数值半群问题列表
Numerical semigroups problem list
摘要：
我们提出了一系列数值半群中的公开问题。
英文摘要：
We propose a list of open problems in numerical semigroups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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仿射半群的因子分解长度分布III：具有任意生成元的数值半群的模等分布
Factorization length distribution for affine semigroups III: modular equidistribution for numerical semigroups with arbitrarily many generators
对于具有特定生成元（不一定是最小生成元）列表的数值半群，我们描述了因子分解长度关于任意模的渐近分布。特别是，我们证明了因子分解的长度是均匀分布在所有的同余类，不平凡地排除了模块化的考虑。
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仿射半群II的因子分解长度分布：具有任意多个生成元的数值半群的渐近性
Factorization length distribution for affine semigroups II: asymptotic behavior for numerical semigroups with arbitrarily many generators
对于数值半群与一个指定的列表（不一定是最小的）生成元，我们得到明确的渐近表达式，在某些情况下，拟多项式/拟有理表示，所有主要的因式分解长度统计。这涉及到各种各样的工具，不是标准的主题，如代数组合（舒尔多项式），概率论（弱收敛的措施，特征函数）和调和分析（傅里叶变换的分布）。我们提供了有益的例子，证明我们的技术的力量和一般性。我们还强调了齐次对称函数理论中意想不到的后果。
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m-不可约数值半群
m-irreducible numerical semigroups
在本文中，我们引入了m-不可约的概念，它扩展了当重数固定时数值半群的不可约的标准概念。分析了m-不可约数值半群的集合的结构，给出了这类数值半群的一些性质，并给出了将重数为m的数值半群分解为m-不可约数值半群的算法.
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重数为3和4的不可约数值半群
Irreducible numerical semigroups with multiplicity three and four
本文分析了重数不超过4的数值半群的不可约性。我们的方法使用最近在（Blanco-Puerto，2011）中引入的数值半群的Kunz坐标向量的概念。利用这个工具，我们还完全描述了整个家庭的最小分解成不可约的数值半群具有相同的重数为这组的数值半群。我们给出了详细的例子，以显示的方法和条件的知名的家庭的数值半群的不可约性的适用性，那些是由广义等差数列。
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Arf 数值半群中的行分解矩阵与定义理想
Row-Factorization Matrices in Arf Numerical Semigroups and Defining Ideals
本文研究 Arf 数值半群的行分解矩阵，给出某些情形的完整列表，并利用这些矩阵检测一般性质、确定定义理想的生成元。
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给定亏格的数值半群集
The set of numerical semigroups of a given genus
本文给出了一种构造具有固定亏格的数值半群集的新方法。我们的方法是基于一组具有固定Frobenius数和亏格的数值半群的建设。给出了该集合上的一个等价关系，并为每个等价类定义了一个树结构。我们还提供了一个更有效的算法的基础上的翻译的数值半群，其所谓的Kunz坐标向量。
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数值半群的分圆指数序列
Cyclotomic exponent sequences of numerical semigroups
本文研究了一个数值半群$S,$的分圆指数序列，并计算了它在$S,$的间隙处的值，$S,$的元素具有用最小生成元表示的唯一表示，以及Betti元素$b\in S$，其中集合$\{a \in \operatorname{Betti}(S) : a \le_{S}b\}$关于$\le_S$是全序的（我们写$a \le_S b$，只要$a - b \in S,$与$a,b\in S$）。这使得我们可以用分圆指数序列来刻画某些半群族，如贝蒂排序或贝蒂可分数值半群，以及具有唯一贝蒂元的数值半群。我们的结果也适用于分圆数值半群，这是一个数值半群的一个π支撑分圆指数序列。我们证明了具有某些分圆指数序列的分圆数值半群是完全交，从而在证明Ciolan，García-Sánchez和Moree（2016）的猜想方面取得了进展，该猜想指出$S$是分圆的当且仅当它是完全交。
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分解为不可约数值半群
Factorizations into irreducible numerical semigroups
本文证明数值半群分解为不可约数值半群时，其分解长度集合的并集均等于 $\mathbb{N}_{\ge 2}$。
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Arf数值半群的不可约性
Irreducibility of Arf Numerical Semigroups
本文引入了Arf数值半群的Arf特殊间隙的概念，并给出了计算Arf数值半群的所有Arf特殊间隙的一个算法.引入Arf-不可约数值半群的概念，并给出了关于这些概念的一些结论。给出了Arf数值半群的Frobenius簇和簇族的生成元系。此外，我们还得到了Arf数值半群的生成元的最小Arf系.
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数值半群的Dyck路表示
Representation of Numerical Semigroups by Dyck Paths
我们引入代表数值半群的方块图，我们得到了一个注入从一组数值半群到一组Dyck路径。
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小型和大型数值半群
Numerical Semigroups of small and large type
数值半群是具有有限补数的自然数的子半群。数值半群的一些关键性质是它的Frobenius数F，亏格g和类型t。已知对任何数值半群$\frac{g}{F+1-g}\leq t\leq 2g-F$ .具有$t=2g-F$的数值半群称为几乎对称的，我们引入了一个新的性质来刻画它们。给出了具有$t=\frac{g}{F+1-g}$的数值半群的一个显式刻画.我们证明了对于固定的$α$，具有Frobenius数$F$和类型$F-α$的数值半群的个数对于大的$F$最终是常数.对于大的$g$，亏格为$g$且类型为$g-α$的数值半群的个数也最终是常数.
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随机数值半群与不可约半群的单纯复形
Random numerical semigroups and a simplicial complex of irreducible semigroups
我们研究的随机数值半群的概率模型的启发下的随机图的Erdos-Renyi模型的性质。给出了随机半群的上有限性的门限函数，并给出了随机半群的期望嵌入维数、亏格和Frobenius数的界.我们的结果如下，令人惊讶的是，从一个非常自然的shellable单纯复形的建设，其方面是在双射与不可约的数值半群的一个固定的Frobenius数和其$h$ -向量确定的概率，一个特定的元素在于在半群。
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两个整数生成的数值半群中间隙值负次数的半群级数与Hurwitz zeta函数的恒等式
Semigroup's series for negative degrees of the gaps values in numerical semigroups generated by two integers and identities for the Hurwitz zeta functions
给出了两个整数生成的数值半群的间隙值上的逆幂级数的显式表达式。这意味着一组新的身份赫维茨zeta函数。
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完全交数值半群环的Huneke-Wiegand猜想
Huneke-Wiegand Conjecture for Complete Intersection Numerical Semigroup Rings
本文对自由数值半群环上的单项理想和完全交数值半群环上的两个生成单项理想的Huneke-Wiegand猜想给出了肯定的回答。
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什么时候数值半群是商？
When is a numerical semigroup a quotient?
数值半群上的一个自然运算是用一个正整数做商。如果$\mathcal S$是具有$k$生成元的数值半群的商，我们称$\mathcal S$为$k$ -商.给出了一个给定的数值半群$\mathcal S$是$k$ -商的必要条件，并对每个$k \ge 3$给出了第一个已知的不能写成$k$ -商的数值半群族.我们还研究了随机选择的具有$k$生成元的数值半群是$k$ -商的概率。
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具有给定伪Frobenius数集的数值半群
Numerical semigroups with a given set of pseudo-Frobenius numbers
一个数值半群的伪Frobenius数是指该数值半群的间隙对于由该半群诱导的偏序而言是最大的。我们提出了一个程序来检测一个给定的整数集是否是一个数值半群的伪Frobenius数的集合，如果是，则计算所有具有此集合的数值半群的伪Frobenius数的集合。
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用给定的Frobenius数构造完全交数值半群集
Constructing the set of complete intersection numerical semigroups with a given Frobenius number
Delorme提出完全交数值半群的集合可以递归计算。我们已经实现了这个算法，并将其具体化到这类数值半群的几个子族：自由和伸缩数值半群，以及与不可约平面曲线奇点相关联的数值半群。这个过程的递归性质使我们能够给出嵌入维数和这些家庭中的任何一个半群的最小生成元的界限。
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通过Young图的对称和伪对称数值半群及其半群环
Symmetric and Pseudo-Symmetric Numerical Semigroups via Young Diagrams and Their Semigroup Rings
本文研究了对称和伪对称数值半群的Young图，描述了Young图和数值半群上的新运算。这些结果提供了对称半群和伪对称半群到上半群及其对偶的新的分解。给出了对于什么样的数值半群$S$，半群环$\Bbbk[\![S]\!]$至少有一个Gorenstein子环和至少有一个Kunz子环的具体结果.
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超越硬币、邮票和鸡McNuggets：对数值半群的邀请
Beyond Coins, Stamps, and Chicken McNuggets: an Invitation to Numerical Semigroups
本文对数值半群作了一个自包含的介绍，并提出了几个以其因子分解性质为中心的公开问题。
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给定亏格的数值半群的构造
Constructing Numerical Semigroups of a Given Genus
设n_g表示亏格为g的数值半群的个数。Bras-Amoros证明了n_g具有某些Fibonacci类性质。几乎所有以前的尝试证明这个猜想是基于分析半群树。我们提供了一个新的，更简单的方法来计数给定亏格的数值半群。我们的方法给出了数值半群族的直接构造，而不涉及生成元或半群树。特别地，我们给出了n_g的一个改进的渐近下界。
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广义数值半群的几乎对称性
On almost-symmetry in generalized numerical semigroups
本文引入了广义数值半群的几乎对称性概念。除了在这个新的类中发生的主要属性，我们提出了几个特征的元素。特别地，我们证明了这个类产生一个新的Frobenius广义数值半群族，并推广了不可约广义数值半群类。本文给出了一种计算所有具有固定Frobenius元的几乎对称广义数值半群的方法，并根据所选择的单项式阶将它们组织成一棵有根树.
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重数为三的数值半群的正规化理想的偏序集
The poset of normalized ideals of numerical semigroups with multiplicity three
本文研究了重数为三的数值半群的正规化理想偏序集，证明了该偏序集始终是一个格，且不同半群对应的偏序集互不同构。
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嵌入维数为3的对称数值半群的δ集
Delta sets for symmetric numerical semigroups with embedding dimension three
本文将嵌入维数为3的非对称数值半群的Delta集的结果推广到对称情形。从而得到了计算任意嵌入维3数值半群的Delta集的快速算法。作为这些结果的一个结果，我们还充分刻画了嵌入维为3的数值半群的Delta集。
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具有大嵌入维数的数值半群满足Wilf猜想
Numerical semigroups with large embedding dimension satisfy Wilf's conjecture
对于满足2 ν \geq m的数值半群，我们肯定地回答了Wilf猜想，其中ν和m分别是半群的嵌入维数和重数.当m \leq为8，且半群由广义等差数列生成时，证明了该猜想.
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具有固定重数和嵌入维数的半群
Semigroups with fixed multiplicity and embedding dimension
给定$m\in \mathbb{N},$，一个具有重数的数值半群$m$称为packed数值半群，如果它的极小生成集包含在$\{m,m+1,\ldots, 2m-1\}.$中。本文利用packed数值半群构造了具有固定重数和嵌入维数的数值半群的集合，并在这个集合中建立了一个划分。此外，在与某些紧数值半群相关的树中检验了Wilf猜想。
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Eliahou数、Wilf函数与数值半群的浓度
Eliahou number, Wilf function and concentration of a numerical semigroup
该研究围绕数值半群的Eliahou数、Wilf函数与浓度展开，给出相关估计与必要条件，构造新例子，提出高密度数值半群概念并证明其相关性质，为Wilf猜想提供新证据。
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至多有两个不可约因子的分圆数值半群多项式
Cyclotomic numerical semigroup polynomials with at most two irreducible factors
一个数值半群$S$是分圆的，如果它的半群多项式$P_S$是分圆多项式的乘积。$P_S$的不可约因子的个数（重数）是$S.$的多项式长度$\ell(S)$.证明了分圆数值半群是完全交的，如果$\ell(S)\le 2$ .这建立了Ciolan，García-Sánchez和Moree（2016）猜想的一个特殊情况，声称每个分圆数值半群都是完全相交的。此外，我们还研究了$\ell(S)$与$S.$的嵌入维数之间的关系
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一类数值半群元的无平方divisor复形
Squarefree divisor complexes of certain numerical semigroup elements
数值半群$S$是具有有限补数的非负整数的加法子半群，元素$m \in S$的无平方因子复形是在多重分次贝蒂数研究中出现的单纯复形$Δ_m$。计算了某些数值半群的无平方因子复形，并给出了一类新的单纯复形，它们是某些数值半群元素的无平方因子复形。
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用generating functions计算数值半群的个数
Computing the number of numerical semigroups using generating functions
本文给出了一种计算给定亏格或Frobenius数的数值半群个数的新方法。我们将生成函数工具应用于有界多面体，对给定亏格（或Frobenius数）和重数的半群进行分类。首先，我们给出了计算这些半群个数的多项式时间复杂度的理论结果。我们还说明了分析的方法的情况下，重3和4，其中一些公式的数量半群的任何亏格和Frobenius数。
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数值半群上的星运算：反链和显式结果
Star operations on numerical semigroups: antichains and explicit results
我们在数值半群$S$的非整除理想集上引入了一个序，并将这个序的反链与$S$上的星运算联系起来;随后，我们利用这个序找到了$S$上的星运算个数的估计.然后利用它们得到了具有$n$或更少星运算的非对称数值半群个数的一个渐近估计，并明确地确定了当$n=10$ .
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关于数值幺半群和仿射半群的Apéry集的计算
On the computation of the Apéry set of numerical monoids and affine semigroups
利用Groebner基，给出了一种计算数值半群（或幺半群）关于生成元的Apéry集的简单方法，并推广到仿射半群.这种计算使我们能够计算的类型集，并从此，检查Gorenstein条件的特点对称数值子群。
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数值半群的右生成元后代
The right-generators descendant of a numerical semigroup
对于一个数值半群，我们编码的本原元，大于它的Frobenius数的集合，并显示如何产生在一个快速的方式在半群树的孩子相应的集合。这使我们能够提出一个有效的算法，探索树到一个给定的属。该算法利用第二个非零元素的数值半群和特定的伪普通的情况下，这个元素是导体。
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数值半群II：伪对称AA-半群
Numerical semigroups II: pseudo-symmetric AA-Semigroups
本文是“数值半群：Apéry集和Hilbert级数”一文的继续。我们考虑一般的数值AA-半群，即，由$a,a+d,a+2d,\dots,a+kd,c$形式的互素正整数的所有非负整数线性组合组成的半群。我们首先证明了，与任意数值半群不同，AA-半群的类型存在一个上界，它只依赖于半群的生成元个数。然后给出了伪对称AA-半群的两个刻画。第一种方法给出了判定AA-半群是否伪对称的多项式时间算法。第二部分给出了伪对称AA-半群的构造方法，并给出了生成元个数为任意大的伪对称半群的显式族。
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参数化Arf数值半群
Parametrizing Arf numerical semigroups
给出了计算具有给定亏格、给定导子以及给定亏格和导子的Arf数值半群集的方法。刻画了Arf数值半群的Kunz坐标.我们还描述了Arf数值半群与固定的Frobenius数和重数高达6。
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具有固定Frobenius数的数值半群集的半格结构
A semilattice structure for the set of numerical semigroups with fixed Frobenius number
给出了一个计算具有给定Frobenius数F，S（F）的数值半群的方法.该方法基于S（F）的一个同余关系的划分的构造。我们确定在每个类的关系，一个不可约和一个齐次数值半群，并从这两个元素，我们重建整个类。提出了一种更有效的方法，该方法基于S（F）中元素的Kunz坐标向量的使用。
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随机数值半群的拟多项式序列
A sequence of quasipolynomials arising from random numerical semigroups
数值半群是加法闭的非负整数的子集。对于一个随机生成的数值半群，最小生成元的期望个数可以用一个双指数整数序列来表示，记为$h_{n, i}$，它对具有某些性质的生成集进行计数。我们证明了一个递归，这意味着序列$h_{n,i}$最终拟多项式时，第二个参数是固定的。
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仿射半群的因子分解长度分布Ⅰ：具有三个生成元的数值半群
Factorization length distribution for affine semigroups I: numerical semigroups with three generators
文献中的大多数分解不变量提取极值分解行为，例如最大和最小分解长度。中等大小的不变量，如平均值，中位数和模式分解长度更微妙。我们使用分析和概率的技术来描述这些不变量的渐近行为。令人惊讶的是，渐近中值因子分解长度是由一个通常是无理数描述的。
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数值半群的Delta集的实现问题
The Realization Problem for Delta Sets of Numerical Semigroups
数值半群$S$的δ集，记作$Δ(S)$，是一个因子分解不变量，它度量了$S$中元素长度集合的复杂性。我们研究了下列问题：哪些有限集作为数值半群$S$的δ集出现？已知$\min Δ(S) = \gcd Δ(S)$是必要条件。对于任何二元集$\{d,td\}$，我们产生一个半群$S$与此δ集。然后证明了对于$t\ge 2$，集合$\{d,td\}$作为嵌入维数为3的某个数值半群的δ集出现当且仅当$t=2$ .
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六元生成的对称（非完全交）数值半群
Symmetric (not Complete Intersection) Numerical Semigroups Generated by Six Elements
本文考虑由六个正整数{d_1，.，d_6}，gcd（d_1，...，d_6）=1的半群的合度的不等式，并求出其Frobenius数的下界.我们证明了当S_6满足Watanabe引理时，这个界可以得到加强.
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给定亏格的数值半群个数的改进界
Improved bounds on the number of numerical semigroups of a given genus
改进了亏格G的数值半群的个数N_g的已知下界和上界。从一个已知的递归描述的树T的数值半群，我们分析了它的一些性质，并使用它们来构造近似的T生成树的节点标记的某些参数的半群。然后，我们将这些树的继承规则转化为生成函数的函数方程，并求解这些方程，以获得其边界。我们的一些边界涉及到斐波那契数，而其他的则表示为生成函数。给出了T中具有无穷多个后代的数值半群个数的上界。
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Wilf猜想在广义数值半群上的推广
A generalization of Wilf's conjecture for Generalized Numerical Semigroups
数值半群是$\mathbb N$的子幺半群，在$\mathbb N$中有有限补。广义数值半群是$\mathbb{N}^{d}$的子幺半群，在$\mathbb{N}^{d}$中有有限补.在数值半群的背景下，Wilf猜想是一个长期存在的开放问题，其研究导致了新的数学和思考幺半群的新方法。García-García、Marín-Aragón和Vigneron-Tenorio将Wilf猜想自然扩张到$\mathcal C$ -半群类。在本文中，我们提出了一个不同的推广Wilf的猜想，设置的广义数值半群，并证明了猜想的几个大家庭，包括不可约的，对称的，和单项的情况。我们还讨论了我们的猜想与García-García，Marín-Aragón和Vigneron-Tenorio提出的推广的关系。
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Fibonacci和Lucas三元组生成的对称数值半群
Symmetric Numerical Semigroups Generated by Fibonacci and Lucas Triples
考虑由三个Fibonacci（F_a，F_b，F_c）和Lucas（L_k，L_m，L_n）数生成的对称数值半群S（F_a，F_b，F_c）和S（L_k，L_m，L_n）.利用Fibonacci数和Lucas数的整除性质，建立了这两个半群对称的充要条件，并计算了它们的Hilbert生成级数、Frobenius数和亏格.
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数值半群不可约分解的无界性
Unboundedness of irreducible decompositions of numerical semigroups
该研究提出两类数值半群，证明其不可约分解所需分量数无任意整数上界，否定了Delgado等人的相关问题。
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数值半群上的Chomp
Chomp on numerical semigroups
我们考虑了与数值半群相关的偏序集上的二人博弈chomp，并证明了chomp的策略分析与半群的经典性质密切相关。刻画了对称半群、最大嵌入维数半群以及由等差数列生成的几类数值半群的局中人获胜策略。此外，我们还证明了在给定的数值半群上哪个玩家获胜是一个可判定的问题。最后，我们将我们的结果推广到更一般的$\mathbb{N} \times T$的子半群的情形，其中$T$是有限的阿贝尔群。
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关于生成元较少的移位仿射半群的极小表示
On minimal presentations of shifted affine semigroups with few generators
一个仿射半群是$(\mathbb Z_{\ge 0}^d, +)$的仿射生成子半群，一个数值半群是具有$d = 1$的仿射半群。最近越来越多的工作研究了移位的数值半群族，即对于固定的$r_1, \ldots, r_k$，具有$M_n = \langle n + r_1, \ldots, n + r_k \rangle$形式的数值半群族，对于移位参数$n$的每个值都有一个半群。已经证明，在任何移位的数值半群族中，任何最小表示的大小都是有界的（事实上，这个大小在$n$中最终是周期性的）。本文考虑仿射半群的移位族，证明了某些但不是全部的4-生成仿射半群的移位族具有任意大的极小表示。
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用Groebner基刻画数值半群的间隙和元素
Characterization of Gaps and Elements of a Numerical Semigroup Using Groebner Bases
这篇文章部分是调查，部分是研究论文。它解决了使用Groebner基地解决问题的数值半群，这是一个话题，已经存在了一些年，但它这样做的系统的方式，使我们能够证明一些结果和一个有希望有趣的表征元素的半群方面的Groebner基地。
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数值半群的理想类幺半群的偏序集为格的条件
When the poset of the ideal class monoid of a numerical semigroup is a lattice
本研究刻画了理想类幺半群偏序集为格的数值半群，同时探究了该类格中关于并、交、上下确界的不可约元，丰富了数值半群相关结构的研究内容。
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不可约广义数值半群与Frobenius元的唯一性
Irreducible Generalized Numerical Semigroups and uniqueness of the Frobenius element
设$\mathbb{N}^{d}$是非负整数的$d$维幺半群.广义数值半群是子幺半群$ S\subseteq \mathbb{N}^d$使得$H(S)=\mathbb{N}^d \setminus S$是有限集.引入了不可约广义数值半群，并利用$H(S)$的一个特殊子集的基数刻画了它们。特别地，我们描述了$\mathbb N^d$上的松弛单项式阶，定义了$S$关于给定松弛单项式阶的Frobenius元，并证明了如果广义数值半群是不可约的，则$S$的Frobenius元与阶无关.
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低重数数值半群的树
The tree of numerical semigroups with low multiplicity
我们证明了重数为3、4或5且亏格固定的数值半群的个数在亏格中作为函数增加。为此，我们使用昆兹多面体为这些多重性。计数具有固定重数和亏格的数值半群则是一个带有一些额外条件（Kunz多胞形的成员条件）的整数划分问题。对于重数为4的特殊情形，我们证明了亏格为$g$的重数为4的数值半群的个数是$x+y+z=g+6$与$0<x\le y\le z$，$x\neq 1$，$y\neq 2$和$z\neq 3$的划分数.
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具有 $a_e = 2g+1$ 的数值半群
Numerical Semigroups with $a_e = 2g+1$
Universität Regensburg（雷根斯堡大学）；DHBW Mannheim（曼海姆双元制工业大学）
本文研究了最大生成元为 $2g+1$ 的数值半群，揭示其与对称半群的联系及自身对称性，并证明Wilf问题对这些半群有正解。
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数值半群代数的系数环
Coefficient Rings of Numerical Semigroup Algebras
从相对论的角度研究了数值半群环.数值半群环的奇异性等代数性质是平坦数值半群代数的性质。本文证明了数值半群环的算术性质和集合论性质是等gcd数值半群代数的性质。
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几乎对称数值半群
Almost symmetric numerical semigroups
研究了几乎对称数值半群和半群环。本文描述了几乎对称数值半群的半群环的最小自由分解的一个特征性质。对于由$4$元生成的几乎对称半群，我们将利用Mosariello引入的"\lq \lq行分解矩阵”给出一个结构定理.从而给出了由$4$元生成的伪对称数值半群的Komeda结构定理的一个简单证明。行分解矩阵也被用来研究数值半群的移位族。
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数值半群的GAP程序包numericalsgps
numericalsgps, a GAP package for numerical semigroups
软件包numericalsgps使用和为数值半群执行计算。最近也承认仿射半群作为对象的计算。这份手稿是一个调查什么包，并在同一时间的趋势主题的数值半群。
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由等差数列拼接生成的数值半群
Numerical Semigroups Generated by Concatenation of Arithmetic Sequences
引入了由等差数列拼接生成的数值半群的概念，并证明了这类数值半群具有多种有趣的性质。
math.AC
数值半群上的非齐次模式
Nonhomogeneous patterns on numerical semigroups
数值半群上的模式是多元线性多项式，如果存在一个数值半群，使得在该半群的任何非增元素序列上的求值给出属于该半群的整数，则称它们是容许的。在第一种方法中，仅分析同质图案。在这篇文章中，我们研究了最终非齐次模式是可容许的条件，并将这项研究具体化到模式的独立项是半群的重数的倍数的情况。此外，对于所谓的强容许模式，容许这些模式具有固定重数$m$的数值半群的集合形成一个$m$ -簇，它允许我们用树来表示这个集合，并描述这个簇中关于该模式的半群的生成元的极小集合.此外，我们刻画了具有有限关联树的强容许模式。
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关于某些半群环的贝蒂数
On the Betti numbers of some semigroup rings
对于任何数值半群$S$，存在无穷多个数值对称半群$T$使得$S=\frac{T}{2}$是它们的一半。研究了当$S$是3-生成数值半群或伸缩的数值半群环$K[T]$的贝蒂数.我们还考虑了4-生成对称半群和所谓的4-不可约数值半群。
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几乎标准理想与GAS数值半群
Almost canonical ideals and GAS numerical semigroups
本文提出了GAS数值半群的概念，它推广了几乎对称和2-AGL数值半群。此外，我们引入了几乎标准理想的概念，它推广了标准理想的概念，就像几乎对称数值半群推广对称数值半群一样。证明了具有极大理想$M$和重数$e$的数值半群是GAS当且仅当$M-e$是$M-M$的几乎标准理想.这推广了Barucci关于几乎对称半群的一个结果和Chau，Goto，Kumashiro和Matsuoka关于2-AGL半群的一个定理。我们还研究了GAS性质从数值半群到其胶合、数值复制和膨胀的转移。
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数值半群的数值复制
The numerical duplication of a numerical semigroup
本文提出并研究了数值半群的数值复制，即从一个数值半群$S$和一个半群理想$E\subseteq S$出发，构造出一个新的数值半群，记为$S\Join^b\E$（其中$b$是属于$S$的任意奇数），使得$S=(S\Join^b\E)/2$ .特别是，我们刻画理想$E$，使$S\Join^bE$几乎是对称的，我们确定其类型。
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远距离Gorenstein数值半群环的类型4
The far-flung Gorenstein numerical semigroup rings of type 4
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Bucharest（布加勒斯特大学数学与计算机科学学院）
本文研究了类型4的远距离Gorenstein数值半群环的分类问题。
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具有最大简化类型几乎对称的数值半群分类
Classification of almost symmetric numerical semigroups with maximal reduced type
Graduate School of Science and Engineering, Yamagata University（山形大学理工学研究科）
本文研究了具有最大简化类型的几乎对称数值半群和MED半群的分类问题。
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