The South Caicos Factoring Algorithm
Michael O. Rubinstein
令$N=UV$，其中$U,V$是整数，具有$1< U,V <N$和$\gcd(U,V)=1$。我们描述了一个概率算法分解$N$使用$O(\max(U,V)^{1/2+ε})$位操作。
Let $N=UV$, where $U,V$ are integers, with $1< U,V <N$, and $\gcd(U,V)=1$. We describe a probabilistic algorithm for factoring $N$ using $O(\max(U,V)^{1/2+ε})$ bit operations.
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Note on Integer Factoring Algorithms II
本文介绍一类新的整数分解算法。将描述该方法的两个版本，确定性和概率性。这些算法是实用的，可以在超多项式时间内分解大类平衡整数N = pq，p < q < 2p。此外，提出了一种扩展的费马因式分解方法。
Factoring polynomials over global fields
设K是一个整体域，f在K[X]中是一个多项式。我们提出了一个有效的算法，因子f在多项式时间。
Algorithm for factoring some RSA and Rabin moduli
本文提出了一种新的有效算法，以分解RSA和拉宾模的特殊情况下，当他们的两个素因子之间的差异是有界的。作为推广，我们也给出了关于整数因子分解的一些理论结果。
Factoring Numbers with elliptic curves
在本文中，我们提供了一个概率多项式时间算法，减少了任何平方自由整数$n$的完全因式分解，以计数点的椭圆曲线模$n$，成功的概率$1-\varepsilon$，对于任何$\varepsilon<0$。
Rational Base Descent: A Deterministic Algorithm for Factoring Structured Semiprimes
本文提出一种专门算法，用于分解形式为N=pq的半素数，其中一个素因子满足p≈c(a/b)^n，算法在特定参数下以O(log^3 N)时间隔离因子，并提供Python实现。
The distribution of solutions to xy = N mod a with an application to factoring integers
我们考虑解$(x,y)$到$xy=N \mod a$的均匀分布，得到了解的个数在长度平方上的二阶矩的一个界近似为$a^{1/2}$ .我们使用它来研究一种新的因子分解算法，该算法在$O(N^{1/3+ε})$时间内可证明地对$N=UV$进行因子分解，并讨论将运行时间提高到亚指数级的潜力。
Factoring polynomials over function fields
针对正特征一元函数域K上的一元多项式，研究提出通用因式分解算法，可高效求解带约束的因子并支持小特征下的确定性多项式时间不可约性测试，同时探讨了相关应用。
Factoring polynomials of the form $f(x^n)\in \mathbb{F}_q[x]$
令$f(x)\in \mathbb{F}_q[x]$是次数为$m$、指数为$e$的不可约多项式，$n$是正整数，使得对于$n$的所有$p$素因子，都有$ν_p(q-1)\ge ν_{p}(e)+ν_p(n)$。我们提出了一个快速算法来确定$f(x^n)$的不可约因子。我们还显示了不可约因素的情况下，${\rm rad}(n)$除了$q-1$和${\rm gcd}(m, n)=1$。最后，使用该算法，我们分裂成不可约的因素$x^n-1$的情况下，当$n=2^mp^t$和$q$是一个发电机的组$\mathbb{Z}_{p^2}^*$。
A Novel AQC Factoring Algorithm
由于最近的技术进步，正在构建实际的量子设备并用于执行计算。因此，许多经典问题被重述，以便在量子计算机上解决。一些例子包括可满足性问题;聚类和分类;蛋白质折叠;和模拟多体系统。将这些经典问题转换到量子框架并不总是那么简单。因此，研究人员明确阐明转换过程的实例不仅本身有价值，而且可能产生新的想法和解决问题的创造性方法。在本文中，我们提出了一个经典的因式分解算法，然后将其转换为量子框架。在此过程中，我们讨论了这些方法之间微妙的相似性和差异，并对它们的性能进行了一般比较。我们的愿望不仅是引入一种有趣的分解方法，而且希望能促进使用量子计算机解决问题的更具创造性的方法。我们的算法的关键是，我们转换的因式分解问题的图论问题使用元素从群论。向图论方法的转变最终简化了向量子设置的过渡。
Factoring using multiplicative relations modulo $n$: a subexponential algorithm inspired by the index calculus
该研究提出一种受指标演算启发的整数因式分解次指数算法，将因式分解归约为求模n因子基乘法关系的超定系统，虽慢于最优算法，但因简洁性和与指标演算的相似性具研究意义。
Factoring with Hints
我们介绍了一种新的确定性因子分解算法，它可以描述在密码时尚的术语“因子与提示”：我们表明，鉴于知识的因式分解的$O(N^{1/3+ε})$条款周围的$N=pq$产品的两个大素数，我们可以恢复确定性$p$和$q$在$O(N^{1/3+ε})$位操作。虽然这比目前最好的因式分解算法要慢，但这种方法表明，接近整数的因式分解是相关的，因此人们可以沿着这条思路期待更多的结果。
Note on Integer Factoring Methods IV
本文继续研究基于多项式方程组的确定性整数分解算法。主要结果建立了一个新的整数分解的确定性时间复杂度基准。
On oracle factoring of integers
我们提出了一个预言因式分解算法，发现一个非平凡的因素，几乎所有的正整数$n$的基础上的知识，在某些椭圆曲线上的剩余环模$n$的点的数量。
Note Integer Factoring Methods III
最好的确定性无条件证明的整数分解算法具有指数运行时间复杂度O（N^（1/4））算术运算，并且在黎曼假设的条件下，存在指数运行时间复杂度O（N^（1/5））的确定性算法。本文提出了一个新的确定性整数分解算法，其确定性指数时间复杂度为O（N^（1/6））。此外，给出了一种分解具有如下形式的因子差的复合整数的算法：q - p =（r - 1）N^（1/2）+ u，其中r > 1是固定参数，|u| < N^（1/3），在确定性对数时间和各种其他结果包括在内。
Symbolic Arithmetic and Integer Factorization
在本文中，我们创建了一个系统的和自动化的过程转化为问题的整数分解问题求解布尔方程组。令人惊讶的是，由此产生的布尔方程系统具有“自己的生命”，并成为一种新的整数类型，我们称之为通用整数。然后，我们继续使用新发现的代数结构的环的一般整数创建两个新的整数分解算法，分别称为布尔分解（BF）算法，和乘法布尔分解（MBF）算法。虽然这两个算法与当前的经典整数分解算法没有竞争力，但希望它们将成为创建更快和更有竞争力的算法的垫脚石，并且可能是整数分解的新量子算法的先驱。
Factoring formal power series over principal ideal domains
本文给出了唯一分解整环$R[[X]]$中形式幂级数的不可约检验和分解算法，其中$R$是任意主理想整环.我们还分类所有整环产生的商环的$R[[X]]$。我们的主要工具是将$p$ -adic Weierstrass准备定理推广到完全过滤交换环的背景下。
Deterministic factoring with oracles
我们重新审视整数因式分解的问题与数论预言，包括一个众所周知的问题：我们可以因子一个整数$N$无条件，在确定性多项式时间，给定的欧拉totient $$Φ$(N)$? We show that this can be done, under certain size conditions on the prime factors of N. The key technique is lattice basis reduction using the LLL algorithm. Among our results, we show for example that if $N$ is a squarefree integer with a prime factor $p > $\sqrt$ N$ , then we can recover p in deterministic polynomial time given $$ Φ $(N)$的值。我们还阐明了类似的问题，卡迈克尔的功能，和秩序的预言，是在肖尔的量子因式分解算法。
Unconditional correctness of recent quantum algorithms for factoring and computing discrete logarithms
本文通过解析数论工具证明了Regev改进的量子算法在因数分解和计算离散对数问题上的无条件正确性。
Implementation of Shor Algorithm: Factoring a 4096-Bit Integer Under Specific Constraints
针对量子计算实用化需求，研究聚焦Shor算法实现，通过提升模运算效率，在特定约束下完成4096位整数分解，相比SOTA方法效率显著提升且支持更长整数分解。
A deterministic version of Pollard's p-1 algorithm
在这篇文章中，我们提出了光滑数的应用，一些著名的整数分解算法的无条件去随机化。我们从Pollard的$p-1$算法开始，该算法在随机多项式时间内找到整数$n$的素除子因子$p$，使得$p-1$是光滑的。我们表明，这些素因子可以恢复在确定性的多项式时间。我们进一步推广了这个结果，给出了由Bach和Shallit设计的$k$次分圆分解方法（$k\ge 2$）的部分去随机化。我们还研究了计算欧拉函数$ϕ$的因式分解的简化。我们指出了在给定$ϕ(n)$的确定性多项式时间内完全可因式分解的整数$n$的一些显式集合。这些集包括，粗略地说，产品的素数$p$满足，除了最多两个，某些条件稍弱于光滑的$p-1$。最后，我们证明了$O(\ln n)$ Oracle查询的$ϕ$值是足够的，以完全的因素，任何整数$n$小于$\exp\Bigl((1+o(1))(\ln n)^{1/3} (\ln\ln n)^{2/3}\Bigr)$确定性时间。
Factoring Polynomials over Finite Fields with Linear Galois Groups: An Additive Combinatorics Approach
令$\tilde{f}(X)\in\mathbb{Z}[X]$是次数$n$多项式，使得$f(X):=\tilde{f}(X)\bmod p$分解为$\mathbb{F}_p$上的$n$不同线性因子。研究了在给定$\tilde{f}(X)$的情况下，确定性地将$f(X)$分解到$\mathbb{F}_p$上的问题.在广义Riemann假设（GRH）下，给出了一个改进的确定性算法，该算法在$\tilde{f}(X)$的Galois群与$\tilde{f}(X)$的根的集合$S$上的线性群$G\leq \mathrm{GL}(V)$（置换同构）的情况下，计算$f(X)$的完全因式分解，其中$V$是有限域$\mathbb{F}$上的有限维向量空间，$S$与$V$的子集相同.特别是当$|S|=|V|^{Ω(1)}$时，该算法在$n^{\log n/(\log\log\log\log n)^{1/3}}$中运行时间多项式和输入的大小，改进了Evdokimov的算法。我们的结果也适用于一般的伽罗瓦群$G$时，结合作者最近的算法。为了证明我们的主要结果，我们引入了一个家庭的对象称为线性$m$ -计划，并减少分解$f(X)$的问题，这些对象的组合问题。然后，我们应用添加剂组合学的技术，以获得一个改进的界限。我们的技术可能是独立的利益。
Reducing the Space Used by the Sieve of Eratosthenes When Factoring
提出一种改进的埃拉托斯特尼筛法版本，能在 $O(x \log\log x)$ 运算内分解所有 $\le x$ 的整数，且将空间界限降至 $O(\sqrt{x}/\log\log x)$ 位，同时保持相同时间复杂度，且实际表现良好。
Factoring polynomials in the ring of formal power series over Z
本文研究了整系数多项式在Z上形式幂级数环Z[[x]]中的因式分解性质。本文讨论了任意次数的多项式，并给出了其约化为幂级数的充分条件。此外，如果多项式在Z[[x]]上可约，我们提供了一个显式因式分解算法。对于常数项是素数幂的多项式，我们的研究引出了p进整数的讨论。
A deterministic algorithm for integer factorization
提出了一种使用$n^{1/3+o(1)}$位操作分解$n$的确定性算法。该算法一次测试$n$被短时间间隔内的所有整数整除的可能性，而不是像试除法那样逐个整数整除。该算法已实现。
Efficiently factoring polynomials modulo $p^4$
多项式因式分解在有限域、有理域和$p$-adic域上有著名的实用算法.然而，模素数的权力，它变得很难，因为有非唯一的因子分解和组合爆破枚举。例如，$x^2+p \bmod p^2$是不可约的，但$x^2+px \bmod p^2$有指数级的因子！我们提出了第一个随机多（度$f, \log p$）时间算法的因素一个给定的单变量积分$f(x)$模$p^k$，一个总理$p$和$k \leq 4$。因此，我们解决了在（Sircana，ISSAC'17）中提出的分解模$p^3$的公开问题。我们的方法减少了一般问题的分解$f(x) \bmod p^k$的{ \em根查找}在相关的多项式$E(y) \bmod\langle p^k, φ(x)^\ell \rangle$的一些不可约的$φ\bmod p$。我们可以有效地解决后者的$k\le4$，通过增量转换$E(y)$。此外，我们发现了一个有效的和强大的推广Hensel提升到提升因子的$f(x) \bmod p$的那些$\bmod\ p^4$（如果可能的话）。这是以前未知的，因为$f(x) \bmod p$的重复因子的情况下，禁止经典Hensel提升。
Drinfeld Modules with Complex Multiplication, Hasse Invariants and Factoring Polynomials over Finite Fields
利用秩$2$的Drinfeld模和复数乘法，给出了一种新的随机算法，用于分解奇特征有限域$\F_q$上的多项式.其主要思想是用复数乘法计算Hasse不变量（模为要分解的多项式$f \in \F_q[x]$）相对于随机Drinfeld模$ϕ$的提升。在$ϕ$上具有超奇异约化的素理想支撑的$f$的因子具有消失的Hasse不变量，并且可以与其余因子分离.通过构造Deligne同余的Drinfeld模，我们设计了一个计算Hasse不变提升的算法，这是我们算法的关键。得到的$n^{3/2+\varepsilon} (\log q)^{1+o(1)}+n^{1+\varepsilon} (\log q)^{2+o(1)}$对$\F_q$上的次数为$n$的多项式进行因子分解的预期运行时间与先前已知的最快算法（Kaltofen-Shoup算法的Kedlaya-Umans实现）匹配。
Factoring Polynomials over Finite Fields using Drinfeld Modules with Complex Multiplication
我们提出了新的算法，因子多项式在有限域$\F_q$的奇特征使用秩$2$ Drinfeld模与复乘。其主要思想是用复乘计算Hasse不变量（模为要分解的多项式$f(x) \in \F_q[x]$）相对于Drinfeld模$ϕ$的提升。在$ϕ$处具有超奇约化的素理想上支撑的$f(x)$的因子具有消失的Hasse不变量，并且可以与其余因子分离.一个德林费尔德模模拟德利涅的同余在计算哈斯不变提升起着关键作用。我们提出了两个算法基于这个想法。第一个算法随机选择具有复乘的Drinfeld模，并具有二次期望运行时间。第二种是一个确定性的算法，$O(\sqrt{p})$运行时间依赖于$\F_q$的特征$p$。
Approximately counting semismooth integers
一个整数$n$是$(y,z)$ -半光滑的，如果$n=pm$，其中$m$是一个整数，所有的素因子$\le y$和$p$是1或一个素数$\le z$。大量的半光滑整数被用在现代整数分解算法中，例如数域筛子（NumberFieldSieve），其结合了所谓的大素数变体。因此，能够估计$Ψ(x,y,z)$的值，即$(y,z)$ -半光滑整数的数量，直到$x$，这对于因子分解从业者是有用的，以便他们可以更好地设置算法参数并最小化运行时间，这在集群超级计算机上可能是几周或几个月。在本文中，我们探讨了几种算法来近似$Ψ(x,y,z)$使用推广的Buchstab的身份与数值积分。
On Factoring and Power Divisor Problems via Rank-3 Lattices and the Second Vector
本文提出基于秩3格和第二向量的算法，改进了因数分解、幂和差分解及r-幂除数问题的复杂度。
Deterministic polynomial factorisation modulo many primes
针对有限域上单变量多项式分解的开放问题，本文提出一种无条件确定性算法，计算不可约多项式模所有不超过给定界限的素数的分解，并在Galois多项式情况下实现摊销确定性多项式时间分解。
Splitting full matrix algebras over algebraic number fields
设K是一个d次代数数域，D是Q上的判别式.设A是由结构常数给定的K上的结合代数，使得A同构于K上的n × n矩阵代数Mn（K），其中n为正整数.假设d，n和D是有界的。然后用多项式时间的ff-算法构造出A与M_n（K）的同构。(An FF算法是一个确定性的过程，它被允许调用用于在有限域上因式分解整数和因式分解一元多项式的预言机。作为结果，我们得到了计算K上有界次数的中心单代数代数同构的多项式时间ff-算法。
An exponent one-fifth algorithm for deterministic integer factorisation
Hittmeir最近提出了一种确定性算法，可证明地计算$N^{2/9+o(1)}$位操作中正整数$N$的素因子分解。在这一突破之前，这个问题最著名的复杂性界限是$N^{1/4+o(1)}$，这一结果可以追溯到20世纪70年代。在本文中，我们进一步推动Hittmeir的技术，获得一个严格的，确定性的因式分解算法的复杂性$N^{1/5+o(1)}$。
Degrees of irreducible polynomials over binary field
Berlekamp在1967年给出了有限域上多项式的一个因式分解算法。主要工具是对应于每个多项式的矩阵Q。本文研究了二元域上多项式的次数及其相应的矩阵Q和不可约矩阵。
Splitting quaternion algebras over quadratic number fields
本文提出了一个求二次数域上四元数代数中零因子的算法，或者等价地，求解$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的三元齐次二次方程，其中$d$是无平方数的整数.该算法是随机化的，如果允许调用神谕来分解整数，则在多项式时间内运行。
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