Diophantine equations over the generalized Fibonacci sequences: exploring sums of powers
本研究围绕经典斐波那契恒等式的推广展开，分别在k-广义斐波那契数、普通斐波那契数的幂次及连续项幂和场景下求解三类丢番图方程，推广了已有相关研究结论。
2025-01-15 math.NT
On the Diophantine equation $\binom{n}{k}=\binom{m}{l}+d$
通过在某些椭圆曲线和超椭圆曲线上找到所有的积分点，我们完全解决了丢番图方程$\binom{n}{k}=\binom{m}{l}+d$的$-3\leq d\leq 3$和$(k,l)\in\{(2,3),\; (2,4),\;(2,5),\; (2,6),\; (2,8),\; (3,4),\; (3,6),\; (4,6), \; (4,8)\}.$。此外，我们还提出了关于标题方程的计算和理论性质的一些其他意见。
2019-04-25 math.NT
A Note On the Exponential Diophantine Equation (a^n-1)(b^n-1)=x^2
2002年，F. Luca和G.沃尔什解决了丢番图方程的标题为所有对（a，b），使1<a<b<101有一些例外。有69个例外。本文给出了关于标题中方程的一些新结果。证明了当a，b具有相反的宇称且n>4且2时，方程（a^n-1）（b^n-1）=x^2无解|n.此外，我们还解出了（a^n-1）（b^n-1）=x^2，对应于（a，b）=（2，50）、（4，49）、（12，45）、（13，76）、（20，77）、（28，49）和（45，100）对。最后，我们证明了当b是偶数时，方程（a^n-1）（b^（2n）a^n-1）=x^2没有解n，x。
2018-01-15 math.NT
Complete solution of the Diophantine Equation $x^{2}+5^{a}\cdot 11^{b}=y^{n}$
标题方程完全以整数$(n,x,y,a,b)$求解，其中$n\geq 3$、$\gcd(x,y)=1$和$a,b\geq 0$。最困难的阶段的决议是显式决议的五次Thue-Mahler方程。由于这是第一次-据我们所知-这样的方程是在文献中解决的，我们做了详细介绍的决议，这使我们的文件也是一个暂时的字符。
2017-03-15 math.NT
On the Diophantine equation $ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 $
本文利用椭圆曲线理论研究了四次丢番图方程${ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 }$，其中$a_i$和$n\geq3$是固定的任意整数.我们求解方程的一些值的$a_i$和$n=3,4$，并找到非平凡的解决方案，为每种情况下的自然数。通过我们的方法，我们可以找到无穷多个非平凡的解决方案，上述丢番图方程和显示，除其他事项外，如何一些数字可以写为总和的三个，四个，或更多的双平方在两种不同的方式。虽然我们的方法可以用于求解方程的每一个$a_i$和$n\geq 3$，本文将仅限于例子，其中$n=3,4$。最后，我们解释了如何解决它在一般情况下，没有给出具体的例子。
2017-01-06 math.NT
The Fermat-type equations x^5 + y^5 = 2z^p or 3z^p solved through Q-curves
我们分别对密度为1/4、1/2的一组素数用$d=2, 3$求解丢番图方程$x^5 + y^5 = dz^p$.该方法包括在一个可能的解决方案，以另一个丢番图方程和解决后者使用Q-曲线和广义模块技术的工作Ellenberg和Dieulefait-Jimenez随着一些新的技术，以消除新的形式。
2011-03-28 math.NT
Commitment Schemes and Diophantine Equations
受密码学问题的启发，我们寻找难以求解但很容易确定解的个数的丢番图方程。
2020-06-07 cs.CR math.NT
General Solution of the Diophantine equation involving Mersenne Prime
该研究针对含梅森素数的指数丢番图方程$M_p^{x} + (M_q + 1)^{y}= (lz)^2$展开求解，给出了方程的解的相关示例与无解的情形，丰富了梅森素数相关丢番图方程的研究成果。
2023-07-22 math.NT
On Diophantine equations involving sums of Fibonacci numbers and powers of $2$
本文完全求解了丢番图方程$F_{n_1} + F_{n_2} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3}$和$ F_{m_1} + F_{m_2} + F_{m_3} =2^{t_1} + 2^{t_2} $，其中$F_k$表示第$k$个Fibonacci数.特别地，我们证明了$\max \{n_1, n_2, a_1, a_2, a_3 \}\leq 18$和$\max \{ m_1, m_2, m_3, t_1, t_2 \}\leq 16$ .
2017-05-18 math.NT
On the simultaneous Diophantine equations m.(x_1^k+....+x_{t_1}^k)=n.(y_1^k+....+y_{t_2}^k); k=1,3
本文求解了联立丢番图方程m。（x_1^k+....+ x_{t_1}（k）=n。（y_1^k+....+ y_{t_2} ^k）; k= 1，3，其中t_1，t_2>3，m，n是固定的任意互素正整数。这是通过选择两个适当的平凡参数解，并获得无穷多个非平凡参数解。并给出了一些例子，特别是丢番图系统A^k+B^k+C^k=D^k+ E ^4; k= 1，3。
2017-05-03 math.NT
On solutions of the Diophantine equation $F_{n_{1}}+F_{n_{2}}+F_{n_{3}}+F_{n_{4}}=2^a$
设$(F_n)_{n\geq 0}$是由$F_0 = 0, F_1 = 1$和$n \geq 0$的$F_{n+2} = F_{n+1}+F_n$给出的斐波那契序列。在本文中，我们解决了所有的权力，这是总和的四个斐波那契数与少数例外，我们的特点。
2022-02-21 math.NT
Effective Resolution of Diophantine equations of the form $u_n+u_m=w p_1^{z_1} \cdots p_s^{z_s}$
设$u_n$是具有正判别式的固定非退化二元递归序列，$w$是固定的非零整数，$p_1,p_2,\dots,p_s$是固定的不同素数.本文考虑丢番图方程$u_n+u_m=w p_1^{z_1} \cdots p_s^{z_s}$，在较弱的技术限制下证明了有效的有限性结果.特别是，我们给出了明确的上界$n,m$和$z_1, \dots, z_s$。此外，我们提供了一个相当有效的算法来解决所描述的类型的丢番图方程，我们证明了我们的方法通过一个例子。
2016-04-16 math.NT
Diophantine Equations of Matching Games I
我们解决了一个家庭的二次丢番图方程与一个简单的游戏。我们表明，三元的情况下，在许多方面，是最有趣的和最不任意的家庭成员。
2011-04-19 math.CO math.NT
Diophantine equations coming from binomial near-collisions
本文对丢番图方程$\binom{m}{l}-\binom{n}{k}=d$（其中m，n为正整数未知数）在（k，l）=（3，6）时，对不同的d值，以及在（k，l）=（8，2）和d=1时进行了求解.作为我们结果的副产品，我们将得到：如果（k，l）=（6，3），（3，6），（8，2），则不存在差为1的（k，l）-近碰撞，从而建立了A. Blokhuis，A. Brouwer和B. de Weger in Integers 17（2017），A64.
2019-02-25 math.NT
On the Diophantine equations X^3+Y^3+Z^3+aU^k=a_0U_0^{t_0}+...+a_nU_n^{t_n}, k=3,4
本文利用椭圆曲线理论求解丢番图方程X^3+Y^3+Z^3+aU^k=a_0U_0^{t_0}+.+ a_nU_n^{t_n}，k= 3，4其中n，ti是自然数，a，a_i是固定的任意有理数。我们试图将上述丢番图方程的每一种情形变换到正秩的三次椭圆曲线上，从而得到每种情形的无穷多个整数解。我们还解决了这些丢番图方程的一些值的n，a，a_i，t_i，并获得无限多的解决方案，为每一种情况下，并显示在其他事情，如何总和四个，五个，或更多的三次可以写为总和的四个，五个，或更多的双二次以及总和的5次幂，6次幂等。
2017-02-15 math.NT
On some ternary Diophantine equations of Signature $(p,p,k)$
本文综述了签名$(p,p,k)$的三元丢番图方程$Ax^n+By^n=cz^m$的研究，并完全解决了特定系数下的若干情形。
2025-04-20 math.NT
A Hausdorff measure version of the Jarník--Schmidt theorem in Diophantine approximation
我们解决了给出某些可差逼近矩阵集合的豪斯多夫维数的尖锐渐近界的问题，从而改进了Broderick和Kleinbock（预印本2013）以及Weil（预印本2013）的结果，并将Kurzweil（'51）和Hensley（' 92）的结果推广到更高维。此外，我们使用我们的技术来计算的Hausdorff $f$ -措施的一组矩阵，这是不$ψ$ -近似的，给定一个维度函数$f$和一个功能$ψ:(0,\infty)\to (0,\infty)$。这补充了Dickinson和Velani（'97）的早期工作，他们发现了Hausdorff $f$ -可逼近的矩阵集的度量，这些矩阵集是$ψ$ -可逼近的。
2017-01-12 math.NT
Is the quartic Diophantine equation $A^4+hB^4=C^4+hD^4$ solvable for any integer $h$?
丢番图方程$A^4+hB^4=C^4+hD^4$，其中$h$是一个固定的任意正整数，已被一些作者研究过.目前，通过计算机搜索，对于$h \le 5000$和$A, B, C, D \le 100000$的所有正整数值，除了一些数字之外，该方程的整数解是已知的，而对于$h$的任意正整数值，该丢番图方程的解是未知的。Gerardin和Piezas分别用$5$和$2$的次数多项式给出了$h$时，找到了该方程的解。当$h$由$2$、$3$和$4$的次数多项式给出时，Choudhry也给出了该方程的一些新解.本文利用椭圆曲线理论研究了这类丢番图方程，其中$h$是一个固定的任意有理数.本文给出了某些$h$值的丢番图方程的一些解，特别是对于那些在$A, B, C, D \le 100000$的范围内还没有找到解的值.当$h$由$3$，$4$的次数多项式给出时，给出了丢番图方程的一些新的参数解.最后给出了两种解法，只要其中一种正确，就可以求解任意有理数$h$的上述丢番图方程.
2017-02-21 math.NT
On the Diophantine equation $\sum_{j=1}^kjF_j^p=F_n^q$
令$F_n$表示斐波那契序列的$n^{th}$项。本文研究了正整数$k$和$n$中的丢番图方程$F_1^p+2F_2^p+\cdots+kF_{k}^p=F_{n}^q$，其中$p$和$q$是给定的正整数.如果指数包含在集合$\{1,2\}$中，则给出了完全解。根据我们所能解出的具体情况，并利用$p,q,k\le100$进行计算机搜索，我们推测除了平凡解之外，只有$F_8=F_1+2F_2+3F_3+4F_4$、$F_4^2=F_1+2F_2+3F_3$和$F_4^3=F_1^3+2F_2^3+3F_3^3$满足标题方程。
2017-05-17 math.NT
A new method of solving quartic and higher degree diophantine equations
本文给出了一类四次及高次齐次多项式四元丢番图方程的一种新解法。该方法也可以扩展到解决同时齐次多项式丢番图方程，在五个或更多的变量，其中一个方程的次数为$\geq 4$。我们表明，在一定的条件下，该方法产生任意大的整数解的丢番图方程和丢番图系统，一些例子是一个六次方程在四个变量，十度方程在六个变量，和两个联立方程的度四和六个在六个变量。解这些齐次方程的方法也同时产生任意多个合理的解决方案，某些相关的非齐次方程的高次。与现有的方法相比，我们得到的任意大数目的解决方案，没有找到一个参数的解决方案的方程正在考虑中，没有相关的解决方案的有理点上的椭圆曲线的正秩。从文中给出的例子中可以看出，可能存在射影簇，其上有任意大数目的整数点，并且其上不存在亏格为0或1的曲线。
2017-02-27 math.NT
Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院皮拉尼校区）
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
2026-05-27 math.NT
On a nonlinear Diophantine equation with powers of three consecutive $k$--Lucas Numbers
本文完整求解了由三个连续$k$--广义卢卡斯数幂构成的非线性丢番图方程，给出了所有非负整数解。
2024-12-05 math.NT
A note on the high power Diophantine equations
本文求解了一类联立的丢番图方程（？）x_1 ^u +.+ x_n^u=k（y_1^u+.+ y_{n/k}）; u= 1，3，其中n >3，k< n，是n的除数，并得到了它们的非平凡参数解.此外，我们还给出了当u = 3时，当已知解时，上述丢番图方程（DE）的另一个解的产生方法.我们工作了一些例子，并找到非平凡的参数解的每一种情况下，非零整数。同时证明了另一个DE p_1x_1^{a_1}+....+ p_nx_n^{a_n}=q_1y_1^{b_1}+.+ q_my_m^{b_m}有参数解和无穷多个非零整数解，条件是：存在i使得p_i=1，且（a_i，a_1. a_{i-1} a_{i+1}. b_1... b_m）=1，或者存在j使得q_j=1，并且（b_j，a_1. a_nb_1. b_{j-1} b_{j+1}.. b_m）=1。最后我们研究了DE x^a_y^b=z^c。
2017-05-11 math.NT
On the Diophantine equation in the form that a sum of cubes equals a sum of quintics
我们证明了某些$5th$幂的和可以写成某些三次数的和
2017-03-30 math.NT
A ternary diophantine inequality by primes with one of the form $\mathbf{p=x^2+y^2+1}$
本文证明对任意 $1<c<427/400$，三元 Piatetski-Shapiro 不等式在素数中有解，且其中一个素数可表示为 $x^2+y^2+1$，为此建立了新的 Bombieri--Vinogradov 型指数和结果。
2025-02-08 math.NT
A quartic diophantine equation inspired by Brahmagupta's identity
本文给出了四次丢番图方程$(x_1^4+x_2^4)(y_1^4+y_2^4)=z_1^4+z_2^4$的几种参数解。我们还展示了如何无限多参数解这个方程可以通过使用椭圆曲线。
2020-10-16 math.NT
On a Kind of Nonlinear Diophantine Equation
本文给出了线性丢番图方程a1 x1 + a2 x2 +.+ anxn=d .本文讨论了非线性丢番图方程的解|A X| =+-d，推广了线性方程，并给出了其可解性的一个充要条件.我们展示了如何线性方程可以被认为是一个特殊的情况下的非线性方程。
2016-07-07 math.NT
An Effective Method for Solving a Class of Transcendental Diophantine Equations
本文研究形如 $a^x+b=c^y$ 的超越丢番图方程，提出并实现了一种有效算法，通过计算严格上界和有限枚举求解，并在大规模实验中验证了其可靠性，且能为成功求解的实例生成完备性的严格数学证明。
2025-10-12 cs.MS math.NT
On Transformation properties of hypergeometric motives and Diophantine equations
本文研究高斯超几何函数变换公式在超几何动机上的算术类比，并将其应用于某些丢番图方程的研究。
2025-02-04 math.NT
Solving Quadratic and Cubic Diophantine Equations using 2-adic Valuation Trees
对于固定整数$D \geq 0$和$c \geq 3$，我们演示了如何使用序列的$2$ -adic赋值树来分析$x^2+D=2^cy$和$x^3+D=2^cy$形式的丢番图方程，对于$y$奇数。此外，我们显示什么值$D \in \mathbb{Z}^+$，数字$x^3+D$将产生无限的估值树，导致无限的解决方案，上述丢番图方程。
2021-05-07 math.NT
Diophantus Equations and Partially Ordered Sets
文[1]证明了丢番图方程$(k!)^n+k^n=(n!)^k+n^k$只有平凡解$n=k$，而$(k!)^n-k^n=(n!)^k-n^k$只有解$n=k$，$(n, k)=(1, 2),$和$(2, 1)$ .在这篇文章中，我们找到丢番图方程$a_1!a_2!\cdots a_n! \pm a_1a_2 \cdots a_n = b_1!b_2! \cdots b_k! \pm b_1b_2 \cdots b_k$的所有解，其中$a_i$优化$b_i$。此外，我们找到了一个关于函数$f:N\to R^+$的充分条件，以保证$f$给出所有有限自然数序列的POSET上的单调函数。然后我们用它来求解其他含因子的丢番图方程，推广了[2]的结果。我们还探讨了类似的丢番图方程的斐波那契序列和其他序列的自然数给出的线性递归的形式$A_{n+2}=aA_{n+1}+bA_{n}$。
2021-05-22 math.NT
Solving an infinite number of purely exponential Diophantine equations with four terms
本文研究了具有连续基数的四项纯指数丢番图方程的无限族，证明了当 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 时方程 $n^x+(n+1)^y+(n+2)^z=(n+3)^w$ 的所有正整数解，结合了初等同余论证、Baker 方法和基于 Skolem 猜想变体的算法。
2025-03-02 math.NT
On the Exponential Diophantine Equation $(a^2-2)(b^2-2)=x^2$
本文考虑方程$(a^n-2^{m})(b^n-2^{m})=x^2$。在假定abc猜想成立的条件下，Luca和Walsh在[8]中给出了一个定理，即当a和b是不同的固定正整数时，上述方程只有2个解$n,x$。当$m=1$和$(a,b)=(2,10),(4,100),(10,58),(3,45)$。此外，我们证明了$(a^2-2)(b^2-2)=x^2$没有解n，x，如果2| n和gcd $(a,b)=1$。我们还提出了一个猜想，即方程$(2^2-2)((2P_k)^n-2)=x^2$只有解$(n,x)=(2,Q_k)$，其中$k>3$是奇数，$P_k,Q_k$分别是Pell和Pell Lucas数.我们还猜想，如果方程$(a^2-2)(b^2-2)=x^2$有解$n,x$，则$n<7$，其中$2<a<b$ .
2018-01-15 math.NT
All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project
上述方程也称为欧拉（6，2，5）方程组。从计算的角度来看，这些系统非常有趣。这些方法也可以应用于其他丢番图方程。我们简要介绍了这些系统的历史，以及我们如何在Boinc上寻找这些大的解决方案。我们的两个Boinc项目从2010年4月持续到2011年7月。
2011-08-02 math.NT
On the number of nonnegative solutions of a system of linear Diophantine equations
本文给出了一类线性丢番图方程组非负解个数的封闭表达式。其动机来自于高能物理学，其中非负解在一类描述原子与玻色子场相互作用或玻色子场之间非线性相互作用的拉格朗日量的微扰计算中起着至关重要的作用（所谓的相互作用φ ^n模型）。线性方程组可以求解，非负解可以枚举，但解的个数的封闭表达式比计算解的个数更可取。有趣的是，这个问题导致了一个更简单的线性丢番图系统的建设，其非负数的解决方案原来是魔术常数。
2016-11-28 math-ph math.MP math.NT
Estimates for the Number of Solutions of Algebraic Diophantine Equations: From the Circle Method to the Manin Conjecture
本研究延续圆法估计丢番图方程解数的工作，拓展至对数法诺簇整点计数，引入分析补偿方法解决佩雷常数发散问题，给出可计算的佩雷对数常数及实验验证。
2026-11-10 math.NT
Unit Fractions in Norm-Euclidean Rings of Integers
本文给出了Erdens-Straus猜想的一个高斯整数版本，并求解了范数欧氏二次域的整数环上的Erdens-Straus丢番图方程.
2014-05-25 math.NT
An average case efficient algorithm for solving two-variable linear Diophantine equations
Electronics and Communication Sciences Unit, Indian Statistical Institute（印度统计学院电子与通信科学单元）
本文提出一种求解二元线性丢番图方程的高效算法，通过细粒度分析递归调用次数，得出递归调用周期函数，并证明该算法的平均递归次数优于扩展欧几里得算法。
2026-04-07 cs.CR cs.DS math.NT
Diophantine approximation and the subspace theorem
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）；Max-Planck-Institut Für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）
本文阐述丢番图逼近中罗斯定理及施密特子空间定理的改进，重点在证明，为有代数数论背景读者提供精简参考，将罗斯定理成果扩展到高维，对丢番图方程和超越理论意义重大。
2026-07-22 math.NT
On the Shorey-Tijdeman Diophantine equation involving terms of Lucas sequences
令$r\ge 1$为整数，${\bf U}:=\{U_n\}_{n\ge 0}$为$U_0=0,~U_1=1$给出的Lucas序列，$U_{n+2}=rU_{n+1}+U_n$为$n\ge 0$。本文介绍了如何求丢番图方程$AU_{n}+BU_{m}=CU_{n_1}+DU_{m_1}$的整数解$r\ge 1$，$0\le m<n,~0\le m_1<n_1$，$AU_n\ne CU_{n_1}$，其中$A,B,C,D$是给定的整数，$A\ne 0,~B\ne 0$，$m,n,m_1,n_1$是非负整数未知数，$r$也是未知数.
2021-08-18 math.NT
Diophantine approximation and coloring
我们演示了如何图论和丢番图逼近之间的连接可以结合使用，以给出简单和方便的证明，看似困难的结果，在这两个主题。
2014-02-20 math.CO math.NT
On a class of Lebesgue-Ljunggren-Nagell type equations
给定奇数互质整数$a$，$b$（$a>0$），我们考虑丢番图方程$ax^2+b^{2l}=4y^n$，$x, y\in\Bbb Z$，$l \in \Bbb N$，$n$奇素数，$\gcd(x,y)=1$ .在条件$2^{n-1}b^l\not\equiv \pm 1(\mod a)$和$\gcd(n,b)=1$下，我们完全解出了$a\in\{7,11,19,43,67,163\}$和$b$为奇素数幂的上述丢番图方程。对于其它无平方数的整数$a>3$和$b$，证明了上述丢番图方程对满足$2^{n-1}b^l\not\equiv \pm 1(\mod a)$，$\gcd(n,b)=1$和$\gcd(n,h(-a))=1$的所有整数$x$，$y$和（$\gcd(x,y)=1$），$l\in\mathbb{N}$和所有奇素数$n>3$都无解，其中$h(-a)$表示虚二次域$\mathbb Q(\sqrt{-a})$的类数.
2020-01-14 math.NT
Remark on fundamental groups and effective Diophantine methods for hyperbolic curves
我们讨论了如何非交换的基本群最终可能有助于算法找到双曲曲线上的有理点。
2007-08-08 math.AG math.NT
The approach of cluster symmetry to Diophantine equations
Zhejiang University（浙江大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文通过聚类对称性方法，提出了一种求解特定丢番图方程的新框架，并解决了多个相关数学问题。
2026-01-22 math.AC math.CO math.NT
An Ancient Diophantine Equation with applications to Numerical Curios and Geometric Series
本文研究丢番图方程$x^k-y^k=x-y$，其中$k$是正整数$\geq 2$，并考虑它的应用.虽然方程$x^k-y^k=x-y$在正有理数下的完全解在$k=2$或$3$时已经是已知的，但到目前为止，在$k=4$时仅发表了方程在正有理数下的一个数值解，并且在$k \geq 5$时不知道非平凡解。我们描述了当$k=4$ .我们使用正有理解的方程与$k=2,\, 3$或4产生的数值好奇，涉及平方根，立方根和四分之一根，作为这些解决方案的另一个应用，我们展示了如何构建的例子等比级数与一个有趣的性质。
2016-03-20 math.NT
On decompositions of quadrinomials and related Diophantine equations
令$A,B,C,D$是使得$ABC \neq 0$的有理数，并且令$n_1>n_2>n_3>0$是正整数。我们在$f,g \in \mathbb{Q}[x]$中求解方程$$ Ax^{n_1}+Bx^{n_2}+Cx^{n_3}+D = f(g(x)),$$。然后利用Bilu-Tichy方法证明了方程$$ Ax^{n_1}+Bx^{n_2}+Cx^{n_3}+D = Ey^{m_1}+Fy^{m_2}+Gy^{m_3}+H, $$积分解的有限性，其中$A,B,C,D,E,F,G,H$为有理数$ABCEFG \neq 0$，$n_1>n_2>n_3>0$，$m_1>m_2>m_3>0$，$\gcd(n_1,n_2,n_3) = \gcd(m_1,m_2,m_3)=1$，$n_1,m_1 \geq 9$ .以及方程$$ A_1x^{n_1}+A_2x^{n_2}+\ldots+A_l x^{n_l} + A_{l+1} = Ey^{m_1}+Fy^{m_2}+Gy^{m_3}, $$其中$l \geq 4$是固定整数，$A_1,\ldots,A_{l+1},E,F,G$是非零有理数，除了可能的$A_{l+1}$，$n_1>n_2>\ldots > n_l>0$，$m_1>m_2>m_3>0$是正整数使得$\gcd(n_1,n_2, \ldots n_l) = \gcd(m_1,m_2,m…
2015-12-09 math.NT
On primitive integer solutions of the Diophantine equation $t^2=G(x,y,z)$ and related results
本文研究了$T^2=G(\overline{X}),\; \overline{X}=(X_{1},\ldots,X_{m})$形式的丢番图方程，其中$m=3$或$m=4$和$G$是特定的齐次五次形式.首先证明了若$F(x,y,z)=x^2+y^2+az^2+bxy+cyz+dxz\in\Z[x,y,z]$和$(b-2,4a-d^2,d)\neq (0,0,0)$成立，则丢番图方程$t^2=nxyzF(x,y,z)$在整数系数多项式$x, y, z, t$中有解，且不存在正次数多项式公因子.在$a=d=0, b=2$的情况下，我们证明了所考虑的丢番图方程有无穷多个原始整数解。作为我们的结果的一个应用，我们证明了对于每个$n\in\Q\setminus\{0\}$的丢番图方程\begin{equation*} T^2=n(X_{1}^5+X_{2}^5+X_{3}^5+X_{4}^5) \end{equation*}有一个解决方案在互质（非齐次）多项式在两个变量的整数系数。我们还提出了一种方法，有时允许我们证明更一般的五次丢番图方程的形式$T^2=aX_{1}^5+bX_{2}^5+cX_{3}^5+dX_{4}^5$，其中$a, b, c, d\in\Z$的原始整数解的存在性。特别是，我们证明了，对于每个$m, n\in\Z\setminus\{0\},$的丢番图方程\begin{e…
2015-02-25 math.NT
Solutions of the Exponential Equation 7x^2 + 59y^2 = 3^m. A simple Algorithm producing all the primitive solutions
我们提供了一种基本上使用初等算术的方法来求解指数丢番图方程7x^2 + 59y^2 = 3^m，这导致了一种简单的算法，不使用根号或复数，该算法生成该方程的所有（无限多个）原始解和正解。该方法可以推广到求解一类形式为ax^2 + by^2 = ck^z的指数方程。
2019-06-28 math.NT
Diophantine Equation with Balancing-like Sequences Associated to the Pillai-Tijdeman-type Problem
令$\{x_{n}\}_{n \geq 0}$是由$x_{n+1} = A x_{n} - x_{n-1}$定义的类平衡序列，对于$A>2$，其中$x_0 = 0$和$x_1 = 1$。在本文中，我们演示了如何找到所有的解决方案的丢番图方程，$C_{1}x_{n_{1}} + C_{2}x_{n_{2}} + C_{3}x_{n_{3}} = C_{4}x_{n_4} + C_{5}x_{n_5} + C_{6}x_{n_{6}}$，在固定整数$A \geq 3$，$n_1 > n_2 > n_3\geq 0, n_4 >n_5 > n_6 \geq 0,$和$C_{1}x_{n_{1}} \neq C_{4} x_{n_4}$，其中$C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5}, C_{6}$是给定的整数，使$C_{1} C_{2} C_{3} \neq 0$。
2021-07-16 math.NT
Small systems of Diophantine equations which have only very large integer solutions
设E_n={x_i=1，x_i+x_j=x_k，x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}}。存在一种算法，对于每个可计算函数f：N->N，该算法返回正整数m（f），对于该正整数m（f），第二算法接受输入f和任何整数n>=m（f），并且返回系统S \subseteq E_n，使得S具有无穷多个整数解并且每个整数元组（x_1，.，x_n）满足x_1=f（n）。对任意整数n>=12，我们构造一个系统S \subseteq E_n，使得S有无穷多个整数解，且它们都属于Z^n\[-2 ^<$2 ^{n-1}}，2 ^{2^{n-1}}]^n.
2014-10-20 math.LO math.NT
Diophantine approximation in metric space
本文提出在任意全有界度量空间中用抽象有理数替代有理数研究丢番图逼近，证明Jarnik-Besicovitch型维数界并探讨其最优性。
2021-05-14 math.CA math.NT
Automatic Solving of Cubic Diophantine Equations Inspired by Ramanujan
在拉马努金的《失落的笔记本》中，有一个惊人的恒等式，它列举了无穷多个三次费马大定理的“几乎是反例”，却没有任何迹象表明他是如何发现它的。1995年，迈克尔·赫希霍恩（Michael Hirschhorn）以一种辉煌的方式解释了拉马努金可能是如何做到这一点的，基于四个立方之和的某个多项式恒等式。更早的时候，Eri Jabotinsky在1946年发表的一篇文章中（在一本青少年数学杂志上）解释了拉马努金是如何发现赫希霍恩方法所需的多项式恒等式的。在这里，我们结合这两个辉煌的想法（这可能是或可能不是拉马努金如何做到这一点），自动化，并推广，通过开发一个算法来解决一大类三次丢番图方程。我们对这个问题的兴趣在读了艾米·阿尔兹瑙尔的（b）之后重新燃起。安德鲁斯）令人愉快的儿童书籍“梦想无限的男孩”（蜡烛芯出版社），2020年，拉马努金的身份出现在其中一个插图中。
2020-07-30 math.CO math.NT
Core abaci and Diophantine equations I: fundamental weight
Northeastern University at Qinhuangdao（秦皇岛东北大学）；Northeastern University（东北大学）
本文定义并研究了任意电荷下的经典仿射类型核心abaci，通过关联核心abaci与权重及仿射威利群元素，证明了β的高度等于原子长度，并解决了广义开放问题，同时建立了经典仿射类型的丢番图方程，并证明某些类别的解由核心abaci完全参数化。
2026-05-09 math.CO math.NT math.RT
Mordell's equation : a classical approach
我们用$|k| \leq 10^7$对所有非零整数$k$求解丢番图方程$Y^2=X^3+k$。我们的方法使用这些方程和立方图厄方程之间的经典连接。后者可以通过与格基约简相结合的矩阵中的线性型的下界在算法上进行处理。
2013-11-27 math.NT
