Approximately counting independent sets in dense bipartite graphs via subspace enumeration
本研究提出一种随机算法，为稠密正则二部图上的#BIS问题提供FPRAS，填补了低温稠密图近似计数的研究空白，方法基于子空间枚举与图的小集扩张性质，补充了组合优化领域的相关研究。
2023-07-18 cs.DS math.CO
Approximately Counting and Sampling Hamiltonian Motifs in Sublinear Time
本文针对亚线性时间下标准查询模型与增强模型之间的“范围差距”，提出基于均匀采样的框架，首次在标准模型中实现对任意哈密顿模体的近似计数与近均匀采样，并简化了星形、三角形和团簇的已有算法。
2025-03-12 cs.DS
Counting Triangulations and other Crossing-Free Structures Approximately
本文研究平面上给定的$n$点集$P$的直边三角剖分的计数问题。直到最近，人们还不知道$P$的三角剖分的确切数目是否可以比枚举所有三角剖分更快地渐近计算。我们现在知道$P$的三角剖分数可以在$O^{*}(2^{n})$时间内计算出来，这个时间小于$Ω(2.43^{n})$关于任何点集的三角剖分数的下界。在本文中，我们解决的问题，是否可以近似计数三角在次指数时间。本文提出了一种具有次指数运行时间和次指数逼近比的算法，即用$Λ$表示算法的输出，用$c^{n}$表示$P$的精确三角剖分数，对一定的正常数$c$，证明了$c^{n}\leqΛ\leq c^{n}\cdot 2^{o(n)}$ .这是第一个算法，在次指数时间计算$(1+o(1))$ -近似的基础上的数量的三角，更准确地说，$c\leqΛ^{\frac{1}{n}}\leq(1 + o(1))c$。我们的算法可以适用于近似计数$P$上的其他无交叉结构，保持近似质量和运行时间不变。在本文中，我们将展示如何做到这一点的匹配和生成树。
2014-04-01 cs.CG cs.DS
Approximately counting independent sets in bipartite graphs via graph containers
通过实现算法版本的Sapozhenko的图容器的方法，我们给出了新的算法近似的独立集的数量在二分图。我们的第一个算法适用于$d$ -正则，二部图满足弱扩展条件：当$d$是常数，和图形是一个二部$Ω( \log^2 d/d)$ -扩展，我们得到一个FPTAS的独立集的数量。以前这样的结果$d>5$是已知的，只有图满足更强的扩展条件的随机二部图。该算法也适用于加权独立集：对于一个$d$ -正则，二分$α$ -扩展，与$α>0$固定，我们给出了一个FPTAS的硬核模型配分函数在逸度$λ=Ω(\log d / d^{1/4})$。最后，我们提出了一个算法，适用于所有$d$ -定期，二部图，运行在时间$\exp\left( O\left( n \cdot \frac{ \log^3 d }{d } \right) \right)$，并输出一个$(1 + o(1))$ -近似的独立集的数量。
2021-09-08 cs.DS math.CO
Approximate Counting, the Lovasz Local Lemma and Inference in Graphical Models
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
在本文中，我们介绍了一种新的方法近似计数的有界度系统与高阶约束。我们的主要结果是一个算法来近似计数的数量的解决方案的CNF公式$Φ$的宽度是对数的最大程度。这关闭了已知上限和下限之间的指数差距。此外，我们的算法直接扩展到近似采样，这表明在Lovász局部引理条件下，它不仅可以找到一个令人满意的分配，也可以从所有满意的分配集合中随机产生一个近似均匀的分配。我们的方法是一个显着的偏离早期的技术近似计数，是基于一个框架，引导一个预言计算边际概率对个别变量。最后，我们给出了我们的结果的应用程序，表明它是算法上可能的后验分布中的一类有趣的图形模型的样本。
2017-03-16 cs.CC cs.DS cs.LG
$k$-Cut: A Simple Approximately-Uniform Method for Sampling Ballots in Post-Election Audits
我们提出了一个近似的抽样框架，并讨论如何风险限制审计可以弥补这些近似值，同时保持其“风险限制”的属性。我们的框架是通用的，可以弥补审计过程中的计数错误。此外，我们提出并分析了一个简单的近似抽样方法，”$k$ -cut”，用于从一堆选票中随机抽取选票，而不计数。我们的方法涉及到做$k$“切割”，每次都涉及到将选票的随机部分从堆栈的顶部移动到底部，然后选择顶部的选票。与传统的随机抽取选票的方法不同，$k$ -cut不需要选票上的识别号码，也不需要每次抽取计算许多选票。我们分析了选择选票的分布与均匀分布的接近程度，并设计了不同的缓解程序。我们表明，$k=6$削减是足够的风险限制选举审计，根据经验数据，这将提供一个显着的效率提高。
2019-01-02 cs.DS
Approximately Counting Subgraphs in Data Streams
估计数据流中的子图的数量是一个基本的问题，在过去的十年中受到了极大的关注。在本文中，我们给出了改进的流算法近似计数的出现次数的任意子图$H$，表示为$\# H$，当输入图$G$表示为$m$边流。为了获得我们的算法，我们提供了一个通用的转换，恒定轮子线性时间图算法的查询访问模型中的恒定通过子线性空间图流算法。利用这种变换，我们得到了以下结果。1.在$\tilde{O}(\frac{m^{ρ(H)}}{ε^2\cdot \# H})$空间中给出了$(1\pm ε)$ -逼近$\# H$的$3$ -通过旋转栅门流算法，其中$ρ(H)$是$H$的分数边覆盖.这改进并推广了McGregor等人[PODS 2016]的结果，McGregor等人给出了$3$ -用于$(1\pm ε)$的仅插入流算法-如果该算法被赋予对度的额外oracle访问，则近似于$\tilde{O}(\frac{m^{3/2}}{ε^2\cdot \# T})$空间中三角形的数量$\# T$。2.我们提供了一个恒定的通过流算法$(1\pm ε)$ -近似$\# K_r$在$\tilde{O}(\frac{mλ^{r-2}}{ε^2\cdot \# K_r})$空间中的任何$r\geq 3$，在图$G$与退化$λ$，其中$K_r$是一个团的$r$顶点。这解决了Bera和Seshadhri的猜想[PODS 2020]。更一般地…
2022-03-27 cs.DS
Approximately Counting Embeddings into Random Graphs
设H是一个图，C_H（G）是图G中包含的H的（子图同构）副本数.本文研究了估计C_H（G）的基本问题。以前的结果只涵盖了这个一般问题的几个具体实例，例如，H的程度最多为1（单体-二聚体问题）的情况。本文给出了子图同构计数问题的第一个一般子情形，它几乎总是有效可逼近的。结果依赖于一种新的图分解技术。非正式地，分解是顶点的标记，使得每条边都在具有不同标签的顶点之间，并且对于每个顶点，具有更高标签的所有邻居都具有相同的标签。标签隐式生成一个序列的二分图，这使我们能够打破的问题，计数嵌入的大子图的计数嵌入的小的子图。利用这种方法，我们提出了一个简单的随机算法的计数问题。对于所有可分解图H和所有图G，该算法是一个无偏估计。此外，对于所有的图H具有分解，其中每个生成的二分图是小的，几乎所有的图G，该算法是一个完全多项式随机逼近方案。我们表明，我们获得了一个完全多项式随机逼近计划几乎所有G的H的图形类包括图的度最多为2，有界度森林，有界长度的网格图，有界度图的细分，和主要子类的外平面图，串并行图和平面图，而无界长度的网格图被排除在外。
2013-06-21 cs.DM cs.DS
Entropy, Optimization and Counting
在本文中，我们研究的问题，计算最大熵分布在一个离散的一组对象的观察边缘。对这种分布的兴趣是由于它们在统计物理学、经济学、生物学、信息论、机器学习、组合学以及最近的近似算法等领域的适用性而产生的。计算最大熵分布的一个关键困难是证明它们具有多项式大小的描述。我们表明，这种描述存在于一般条件下。随后，我们将展示如何（近似）计算底层离散集的算法可以转化为有效的算法（近似）计算最大熵分布。在相反的方向上，我们展示了如何访问计算最大熵分布的算法可以用来计数，这建立了计数和计算最大熵分布之间的等价关系。
2013-04-30 cs.CC cs.DM cs.DS
Testable algorithms for approximately counting edges and triangles in sublinear time and space
针对亚线性时间边和三角形计数问题，提出无需 Arboricity 前提的自适应可测试算法，在时间 O*(m·α(G)/t + m/t^{2/3}) 内保证 (1±ε) 近似，并证明开销下界，适用于流模型。
2025-09-24 cs.DS
Approximately Counting Triangles in Sublinear Time
我们考虑的问题估计的三角形的数量在一个图。这个问题已经在理论和实践中得到了广泛的研究，但所有现有的算法都读取整个图。在这项工作中，我们设计了一个{ \em次线性时间\/}算法近似图中的三角形的数量，该算法被赋予查询访问图。允许的查询是度查询、顶点对查询和邻居查询。我们表明，对于任何给定的近似参数$0<ε<1$，该算法提供了一个估计$\widehat{t}$，使具有高的恒定概率，$(1-ε)\cdot t< \widehat{t}<(1+ε)\cdot t$，其中$t$是图$G$中的三角形的数量。该算法的预期查询复杂度为$\!\left(\frac{n}{t^{1/3}} + \min\left\{m, \frac{m^{3/2}}{t}\right\}\right)\cdot {\rm poly}(\log n, 1/ε)$，其中$n$是图中的顶点数，$m$是图中的边数，预期运行时间为$\!\left(\frac{n}{t^{1/3}} + \frac{m^{3/2}}{t}\right)\cdot {\rm poly}(\log n, 1/ε)$。我们还证明了$Ω\!\left(\frac{n}{t^{1/3}} + \min\left\{m, \frac{m^{3/2}}{t}\right\}\right)$查询是必要的，从而建立该算法的查询复杂性是最佳的$n$（和依赖于$1/…
2015-09-22 cs.DS
Counting Independent Sets and Kernels of Regular Graphs
Chertkov，Gamarnik，Shah和Shin最近证明了对于大的n，大小为n且度为3的随机正则图的独立集的平均数接近于w^n，其中w约为1.54563，与Bethe近似一致。他们还提出了一个令人惊讶的猜想，即当n变大时，独立集个数的对数的波动只有O（1），这意味着贝特近似对所有3-正则图都是惊人的精确。在这里，我提供了支持这一猜想的数字证据，从使用二元决策图的独立集的精确计数。我还提供了支持新命题的数值证据，即大小为n的3-正则图的核数由y^n给出，其中y约为1.299，并且核数的对数的波动也仅为O（1）。
2009-10-24 cs.DM cs.DS
Towards a Decomposition-Optimal Algorithm for Counting and Sampling Arbitrary Motifs in Sublinear Time
我们考虑的问题，采样和近似计数任意给定的图案$H$在图$G$，其中访问$G$通过查询：度，邻居，和对，以及均匀的边缘样本查询。这些任务的先前算法基于将$H$分解成奇数周期和星形的集合，表示为$\mathcal{D}^*(H)=\{O_{k_1}, \ldots, O_{k_q}, S_{p_1}, \ldots, S_{p_\ell}\}$。这些算法被证明是最佳的情况下，$H$是一个集团或奇数长度的循环，但没有其他的下限是已知的。我们提出了一个新的算法，采样和近似计数任意图案，高达$\textrm{poly}(\log n)$因素，总是至少和以前的结果一样好，并为大多数图$G$是严格更好。导致这一改进的主要成分是一个改进的均匀算法采样星，这可能是独立的利益，因为它允许采样顶点根据度分布的$p$ -th时刻。最后，我们证明了该算法是\emph{decomposition-optimal}分解，至少包含一个奇循环。这些是具有非平凡分解的基元$H$的第一下界，即，在其分解过程中有不止一个成分的图案。
2021-07-19 cs.DS
Counting solutions to random CNF formulas
当随机$k$ -SAT模型的密度与$k$成指数关系时，我们给出了近似计算该模型解的个数的第一个有效算法.最好的以前的计数算法的许可版本的模型是由于蒙塔纳里和沙阿，是基于相关衰减方法，它的工作密度$(1+o_k(1))\frac{2\log k}{k}$，吉布斯的唯一性阈值的模型。相反，我们的算法利用Moitra最近的一项技术来处理随机公式。在我们的设置中的主要挑战是要考虑到高程度的变量的存在，其边缘分布是难以控制的，并导致显着的公式内的相关性。
2021-05-24 cs.DS
Approximate Range Counting Revisited
我们研究范围搜索的彩色对象，其中一个计数（大约）的颜色存在于查询范围内的数量。研究的问题主要涉及二维、三维正交范围搜索和点对矩形刺的对偶设置。我们提出了这些问题的最佳和接近最佳的解决方案。大部分的结果是通过减少到近似的无色版本，并为他们改进的数据结构。这项工作的另一个贡献是引进嵌套浅切削。
2017-03-20 cs.CG cs.DS
Approximately Counting Knapsack Solutions in Subquadratic Time
本文改进 Dyer 的 #Knapsack 近似计数框架，融合结构引理、FFT、分治、哈希与有界单调(max,+)卷积等技术，首次将运行时间降至 $\tilde{O}(n^{1.5}\varepsilon^{-2})$。
2024-10-29 cs.DS
Fast sampling and counting k-SAT solutions in the local lemma regime
我们给出了新的算法基于马尔可夫链的采样和近似计数满足$k$ -一致CNF公式，其中每个变量出现在最多$d$倍的分配。对于满足$kd<n^{o(1)}$和$k\ge 20\log k + 20\log d + 60$的任何$k$和$d$，新的采样算法以接近线性时间运行，并且计数算法以接近二次时间运行。我们的方法受到Moitra（JACM，2019）的启发，Moitra在近似计数中显著地利用了Lovász局部引理。我们的主要技术贡献是使用本地引理绕过传统的马尔可夫链方法中的连接障碍，这使得发达的MCMC方法适用于不连通的状态空间，如SAT解决方案。我们的方法的好处是避免了局部结构的枚举，并获得固定的多项式运行时间，即使$k=ω(1)$或$d=ω(1)$。
2019-11-04 cs.DS
Approximate Counting of $k$-Paths in $O^*(2^k)$ Time
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学信息理工学系研究科）
本文解决了 Koutis 和 Williams 的猜想，提出随机化算法在 $O^*(2^k)$ 时间内近似计数有向图中的 $k$-路径，并保证 $(1\pm\varepsilon)$ 近似和低失败概率。
2026-09-23 cs.DS
Isotropy and Log-Concave Polynomials: Accelerated Sampling and High-Precision Counting of Matroid Bases
我们定义了离散集分布的迷向概念。如果$μ$是基集$[n]$的子集$S$上的分布，如果$P[e \in S]$对于所有$e\in [n]$都相同，则我们说$μ$处于各向同性位置。我们设计了一个新的近似采样算法，利用各向同性的分布类$μ$，有一个对数凹生成多项式，这类包括决定性的点过程，强瑞利分布，均匀分布在拟阵基地。我们证明了当$μ$处于近似各向同性位置时，算法的运行时间多项式地依赖于集合$S$的大小，而仅数学地依赖于$n$ .当$n$比$S$的大小大得多时，这明显快于现有算法，并且在$n$中甚至可以是次线性的。然后，我们将展示如何将一个非各向同性的$μ$到一个等效的近似各向同性的形式与多项式时间的预处理步骤，加速随后的采样时间。使我们的算法的主要新成分是一类负相关的不平等，可能是独立的利益。作为我们的结果的应用，我们展示了如何近似计数基地的拟阵的秩$k$在地面集的$n$元素的$1+ε$在时间$ O((n+1/ε^2)\cdot poly(k, \log n))$的一个因素。这是第一个算法，运行在固定秩$k$的近线性时间，并实现了逆多项式低近似误差。
2020-04-20 cs.DM cs.DS
Counting Locally Optimal Tours in the TSP
本文研究 TSP 中 2-最优巡游的计数复杂性，证明其为 #P-完全，并给出随机实例期望数量上界，进而猜想更紧的平方根界。
2024-10-24 cs.CC cs.DM cs.DS
Output-sensitive approximate counting via a measure-bounded hyperedge oracle, or: How asymmetry helps estimate $k$-clique counts faster
本文推广了DLM归约，提出度量有界超边预言机，实现输出敏感的$k$-团、$k$-支配集和$k$-和近似计数算法，在见证数少时显著提速。
2025-03-27 cs.DS
How Hard is Counting Triangles in the Streaming Model
图中三角形个数的（近似）计数问题是图论中的基本问题之一。在本文中，我们研究的问题中的流模型。我们研究了随机算法解决这个问题所需的内存量。在算法允许一次通过流的情况下，我们提出了一个最好的可能的下限$Ω(m)$的图$G$与$n$顶点上的$m$边。如果一个常数的通行证是允许的，我们显示了一个下界的$Ω(m/T)$，$T$的三角形的数量。我们匹配，在某种意义上说，这个下界与2-pass $O(m/T^{1/3})$ -memory算法，解决了区分图与至少$T$三角形的图形没有三角形的问题。提出了一个新的图参数$ρ(G)$ --三角形密度，并推测三角形问题的空间复杂性为$Ω(m/ρ(G))$ .我们通过第二个算法来匹配它，该算法使用$O(m/ρ(G))$ -存储器来解决区分问题。
2013-04-04 cs.DS
Sampling Arbitrary Subgraphs Exactly Uniformly in Sublinear Time
我们提出了一个简单的次线性时间算法，用于从具有$m$边的图$G$中采样任意子图$H$ \emph{exactly uniformly}，该算法通过执行以下类型的查询来访问：（1）度查询，（2）邻居查询，（3）对查询和（4）边采样查询。该算法的查询复杂度和运行时间分别为$\tilde{O}(\min\{m, \frac{m^{ρ(H)}}{\# H}\})$和$\tilde{O}(\frac{m^{ρ(H)}}{\# H})$，其中$ρ(H)$是$H$的分数边覆盖，$\# H$是$G$中$H$的拷贝数.对于$r$顶点上的任何团，即，$H=K_r$，我们的算法几乎是最佳的，因为任何算法，样本的$H$从任何分布，具有$Ω(1)$总概率质量的集合上的所有副本的$H$必须执行$Ω(\min\{m, \frac{m^{ρ(H)}}{\# H\cdot (cr)^r}\})$查询。结合Assadi，Kapralov和Khanna [ITCS 2018]的子图$H$数量的$(1\pm \varepsilon)$近似算法的查询和时间复杂度以及Eden和Rosenbaum [APPROX 2018]的近似计数集团的下限，我们的结果表明，在我们的查询模型中，近似计数集团“等同于”完全均匀采样集团，在这个意义上，精确均匀采样和随机近似计数的查询和时间复杂度在彼此的多对数因子内。这与Jerrum，Valia…
2021-03-25 cs.DS
Data Structures for Approximate Range Counting
本文提出了一种新的数据结构，用于近似计算正交范围内的点数。有一种确定性的线性空间数据结构，它支持O（1）时间内的更新，并在$O(\log \log U\cdot\log \log n)$时间内将一维范围内的元素数量近似为加性项$k^{1/c}$，其中$k$是答案中的元素数量，$U$是论域的大小，$c$是任意固定常数。对于任何$ρ>0$，我们可以在$O(\log \log U+ (1/ρ)\log\log n)$时间内估计二维正交范围内的点的数量，直到添加项$ k^ρ$。对于$v=\log \frac{1}ρ/\log {3/2}+2$，我们可以在$O(\log \log U + (\log\log n)^3+ (3^v)\log\log n)$时间内估计三维正交范围内的点的数量，直到添加项$k^ρ$。
2009-10-05 cs.CG cs.DS
Exact counting of Euler Tours for generalized series-parallel graphs
本文给出了一个简单的多项式时间算法来精确计算任意欧拉广义串并图的Euler Tours数，并给出了如何利用该算法对给定的广义串并图的随机ET进行精确采样.注意，广义串平行图类包括所有的外平面图.我们可以在时间上执行计数$O(mΔ^3)$，其中$Δ$是具有$m$边的图的最大度。我们使用$O(mΔ^2 \log Δ)$位来存储计算过程中的中间值。到目前为止，这些是第一个已知的多项式时间算法来计算或采样任何类别的图的样本;没有其他已知的多项式时间算法来近似计算或采样任何其他类别的图的样本。已知计数图的问题对于一般图（Brightwell和Winkler，2005 [3]）和平面图（Creed，2009 [4]）是$#P$ -完全的。
2010-05-19 cs.DM cs.DS math.CO
Subquadratic Counting via Perfect Marginal Sampling
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Nanjing University（南京大学）
本文提出基于完美边际采样的新算法，突破二次时间限制，应用于硬核模型等spin系统，改进了fugacity参数下的计数效率。
2026-04-02 cs.DS math.PR
Scalable Algorithms for Approximate DNF Model Counting
Research Directorate, National Security Agency（国家安全局研究处）；Department of Computer Science, University of Maryland（马里兰大学计算机科学系）
本文提出了一种新的蒙特卡洛算法，通过自适应停止规则和短路公式评估，实现更高效的近似DNF模型计数。
2026-09-16 cs.AI cs.DS
Deterministic counting Lovász local lemma beyond linear programming
给出了一个简单的组合算法来确定性地近似计算一般约束满足问题（CSP）的满意指派数。假设CSP具有域大小$q=O(1)$，每个约束包含至多$k=O(1)$变量，与至多$Δ=O(1)$约束共享变量，并且通过均匀随机分配以至多$p$的概率被违反。该算法在改进的局部引理机制中以多项式时间返回：\[ q^2\cdot k\cdot p\cdotΔ^5\le C_0\quad\text{for a suitably small absolute constant }C_0. \]这里的关键项$Δ^5$改进了以前最知名的一般CSP的$Δ^7$ [JPV 21 b]和$k$ -CNF的特殊情况的$Δ^{5.714}$ [JPV 21 a，HSW 21]。我们的确定性计数算法是[HWY 22]中最近的快速采样算法的去随机化。该算法与以往的基于线性规划的确定性计数Lovász局部引理算法有很大不同，给出了一种确定性近似计数算法，该算法直接去随机化了快速采样算法，从而将快速采样和确定性近似计数统一在同一算法框架中.为了获得改进的制度，在我们的分析中，我们开发了一个细化的$\{2,3\}$ -树，在以前的分析中使用的计数/采样LLL。类似的技术可以应用到以前的基于LP的算法，以获得相同的改进制度，并可能是独立的利益。
2022-12-30 cs.DM cs.DS math.PR
A Simple Sublinear-Time Algorithm for Counting Arbitrary Subgraphs via Edge Sampling
在子图计数问题中，我们给定一个输入图$G(V, E)$和一个目标图$H$ ;目标是估计$H$在$G$中出现的次数。我们在这里的重点是设计次线性时间算法，用于近似计数$H$在$G$中的出现，在该算法被赋予查询访问$G$的设置。这个问题已经在最近的几篇论文中进行了研究，这些论文主要集中在特定的图族$H$上，例如三角形、团和星形。然而，不太了解近似计数任意图$H$。这与密切相关的子图枚举问题形成鲜明对比，后者在数据库社区中受到了极大的关注，如数据库连接问题。AGM界表明，在具有$m$边的图$G$中，任何任意子图$H$的最大出现次数是$O(m^{ρ(H)})$，其中$ρ(H)$是$H$的分数边覆盖，并且具有匹配运行时间的枚举算法对于任何$H$是已知的。我们通过设计一个子线性时间算法来弥合子图计数和子图枚举之间的差距，该算法可以估计$G$中任何任意子图$H$（用$\#H$表示）的数量，使其在$(1\pm ε)$ -近似值范围内。在$O(\frac{m^{ρ(H)}}{\#H}) \cdot poly(\log{n},1/ε)$时间。我们的算法是允许的一般图，即度查询，对查询和邻居查询的标准集，加上一个额外的边样本查询，返回随机均匀选择的边。我们的算法的性能与Eden等人的性能相匹配。[FOCS 2015，STOC 2018]用于计算三角形和团，并在边样本查询的附加假设下将其扩展到子图$H$的…
2018-11-19 cs.DS
Near Uniform Triangle Sampling Over Adjacency List Graph Streams
针对邻接表图流模型下的近似均匀三角形采样问题，设计空间复杂度与计数类算法相当的高效流算法，同时补充顶点、边到达模型的相关结果，丰富图流采样研究。
2024-05-16 cs.DS
Polynomial-Time Approximation Schemes for Knapsack and Related Counting Problems using Branching Programs
Microsoft Research（微软研究院）；UT Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
我们给出了一个确定性的，多项式时间算法近似计数的{0，1}-解决方案的任何情况下的背包问题。在一个长度为n，总权重为W，精度参数为eps的实例上，我们的算法在时间上产生一个（1 + eps）-乘法逼近poly（n，log W，1/eps）。我们还给出了算法相同的保证一般整数背包，多维背包问题（具有恒定数量的约束）和列联表（具有恒定数量的行）。在此之前，只有随机近似计划已知的这些问题，由于工作的莫里斯和辛克莱和工作的戴尔。我们的算法的工作原理是通过构建小宽度，只读一次的分支程序近似的基础解决方案空间下仔细选择的分布。作为这种方法的副产品，我们获得了新的查询算法的学习函数的k半空间关于均匀分布在{0，1}^n。我们的算法的运行时间是多项式的精度参数eps。以前，即使对于k=2的情况，也只知道对eps具有指数依赖性的算法。
2010-08-18 cs.CC cs.DS cs.LG
Approximately Sampling Elements with Fixed Rank in Graded Posets
针对分级偏序集中通常为#P-完全的固定秩计数问题，提出基于balanced bias的带偏Markov chains近似均匀采样方法，在期望多项式时间内生成任意固定秩样本，并首次实现受限整数划分的高效均匀采样。
2016-11-10 cs.DS math.CO
Subgraph Counting with Local Node Differential Privacy
Boston University（波士顿大学）
该研究针对局部节点差分隐私下的子图计数问题，设计了误差最优的非交互式算法，还证明了中心与局部节点差分隐私间的poly(n)差距，拓展了LNDP下可近似的网络统计类型。
2026-10-16 cs.CR cs.DS
A Sequential Importance Sampling Algorithm for Estimating Linear Extensions
近几十年来，出现了许多关于硬计数问题逼近的深刻定理。这些包括估计的永久，估计的体积凸多面体，并计算（近似）的数量的线性扩张的偏序集。所有这些结果都是使用概率抽样方法，特别是蒙特卡罗马尔可夫链（MCMC）技术实现的。在每一种情况下，一个快速混合马尔可夫链的定义，保证产生，具有高概率，一个准确的结果后，只有一个多项式数量的操作。虽然多项式的复杂性，没有这些结果导致一个实用的计算技术，也没有他们声称。多项式是高次的，即使是单个样本也需要非平凡的计算量。在本文中，我们的目的是提出实际的Monte Carlo方法，这些问题之一，计数线性扩展。像相关的工作估计的可靠性多项式的系数，我们的技术是基于改进所谓的克努特计数算法，通过将一个重要性函数的节点选择技术，给出一个顺序的重要性采样（SIS）方法。我们定义并报告两个重要功能的性能。
2020-02-28 cs.DS math.PR
Efficient sampling and counting algorithms for the Potts model on $\mathbb Z^d$ at all temperatures
对于$d \ge 2$和所有的$q\geq q_{0}(d)$，我们给出了一个有效的算法，对任意的逆温度$β\geq 0$，从有限环面$(\mathbb Z / n \mathbb Z )^d$上的$q$态铁磁Potts和随机团簇模型中近似采样.这表明Potts模型的物理相变对有效采样没有算法障碍，并且与马尔可夫链混合时间结果相反：Glauber动力学在临界温度和低于临界温度时混合缓慢，而Swendsen-Wang动力学在临界温度时混合缓慢。我们还提供了一个有效的算法（FPRAS）近似这些模型在所有温度下的分拆函数。我们的算法是基于表示的随机集群模型作为一个轮廓模型，使用Pirogov-西奈理论，然后计算一个准确的近似的对数的分拆函数通过归纳截断所产生的集群扩展。我们的方法的主要创新是不稳定的基态，这是必不可少的，我们的算法适用于所有的逆温度$β$的算法处理。通过处理不稳定的基态，我们的工作给出了一个通用的模板转换概率应用Pirogov西奈理论的有效算法。
2022-08-08 cs.DS math.PR
Approximate Integer Solution Counts over Linear Arithmetic Constraints
Nanjing University（南京大学）
针对多面体格点计数（即线性约束整数解计数）现有算法变量稍多就过慢的问题，提出基于随机游走采样的近似框架，证明其满足(ε,δ)界，可处理数十维多面体，性能显著优于现有最优方法。
2023-12-14 cs.AI cs.DS
Approximate counting and sampling via local central limit theorems
我们给出了一个FPTAS计算的最大程度$Δ$ $n$顶点上的图$G$中的$k$的匹配的数量，对于所有的$k \le (1-δ)m^*(G)$，其中$δ>0$是固定的，$m^*(G)$是$G$的匹配数量，和一个FPTAS的大小$k \le (1-δ) α_c(Δ) n$的独立集的数量，其中$α_c(Δ)$是这个问题的NP-硬度阈值。我们还提供了准线性时间随机化算法，以近似地从大小为$k \leq (1-δ)m^*(G)$的匹配和大小为$k \leq (1-δ)α_c(Δ)n$的独立集的均匀分布中采样。我们的研究结果是基于一个新的框架，利用局部中心极限定理作为算法工具。我们使用傅立叶逆，概率估计，并在复杂的活动的分区函数的确定性近似的组合，以提取近似的分区函数的系数。对于独立集的结果，我们证明了一个新的局部中心极限定理的硬核模型，适用于所有逸度低于$λ_c(Δ)$，唯一性阈值的无限$Δ$ -正则树。
2021-08-02 cs.DS math.CO math.PR
Efficient deterministic approximate counting for low-degree polynomial threshold functions
本文给出了一个近似计数次数$d$多项式阈值函数（PTF）满足赋值的确定性算法.给定次数$d$输入多项式$p(x_1,\dots,x_n)$ over $R^n$和参数$ε> 0$，我们的算法在时间上将$\Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[p(x) \geq 0]$近似到加性$\pm ε$内$O_{d,ε}(1)\cdot \mathop{poly}(n^d)$。(Any即使对于假定$NP\not=RP$的随机化算法，也不可能有一种有效的乘法近似。）请注意，我们的算法的运行时间（作为$n^d$的函数，$d$ PTF的系数数量）是一个\emph{fixed}多项式。这个问题的最快的以前的算法（由于凯恩），基于度$d$ PTF的无条件伪随机生成器的构造，对所有$c > 0$在时间上运行$n^{O_{d,c}(1) \cdot ε^{-c}}$。这项工作的关键新贡献是：一个新的多元中心极限定理，使用Malliavin演算和Stein方法的工具证明。这个新的CLT表明，任何集合的高斯多项式与小特征值必须有一个联合分布，这是非常接近的多维高斯分布。高斯输入下低次多线性多项式的一种新分解。粗略地说，我们表明，（一些小的错误）任何这样的多项式可以分解成一个有界的多线性多项式，所有这些都有极小的特征值。我们使用这些新的成分，给出一个确定性算法的高斯空间版本的近似计数问题，然后采用标准的技…
2013-11-28 cs.CC cs.DS math.PR
An FPRAS for Counting Common Bases of Two Matroids
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出首个多项式时间近似计数与几乎均匀采样两个拟阵公共基的算法，通过软交集松弛和最大熵凸规划实现，并推广至更广场景。
2026-10-06 cs.CC cs.DM cs.DS
An Improved Fully Dynamic Algorithm for Counting 4-Cycles in General Graphs using Fast Matrix Multiplication
针对完全动态图中4-环计数问题，提出利用快速矩阵乘法的改进算法，将最坏更新时间优化至O(m^{2/3-eps})，证明原O(m^{2/3})并非正确复杂度。
2025-04-14 cs.DS
Counting HyperGraphlets via Color Coding: a Quadratic Barrier and How to Break It
University of Milan（米兰大学）
本文研究了计数k-超图let的问题，提出通过着色编码技术在超图中突破二次障碍，通过引入(α,β)-niceness性质，改进算法效率，实验证明其优于传统二次算法。
2026-04-13 cs.DB cs.DM cs.DS
Cycle Counting under Local Differential Privacy for Degeneracy-bounded Graphs
本文提出一种针对退化有界图的本地差分隐私环计数算法，通过近似排序预处理和精确三角形计数，将期望误差降至 $O(n)$，并扩展至长度为 $k$ 的环计数。
2024-09-27 cs.CR cs.DS
On Triangle Estimation using Tripartite Independent Set Queries
图中三角形个数的估计是次线性算法中最基本的问题之一。在这项工作中，我们提供了一个算法，近似计数的三角形的数量在一个图中只使用多对数查询时，\emph{the number of triangles on any edge in the graph is polylogarithmically bounded}。我们的查询oracle { \em三分独立集}（TIS）将三个不相交的顶点集$A$、$B$和$C$作为输入，并回答是否存在在这三个集合中的每一个中具有一个端点的三角形。我们的查询模型通常属于\emph{group queries}类（Ron和Tsur，ACM ToCT，2016; Dell和Lapinskas，STOC 2018），特别是受到Beame的{ \em二分独立集}（BIS）查询oracle { \em et al.}的启发。(ITCS 2018年）。我们扩展了Beame { \em et al.}的算法框架，用\tis代替\bis，用于近似计数图形中的三角形。
2020-07-31 cs.DS
REPT: A Streaming Algorithm of Approximating Global and Local Triangle Counts in Parallel
最近，相当大的努力已经致力于近似计算全局和局部（即，与每个节点关联）表示为边序列的大图形流的三角形计数。现有的近似三角形计数算法依赖于采样技术，以减少计算成本。然而，他们的估计误差显着确定采样三角形之间的协方差。此外，很少有人注意到开发并行单通道流算法，可用于在多核机器或机器集群上快速和近似计数三角形。为了解决这些问题，我们开发了一种新的并行方法REPT显着减少（甚至完全消除某些情况下的协方差）采样三角形之间的协方差。我们从理论上证明，REPT是更准确的比并行现有的三角形计数估计算法直接的方式。此外，我们还对各种真实世界的图形进行了广泛的实验，结果表明，我们的方法REPT比最先进的方法准确数倍。
2018-11-26 cs.DS
Quality Control Algorithms for Pattern Counting
Harvard University（哈佛大学）
本文针对序列的模式计数与排列模式计数问题，利用质量控制问题定义的不对称性，给出了多项式时间的高效算法，同时证明了这类算法的查询复杂度下界。
2026-08-05 cs.DS cs.LG math.CO
Sampling List Packings
研究图的列表打包计数问题，在最大度 $\Delta$ 且颜色数至少 $\Omega(\Delta^2)$ 时，基于 Glauber 动力学的快速混合给出 FPRAS，并分析非典型自旋系统。
2024-02-05 cs.DS math.CO
