indices
令$F$和$G$是整数多项式，其中$F$的次数至少为$2$。定义序列$(a_n)$由$a_n=F(a_{n-1})$为所有$n\ge 1$和$a_0=0.$设$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$是所有正整数$n$的集合，使得$k\mid \gcd(G(n),a_n)$，如果$p\mid \gcd(G(n),a_n)$为某些$p$，则$p\mid k.$设$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}$是$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$的子集，使得$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}=\{n\ge 1 : \gcd(G(n),a_n)=k\}$。本文证明了一类$(F,G)$的$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}$和$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$的渐近密度的存在性，并计算了$G(x)=x.$的$\mathscr{A}_{F,\,G,\,k}$和$\mathscr{B}_{F,\,G,\,k}$的显式密度
2022-08-06 math.DS math.NT
Estimates for $k$-dimensional spherical summations of arithmetic functions of the GCD and LCM
研究了$k$维球面区域内涉及整数GCD和LCM算术函数的求和问题，推导了带余项的渐近公式。
2024-01-03 math.CO math.NT
The South Caicos Factoring Algorithm
令$N=UV$，其中$U,V$是整数，具有$1< U,V <N$和$\gcd(U,V)=1$。我们描述了一个概率算法分解$N$使用$O(\max(U,V)^{1/2+ε})$位操作。
2021-01-12 math.NT
An Optimal Lower Bound for the Frobenius Problem
给定$N$正整数$a_1, ..., a_N$与$\gcd(a_1, ..., a_N)=1$，令$f_N$表示不是$a_1, ..., a_N$的正整数组合的最大自然数。本文根据标准$(N-1)$ -单纯形的绝对非齐次极小值给出了$f_N$的最优下界。
2006-03-29 math.NT
On the Diophantine equation X^{2N} + 2^{2 alpha} 5^{2 beta} p^{2 gamma} = Z^5
证明了对任意奇素数p，正整数α，非负整数β和γ，丢番图方程X^{2 N} + 2^{2 alpha} 5^{2 beta} p^{2 gamma} = Z ^5，当X，Z，N在Z^+中，N > 1且gcd（X，Z）= 1时，无解.
2014-09-08 math.NT
On the sum of fourth powers in arithmetic progression
证明了方程${ (x - y)^4 + x^4 + (x + y)^4 = z^n }$对所有整数${ n > 1 }$不存在满足${ \gcd(x, y) = 1 }$的整数解${ x, y, z}$.我们主要使用模块化的方法与两个FreyPDMATHABMQ-曲线定义的领域${ \mathbb{Q}( \sqrt{30} ) }$。
2020-06-18 math.NT
Generalized Sierpiński and Riesel numbers of the form $tb^t+α$
本文证明对任意非零整数α，形如tb^t+α的数中存在无穷多个b-Sierpiński数和b-Riesel数，并在b+1非2的幂时存在无穷多个b-Brier数。
2025-08-08 math.NT
Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums
对于正整数的非空有限集$A$，设$\gcd\left(A\right)$表示$A$中元素的最大公约数。令$f\left(n\right)$和$Φ\left(n\right)$分别表示使得$\gcd\left(A\right) = 1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目和使得$\gcd\left(A\cup\left\{n\right\}\right) =1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目。令$D\left(n\right)$是$f\left(n\right)$的除数和。本文得到了$f\left(n\right)$，$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的部分和.我们还得到了$D\left(n\right)$的组合解释和同余性质。在本文的最后，我们给出了有关$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的开放性问题。
2013-06-20 math.NT
Cyclic systems of simultaneous congruences
本文考虑解（x_1，x_2，.，x_n）到n个同时同余的循环系r（x_1x_2. x_n）/x_i = s（mod |x_i|），对于固定的非零整数r，s，其中r>0且gcd（r，s）=1。证明了该方程组在正整数x_i >1中有有限个解，且gcd（x_1x_2. x_n，s）=1，在许多情况下得到解的最大尺寸的一个尖锐的上界.这个界限在n中呈双指数增长。它表明，有无穷多个这样的解决方案时，积极的限制下降，当r=1，而不是否则。本文将问题归结为研究三参数丢番图方程r（1/x_1 + 1/x_2 +.+）的整数解1/x_n）- s/（x_1x_2. x_n）= m，参数为（r，s，m）。
2008-10-02 math.CO math.NT
On the distribution of modular inverses from short intervals
本文研究短区间内模逆元序列模素数的分布问题，通过指数和下界估计证明了对任意充分大的N存在相应素数p，使指数和达到接近平凡的较大下界。
2023-04-17 math.NT
On the Diophantine Equation $x^{2}+5^{a}\cdot 11^{b}=y^{n} $
当$\gcd(x,y)=1$为整数时，除$xab$为奇数外，我们给出了标题方程的整数$(n,a,b,x,y)$的完全解.
2010-01-14 math.NT
A conjecture of Erdos, supersingular primes and short character sums
当$k$是一个充分大的正整数时，证明了丢番图方程$$n (n+d) \cdots (n+ (k-1)d) = y^{\ell}$$在正整数$n, d, y$和$\ell$中至多有2个解，其中有$\operatorname{gcd}(n,d)=1$和$\ell \geq 2$ .我们的证明依赖于Frey-Hellegouarch曲线和结果超奇异素数的椭圆曲线没有复乘，来自上界短字符和筛，分析和组合。
2017-09-04 math.NT
On squares in Lucas sequences
设P和Q为非零整数。Lucas序列U_n（P，Q）定义为U_0=0，U_1=1，U_n= P* U_{n-1} -Q* U_{n-2}（n >1）. U_n（P，Q）何时可以是完满平方的问题在文献中引起了人们的兴趣。我们证明，对于n=2，…，7，U_n是无穷多对（P，Q）的平方，其中gcd（P，Q）=1;进一步，对n=8，.，12是唯一的gcd（P，Q）=1和U_n（P，Q）=平方的非退化序列，由U_8（1，-4）=21^2，U_8（4，-17）=620^2，U_12（1，-1）=12^2给出.
2006-10-24 math.NT
The Diophantine Frobenius Problem revisited
本文重新考察丢番图 Frobenius 问题，证明了在系数互素且表示中变量也互素的条件下存在最大不可表示数，并显式研究了二元情形的大小，强化了经典结果。
2025-09-10 math.CO math.NT
Closed formulas for the factorization of $X^n-1$, the $n$-th cyclotomic polynomial, $X^n-a$ and $f(X^n)$ over a finite field for arbitrary positive integers $n$
本文针对有限域上满足 $\gcd(n,q)=1$ 的任意正整数 $n$，给出了 $X^n-a$、$X^n-1$、分圆多项式 $\Phi_n$ 及复合式 $f(X^n)$ 的显式因式分解闭式公式。
2024-02-08 math.NT
