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关于丢番图方程$ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 $

On the Diophantine equation $ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 $

Farzali Izadi, Mehdi Baghalagdam

备注：
10 pages
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摘要：

本文利用椭圆曲线理论研究了四次丢番图方程${ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 }$，其中$a_i$和$n\geq3$是固定的任意整数.我们求解方程的一些值的$a_i$和$n=3,4$，并找到非平凡的解决方案，为每种情况下的自然数。通过我们的方法，我们可以找到无穷多个非平凡的解决方案，上述丢番图方程和显示，除其他事项外，如何一些数字可以写为总和的三个，四个，或更多的双平方在两种不同的方式。虽然我们的方法可以用于求解方程的每一个$a_i$和$n\geq 3$，本文将仅限于例子，其中$n=3,4$。最后，我们解释了如何解决它在一般情况下，没有给出具体的例子。

英文摘要：

In this paper, by using the elliptic curves theory, we study the fourth power Diophantine equation ${ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 }$, where $a_i$ and $n\geq3$ are fixed arbitrary integers. We solve the equation for some values of $a_i$ and $n=3,4$, and find nontrivial solutions for each case in natural numbers. By our method, we may find infinitely many nontrivial solutions for the above Diophantine equation and show, among the other things, that how some numbers can be written as sums of three, four, or more biquadrates in two different ways. While our method can be used for solving the equation for every $a_i$ and $n\geq 3$, this paper will be restricted to the examples where $n=3,4$. In the end, we explain how to solve it in general cases without giving concrete examples.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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