RSA整数的概念

基于RSA公钥密码体制的并行算法研究

State of the art parallel approaches for RSA public key based cryptosystem

RSA是最流行的基于公钥密码学的算法之一，主要用于数字签名、加密/解密等。它基于非常大的整数的因式分解的数学方案，这是一个计算密集型过程，需要很长的时间和功率来执行。目前世界上有许多科学家致力于提高RSA算法的加速比，降低RSA算法的功耗，同时保持算法的安全性。并行编程是提高RSA性能的一种常用技术。在本文中，我们提出了各种RSA算法的并行实现的调查，涉及各种硬件和软件实现。

关于Common Prime RSA小私钥攻击的注记

Notes on Small Private Key Attacks on Common Prime RSA

本文指出了现有common prime RSA基于格的密码分析中的缺陷，通过审查求解三元整数多项式方程的相关参数进行修正，并给出了小私钥攻击的综合示例。

A new idea for RSA backdoors

This article proposes a new method to inject backdoors in RSA and other cryptographic primitives based on the Integer Factorization problem for balanced semi-primes. The method relies on mathematical congruences among the factors of the semi-primes modulo a large prime number, which acts as a "designer key" or "escrow key". In particular, two different backdoors are proposed, one targeting a single semi-prime and the other one a pair of semi-primes. The article also describes the results of tests performed on a SageMath implementation of the backdoors.

用KNJ-分解法分解RSA公钥加密的改进试分算法

Modified Trial Division Algorithm Using KNJ-Factorization Method To Factorize RSA Public Key Encryption

RSA算法的安全性依赖于正整数N，它是两个大素数的倍数。对如此巨大的数字进行因式分解是一个有问题的过程。在过去的几年里，已经实现了许多算法。给出的KNJ -因子分解算法为RSA的因子分解提供了一种确定性的方法.该算法通过仅考虑素数来限制搜索。随后素数是奇数，因此它也需要更小的数字步骤来分解RSA。本文所提出的算法非常简单，易于理解和实现。这个KNJ分解算法的主要概念是，只检查那些奇数和素数的因子。所提出的KNJ-因子分解算法对那些与N相邻且接近的因子非常有效。如果我们能减少素性测试的时间，所提出的因式分解方法可以加快速度。它从根本上降低了时间复杂度。

通过受限的瑞尼熵优化提升RSA的量子抗性：一种用于向后兼容加密的理论框架

Towards Enhanced Quantum Resistance for RSA via Constrained Rényi Entropy Optimization: A Theoretical Framework for Backward-Compatible Cryptography

本文提出CREO框架，通过限制RSA素数接近度以优化瑞尼熵，提升RSA的量子抗性，同时保持向后兼容性。

用单次量子查询计算RSA模数$N$的$\varphi(N)$

Computing $φ(N)$ for an RSA module with a single quantum query

本文提出一个简单多项式时间算法，利用随机整数的模$N$阶计算RSA模数$N$的$\varphi(N)$，以高概率成功，为分解RSA模数提供新见解。

整数分解 via 张量网络 Schnorr 的筛法

Integer Factorization via Tensor Network Schnorr's Sieving

本文提出基于张量网络方法的 RSA 分解算法，通过量子启发式技术实现多项式缩放的资源优化，展示了对大半素数分解的高效处理能力。

应用偶数阶椭圆曲线分解 RSA 模数

Decomposition of RSA modulus applying even order elliptic curves

本文提出一种基于偶数阶椭圆曲线和 2-adic 点阶分离的整数分解算法，能在亚指数时间内分解 RSA 模数 $N=pq$，并在特定条件下实现确定性时间分解。

一种基于求和的整数因式分解算法

A Summation-Based Algorithm For Integer Factorization

本文提出一种基于求和的整数因式分解新方法，通过结合整数的十进制与二进制表示，利用时间复杂度阶为 $\sqrt{n}$ 的算法将和转换为两整数乘积以完成分解。

在现有量子平台上执行Shor算法的实际挑战

Practical Challenges in Executing Shor's Algorithm on Existing Quantum Platforms

研究现有量子平台执行Shor算法的实际限制，发现当前硬件在分解密码相关整数方面存在显著差距，电路构造和保真度稳定性不足。

借助VQE辅助的Schnorr算法进行整数分解

Factoring integers via Schnorr's algorithm assisted with VQE

本文针对经典计算机难以高效分解大整数的问题，复现并分析了Yan等人的混合量子分解算法，改用VQE量子方法成功分解了数字1961，验证了该路线的可行性。

用（量子）SAT-求解器分解半素数

Factoring semi-primes with (quantum) SAT-solvers

大整数分解的假设计算难度形成了RSA公钥密码学的安全性基础，RSA公钥密码学特别依赖于两个大素数或半素数的乘积。经典计算机中最著名的因子分解算法在次指数时间内运行。由于整数分解是NP问题，因此可以将此问题简化为任何NP困难问题，例如布尔可满足性（SAT）。虽然将因子分解简化为SAT已被证明对研究SAT求解器有用，但通过这种简化来分解大整数的尝试并不成功。Shor的量子因子分解算法在多项式时间内对任何整数进行因子分解，尽管目前还没有能够实现Shor算法的大规模容错量子计算机，因此通过Shor算法进行因子分解的相关基准测试实验还不可能。然而，近年来，一些作者尝试在量子处理器的帮助下，通过简化到NP难问题来进行因式分解。虽然这种方法可能会揭示一些算法的量子解决方案的NP难题的方法，在本文中，我们研究和质疑这种方法的实际有效性，分解大的数字。我们没有发现任何证据表明这是一条可行的途径来分解大量的数字，即使是可扩展的容错量子计算机，以及各种量子退火或其他特殊用途的量子硬件。