Note on Integer Factoring Methods IV
N. A. Carella
本文继续研究基于多项式方程组的确定性整数分解算法。主要结果建立了一个新的整数分解的确定性时间复杂度基准。
This note continues the theoretical development of deterministic integer factorization algorithms based on systems of polynomials equations. The main result establishes a new deterministic time complexity bench mark in integer factorization.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Note on Integer Factoring Algorithms II
本文介绍一类新的整数分解算法。将描述该方法的两个版本，确定性和概率性。这些算法是实用的，可以在超多项式时间内分解大类平衡整数N = pq，p < q < 2p。此外，提出了一种扩展的费马因式分解方法。
Note on Integer Factoring Methods I
本文给出了一种基于线性丢番图方程的新的整数分解方法的基本数学结构。
Note Integer Factoring Methods III
最好的确定性无条件证明的整数分解算法具有指数运行时间复杂度O（N^（1/4））算术运算，并且在黎曼假设的条件下，存在指数运行时间复杂度O（N^（1/5））的确定性算法。本文提出了一个新的确定性整数分解算法，其确定性指数时间复杂度为O（N^（1/6））。此外，给出了一种分解具有如下形式的因子差的复合整数的算法：q - p =（r - 1）N^（1/2）+ u，其中r > 1是固定参数，|u| < N^（1/3），在确定性对数时间和各种其他结果包括在内。
On oracle factoring of integers
我们提出了一个预言因式分解算法，发现一个非平凡的因素，几乎所有的正整数$n$的基础上的知识，在某些椭圆曲线上的剩余环模$n$的点的数量。
The distribution of solutions to xy = N mod a with an application to factoring integers
我们考虑解$(x,y)$到$xy=N \mod a$的均匀分布，得到了解的个数在长度平方上的二阶矩的一个界近似为$a^{1/2}$ .我们使用它来研究一种新的因子分解算法，该算法在$O(N^{1/3+ε})$时间内可证明地对$N=UV$进行因子分解，并讨论将运行时间提高到亚指数级的潜力。
Symbolic Arithmetic and Integer Factorization
在本文中，我们创建了一个系统的和自动化的过程转化为问题的整数分解问题求解布尔方程组。令人惊讶的是，由此产生的布尔方程系统具有“自己的生命”，并成为一种新的整数类型，我们称之为通用整数。然后，我们继续使用新发现的代数结构的环的一般整数创建两个新的整数分解算法，分别称为布尔分解（BF）算法，和乘法布尔分解（MBF）算法。虽然这两个算法与当前的经典整数分解算法没有竞争力，但希望它们将成为创建更快和更有竞争力的算法的垫脚石，并且可能是整数分解的新量子算法的先驱。
On factoring of unlimited integers
本文在假设Dickson猜想成立的前提下，否定了A. Boudaoud提出的所有无限整数均可分解为有限整数加两无限整数乘积的猜想，修正了已发表版本的相关错误证明并解答了另一相关问题。
The South Caicos Factoring Algorithm
令$N=UV$，其中$U,V$是整数，具有$1< U,V <N$和$\gcd(U,V)=1$。我们描述了一个概率算法分解$N$使用$O(\max(U,V)^{1/2+ε})$位操作。
Factoring integer using elliptic curves over rational number field $\mathbb{Q}$
对于两个不同奇素数乘积的整数$ D=pq$，我们构造了一条$E_{2rD}:y^2=x^3-2rDx$ over $\mathbb Q$的椭圆曲线，其中$r$是依赖于$p$和$q$模8的类的参数，并证明了在奇偶猜想下，对于奇$k$和$E_{2rD}(\mathbb Q)$的自由部分的生成元$Q$，椭圆曲线具有秩1和$v_p(x([k]Q))\not=v_q(x([k]Q))$.因此，我们可以从数据$D$和$ x([k]Q))$恢复$p$和$q$。在广义Riemann假设下，证明了可以取$r<c\log^4D$使得椭圆曲线$E_{2rD}$具有这些性质，其中$c$是一个绝对常数.
Recovering Fourier coefficients of modular forms and factoring of integers
本文证明若定义在[-1,1]上的函数能被勒让德多项式展开的部分和充分好地逼近，则给定该函数在某个子集上的傅里叶系数c_n，可近似恢复所有n∈[n1,n2]的系数，并由此提出一种整数分解的新方法。
Factoring Numbers with elliptic curves
在本文中，我们提供了一个概率多项式时间算法，减少了任何平方自由整数$n$的完全因式分解，以计数点的椭圆曲线模$n$，成功的概率$1-\varepsilon$，对于任何$\varepsilon<0$。
Algorithm for factoring some RSA and Rabin moduli
本文提出了一种新的有效算法，以分解RSA和拉宾模的特殊情况下，当他们的两个素因子之间的差异是有界的。作为推广，我们也给出了关于整数因子分解的一些理论结果。
Deterministic factoring with oracles
我们重新审视整数因式分解的问题与数论预言，包括一个众所周知的问题：我们可以因子一个整数$N$无条件，在确定性多项式时间，给定的欧拉totient $$Φ$(N)$? We show that this can be done, under certain size conditions on the prime factors of N. The key technique is lattice basis reduction using the LLL algorithm. Among our results, we show for example that if $N$ is a squarefree integer with a prime factor $p > $\sqrt$ N$ , then we can recover p in deterministic polynomial time given $$ Φ $(N)$的值。我们还阐明了类似的问题，卡迈克尔的功能，和秩序的预言，是在肖尔的量子因式分解算法。
Implementation of Shor Algorithm: Factoring a 4096-Bit Integer Under Specific Constraints
针对量子计算实用化需求，研究聚焦Shor算法实现，通过提升模运算效率，在特定约束下完成4096位整数分解，相比SOTA方法效率显著提升且支持更长整数分解。
Factoring polynomials in the ring of formal power series over Z
本文研究了整系数多项式在Z上形式幂级数环Z[[x]]中的因式分解性质。本文讨论了任意次数的多项式，并给出了其约化为幂级数的充分条件。此外，如果多项式在Z[[x]]上可约，我们提供了一个显式因式分解算法。对于常数项是素数幂的多项式，我们的研究引出了p进整数的讨论。
Factoring with Hints
我们介绍了一种新的确定性因子分解算法，它可以描述在密码时尚的术语“因子与提示”：我们表明，鉴于知识的因式分解的$O(N^{1/3+ε})$条款周围的$N=pq$产品的两个大素数，我们可以恢复确定性$p$和$q$在$O(N^{1/3+ε})$位操作。虽然这比目前最好的因式分解算法要慢，但这种方法表明，接近整数的因式分解是相关的，因此人们可以沿着这条思路期待更多的结果。
Factoring using multiplicative relations modulo $n$: a subexponential algorithm inspired by the index calculus
该研究提出一种受指标演算启发的整数因式分解次指数算法，将因式分解归约为求模n因子基乘法关系的超定系统，虽慢于最优算法，但因简洁性和与指标演算的相似性具研究意义。
A deterministic algorithm for integer factorization
提出了一种使用$n^{1/3+o(1)}$位操作分解$n$的确定性算法。该算法一次测试$n$被短时间间隔内的所有整数整除的可能性，而不是像试除法那样逐个整数整除。该算法已实现。
Approximately counting semismooth integers
一个整数$n$是$(y,z)$ -半光滑的，如果$n=pm$，其中$m$是一个整数，所有的素因子$\le y$和$p$是1或一个素数$\le z$。大量的半光滑整数被用在现代整数分解算法中，例如数域筛子（NumberFieldSieve），其结合了所谓的大素数变体。因此，能够估计$Ψ(x,y,z)$的值，即$(y,z)$ -半光滑整数的数量，直到$x$，这对于因子分解从业者是有用的，以便他们可以更好地设置算法参数并最小化运行时间，这在集群超级计算机上可能是几周或几个月。在本文中，我们探讨了几种算法来近似$Ψ(x,y,z)$使用推广的Buchstab的身份与数值积分。
A deterministic version of Pollard's p-1 algorithm
在这篇文章中，我们提出了光滑数的应用，一些著名的整数分解算法的无条件去随机化。我们从Pollard的$p-1$算法开始，该算法在随机多项式时间内找到整数$n$的素除子因子$p$，使得$p-1$是光滑的。我们表明，这些素因子可以恢复在确定性的多项式时间。我们进一步推广了这个结果，给出了由Bach和Shallit设计的$k$次分圆分解方法（$k\ge 2$）的部分去随机化。我们还研究了计算欧拉函数$ϕ$的因式分解的简化。我们指出了在给定$ϕ(n)$的确定性多项式时间内完全可因式分解的整数$n$的一些显式集合。这些集包括，粗略地说，产品的素数$p$满足，除了最多两个，某些条件稍弱于光滑的$p-1$。最后，我们证明了$O(\ln n)$ Oracle查询的$ϕ$值是足够的，以完全的因素，任何整数$n$小于$\exp\Bigl((1+o(1))(\ln n)^{1/3} (\ln\ln n)^{2/3}\Bigr)$确定性时间。
Factoring polynomials of the form $f(x^n)\in \mathbb{F}_q[x]$
令$f(x)\in \mathbb{F}_q[x]$是次数为$m$、指数为$e$的不可约多项式，$n$是正整数，使得对于$n$的所有$p$素因子，都有$ν_p(q-1)\ge ν_{p}(e)+ν_p(n)$。我们提出了一个快速算法来确定$f(x^n)$的不可约因子。我们还显示了不可约因素的情况下，${\rm rad}(n)$除了$q-1$和${\rm gcd}(m, n)=1$。最后，使用该算法，我们分裂成不可约的因素$x^n-1$的情况下，当$n=2^mp^t$和$q$是一个发电机的组$\mathbb{Z}_{p^2}^*$。
Digit Polynomials and their application to integer factorization
本文提出了数字多项式的概念，并由此导出了一个具有运行时复杂度为$\mathcal{O}(N^{1/4+ε})$的确定性无条件整数分解算法。Strassen的著名的因式分解方法是我们的方法的一个特例。我们还将考虑改进复杂性界限的可能性。
Notions for RSA integers
RSA密码系统的密钥生成算法在多个标准中指定，例如PKCS#1、IEEE 1363-2000、FIPS 186-3、ANSI X9.44或ISO/IEC 18033-2。它们的要求都有很大的不同。这表明，为了计算一个“安全”的RSA模数，如何精确地生成RSA整数并不重要。在这项工作中，我们表明，这确实是在很大程度上的情况：首先，我们给出了一个理论框架，这将使我们能够很容易地计算所考虑的标准的输出分布的熵，并表明它是相对较高的。为了做到这一点，我们计算每个标准的整数，他们定义的数量（错误非常小的顺序），并讨论不同的方法生成一个特定形式的整数。第二，我们证明了这样的整数的因式分解是困难的，提供因式分解两个素数的产品类似的大小是困难的。
Rational Base Descent: A Deterministic Algorithm for Factoring Structured Semiprimes
本文提出一种专门算法，用于分解形式为N=pq的半素数，其中一个素因子满足p≈c(a/b)^n，算法在特定参数下以O(log^3 N)时间隔离因子，并提供Python实现。
Non-unique factorization of polynomials over residue class rings of the integers
本文研究了Z_{p^n} [x]中多项式的非唯一分解为不可约项.作为零因子包含在Jacobson根中的诺特环，Z_{p^n} [x]是原子环.我们把任意非零多项式分解为不可约项的问题归结为将首一多项式分解为一元不可约项的问题。Z_{p^n} [x]的首一多项式的乘法幺半群是Z_p[x]中对应于不可约多项式的幺半群的直和，我们证明了这些幺半群中的每一个都具有无穷弹性.此外，对于每一个正整数m，在这些幺半群中的每一个中存在2个不可约数的乘积，该乘积也可以表示为m个不可约数的乘积。
Reducing the Space Used by the Sieve of Eratosthenes When Factoring
提出一种改进的埃拉托斯特尼筛法版本，能在 $O(x \log\log x)$ 运算内分解所有 $\le x$ 的整数，且将空间界限降至 $O(\sqrt{x}/\log\log x)$ 位，同时保持相同时间复杂度，且实际表现良好。
A New Hyperbola based Approach to factoring Integers
本文针对半素数分解问题，提出基于双曲线代数集的新方法，通过引入双曲线 X-root 和 Y-root 概念，在奇异 Weierstrass 曲线上求解关键点以实现整数分解。
An exponent one-fifth algorithm for deterministic integer factorisation
Hittmeir最近提出了一种确定性算法，可证明地计算$N^{2/9+o(1)}$位操作中正整数$N$的素因子分解。在这一突破之前，这个问题最著名的复杂性界限是$N^{1/4+o(1)}$，这一结果可以追溯到20世纪70年代。在本文中，我们进一步推动Hittmeir的技术，获得一个严格的，确定性的因式分解算法的复杂性$N^{1/5+o(1)}$。
Unconditional correctness of recent quantum algorithms for factoring and computing discrete logarithms
本文通过解析数论工具证明了Regev改进的量子算法在因数分解和计算离散对数问题上的无条件正确性。
Splitting full matrix algebras over algebraic number fields
设K是一个d次代数数域，D是Q上的判别式.设A是由结构常数给定的K上的结合代数，使得A同构于K上的n × n矩阵代数Mn（K），其中n为正整数.假设d，n和D是有界的。然后用多项式时间的ff-算法构造出A与M_n（K）的同构。(An FF算法是一个确定性的过程，它被允许调用用于在有限域上因式分解整数和因式分解一元多项式的预言机。作为结果，我们得到了计算K上有界次数的中心单代数代数同构的多项式时间ff-算法。
Splitting quaternion algebras over quadratic number fields
本文提出了一个求二次数域上四元数代数中零因子的算法，或者等价地，求解$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的三元齐次二次方程，其中$d$是无平方数的整数.该算法是随机化的，如果允许调用神谕来分解整数，则在多项式时间内运行。
Sharp Transitions in Making Squares
在许多整数分解算法中，人们产生一个整数序列（以伪随机方式创建），并希望快速确定乘积为平方的子序列（我们称之为平方积）。在他的演讲在1994年国际数学家大会，波默兰斯指出，以下问题封装了所有的关键问题：选择整数a_1，a_2，>.从区间[1，x]开始，直到某个（非空）子序列的乘积等于平方。找到这个过程的期望停时的好估计。一个好的解决方案，这个问题应该帮助一个确定的最佳选择的参数为一个因子分解算法，因此这是一个中心问题。Pomerance（1994）利用Schroeppel（1985）的思想，证明了对于一个适当的（明确确定的）J_0=J_0（x），在至少选择了J_0^{1-o（1）}个整数之后，其乘积等于平方的第一个子序列以概率1-o（1）出现，但不超过J_0。在这里，我们确定这个预期的停时，直到一个常数因子，将Pomerance的间隔收紧到$$[ (π/4)(e^{-γ} - o(1))J_0, (e^{-γ} + o(1)) J_0],$$，其中$γ= 0.577...$是Euler-Mascheroni常数。我们还将证实一个已经建立的信念，即平方积中的整数通常都没有大的素因子。我们相信这两个边界的上界是渐近尖锐的。
Good integers : A note on results of Jitman and Prugsapitak
本文修正了Jitman [1]及Prugsapitak和Jitman [3]在刻画好整数和$2^β$ -好整数时的一些错误.
A note on the alternating sums of powers of consecutive integers
根据欧拉的一个思想，我们计算了构造整数的幂的交错和。
A number-theoretic conjecture implying faster algorithms for polynomial factorization and integer factorization
本文针对有限域一元多项式因式分解的3/2指数壁垒，提出基于数论猜想的新策略，可优化多项式因式分解指数，还能降低确定性整数因式分解算法的指数。
A Modification of LLR
Mersenne数的Lucas-Lehmer（LL）素性检验是已知最快的素性检验。在1969年，Hans Rietter发表了LL的一个修改，以测试形式为$N = h \cdot 2^n - 1$的数，其中$h < 2^n$是奇数，而$n \ge 2$是\cite{Riesel}。这个测试现在被称为Lucas-Lehmer-Rifford（LLR）素数测试。在算法\ref{PrimalityAlgorithm}中，我们提出了一种对LLR的修正，它适用于任意奇数$N$。我们的算法的概率版本运行在预期的时间$\tilde{O}(\log^3 N)$，并在预期的$\tilde{O}(\log^4 N)$的确定性版本。最后，我们提出一个猜想，如果这个猜想成立，就意味着存在一个多项式时间算法来分解整数。
An Improvement to the Number Field Sieve
本文改进了数域筛法中用于整数分解和离散对数计算的筛法部分。我们的方法的运行时间比现有的方法短。在一些合理的假设下，我们证明了它是小于三分之二的运行时间的算法之前使用的概率渐近gr
A Note On The Spectral Norms of The Circulant Matrices Connected Integer Number Sequences
本文计算了与整数序列有关的矩阵的谱范数，并给出了Fibonacci数、Lucas数、Pell数和Perrin数的例子。
Fast square-free decomposition of integers using class groups
本文提出一种基于二元二次型类群的算法，用于快速求 $n=a^2b$ 的无平方因子分解，在 $a,b$ 为密码学规模素数时是目前最快的方法，对依赖此类整数分解困难性的密码系统具有重要意义。
On the tower factorization of integers
研究整数塔式分解的高度，给出高度为k的整数集合密度公式，估计平均层数，并证明存在任意长且高度任意大的连续整数序列。
A note on the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了一个新的q-欧拉数和多项式。利用这些数和多项式，我们根据Euler的一个思想，给出了连续q-整数的交错幂和的有趣公式。
Note on the sums of powers of consecutive $q$-integers
本文对正偶数构造了Barnes的Bernoulli数和二次多项式的$q$ -模拟，这是对Schlosser问题的一部分的回答.对于正的奇数，Schlosser的问题仍然是开放的。最后，我们将处理的$q$ -模拟的权力和连续整数。
A Note on Cyclotomic Integers
本文给出了分圆整数构成分圆域中整数满环的一个新证明。
Short Note: Every Large Set of Integers Contains a Three Term Arithmetic Progression
我表明，一个平凡的修改标准证明罗斯定理的三倍在等差数列将导致以下定理：如果A是一个“大集合”，即它的元素是单调递增的整数和倒数的总和，其元素发散，然后序列包含一个等差数列的长度为3。
A note on the sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了Barnes Bernoulli数和二次多项式的q-模拟，回答了Schlosser问题的一部分.最后，我们处理的q-模拟的权力和连续积分。
A note about invariant polynomial transformations of integer sequences
利用经典的不变量理论方法，给出了一个求整数序列的不变多项式变换的算法。
A note on the weighted q-Hardy-Littlewood-type maximal operator with respect to q-Volkenborn integral in the p-adic integer ring
本文的主要目的是利用Zp上的p-adic q-不变分布定义加权q-Hardy-Littlewood型极大算子。此外，我们给出了这类极大算子的一些有趣的性质。
A note on an irreducible class of polynomials over integers
本文证明了多项式$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{m}x^{m} + p^{u} \in \mathbb{Z}[x]$的不可约性准则，其中$p$是素数，$u \geqslant 1$，$\gcd(u, m) = 1$，$p \nmid a_{m}$和$p^{u} > |a_{n}| + |a_{n-1}| + \cdots + |a_{m}|$ .特别地，我们证明了Koley和Reddy的猜想是正确的。
A note on polynomial sequences modulo integers (revised version)
本研究针对整数模多项式序列，探讨非线性多项式序列模整数的均匀分布性，证明其均匀分布的充要条件，并研究多项式序列模整数的完备性，明确线性与非线性多项式相关性质的差异。
A Note on p-Adic Invariant Integral in the Rings of p-Adic Integers
在[2]中，我构造了Zp上的p-adic q-积分。本文研究了p-adic整数环中q=-1时p-adic不变p-adic q-积分的性质。最后给出了q=-1时p进q积分的一些应用。这些性质对欧拉数和多项式的研究是有用的和值得的。
Note on a conjecture of Hildebrand regarding friable integers
本文针对Hildebrand关于可分解整数个数的光滑近似成立的猜想，在Gorodetsky复杂证明的基础上，提出了一个简短直接的证明。
A note on the first cuboid conjecture
最近，构造完美欧拉长方体的问题涉及到三个证明某些三个多项式依赖于整数参数的不可约性的定理。本文给出了第一个长方体猜想的部分证明结果。根据这个猜想，多项式应该是不可约的整数被证明没有整数根。
A note on modular properties of non-principal and non-coprincipal admissible $C^{(1)}_2$-modules of integer level
本文研究了 $C_2^{(1)}$ 代数整级非主和非互质可允许模块的模性质及其量子哈密顿约简的不变性。
A short note on Jacobsthal's function
函数g（n）表示最小数Q，使得每个Q个连续整数的序列都包含一个与n互质的整数。给出了该函数的一个新的明确的上界。
Note on the diophantine equation X^t+Y^t=BZ^t
本文得到了丢番图方程X^t+Y^t=BZ^t对有理数B和素数t的整数解X，Y，Z的新结果，验证了文中所解释的一些条件.
Notes on the Quadratic Integers and Real Quadratic Number Fields
证明了当考虑一个范数固定的实二次整数$ξ$时，域$\mathbb{Q}(ξ) = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$的基本单位$\varepsilon_d$几乎总是满足$\log \varepsilon_d \gg (\log d)^2$.通过二次序列给出了一个更一般的集合，包含所有的根$d$的字段的一个简单的建设，并估计这种替代的效率明确。当$μ= -1$时，该构造给出了负佩尔方程$X^2 - d Y^2 = -1$（或更一般地$X^2 - D Y^2 = -4$）可解的所有$d$。当$μ$是素数时，它给出了所有的实二次域，其中位于$μ$上的素理想是主理想。
A Note on Goldbach Partitions of Large Even Integers
令$Σ_{2n}$是从区间$(4,2n], n>2,$到两个奇素数部分的所有偶数划分的集合。我们证明了$\midΣ_{2n}\mid\sim 2n^2/\log^2{n}$是$n\to\infty$。我们还假设从集合$Σ_{2n}$中随机均匀地选择一个分区。设$2X_n\in (4,2n]$为该分区的大小。我们证明了一个极限定理，建立$X_n/n$弱收敛到两个随机变量的最大值，这两个随机变量是一个均匀分布的随机变量在区间$(0,1)$的独立副本。我们的证明方法是基于一个经典的Tauberian定理由于哈代，Littlewood和Karamata。我们还表明，同样的渐近方法可以适用于划分成一个任意和固定数量的奇素数部分的整数
A note on the converse of Wolstenholme's Theorem
给定一个素数p和一个满足一定不等式的正整数m，证明了Wolstenholme定理的逆定理对乘积mp^k成立，其中k是任意的正整数，推广了Helou和Terjanian的一个结果.
On Factoring and Power Divisor Problems via Rank-3 Lattices and the Second Vector
本文提出基于秩3格和第二向量的算法，改进了因数分解、幂和差分解及r-幂除数问题的复杂度。
A Note on Additive Complements
两个非负整数的无穷序列A和B称为加法补数，如果它们的和包含所有足够大的整数。设$A(x)$和$B(x)$是A和B的计数函数。本文推广了Liu和Fang在2016年的结果，得到了关于加法补数的一些结果。例如，我们证明了存在可加补数$A$和$B$，使得对于无穷正整数$x$，有$\limsup_{x\to+\infty} A(x)B(x)/x= 2$和$A(x)B(x) - x = 1$.
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