丢番图方程$A^4+hB^4=C^4+hD^4$，其中$h$是一个固定的任意正整数，已被一些作者研究过.目前，通过计算机搜索，对于$h \le 5000$和$A, B, C, D \le 100000$的所有正整数值，除了一些数字之外，该方程的整数解是已知的，而对于$h$的任意正整数值，该丢番图方程的解是未知的。Gerardin和Piezas分别用$5$和$2$的次数多项式给出了$h$时，找到了该方程的解。当$h$由$2$、$3$和$4$的次数多项式给出时，Choudhry也给出了该方程的一些新解.本文利用椭圆曲线理论研究了这类丢番图方程，其中$h$是一个固定的任意有理数.本文给出了某些$h$值的丢番图方程的一些解，特别是对于那些在$A, B, C, D \le 100000$的范围内还没有找到解的值.当$h$由$3$，$4$的次数多项式给出时，给出了丢番图方程的一些新的参数解.最后给出了两种解法，只要其中一种正确，就可以求解任意有理数$h$的上述丢番图方程.
英文摘要：
The Diophantine equation $A^4+hB^4=C^4+hD^4$, where $h$ is a fixed arbitrary positive integer, has been investigated by some authors. Currently, by computer search, the integer solutions of this equation are known for all positive integer values of $h \le 5000$ and $A, B, C, D \le 100000$, except for some numbers, while a solution of this Diophantine equation is not known for arbitrary positive integer values of $h$. Gerardin and Piezas found solutions of this equation when $h$ is given by polynomials of degrees $5$ and $2$ respectively. Also Choudhry presented some new solutions of this equation when $h$ is given by polynomials of degrees $2$, $3$, and $4$.
In this paper, by using the elliptic curves theory, we study this Diophantine equation, where $h$ is a fixed arbitrary rational number. We work out some solutions of the Diophantine equation for certain values of $h$, in particular for the values which has not already been found a solution in the range where $A, B, C, D \le 100000$ by computer search. Also we present some new parametric solutions for the Diophantine equation when $h$ is given by polynomials of degrees $3$, $4$. Finally We present two conjectures such that if one of them is correct, then we may solve the above Diophantine equation for arbitrary rational number $h$.
Quartic Rational Diophantine Quadruples and the Euler Surface
University of Zagreb, Faculty of Civil Engineering（萨格勒布大学土木工程学院）；University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
Complete description of rational points of Diophantine equation x4+y4=z4+w4
本文考虑丢番图方程x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4（1）构造了一类三次曲线，证明了四次曲线x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4上的每个有理点都可以映射到这类曲线上的一个点。我们还证明了相反的情况：属于我们的曲线族的每个有理点都可以映射到Quartica上的一个有理点。(2)我们找到我们的家庭曲线对应的一个参数的解决方案伦纳德欧拉。我们构造了几个新的参数解决方案，我们Quartica，使用参数解决方案的伦纳德欧拉和代数运算的三次曲线。(3)We提出了一个算法，以找到所有的有理点在我们的Quartica。
The Diophantine equations $ x^{n}_{1} +x^{n}_{2} +...+x^{n}_{r_{1}}= y ^{n}_{1} +y^{n}_{2} +...+y^{n}_{r_{2}} $
本文的目的是通过引入新的变量来证明这类方程线性化的可能性。对于$n=2$，当新变量是旋量的分量并且它们在数学物理中被广泛使用时，这样的过程是众所周知的。例如，可以引用毕达哥拉斯三元组$a^{2} +b^{2}$、$a^{2} -b^{2}$、$2ab$的参数化作为数论中的例子，其中两个独立变量形成旋量，该旋量可以通过求解两个线性方程组来获得。我们还研究了$r(n) \leq 2n+1$这类可解方程的最小和$r(n) \leq2n-1$的组合估计（最近，L. Habsieger（J. of Number Theory 45（1993）92））。除此之外，我们考虑了两个关于$r(n)$和特殊的解决方案，$n \leq11$，这是发现与算法的帮助下，不与线性化。
