Note on the diophantine equation X^t+Y^t=BZ^t
Benjamin Dupuy
本文得到了丢番图方程X^t+Y^t=BZ^t对有理数B和素数t的整数解X，Y，Z的新结果，验证了文中所解释的一些条件.
In this paper, we obtain new results on the integers solutions X, Y, Z of the diophantine equation X^t+Y^t=BZ^t for a rationnal integer B and a prime number t verifying some conditions explained in the paper.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on weighted simultaneous Diophantine approximation on manifolds
在本文中，我们对Beresnevich，Levesley和Ward（2021）关于流形上的加权同时丢番图逼近的最近结果进行了改进。
A note on Diophantine approximation with Gaussian primes
研究了$pθ$模1的分布，其中$θ$是不包含在$\mathbb{Q}(i)$中的复数，且$p$在高斯素数上运行.
A note on the number of $S$-Diophantine quadruples
令$(a_1,\dots, a_m)$是正的、两两不同的整数的$m$ -元组。如果对于所有的$1\leq i< j \leq m$，$a_ia_j+1$的素除子来自同一个固定集合$S$，那么我们称$m$ -元组为$S$ -丢番图。本文用$|S|=r$估计了$S$ -丢番图四元组的个数.
A note on Arithmetic Diophantine series
我们认为一些渐近分析系列相关的工作，哈代和Littlewood的丢番图逼近，以及达文波特。特别是，我们扩大了以前的一些工作的想法等差级数和RH。
Note on the spectrum of classical and uniform exponents of Diophantine approximation
利用W. M. Schmidt和L. Summerer和D. Roy，我们建立了在$n\geq3$维上的丢番图逼近的$2n$指数的谱是$\mathbb{R}^{2n}$的一个具有非空内部的子集.
A note on some Diophantine inequalities over adelic curves
本文在不假设Northcott性质的条件下，为proper adelic曲线上一类作为Roth不等式加强版的丢番图不等式组建立了“大解”数量的上界。
A Note on Quartic Diophantine equation $X^4-Y^4=R^2-S^2$
本文研究四次丢番图方程 $X^4-Y^4=R^2-S^2$，主要贡献是构造并证明了该方程具有无穷多个整数解。
A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators
本文通过引入子集密度的概念，建立了狄利克雷定理在分母受限情形下的类比，研究了分母限制在自然数子集上的无理数有理逼近。
A note on the Diophantine equations $x^{2}\pm5^α\cdot p^{n}=y^{n}$
假设$x$是奇数，$n\geq7$和$p\notin\{2,5\}$是素数。本文证明了丢番图方程$x^{2}\pm5^αp^{n}=y^{n}$在正整数$α,x,y$中无解，其中有$gcd(x,y)=1$ .
A note on the Diophantine equation $2^{n-1}(2^{n}-1)=x^3+y^3+z^3$
受Farhi最近结果的启发，我们证明了对于每个$n\equiv \pm 1\pmod{6}$，标题丢番图方程至少有两个整数解.因此，我们得到每个（偶数）完满数是三个整数立方的和。此外，我们还给出了一些计算结果，并提出了一些问题和解答。
A note on zero-one laws in metrical Diophantine approximation
本文讨论与线性型组有关的度量丢番图逼近的一般性问题。主要结果是一个零一律，它推广了Cassels和Gallagher的一维结果.该文件包含一个讨论可能的概括，包括选择各种开放的问题。
A Note on the Quartic Diophantine Equation $A^4+hB^4=C^4+hD^4$
丢番图方程$A^4+hB^4=C^4+hD^4$的整数解对于$h < 1000$的所有正整数值都是已知的。虽然对于$h$的任意正整数值的上述丢番图方程的解是未知的，但Gerardin和Piezas发现了当$h$分别由5次和2次多项式给出时该方程的解。本文给出了当$h$由$2,\;3$和4次多项式给出时该方程的几种新解。
A note on the quality of simultaneous Diophantine approximations obtained by the LLL algorithm
本文针对LLL算法所得联立丢番图逼近的质量问题，对Bosma和Smeets的相关结果作出了显著改进。
A Note on Terai's Conjecture Concerning the Exponential Diophantine Equation x^{2}+b^{y}=c^{z}
设（a，b，c）是一个本原毕达哥拉斯三元组，即，a^{2}+b^{2}=c^{2}，其中gcd（a，b，c）=1，a为偶数，b为奇数。Terai猜想指出，丢番图方程x^{2}+b^{y}=c^{z}只有正整数解（x，y，z）=（a，2，2）.在这项研究中，我们证明了寺井猜想是正确的，当b是两个素数的产品和c=5（mod 8）。
Notes on the Diophantine Equation A^4+aB^4=C^4+aD^4
一个新的配方的主题方程。几个参数和半参数的解决方案。a=-1的参数解最初于1972年提出，但从未发表。Zajta发现了一个计算机生成的版本，并于1983年出版。为了记录在案，提供了纸和纸的版本，以及许多其他的例子，包括八个巧合的三重态解决方案。
A note on Diophantine systems involving three symmetric polynomials
设$\bar{X}_{n}=(x_{1},\ldots,x_{n})$和$σ_{i}(\bar{X}_{n})=\sum x_{k_{1}}\ldots x_{k_{i}}$是$i$阶初等对称多项式.本文证明了存在无穷多个整数三元组$a, b, c$，使得对每个$1\leq i\leq n$，丢番图方程组\begin{equation*} σ_{i}(\bar{X}_{2n})=a, \quad σ_{2n-i}(\bar{X}_{2n})=b, \quad σ_{2n}(\bar{X}_{2n})=c \end{equation*}有无穷多个有理解.这一结果推广了Zhang和Cai以及作者的近期结果.此外，我们还考虑了一些涉及幂和的丢番图系统。特别是，我们证明，对于每个$k$至少有$k$ $n$ -元组的整数相同的总和$i$ -th权力$i=1,2,3$。对于$i=1,2,4$和$i=-1,1,2$证明了类似的结果。
A note on general isolation result in Diophantine Approximation
本文给出关于实数有理逼近中隔离现象的简单通用陈述，研究函数f>f1，使得不等式解的存在性可传递至更紧的不等式。
On Diophantine quintuple Conjecture
本文证明了：如果$\{a,b,c,d,e\}$与$a<b<c<d<e$是丢番图五元组，则$d<10^{76}$ .
A Note On the Exponential Diophantine Equation (a^n-1)(b^n-1)=x^2
2002年，F. Luca和G.沃尔什解决了丢番图方程的标题为所有对（a，b），使1<a<b<101有一些例外。有69个例外。本文给出了关于标题中方程的一些新结果。证明了当a，b具有相反的宇称且n>4且2时，方程（a^n-1）（b^n-1）=x^2无解|n.此外，我们还解出了（a^n-1）（b^n-1）=x^2，对应于（a，b）=（2，50）、（4，49）、（12，45）、（13，76）、（20，77）、（28，49）和（45，100）对。最后，我们证明了当b是偶数时，方程（a^n-1）（b^（2n）a^n-1）=x^2没有解n，x。
A note on the Hausdorff dimension of some liminf sets appearing in simultaneous Diophantine approximation
设Q是正整数的无限集。表示为W_{τ, n}（Q）（分别W_{τ, n}）n维中的点集同时τ-可被Q中的无穷多个有理数逼近。以N* 为单位）。当n>1，τ>1+1/（n-1）时，在满足整除性的条件下，给出了limif集W_{τ, n} \W_{τ, n}（Q）的豪斯多夫维数的一个非平凡下界.本文还讨论了该豪斯多夫维数的实际值的计算以及该问题的一维模拟。
A note on the ternary purely exponential Diophantine equation $A^x+B^y=C^z$ with $A+B=C^2$
令$\ell, m, r$为固定正整数，使得$2\nmid \ell$、$3\nmid \ell m$、$\ell>r$和$3\mid r$。本文利用Lehmer数原因子存在性的BHV定理证明了：若$\min\{r\ell m^2-1,(\ell-r)\ell m^2+1\}>30$，则方程$(r\ell m^2-1)^x+((\ell -r)\ell m^2+1)^y=(\ell m)^z$只有正整数解$(x,y,z)=(1,1,2)$ .
Diophantine sets and Dirichlet improvability
本文通过对丢番图集的推广，进一步讨论了Dirichlet可改进点、坏可逼近点和奇点之间的关系.
A note on the high power Diophantine equations
本文求解了一类联立的丢番图方程（？）x_1 ^u +.+ x_n^u=k（y_1^u+.+ y_{n/k}）; u= 1，3，其中n >3，k< n，是n的除数，并得到了它们的非平凡参数解.此外，我们还给出了当u = 3时，当已知解时，上述丢番图方程（DE）的另一个解的产生方法.我们工作了一些例子，并找到非平凡的参数解的每一种情况下，非零整数。同时证明了另一个DE p_1x_1^{a_1}+....+ p_nx_n^{a_n}=q_1y_1^{b_1}+.+ q_my_m^{b_m}有参数解和无穷多个非零整数解，条件是：存在i使得p_i=1，且（a_i，a_1. a_{i-1} a_{i+1}. b_1... b_m）=1，或者存在j使得q_j=1，并且（b_j，a_1. a_nb_1. b_{j-1} b_{j+1}.. b_m）=1。最后我们研究了DE x^a_y^b=z^c。
A note on weighted badly approximable linear forms
本文证明了与Schmidt对策理论有关的扭丢番图逼近的一个结果。特别是，在一定的限制下，我们给一个肯定的答案类似于在此设置的一个著名的猜想施密特从丢番图逼近。
A note on three problems in metric Diophantine approximation
Hausdorff测度和维数在丢番图逼近理论中的应用可以追溯到20世纪20年代的Jarnik和Besicovitch关于好逼近点和坏逼近点的定理。在本文中，我们考虑三个非齐次问题，进一步发展这些经典的结果。首先，我们得到了平面上乘法可逼近点集的一个Jarnik型定理。这豪斯多夫措施声明并没有减少加拉格尔的勒贝格测度声明，因为人们可能会期望，是新的，即使在同质设置。其次，我们建立了一个Jarnik型定理的乘法逼近点集的非退化平面曲线。这就完成了平面曲线的豪斯多夫理论。最后证明了平面上同时非齐次（i，j）-差逼近点集是满维的。这个证明背后的基本哲学还有其他的应用，例如建立施密特猜想的非齐次版本。平面结果的高维类似物也进行了讨论。
Metric Diophantine Approximation: aspects of recent work
在这些笔记中，我们首先回顾度量丢番图逼近的经典理论的各个方面;如Khintchine，Jarn 'ık，Duffin-Schaeffer和Gallagher定理。然后，我们描述了最近加强各种经典的声明，以及最近的事态发展，在该地区的丢番图逼近的流形。后者包括好逼近、差逼近和非齐次逼近。
A note on the third cuboid conjecture. Part I
寻找完美欧拉长方体或证明其不存在的问题是一个古老的数学未解决的问题。第三个长方体猜想是在证明不存在完美欧拉长方体的中间阶段提出的三个命题中的最后一个。它与某个12阶的丢番图方程有关。本文证明了这类丢番图方程解的一个结构定理。
A note on Diophantine subsets of large fields
本文推广了 Fehm 的结果，证明完美大域中无限真子域的仿射平移的有限并集不是丢番图子集，从而回答了 Pop 的问题。
On the Diophantine equation x^2+2^a.3^b.11^c=y^n
本文给出了丢番图方程x^2 + 2^a.3^b.11^c =y^n在非负整数a，b，c，x，y，n ≥ 3且x，y互质时的所有解.
An Exponential Diophantine Equation - One Order Higher than Fermat's Equation
我们建立了一个指数型的丢番图方程，它在某种意义上比费马大定理高一阶。我们还给出了这个指数型丢番图方程的三个解的例子，并提出了一个猜想。
A note on the Diophantine equation $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^α$ and application to odd perfect numbers
本文利用二次序中的素理想分解和广义Fermat方程本原解，证明奇完全数中比值 $σ(n^{2})/q^α$ 在 $α\neq 1$ 时既非平方数也非平方数乘单素数，并推广到奇多重完全数。
A note on the second cuboid conjecture. Part I
寻找完美欧拉长方体或证明其不存在的问题是一个古老的数学未解决的问题。第二个长方体猜想是在证明不存在完美欧拉长方体的中间阶段提出的三个命题之一。它与某个10阶多项式丢番图方程有关。本文证明了这类丢番图方程解的一个结构定理，并给出了它的应用实例。
A note on well distributed sequences
本文证明了度量丢番图逼近理论中关于非齐次逼近的一个简单命题。
The Diophantine equation $x^4\pm y^4=iz^2$ in Gaussian integers
本文利用椭圆曲线求出了$\mathbb Q(i)$上丢番图方程$x^4\pm y^4=iz^2$的所有解。利用同样的方法，我们给出了Hilbert关于方程$x^4\pm y^4=z^2$在高斯整数中只有平凡解的结果的一个新的证明.
How to Solve a Diophantine Equation
这些笔记代表了我为IMO 2009的参与者和其他感兴趣的人所做的演讲的扩展版本。我们介绍了丢番图方程，并证明了它可以很难解决。然后，我们演示了如何解决一个特定的方程有关的数字出现几次在帕斯卡的三角形与国家的最先进的方法。
Diophantine Equation $X^4+Y^4=2(U^4+V^4)$
本文利用椭圆曲线理论求四次丢番图方程的解。$X^4+Y^4=2(U^4+V^4)$关键词：丢番图方程，椭圆曲线，同余数
The Diophantine equation xy=z^n; for n=2,3,4,5,6; the Diophantine equation xyz=w^2; and the Diophantine system: xy=v^2 and yz=w^2
在这项工作中，我们实现了三个目标。首先，我们确定了三变量丢番图方程xy=z^2;（n= 2，3，4，5，6）的整族正整数解.当n=2时，我们得到一个3参数解族;当n=3时，得到一个5参数解族;当n=4时，也是如此。对于n=5，一个7参数解族;对于n=6也是如此。分别参见定理2至定理6。本文的第二个目标是确定xyz=w^2的所有正整数解。这是在定理7中完成的;解集用六个独立参数来描述。最后，在定理8中，我们实现了我们的第三个目标：确定五元丢番图系统xy=v^2和yz=w^2的所有正整数解。解集用八个参数表示。本文共包括四篇参考文献。
A note on a perfect Euler cuboid
构造一个完美的欧拉长方体的问题被简化为一个12次的丢番图方程。
Diophantine Equations Involving the Euler Totient Function
我们处理各种丢番图方程涉及欧拉函数和各种序列的数字，包括因子，权力，和斐波那契序列。
On the Diophantine equation F_{n}-F_{m}=2^{a}
本文对非负整数m、n和a中的丢番图方程进行了全面求解。为了证明我们的结果，我们使用下界的线性型在图和一个版本的Baker-Davenport减少方法在丢番图逼近。
An implementation of Runge's method for Diophantine equations
本文给出了求解满足Runge条件的丢番图方程的Runge方法的一个实现。在这个实现中，我们避免使用Puiironx系列和代数系数。
Isolated Diophantine numbers
该研究探讨丢番图数的拓扑结构，构造出同丢番图常数下的孤立丢番图数显式例子，证明丢番图集未必是康托集，并简述了这类孤立数的一般性质。
On a diophantine equation of M. J. Karama
对每一个正整数$n$，构造了丢番图方程$x^n - y^n = z^{n+1}$的无穷多个正整数解.
Quantitative indicators of the solutions of Diophantine equations and systems in the domain of the natural numbers
本文证明了丢番图方程或自然数组解的渐近密度为0。给出了在自然数域上的一阶、二阶和高阶二元代数方程、非代数丢番图方程和丢番图方程组的解的k元组$<x_1,...x_k>$的个数、密度和概率的估计.本文用几何方法证明了二元、三元或多元二阶丢番图方程正整数解的个数估计。证明了在自然数域上高阶代数丢番图方程的解的个数的一个论断。给出了丢番图方程和方程组在自然数域上定量解的渐近性态估计。
Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation
我们首先回忆一下这种联系，回到A。因此，代数数的有理逼近与某些丢番图方程的整数解之间存在着联系。其次，我们回顾几个有限性结果之间的等价性各种丢番图方程。我们也给出了许多等价的声明马勒的推广的基本定理的图厄。特别是，我们表明，度$3$的Thue-马勒定理意味着定理的Thue-马勒任意度$\ge3$，我们与西格尔定理的合理的积分点的投影线$¶^1(K)$减去$3$点。最后，我们将我们的研究扩展到高维空间与施密特的子空间定理。
A note on simultaneous Diophantine approximation on planar curves
令$\cS_n(ψ_1,...,ψ_n)$表示$\R^n$中同时$(ψ_1,...,ψ_n)$ -可逼近点的集合，$\cSM_n(ψ)$表示$\R^n$中乘法$ψ$ -可逼近点的集合。设$\cM$是$\R^n$中的一个流形。目的是发展一个度量理论的集合$ \cM \cap \cS_n(ψ_1,...,ψ_n) $和$ \cM \cap \cSM_n(ψ) $类似的经典理论，其中$\cM$是简单的$\R^n$。在本文中，我们主要将注意力限制在$\cM$是平面曲线$\cC$的情况下。对集合$ \cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $和$ \cC \cap \cSM_2(ψ) $建立了完备的Hausdorff维数理论.一个发散的Khintchine型的结果得到$\cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $，即如果一定的总和发散，然后$\cC$的$\cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $的一维勒贝格测度是满的。此外，在$\cC$是一个合理的二次曲面的情况下，收敛的Khintchine型的结果得到这两种类型的近似。我们对$\cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $的结果自然地推广了\cite{BDV03}的维数和Lebesgue测度.在乘法框架内，我们的结果$ \cC \cap \cSM_2(ψ)$构成了第一个他们的类型。
A new diophantine equation involving fifth powers
本文给出了迄今未解的丢番图方程$(x_1^5+x_2^5)(x_3^5+x_4^5)=(y_1^5+y_2^5)(y_3^5+y_4^5)$的参数解。此外，我们表明，使用椭圆曲线，存在无穷多个参数解的上述丢番图方程，它们可以有效地计算。
On a Kind of Nonlinear Diophantine Equation
本文给出了线性丢番图方程a1 x1 + a2 x2 +.+ anxn=d .本文讨论了非线性丢番图方程的解|A X| =+-d，推广了线性方程，并给出了其可解性的一个充要条件.我们展示了如何线性方程可以被认为是一个特殊的情况下的非线性方程。
Integer conversions and estimation of the number of integer solutions of algebraic Diophantine equations
讨论了次数为$n \geq 2$且变量个数为$k > 2$的代数丢番图-图对角方程和显式变量方程在系数为反号时的整数解的个数.在将代数丢番图方程转化为对角形式的情况下，发现了保持代数丢番图方程整数解个数渐近性态的整数转化.本文研究了几类非对角型代数丢番图方程的整数解的个数估计。
On the Diophantine equations f (x) = g(y)
丢番图方程整数解的有限性或无穷性的研究一直被认为是文献中的标准问题。本文对Z[x]-幺半群中的f（x）和q1，…，qm的条件下，研究了丢番图方程（y + q1）（y + q2）…（y + qm）= f（x）有n个整数解。在ABC猜想的假设下，研究了丢番图方程f（x）= g（y）整数解有限的条件.
On the Diophantine Equation $p^x + p^y = z^{2n}$
在早期的论文中，Tatong和Suvarnamani探讨了丢番图方程$p^x + p^y = z^2$对于素数$p$。在那篇论文中，他们找到了$p=2, 3$方程的一些解。在本文中，我们看看这个方程的一般版本，并完全解决它。
A diophantine equation for sums of consecutive like powers
证明了丢番图方程$n^\ell+(n+1)^\ell + ...+ (n+k)^\ell=(n+k+1)^\ell+ ...+ (n+2k)^\ell$对所有的$\ell \ge 3$在正整数$k,n \ge 1$中无解.
About the Diophantine Equation $x^{4}-q^{4}=py^{r}$
本文证明了关于丢番图方程$x^{4}-q^{4}=py^{r}$的整数解的一个定理，推广了K.Gy \H理论，F.Luca和A.Togbe以及作者的工作.
Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue-Nagell equation
我们完全求解了勒贝格-纳格尔方程x^2+D=y^n，其中x、y、n>2为整数，D在1 =< D =< 100范围内。
On solutions of the Diophantine equation $\mathcal{P}_m-L_n=c$
\noindent在这篇文章中，我们确定所有的整数$c$至少有两个表示之间的差异两个线性递归序列。这是皮莱方程的一个变体。这个方程是一个指数丢番图方程。我们的主要定理的证明使用了线性型的下界，连分数的性质，以及丢番图逼近中的Baker-Davenport约化方法。
On the Diophantine equation $f(x)=2f(y)$
设$f(x)=x^{2}(x^{2}-1)(x^{2}-2)(x^{2}-3).$我们证明了丢番图方程$ f(x)=2f(y)$除了$(x, y)=(1, 1)$之外，在正整数$x$和$y$中没有解.
Diophantine equations in two variables
这是一个简短的演讲的主题的标题发表在公园-IAS数学研究所在普林斯顿（2000年7月）。
On the Diophantine equation cy^l=(x^p-1)/(x-1)
设p，c是不同的奇素数，l \ge 2是整数.我们找到了丢番图方程cy^l=（x^p-1）/（x-1）无整数解的充分条件
The modular approach to Diophantine equations over totally real fields
本文综述了将Wiles证明Fermat大定理的模方法推广至全实数域上丢番图方程时所面临的新障碍，并调查了该领域现有的方法与结果。
A Hasse-type principle for exponential diophantine equations and its applications
本文提出了一个关于指数型丢番图方程的Hasse型原理的猜想，类似于Skolem猜想.我们证明，在某种意义上的原则是有效的“几乎所有”的方程。在此基础上，提出了求解指数型丢番图方程的一般方法。利用推广的Erdés，Pomerance和Schmutz关于Carmichael的$λ$功能的结果，我们可以使我们的搜索系统的方法中所需的某些模。
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