数值半群S（d_1，d_2，d_3）的弱渐近性和统计性的Arnold猜想

n=3对称半群在弱极限下Frobenius数和分式的精确性质

Exact properties of Frobenius numbers and fraction of the symmetric semigroups in the weak limit for n=3

推广并证明了V.Arnold关于Frobenius数奇偶性的一个假设.对于具有三个Frobenius数生成元的对称半群，我们得到了一个精确公式，它在某种意义上是两个Sylvester公式之和.证明了对称半群的分式在弱极限中为零。

三元生成对称半群的数值实验及其推广

On Numerical Experiments with Symmetric Semigroups Generated by Three Elements and Their Generalization

本文简单地解释了V. Arnold关于由三个元素生成的两个对称数值半群序列S（4，6 +4k，87-4k）和S（9，3 + 9 k，85- 9 k）的数值实验.我们给出了这些序列的数值半群S的推广（r_1^2，r_1r_2 + r_1^2k，r_3-r_1^2k），k \in{\mathbb Z}，r_1，r_2，r_3 \in{\mathbb Z}^+，r_1 \geq 2和\gcd（r_1，r_2）= \gcd（r_1，r_3）=1，并计算它们的泛Frobenius数Phi（r_1，r_2，r_3），其中k的取值范围很宽，且半群是对称的.我们证明了这类半群也有非对称表示。我们描述了这些半群的最小生成元集的约化，直到{r_1^2，r_3-r_1^2k}，并通过求解二次丢番图方程来求这些值。

Erdős-Rényi随机数值半群的统计性质

Statistics of Erdős-Rényi random numerical semigroups

本研究针对小参数p下的Erdős-Rényi随机数值半群，证明其Frobenius数、亏格与嵌入维数的渐近量级，解决了Bogart等人提出的公开问题。

通过对称数值半群实现隐写信息隐藏

Steganographic information hiding via symmetric numerical semigroups

本文提出一种基于对称数值半群的隐写信息隐藏方案，利用间隙结构实现信息嵌入，通过数论方法实现隐蔽通信和抗量子安全信息隐藏。

关于二次无理数的连分数的周期统计

About statistics of periods of continued fractions of quadratic irrationalities

在本文中，我们回答了V.I. Arnold，也就是说，我们研究了$x^2+p x=q$与整数$p$和$q$，$p^2+q^2\le R^2$形式的二次方程解的连分数的周期.我们的结果涉及周期元素和Gauss-Kuzmin统计量的平均和为$R\to\infty$。

Factorization length distribution for affine semigroups II: asymptotic behavior for numerical semigroups with arbitrarily many generators

For numerical semigroups with a specified list of (not necessarily minimal) generators, we obtain explicit asymptotic expressions, and in some cases quasipolynomial/quasirational representations, for all major factorization length statistics. This involves a variety of tools that are not standard in the subject, such as algebraic combinatorics (Schur polynomials), probability theory (weak convergence of measures, characteristic functions), and harmonic analysis (Fourier transforms of distributions). We provide instructive examples which demonstrate the power and generality of our techniques. W…