Note on the spectrum of classical and uniform exponents of Diophantine approximation
利用W. M. Schmidt和L. Summerer和D. Roy，我们建立了在$n\geq3$维上的丢番图逼近的$2n$指数的谱是$\mathbb{R}^{2n}$的一个具有非空内部的子集.
2018-03-23 math.NT
A note on some Diophantine inequalities over adelic curves
本文在不假设Northcott性质的条件下，为proper adelic曲线上一类作为Roth不等式加强版的丢番图不等式组建立了“大解”数量的上界。
2023-08-06 math.NT
A Note on Quartic Diophantine equation $X^4-Y^4=R^2-S^2$
本文研究四次丢番图方程 $X^4-Y^4=R^2-S^2$，主要贡献是构造并证明了该方程具有无穷多个整数解。
2024-02-23 math.NT
A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators
本文通过引入子集密度的概念，建立了狄利克雷定理在分母受限情形下的类比，研究了分母限制在自然数子集上的无理数有理逼近。
2026-05-28 math.NT
A note on the Diophantine equations $x^{2}\pm5^α\cdot p^{n}=y^{n}$
假设$x$是奇数，$n\geq7$和$p\notin\{2,5\}$是素数。本文证明了丢番图方程$x^{2}\pm5^αp^{n}=y^{n}$在正整数$α,x,y$中无解，其中有$gcd(x,y)=1$ .
2017-06-10 math.NT
A note on the Diophantine equation $2^{n-1}(2^{n}-1)=x^3+y^3+z^3$
受Farhi最近结果的启发，我们证明了对于每个$n\equiv \pm 1\pmod{6}$，标题丢番图方程至少有两个整数解.因此，我们得到每个（偶数）完满数是三个整数立方的和。此外，我们还给出了一些计算结果，并提出了一些问题和解答。
2017-05-02 math.NT
A note on zero-one laws in metrical Diophantine approximation
本文讨论与线性型组有关的度量丢番图逼近的一般性问题。主要结果是一个零一律，它推广了Cassels和Gallagher的一维结果.该文件包含一个讨论可能的概括，包括选择各种开放的问题。
2008-03-16 math.NT
A Note on the Quartic Diophantine Equation $A^4+hB^4=C^4+hD^4$
丢番图方程$A^4+hB^4=C^4+hD^4$的整数解对于$h < 1000$的所有正整数值都是已知的。虽然对于$h$的任意正整数值的上述丢番图方程的解是未知的，但Gerardin和Piezas发现了当$h$分别由5次和2次多项式给出时该方程的解。本文给出了当$h$由$2,\;3$和4次多项式给出时该方程的几种新解。
2016-08-19 math.NT
A note on the quality of simultaneous Diophantine approximations obtained by the LLL algorithm
本文针对LLL算法所得联立丢番图逼近的质量问题，对Bosma和Smeets的相关结果作出了显著改进。
2023-10-02 math.NT
A Note on Terai's Conjecture Concerning the Exponential Diophantine Equation x^{2}+b^{y}=c^{z}
设（a，b，c）是一个本原毕达哥拉斯三元组，即，a^{2}+b^{2}=c^{2}，其中gcd（a，b，c）=1，a为偶数，b为奇数。Terai猜想指出，丢番图方程x^{2}+b^{y}=c^{z}只有正整数解（x，y，z）=（a，2，2）.在这项研究中，我们证明了寺井猜想是正确的，当b是两个素数的产品和c=5（mod 8）。
2021-05-31 math.NT
Notes on the Diophantine Equation A^4+aB^4=C^4+aD^4
一个新的配方的主题方程。几个参数和半参数的解决方案。a=-1的参数解最初于1972年提出，但从未发表。Zajta发现了一个计算机生成的版本，并于1983年出版。为了记录在案，提供了纸和纸的版本，以及许多其他的例子，包括八个巧合的三重态解决方案。
2021-07-13 math.NT
A note on Diophantine systems involving three symmetric polynomials
设$\bar{X}_{n}=(x_{1},\ldots,x_{n})$和$σ_{i}(\bar{X}_{n})=\sum x_{k_{1}}\ldots x_{k_{i}}$是$i$阶初等对称多项式.本文证明了存在无穷多个整数三元组$a, b, c$，使得对每个$1\leq i\leq n$，丢番图方程组\begin{equation*} σ_{i}(\bar{X}_{2n})=a, \quad σ_{2n-i}(\bar{X}_{2n})=b, \quad σ_{2n}(\bar{X}_{2n})=c \end{equation*}有无穷多个有理解.这一结果推广了Zhang和Cai以及作者的近期结果.此外，我们还考虑了一些涉及幂和的丢番图系统。特别是，我们证明，对于每个$k$至少有$k$ $n$ -元组的整数相同的总和$i$ -th权力$i=1,2,3$。对于$i=1,2,4$和$i=-1,1,2$证明了类似的结果。
2013-05-27 math.NT
A note on general isolation result in Diophantine Approximation
Moscow State University（莫斯科国立大学）；Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics（莫斯科基础与应用数学中心）
本文给出关于实数有理逼近中隔离现象的简单通用陈述，研究函数f>f1，使得不等式解的存在性可传递至更紧的不等式。
2026-11-06 math.NT
A subset of Z^n whose non-computability leads to the existence of a Diophantine equation whose solvability is logically undecidable
对于K \subseteq C，设B_n（K）={（x_1，.，x_n）\in K^n：对于每个y_1，.，y_n \in K合取（\forall i \in {1，.，n}（x_i=1 => y_i=1））与（\forall i，j，k \in {1，.，n}（x_i+x_j=x_k => y_i+y_j=y_k））与（\forall i，j，k \in {1，.，n}（x_i*x_j=x_k => y_i*y_j=y_k））意味着x_1=y_1}。我们声称存在一种算法，对于每个可计算函数f：N->N，返回一个正整数m（f），第二个算法接受输入f和任何整数n>=m（f），并返回一个元组（x_1，.，x_n）\in B_n（Z），其中x_1=f（n）.我们计算一个整数元组（x_1，.，x_{20}），其中语句（x_1，.，x_{20}）\in B_{20}（Z）等价于一个开丢番图问题。证明了如果集合B_n（Z）（B_n（N），B_n（\setminus {0}））对某个n不可计算，则存在一个丢番图方程，其整数（非负整数，正整数）可解性是逻辑不可判定的.
2012-04-06 math.LO math.NT
On Diophantine quintuple Conjecture
本文证明了：如果$\{a,b,c,d,e\}$与$a<b<c<d<e$是丢番图五元组，则$d<10^{76}$ .
2014-01-21 math.NT
Multiplier ideal sheaves, Nevanlinna theory, and diophantine approximation
本文提出了Nevanlinna理论或丢番图逼近的一个猜想，用一层理想代替了正规交叉因子.这是通过使用涉及乘子理想层的校正项来完成的。这个新猜想平凡地蕴涵了Nevanlinna理论或丢番图逼近中的早期猜想，并且实际上等价于这些猜想。虽然它没有提供任何新的东西，但对于某些应用来说，它可能是一种更方便的配方。
2007-09-20 math.AG math.NT
A Note On the Exponential Diophantine Equation (a^n-1)(b^n-1)=x^2
2002年，F. Luca和G.沃尔什解决了丢番图方程的标题为所有对（a，b），使1<a<b<101有一些例外。有69个例外。本文给出了关于标题中方程的一些新结果。证明了当a，b具有相反的宇称且n>4且2时，方程（a^n-1）（b^n-1）=x^2无解|n.此外，我们还解出了（a^n-1）（b^n-1）=x^2，对应于（a，b）=（2，50）、（4，49）、（12，45）、（13，76）、（20，77）、（28，49）和（45，100）对。最后，我们证明了当b是偶数时，方程（a^n-1）（b^（2n）a^n-1）=x^2没有解n，x。
2018-01-15 math.NT
A note on the Hausdorff dimension of some liminf sets appearing in simultaneous Diophantine approximation
设Q是正整数的无限集。表示为W_{τ, n}（Q）（分别W_{τ, n}）n维中的点集同时τ-可被Q中的无穷多个有理数逼近。以N* 为单位）。当n>1，τ>1+1/（n-1）时，在满足整除性的条件下，给出了limif集W_{τ, n} \W_{τ, n}（Q）的豪斯多夫维数的一个非平凡下界.本文还讨论了该豪斯多夫维数的实际值的计算以及该问题的一维模拟。
2012-09-28 math.NT
The diophantine exponent of the $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ points of $S^{d-2}\subset S^d$
假设整数分解的多项式时间算法，猜想~ \ref{conj}，$d\geq 3,$和$q$和$p$是素数，其中$p\leq q^A$对于某些$A>0$。我们在$\log(q)$中开发了一个多项式时间算法，该算法将$S^{d-2}\subset S^{d}$中的每个$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$点提升到$S^d$中具有最小高度的$\mathbb{Z}[1/p]$点。我们为$d=3 \text{ and }4$实现了我们的算法。基于我们的数值结果，我们提出了一个可以在多项式时间内检验的猜想，并给出了$S^{d-2}\subset S^d$的$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$点的丢番图指数的最优界。
2018-11-12 math.NT
A note on the ternary purely exponential Diophantine equation $A^x+B^y=C^z$ with $A+B=C^2$
令$\ell, m, r$为固定正整数，使得$2\nmid \ell$、$3\nmid \ell m$、$\ell>r$和$3\mid r$。本文利用Lehmer数原因子存在性的BHV定理证明了：若$\min\{r\ell m^2-1,(\ell-r)\ell m^2+1\}>30$，则方程$(r\ell m^2-1)^x+((\ell -r)\ell m^2+1)^y=(\ell m)^z$只有正整数解$(x,y,z)=(1,1,2)$ .
2020-03-23 math.NT
Isolated Diophantine numbers
该研究探讨丢番图数的拓扑结构，构造出同丢番图常数下的孤立丢番图数显式例子，证明丢番图集未必是康托集，并简述了这类孤立数的一般性质。
2024-01-31 math.DS math.NT
On existential definitions of C.E. subsets of rings of functions of characteristic 0
我们推广了Denef，Zahidi，Demeyer和第二作者的结果，证明了如下结果. (1)有理整数在特征为0的任意函数域的整函数环上有单重丢番图定义。(2)每一个CE整数集在特征为$0$的任意函数域的整函数环上有有限重丢番图定义。(3)全部为C.E.全实数域上的多项式环子集具有有限重丢番图定义。（这些是具有这种性质的无限环的第一个例子。(4)如果$k$是$\Q$上的代数，并且对于奇数$p$可嵌入到$\Q_p$的有限扩张中，并且$K$是$k$上的单变量函数域，则$K$的任何函数域赋值的赋值环在$K$上具有丢番图定义。(5)如果$k$是$\Q$上的代数，并且可以嵌入到$\R$中，并且$K$是$k$上的函数域，则$K$的“几乎”所有函数域赋值都具有$K$上的赋值环丢番图。(6)设$K$是数域上的一元函数域，$S$是其素数的有限集合.所有的C. $O_{K,S}$的子集是存在可定义的。(Here $O_{K,S}$是$S$ -整数环或整函数环。）
2020-09-22 math.LO math.NT
Diophantine sets and Dirichlet improvability
本文通过对丢番图集的推广，进一步讨论了Dirichlet可改进点、坏可逼近点和奇点之间的关系.
2022-01-26 math.NT
A note on the high power Diophantine equations
本文求解了一类联立的丢番图方程（？）x_1 ^u +.+ x_n^u=k（y_1^u+.+ y_{n/k}）; u= 1，3，其中n >3，k< n，是n的除数，并得到了它们的非平凡参数解.此外，我们还给出了当u = 3时，当已知解时，上述丢番图方程（DE）的另一个解的产生方法.我们工作了一些例子，并找到非平凡的参数解的每一种情况下，非零整数。同时证明了另一个DE p_1x_1^{a_1}+....+ p_nx_n^{a_n}=q_1y_1^{b_1}+.+ q_my_m^{b_m}有参数解和无穷多个非零整数解，条件是：存在i使得p_i=1，且（a_i，a_1. a_{i-1} a_{i+1}. b_1... b_m）=1，或者存在j使得q_j=1，并且（b_j，a_1. a_nb_1. b_{j-1} b_{j+1}.. b_m）=1。最后我们研究了DE x^a_y^b=z^c。
2017-05-11 math.NT
A note on weighted badly approximable linear forms
本文证明了与Schmidt对策理论有关的扭丢番图逼近的一个结果。特别是，在一定的限制下，我们给一个肯定的答案类似于在此设置的一个著名的猜想施密特从丢番图逼近。
2015-03-17 math.NT
Equidistribution of expanding measures with local maximal dimension and Diophantine Approximation
我们考虑Dirichlet定理在矩阵空间$M_{m,n}(R)$上的改进.证明了对于一类局部最大维数的分形$K\subset [0,1]^{mn}\subset M_{m,n}(R)$，Dirichlet定理不能几乎处处改进.这是使用李群的齐性空间上的熵和动力学来证明的。
2009-05-11 math.DS math.NT
A note on three problems in metric Diophantine approximation
Hausdorff测度和维数在丢番图逼近理论中的应用可以追溯到20世纪20年代的Jarnik和Besicovitch关于好逼近点和坏逼近点的定理。在本文中，我们考虑三个非齐次问题，进一步发展这些经典的结果。首先，我们得到了平面上乘法可逼近点集的一个Jarnik型定理。这豪斯多夫措施声明并没有减少加拉格尔的勒贝格测度声明，因为人们可能会期望，是新的，即使在同质设置。其次，我们建立了一个Jarnik型定理的乘法逼近点集的非退化平面曲线。这就完成了平面曲线的豪斯多夫理论。最后证明了平面上同时非齐次（i，j）-差逼近点集是满维的。这个证明背后的基本哲学还有其他的应用，例如建立施密特猜想的非齐次版本。平面结果的高维类似物也进行了讨论。
2013-09-10 math.NT
Metric Diophantine Approximation: aspects of recent work
在这些笔记中，我们首先回顾度量丢番图逼近的经典理论的各个方面;如Khintchine，Jarn 'ık，Duffin-Schaeffer和Gallagher定理。然后，我们描述了最近加强各种经典的声明，以及最近的事态发展，在该地区的丢番图逼近的流形。后者包括好逼近、差逼近和非齐次逼近。
2016-01-08 math.NT
Diophantine sets
本文研究了丢番图集在交换环中的推广，并证明了关于有限呈现方案的覆盖性质。
2025-11-22 math.AG math.NT
A note on some polynomial-factorial diophantine equations
本文研究将Brocard方程推广为一般多项式与Bhargava阶乘或齐次多项式构成的丢番图方程，探讨其整数解有限或无限的条件。
2023-09-25 math.AG math.NT
Diophantine approximation in Kleinian groups: singular, extremal, and bad limit points
本文的总体目标是建立Kleinian群极限集上度量丢番图逼近的“流形”理论。我们调查的概念，奇异和极值极限点内的几何有限克莱因群框架。此外，我们认为自然模拟达文波特的问题，在一个给定的子集的极限集的严重逼近极限点。除了极值，我们讨论潜在的欣钦型语句的子集的极限集。这可以解释为沙利文测地线对数定律的几何“流形”强化。
2018-04-02 math.NT
A note on the third cuboid conjecture. Part I
寻找完美欧拉长方体或证明其不存在的问题是一个古老的数学未解决的问题。第三个长方体猜想是在证明不存在完美欧拉长方体的中间阶段提出的三个命题中的最后一个。它与某个12阶的丢番图方程有关。本文证明了这类丢番图方程解的一个结构定理。
2012-03-12 math.NT
A hypothetical upper bound for the solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions
我们猜想，如果系统S \subseteq {x_i=1，x_i+x_j=x_k，x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}}在整数x_1，.，x_n，则每个这样的解（x_1，...，x_n）满足|x_1|，.，|x_n| \leq 2^{2^{n-1}}。通过猜想，如果一个丢番图方程在整数（非负整数，有理数）中只有1/2个解，那么它们的高度由方程的次数和系数的可计算函数从上而下有界。这个猜想暗示了具有无穷多个整数（非负整数）解的丢番图方程组是递归可解的。对于任意可计算界而不是2^{2^{n-1}}的猜想仍然与Matiyasevich的猜想相矛盾，即每个递归可枚举集M \subseteq { \mathbb N}^n具有有限重丢番图表示。
2014-10-20 math.LO math.NT
On the Diophantine equation x^2+2^a.3^b.11^c=y^n
本文给出了丢番图方程x^2 + 2^a.3^b.11^c =y^n在非负整数a，b，c，x，y，n ≥ 3且x，y互质时的所有解.
2012-01-03 math.NT
A note on the Diophantine equation $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^α$ and application to odd perfect numbers
本文利用二次序中的素理想分解和广义Fermat方程本原解，证明奇完全数中比值 $σ(n^{2})/q^α$ 在 $α\neq 1$ 时既非平方数也非平方数乘单素数，并推广到奇多重完全数。
2023-11-30 math.NT
A note on the second cuboid conjecture. Part I
寻找完美欧拉长方体或证明其不存在的问题是一个古老的数学未解决的问题。第二个长方体猜想是在证明不存在完美欧拉长方体的中间阶段提出的三个命题之一。它与某个10阶多项式丢番图方程有关。本文证明了这类丢番图方程解的一个结构定理，并给出了它的应用实例。
2012-01-05 math.NT
Multiplicatively reducible subsets of shifted perfect $k$-th powers and bipartite Diophantine tuples
本文通过建立与二部 Diophantine 元组的联系，将 Hajdu-Sárközy 关于平移 k 次幂集合乘法不可约性的结果有效化，证明 min{|A|,|B|} ≪ log|n| 并给出 |A||B| 的上界，显著改进了多项已有结果。
2025-02-13 math.NT
A note on well distributed sequences
本文证明了度量丢番图逼近理论中关于非齐次逼近的一个简单命题。
2023-05-20 math.NT
The Diophantine equation $x^4\pm y^4=iz^2$ in Gaussian integers
本文利用椭圆曲线求出了$\mathbb Q(i)$上丢番图方程$x^4\pm y^4=iz^2$的所有解。利用同样的方法，我们给出了Hilbert关于方程$x^4\pm y^4=z^2$在高斯整数中只有平凡解的结果的一个新的证明.
2010-05-10 math.NT
Equal values of certain partition functions via Diophantine equations
令$A\subset \N_{+}$和by $P_{A}(n)$表示整数$n$从集合$A$分割成部分的数目。本文证明了$P_{A}(x)=P_{B}(y)$形式的丢番图方程整数解的存在性的几个结果，其中$A, B$是某些有限集.
2021-09-24 math.NT
How to Solve a Diophantine Equation
这些笔记代表了我为IMO 2009的参与者和其他感兴趣的人所做的演讲的扩展版本。我们介绍了丢番图方程，并证明了它可以很难解决。然后，我们演示了如何解决一个特定的方程有关的数字出现几次在帕斯卡的三角形与国家的最先进的方法。
2010-03-16 math.NT
A note on a perfect Euler cuboid
构造一个完美的欧拉长方体的问题被简化为一个12次的丢番图方程。
2011-04-09 math.NT
Small systems of Diophantine equations which have only very large integer solutions
设E_n={x_i=1，x_i+x_j=x_k，x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}}。存在一种算法，对于每个可计算函数f：N->N，该算法返回正整数m（f），对于该正整数m（f），第二算法接受输入f和任何整数n>=m（f），并且返回系统S \subseteq E_n，使得S具有无穷多个整数解并且每个整数元组（x_1，.，x_n）满足x_1=f（n）。对任意整数n>=12，我们构造一个系统S \subseteq E_n，使得S有无穷多个整数解，且它们都属于Z^n\[-2 ^<$2 ^{n-1}}，2 ^{2^{n-1}}]^n.
2014-10-20 math.LO math.NT
A Quantitative Result on Diophantine Approximation for Intersective Polynomials
在这个简短的说明中，我们密切关注的方法，绿色和陶延长最知名的界递归模1从平方到最大可能类的多项式。本文最后简要讨论了这一结果的多项式结构和方法的局限性的后果。
2014-04-21 math.CA math.CO math.NT
Universally and existentially definable subsets of global fields
证明了奇特征的整体函数域$K$的$S$ -整数环在$K$中是一阶泛可定义的.这扩展了Koenigsmann和Park的工作，他们分别在$\mathbb{Q}$和数域中的整数环中对$\mathbb{Z}$进行了同样的证明。本文还证明了Poonen的一个定理，并证明了特征为$\neq 2$的整体域上的非方集是丢番图.最后，我们证明了在$(K^{\times})^2$中的对$(x,y)$的集合，使得$x$不是$K(\sqrt{y})$中的范数，对于任何具有特征$\neq 2$的全局域$K$，$(x,y)$在$K$上是丢番图。
2018-04-17 math.LO math.NT
A note on simultaneous Diophantine approximation on planar curves
令$\cS_n(ψ_1,...,ψ_n)$表示$\R^n$中同时$(ψ_1,...,ψ_n)$ -可逼近点的集合，$\cSM_n(ψ)$表示$\R^n$中乘法$ψ$ -可逼近点的集合。设$\cM$是$\R^n$中的一个流形。目的是发展一个度量理论的集合$ \cM \cap \cS_n(ψ_1,...,ψ_n) $和$ \cM \cap \cSM_n(ψ) $类似的经典理论，其中$\cM$是简单的$\R^n$。在本文中，我们主要将注意力限制在$\cM$是平面曲线$\cC$的情况下。对集合$ \cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $和$ \cC \cap \cSM_2(ψ) $建立了完备的Hausdorff维数理论.一个发散的Khintchine型的结果得到$\cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $，即如果一定的总和发散，然后$\cC$的$\cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $的一维勒贝格测度是满的。此外，在$\cC$是一个合理的二次曲面的情况下，收敛的Khintchine型的结果得到这两种类型的近似。我们对$\cC \cap \cS_2(ψ_1,ψ_2) $的结果自然地推广了\cite{BDV03}的维数和Lebesgue测度.在乘法框架内，我们的结果$ \cC \cap \cSM_2(ψ)$构成了第一个他们的类型。
2005-03-04 math.NT
Certain Diophantine Tuples in Imaginary Quadratic Fields
设$K$是虚二次域，$ \mathcal{O}_K$是它的整数环.一个集合$\{a_1, a_2, \cdots,a_m\} \subset \mathcal{O}_K\setminus\{0\}$被称为$\mathcal{O}_K$中的丢番图$m$ -元组，如果$a_ia_j -1 = x_{ij}^2$，则具有$D(-1)$，其中$x_{ij} \in \mathcal{O}_K$用于所有$i,j$，使得$1 \leq i < j \leq m$。这里我们证明了在$\mathcal{O}_K$中不存在丢番图$m$ -元组，其中$D(-1)$对于$m > 36$。
2020-03-06 math.NT
Diophantine approximation and badly approximable sets
设（X，d）是一个度量空间，（Ω，d）是X的一个紧致子空间，它支持一个非原子有限测度m.我们认为“自然”类的Ω的严重逼近的子集。不严格地说，它们由Ω中的点组成，这些点与X中的某个给定点集“保持清晰”。经典的集合\Bad的“严重逼近”的数字在理论的丢番图逼近属于我们的框架做集合\Bad（i，j）的同时严重逼近的数字。在各种自然条件下，我们证明了Ω的差逼近子集具有满豪斯多夫维数.我们的一般框架的应用包括那些从数论（古典，复杂，p-adic和正式的幂级数）和动力系统（迭代函数计划，合理的映射和Kleinian群）。
2005-04-13 math.DS math.NT
Diophantine definability of infinite discrete non-archimedean sets and Diophantine models over large subrings of number fields
证明了在某些数域的大子环中，无限p-代数离散集具有丢番图定义。首先，如果K是全实数域或全实数域的全复2次扩张，则存在K的素数p和密度任意接近1的K-素数集S，使得存在K中S-整数环O_{K,S}上的无限p-基数离散集Diophantine.其次，如果K是一个数域，其上存在一条秩为1的椭圆曲线，则存在一个密度为1的K-素数集S和一个对K的每一个位置v都是v-向离散的O_{K,S}的无限丢番图子集。第三，如果K是一个数域，其上存在秩为1的椭圆曲线，则存在一组密度为1的K-素数S，使得存在O_{K,S}上Z的丢番图模型。这一系列的研究是出于一个问题马祖尔关于分布的有理点品种在非阿基米德拓扑和问题有关的扩展希尔伯特第十问题的子环数领域。
2004-08-19 math.LO math.NT
Effective Methods for Diophantine Finiteness
设$K \subset \mathbb{C}$是数域，$\mathcal{O}_{K,N} = \mathcal{O}_{K}[N^{-1}]$是它的$N$ -整数环.最近，Lawrence和Venkatesh提出了一种一般策略来证明定义在$\mathcal{O}_{K,N}$上的光滑射影族$f : X \to S$的纤维的Shafarevich猜想.为了执行他们的策略，需要能够决定任何正维几何不可约子簇$Z \subset S_{\mathbb{C}}$的代数单值群$\mathbf{H}_{Z}$是否“足够大”，在某种意义上说，$\mathbf{H}_{Z}$在各种霍奇标志中的某个轨道具有从下到上由某个量限定的维度。本文给出了一种判定这一问题的有效方法。结合Lawrence-Venkatesh利用$p$ -adic Hodge理论理解整体伽罗瓦表示的半简化的有效方法，给出了求解任意族$f$的Shafarevich型问题的完全有效的策略.
2021-10-28 math.AG math.NT
Reverse Engineered Diophantine Equations over $\mathbb{Q}$
本研究将整数完全幂有限子集的对应定理推广至有理完全幂，证明对任意有理完全幂的有限子集$S$，存在整系数多项式使其有理点集与有理完全幂的交集恰为$S$，方法依托广义费马方程求解结果与二元递推序列完全幂有限性结论。
2022-08-10 math.NT
On the Diophantine equation $σ_{2}(\overline{X}_{n})=σ_{n}(\overline{X}_{n})$
本文研究了丢番图方程的正整数解集$S(n)$。特别地，对于给定的$n$，我们证明了解的个数的有界性，给出了$σ_{2}(\overline{X}_{n})$和$σ_{n}(\overline{X}_{n})$的公共值的精确上界以及变量$x_{n}$在解中出现的最大值.此外，我们列举了$n\leq 16$的所有解决方案，并讨论了$S(n)$的元素上的$x_{n}/x_{n-1}$的值的集合。
2022-03-08 math.NT
Construction of Arithmetic Teichmuller spaces II: Towards Diophantine Estimates
本文讨论arXiv：2106.11452的算术Teichmuller空间存在性的三个推论。令$\mathscr{X}_{F,\mathbb{Q}_p}$（分别$B=B_{\mathbb{Q}_p}$）是完整的Festhes-Fontaine曲线（分别为环），由Festies-Fontaine用基准$F={\mathbb{C}_p^\flat}$（$\mathbb{C}_p$的倾斜），$E=\mathbb{Q}_p$构建。修复一个奇素数$\ell$，设$\ell^*=\frac{\ell-1}{2}$。构造（§7）具有同时赋值标度性质（定理7.8.1）、伽罗瓦作用和其他对称性的不可数子集$Σ_{F}\subset \mathscr{X}_{F,\mathbb{Q}_p}^{\ell^*}$。现在修正$\mathbb{Q}_p$的有限扩张上的Tate椭圆曲线。$Σ_{F}$的存在导致构造（§9）一个集合$\widetildeΘ\subset B^{\ell^*}$，该集合由（到$B$的）提升、在所选椭圆曲线上的$2\ell$ -扭点处求值的所选θ-函数的值（位于$Σ_{F}$提供的不同单位中）组成。$\widetildeΘ$的结构可以容易地细化。此外，我还证明了一个下界（定理10.1.1）$\widetildeΘ$的大小（这里大小定义的$B$的Fréchet结构）。我还证明了（在§11…
2023-03-16 math.AG math.NT
On the finiteness of solutions for polynomial-factorial Diophantine equations
研究了由多项式与阶乘函数相等得到的丢番图方程，证明了在一定条件下整数解的有限性。例如，我们表明，存在只有1000多个$l$，$l!$表示{由} $N_A(x)$，其中$N_A$是从域扩展$K/\mathbf Q$的域范数构造的范数形式。我们还处理方程$N_A(x)=l!_S$，其中$l!_S$是Bhargava阶乘。本文还证明了Oesterlé-Masser猜想意味着对$\mathbf Z$的任意无穷子集$S$和对任意次数为$2$或更高的多项式$P(x)\in\mathbf Z[x]$，方程$P(x)=l!_S$只有1/2个解$(x,l)$ .对于$\mathbf Z$的某些特殊无穷子集$S$，我们可以无条件地证明方程$P(x)=l!_S$解的有限性.
2020-11-08 math.NT
