Jorge L. Ramirez Alfonsin, Mariusz Skalba
Let 0 < a < b be two relatively prime integers and let <a,b> be the numerical semigroup generated by a and b with Frobenius number g(a,b)=ab-a-b. In this note, we prove that there exists a prime number p in <a,b> with p < g(a,b) when the product ab is sufficiently large. Two related conjectures are posed and discussed as well.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Let $p_1=2, p_2=3, p_3=5, \ldots$ be the consecutive prime numbers, $S_n$ the numerical semigroup generated by the primes not less than $p_n$ and $u_n$ the largest irredundant generator of $S_n$. We will show, that $\bullet$ $u_n\sim3p_n$. Similarly, for the largest integer $f_n$ not contained in $S_n$, by computational evidence we suspect that $\bullet$ $f_n$ is an odd number for $n\geq5$ and $\bullet$ $f_n\sim3p_n$; further $\bullet$ $4p_n>f_{n+1}$ for $n\geq1$. If $f_n$ is odd for large $n$, then $f_n\sim3p_n$. In case $f_n\sim3p_n$ every large even integer $x$ is the sum of two primes. If …
Let $0<λ\leq1$, $λ\notin\left\{\frac24, \frac27, \frac2{10}, \frac2{13}, \ldots\right\}$, be a real and $p$ a prime number, with $[p,p+λp]$ containing at least two primes. Denote by $f_λ(p)$ the largest integer which cannot be written as a sum of primes from $[p,p+λp]$. Then \[f_λ(p)\sim\left\lfloor2+\frac2λ\right\rfloor\cdot p\text{, as }p\text{ goes to infinity.}\] Further a question of Wilf about the 'Money-Changing Problem' has a positive answer for all semigroups of multiplicity $p$ containing the primes from $[p,2p]$. In particular, this holds for the semigroup generated by all primes no…
Dynamics on the number of prime divisors for additive arithmetic semigroups
本文在有限域算术半群中推广了Bergelson和Richter的定理，并探讨了整数最大素因子分布的动态性质。
Dynamical generalizations of the Prime Number Theorem and disjointness of additive and multiplicative semigroup actions
本研究建立两个蕴含多项乘性数论经典结果的遍历定理，将Sarnak的Möbius不交性猜想重构于新动力学框架，提出聚焦加乘半群作用不交性的猜想扩展并证明其若干特例。
Davenport constant of the multiplicative semigroup of the quotient ring $\frac{\F_p[x]}{\langle f(x)\rangle}$
设$\mathcal{S}$是有限交换半群. $\mathcal{S}$的达文波特常数，记为$D(\mathcal{S})$，被定义为最小正整数$d$，使得长度至少为$d$的$\mathcal{S}$中的元素的每个序列$T$包含子序列$T'$，其中来自$T'$的所有项之和等于来自$T$的所有项之和。设$\F_p[x]$是素域$\F_p$上的一元多项式环，设$f(x)\in \F_p[x]$ .本文研究了商环$\frac{\F_p[x]}{\langle f(x)\rangle}$的乘法半群的Davenport常数.其中，我们主要证明了：对任意的素数$p>2$和任意的多项式$f(x)\in \F_p[x]$，只要能分解成$\F_p[x]$中的几个两两非结合的不可约多项式，则有$$D(\mathcal{S}_{f(x)}^p)=D(U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)),$$，其中$\mathcal{S}_{f(x)}^p$表示商环$\frac{\F_p[x]}{\langle f(x)\rangle}$的乘法半群，$U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)$表示$\mathcal{S}_{f(x)}^p$的单位群.
The number of primes not in a numerical semigroup
本文研究互素正整数$a,b$对应的不能表示为非负整数线性组合的素数计数$\pi^*(a,b)$，证明其下界为$0.04\pi(ab-a-b)$，提出下界为$\frac12\pi(ab-a-b)$的猜想并在$1\le a\le10$时验证。
Cyclotomic numerical semigroups
给定一个数值半群$S$，设$\mathrm P_S(x)=(1-x)\sum_{s\in S}x^s$为其半群多项式.本文研究分圆数值半群，这些是数值半群$S$，使得$\mathrm P_S(x)$的所有根都在单位圆上。我们猜想$S$是分圆数值半群当且仅当$S$是完全交数值半群，并给出了证明.除了分圆数值半群的概念外，我们还引入了分圆指数和多项式相关数值半群的概念.给出了这些新概念的一些性质和应用。
Numerical semigroups from rational matrices III: semigroups of matricial dimension two and a counterexample to the lonely element conjecture
该研究刻画了矩阵维数为2的数值半群，同时构造出反例推翻了小元素均为孤立元的数值半群矩阵维数不超过2的猜想，推进了数值半群相关理论研究。
On Isolated Gaps of Numerical Semigroups of embedding dimension two
本文研究嵌入维数为二的数值半群，刻画其全部孤立间隙并给出孤立间隙数目的精确计数公式。
Factorization length distribution for affine semigroups V: explicit asymptotic behavior of weighted factorization lengths on numerical semigroups
本文采用几何方法描述了数值半群上加权分解长度的渐近行为，解释了 Curry-Schoenberg B 样条作为极限分布的存在，并提供了显式误差界限及向量分拆函数与整数点数量差值的界定。
m-irreducible numerical semigroups
在本文中，我们引入了m-不可约的概念，它扩展了当重数固定时数值半群的不可约的标准概念。分析了m-不可约数值半群的集合的结构，给出了这类数值半群的一些性质，并给出了将重数为m的数值半群分解为m-不可约数值半群的算法.
Numerical semigroups are cofinite additive submonoids of the natural numbers. In 2011, Keith and Nath illustrated an injection from numerical semigroups to integer partitions. We explore this connection between partitions and numerical semigroups with a focus on classifying the partitions that appear in the image of the injection from numerical semigroups. In particular, we count the number of partitions that correspond to numerical semigroups in terms of genus, Frobenius number, and multiplicity, with some restrictions.
The size of semigroup orbits modulo primes
该研究针对数域上射影簇的极化自同态半群模素理想的轨道规模，给出解析估计，证明轨道次指数增长的素理想密度为零，且对射影直线情形在映射次数条件下对通用映射集成立。
Irreducible numerical semigroups with multiplicity three and four
本文分析了重数不超过4的数值半群的不可约性。我们的方法使用最近在（Blanco-Puerto，2011）中引入的数值半群的Kunz坐标向量的概念。利用这个工具，我们还完全描述了整个家庭的最小分解成不可约的数值半群具有相同的重数为这组的数值半群。我们给出了详细的例子，以显示的方法和条件的知名的家庭的数值半群的不可约性的适用性，那些是由广义等差数列。
Prime-powered images and irreducible polynomials in dynamical semigroups
本文研究了复合运算生成的动力半群，证明了在排除例外单参数族后，半群包含大量不可约多项式当且仅当其至少包含一个，并给出了素数幂迭代的分类结果。
For numerical semigroups with a specified list of (not necessarily minimal) generators, we describe the asymptotic distribution of factorization lengths with respect to an arbitrary modulus. In particular, we prove that the factorization lengths are equidistributed across all congruence classes that are not trivially ruled out by modular considerations.
$p$-numerical semigroups with $p$-symmetric properties, II
本文进一步研究p-数值半群的p-几乎对称性质，给出Watanabe和Johnson公式的p-广义版本，并引入p-Arf数值半群以研究其性质。
Numerical semigroups problem list
我们提出了一系列数值半群中的公开问题。
Rarity of the infinite chains in the tree of numerical semigroups
本研究解决了2009年提出的公开问题，证明随亏格趋于无穷，固定亏格下属于数值半群树无限链的半群占比趋于0，即多数数值半群在树中仅有有限后代。
Numerical semigroups with monotone Apéry set and fixed multiplicity and ratio
本文刻画了具有单调Apéry集的数值半群（MANS-半群），并在固定重数和比值的条件下描述了其族类。
The set of numerical semigroups of a given genus
本文给出了一种构造具有固定亏格的数值半群集的新方法。我们的方法是基于一组具有固定Frobenius数和亏格的数值半群的建设。给出了该集合上的一个等价关系，并为每个等价类定义了一个树结构。我们还提供了一个更有效的算法的基础上的翻译的数值半群，其所谓的Kunz坐标向量。
We define a reflective numerical semigroup of genus $g$ as a numerical semigroup that has a certain reflective symmetry when viewed within $\mathbb{Z}$ as an array with $g$ columns. Equivalently, a reflective numerical semigroup has one gap in each residue class modulo $g$. In this paper, we give an explicit description for all reflective numerical semigroups. With this, we can describe the reflective members of well-known families of numerical semigroups as well as obtain formulas for the number of reflective numerical semigroups of a given genus or given Frobenius number.
We study the cyclotomic exponent sequence of a numerical semigroup $S,$ and we compute its values at the gaps of $S,$ the elements of $S$ with unique representations in terms of minimal generators, and the Betti elements $b\in S$ for which the set $\{a \in \operatorname{Betti}(S) : a \le_{S}b\}$ is totally ordered with respect to $\le_S$ (we write $a \le_S b$ whenever $a - b \in S,$ with $a,b\in S$). This allows us to characterize certain semigroup families, such as Betti-sorted or Betti-divisible numerical semigroups, as well as numerical semigroups with a unique Betti element, in terms of th…
On permutation numerical semigroups
本文引入了$n$ -置换数值半群的概念。当只有三个$2$ -置换数值半群时，如果$n > 2$，则有无穷多个$n$ -置换数值半群.构造了$16$族$3$ -置换数值半群和一族$n$ -置换数值半群.最后，我们给出了一些实验数据，这些数据似乎支持关于$3$ -置换数值半群分类的一个猜想。
The Frobenius problem for four numerical semigroups
不属于数值半群$S$的最大整数称为$S$的Frobenius数，找到Frobenius数称为Frobenius问题。本文引入了由Thabit数基b生成的数值半群的Frobenius问题和由Thabit数半群的Frobenius问题所激发的第二类基b的Thabit数.同时，我们还介绍了由Cunningham数和费马数基$b$生成的数值半群的Frobenius问题
In this paper, we generalize the work of Tuenter to give an identity which completely characterizes the complement of a numerical semigroup in terms of its Apéry sets. Using this result, we compute the $m$th power Sylvester and alternating Sylvester sums for free numerical semigroups. Explicit formulas are given for small $m$.
On the generalized Feng-Rao numbers of numerical semigroups generated by intervals
给出了数值半群广义Feng-Rao数计算的一般结果。在区间生成的数值半群的情形下，得到了$r^{th}$ Feng-Rao数的计算公式.
Fibonacci-Like Behavior of the Number of Numerical Semigroups of a Given Genus
我们猜想了一个关于给定亏格的数值半群的个数的类Fibonacci性质。此外，我们推测，相关的商序列接近黄金分割率。这个猜想是由亏格至多为50的半群的个数的结果所激发的。对于亏格在同一值域内的所有数值半群，也证明了Wilf猜想。
In this paper, we introduce the concept of Arf special gaps of an Arf numerical semigroup, and an algorithm for computing all Arf special gaps of a given Arf numerical semigroup. We introduce the concept of Arf-irreducible numerical semigroups, and draw conclusions about all these concepts. We give a system of generators for the Frobenius variety and variety of families of Arf numerical semigroups. Moreover, we obtain the minimal Arf system of generators of a given Arf numerical semigroup.
The Frobenius problem for Generalized Thabit numerical semigroups
不属于$S$的最大整数是$S$的弗罗贝纽斯数，用$F(S)$表示。解决Frobenius问题意味着寻找$F(S)$的研究。Frobenius问题已经稳定地处理了很长一段时间。本文引入了广义Thabit数值半群的Frobenius问题，它是由Thabit数值半群的Frobenius问题所引起的.
Let $S$ and $Δ$ be numerical semigroups. A numerical semigroup $S$ is an $\mathbf{I}(Δ)$-{\it semigroup} if $S\backslash \{0\}$ is an ideal of $Δ$. We will denote by $\mathcal{J}(Δ)=\{S \mid S \text{ is an $\mathbf{I}(Δ)$-semigroup} \}.$ We will say that $Δ$ is {\it an ideal extension of } $S$ if $S\in \mathcal{J}(Δ).$ In this work, we present an algorithm that allows to build all the ideal extensions of a numerical semigroup. We can recursively denote by $\mathcal{J}^0(\mathbb{N})=\mathbb{N},$ $\mathcal{J}^1(\mathbb{N})=\mathcal{J}(\mathbb{N})$ and $\mathcal{J}^{k+1}(\mathbb{N})=\mathcal{J}(\…
Parity distributions among gaps of free numerical semigroups
本文研究自由数半群间隙的奇偶分布规律，通过Apéry集中的奇偶元素数量或和来计算分布，并证明自由数半群中奇间隙数量不少于偶间隙，当生成元均为奇数时两者相等。
Arnold's Conjectures on Weak Asymptotics and Statistics of Numerical Semigroups S(d_1,d_2,d_3)
对于gcd（d_1，d_2，d_3）=1的三个正整数d_1，d_2，d_3生成的半群，本文反驳了V. Arnold [2]提出的关于数值半群统计的三个定理#1999- 8，#1999 - 9和#1999- 10.得到了数值半群的导体C（d1，d2，d3）的弱渐近性和半群所占据的段[0;C（d1，d2，d3）-1]的分数p（d1，d2，d3）的弱渐近性.
Semigroup's series for negative degrees of the gaps values in numerical semigroups generated by two integers and identities for the Hurwitz zeta functions
给出了两个整数生成的数值半群的间隙值上的逆幂级数的显式表达式。这意味着一组新的身份赫维茨zeta函数。
Huneke-Wiegand Conjecture for Complete Intersection Numerical Semigroup Rings
本文对自由数值半群环上的单项理想和完全交数值半群环上的两个生成单项理想的Huneke-Wiegand猜想给出了肯定的回答。
Numerical Semigroups and Codes
一个数值半群是N中包含0的子集，在加法下是闭的，并且在N中有有限补。数值半群的一个重要例子是曲线上一点的Weierstrass半群。在代数几何码理论中，Weierstrass半群对于定义最小距离的界以及定义码的维数的改进是至关重要的。我们提出了这些应用和一些理论问题的分类，特征和计数的数值半群。
Numerical semigroups with large embedding dimension satisfy Wilf's conjecture
对于满足2 ν \geq m的数值半群，我们肯定地回答了Wilf猜想，其中ν和m分别是半群的嵌入维数和重数.当m \leq为8，且半群由广义等差数列生成时，证明了该猜想.
Semigroups with fixed multiplicity and embedding dimension
给定$m\in \mathbb{N},$，一个具有重数的数值半群$m$称为packed数值半群，如果它的极小生成集包含在$\{m,m+1,\ldots, 2m-1\}.$中。本文利用packed数值半群构造了具有固定重数和嵌入维数的数值半群的集合，并在这个集合中建立了一个划分。此外，在与某些紧数值半群相关的树中检验了Wilf猜想。
A numerical semigroup $S$ is cyclotomic if its semigroup polynomial $P_S$ is a product of cyclotomic polynomials. The number of irreducible factors of $P_S$ (with multiplicity) is the polynomial length $\ell(S)$ of $S.$ We show that a cyclotomic numerical semigroup is complete intersection if $\ell(S)\le 2$. This establishes a particular case of a conjecture of Ciolan, García-Sánchez and Moree (2016) claiming that every cyclotomic numerical semigroup is complete intersection. In addition, we investigate the relation between $\ell(S)$ and the embedding dimension of $S.$
Representability of systems of proportionally modular numerical semigroups
研究比例模数值半群系统的可表示性问题，核心方法是从其商描述出发，通过双生成元数值半群实现每个商，再用双分支典范等变分解图及合适重数胶合，主要贡献是证明其可由特定加权齐次曲面奇点的分解表示。
Numerical Semigroups with $a_e = 2g+1$
本文研究了最大生成元为 $2g+1$ 的数值半群，揭示其与对称半群的联系及自身对称性，并证明Wilf问题对这些半群有正解。
On a conjecture of Moreno-Frías and Rosales for numerical semigroups
本文运用 Pfister 和 Steenbrink 的曲线奇点点状 Hilbert 概型理论，证明了 Moreno-Frías 和 Rosales 提出的数值半群半模计数猜想对任意数值半群均成立。
Nonhomogeneous patterns on numerical semigroups
数值半群上的模式是多元线性多项式，如果存在一个数值半群，使得在该半群的任何非增元素序列上的求值给出属于该半群的整数，则称它们是容许的。在第一种方法中，仅分析同质图案。在这篇文章中，我们研究了最终非齐次模式是可容许的条件，并将这项研究具体化到模式的独立项是半群的重数的倍数的情况。此外，对于所谓的强容许模式，容许这些模式具有固定重数$m$的数值半群的集合形成一个$m$ -簇，它允许我们用树来表示这个集合，并描述这个簇中关于该模式的半群的生成元的极小集合.此外，我们刻画了具有有限关联树的强容许模式。
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