Free Minor Closed Classes and the Kuratowski theorem
Dainis Zeps
考虑了自由子闭类[2]和自由可平面图[3]。研究了自由可平面图的类Kuratowski定理和可平面图的Kuratowski定理。
Free-minor closed classes [2] and free-planar graphs [3] are considered. Versions of Kuratowski-like theorem for free-planar graphs and Kuratowski theorem for planar graphs are considered.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Excluding Kuratowski graphs and their duals from binary matroids
我们考虑我们的内部4-连通二元拟阵没有M（K3，3）-子矩阵的特性的一些应用。我们将不含子阵的内4连通二元拟阵映射到{M（K3，3），M *（K3，3），M（K5），M *（K5）}的某个子集中，该子集包含M（K3，3）或M *（K3，3）.我们还描述了一个实用的算法，用于测试是否一个二元拟阵有一个未成年人的子集。此外，我们还研究了不含M（K3，3）-子式的二元拟阵的增长率，证明了不含M（K3，3）-子式的二元拟阵在GF（2）上的临界指数至多等于4。
Forbidding Kuratowski Graphs as Immersions
浸入关系是图上的偏序关系，它比拓扑子关系弱，在这个意义上，如果图$G$包含一个图$H$作为拓扑子关系，那么它也包含它作为浸入，但反之亦然。Kuratowski图，即$K_{5}$和$K_{3,3}$，给出了可平面图排除拓扑子式时的精确刻画。本文给出了排除Kuratowski图为浸入图的图的结构特征。我们证明，它们可以通过应用连续的$i$ -边和，$i\leq 3$，从图是平面次立方或分支宽度至多10。
Excluding disjoint Kuratowski graphs
本文研究不含 k 个互不相交 Kuratowski 子图的图结构，证明删除有界多个顶点后，剩余图可嵌入一个排斥所有 k-Kuratowski 图的曲面。
Excluding sums of Kuratowski graphs
本文刻画了不包含由 $k$ 个 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 经 0-至 3-求和所得图为 minor 的图类，并证明其等价于图具有有界亏格。
Forbidden minors: Finding the finite few
Robertson和Seymour的图小定理断言，任何图的性质都是由一个相关的有限图列表决定的。我们认为这是一个令人印象深刻的推广库拉托夫斯基定理，其特点是平面性的两个禁止子图，$K_5$和$K_{3,3}$。罗伯逊和西摩的结果使学生能够设计自己的Kuratowski型定理，我们提出了几个本科生的研究项目，以实现这一目标。作为一个明确的例子，我们确定了七个禁止未成年人的属性，我们强烈呼吁几乎-平面（SAP）。一个图是SAP的，如果对于任何边$e$，$e$的删除和收缩都导致可平面图。
The $\mathbb{Z}_2$-genus of Kuratowski minors
在曲面上画一个图是独立的，即使图中每对不相邻的边相交偶数次。图$G$的$\mathbb{Z}_2$ -亏格是最小$g$使得$G$在亏格$g$的可定向曲面上有独立偶图. Robertson和Seymour的一个未发表的结果暗示，对于每个$t$，每个足够大的亏格的图都包含一个投影$t\times t$网格或以下所谓的$t$ -Kuratowski图之一作为子图：$K_{3,t}$，或$K_5$或$K_{3,3}$的$t$副本共享最多两个公共顶点。我们证明了这些族中的图的$\mathbb{Z}_2$ -亏格在$t$中是无界的;事实上，等于它们的亏格。总之，这意味着图的亏格从上到下由其$\mathbb{Z}_2$ -亏格的函数来界定，解决了Schaefer和Štefankovič提出的问题，并给出了关于可定向曲面的Hanani-Tutte定理的近似版本。对于图的Euler亏格和Euler $\mathbb{Z}_2$ -亏格，我们也得到了类似的结果.
Elementary Results on Forbidden Minors
我们首先建立一些理论来陈述瓦格纳定理，然后使用Kuratowski定理来证明它，该定理的证明在Diester（2000）中找到。在此基础上，我们建立了图的色数与它的某些禁子图之间的联系。这个想法是，如果我们禁止$G$有某些图作为子图，那么$G$的色数不能太大。直觉上，这是有道理的：如果我们不允许$G$有太多的边，那么这就使得用更少的颜色给图着色更容易;我们当然会使这更精确。最后，我们解释这一切与哈德维格猜想的关系。
The structure of graphs with no K_{3,3} immersion
Kuratowski-Wagner定理断言一个图是平面的当且仅当它没有$K_{3,3}$或$K_5$作为子图。使用这个瓦格纳获得了一个精确的描述所有的图表没有$K_{3,3}$小和所有的图表没有$K_5$小。类似的结果已经取得了类的图没有$H$ -小的一些小的图$H$。本文给出了不含$K_{3,3}$作为浸入的图的一个精确结构定理。这加强了Giannopoulou，Kamirobski和Thilikos的早期定理，该定理给出了没有$K_{3,3}$或$K_5$浸入的图类的粗略描述。
Counting Hamiltonian cycles in 2-tiled graphs
1930年，Kuratowski证明了$K_{3,3}$和$K_5$是仅有的两个极小非平面图。Robertson和Seymour对任意曲面推广了禁子集的有限性。Širáregon和Kochol证明了对于任何$k\ge 2$都有无穷多个$k$ -交叉-临界图，即使仅限于简单的$3$ -连通图.最近，$2$ -交叉-临界图已经被Bokal，Oporowski，Richter和Salazar完全刻画。本文给出了大型2-交叉临界图的一种简化描述，并利用这种简化来计算这类图中的哈密顿圈。我们将这种方法推广到计算所有2-平铺图中的哈密顿圈的算法，从而推广了Bodroža-Pantić，Kwong，Doroslovački和Pantić关于$n = 2$的结果。
Vertex-minor-closed classes are $χ$-bounded
本文证明了Geelen的一个猜想：每一类真点子闭图都是$χ$ -有界的.
On excluded minors for classes of graphical matroids
框架拟阵和提升图拟阵是拟阵的两个不同的次闭类，它们都是图拟阵类的推广。类的准图形拟阵，最近推出的Geelen，Gerards和惠特尔，同时推广两个类的框架和提升图形拟阵。令$\mathcal{M}$为这三个类之一，并令$r$为正整数。我们表明，$\mathcal{M}$只有有限数量的排除未成年人的秩$r$。
On graph classes with minor-universal elements
一个图$U$对于一个图类$\mathcal{C}\ni U$是通用的，如果每个$G\in \mathcal{C}$都是$U$的子图。我们证明了存在或不存在的通用图在几个自然的图形类，包括图形组件明智的嵌入到一个表面，图形禁止$K_5$，或$K_{3,3}$，或$K_\infty$作为一个未成年人。我们证明了存在不可数的许多小封闭类的可数图，（做和）没有一个普遍的元素。我们的一些结果和问题可能会感兴趣的有限图论家。特别是，我们的一个副结果是每个$K_5$ -无小调图都是最大度为22的$K_5$ -无小调图的小调。
Strong odd coloring in minor-closed classes
本文研究小闭图类中的强奇着色问题，证明其强奇色数存在常数上界，并对外平面图几乎确定了最小常数。
Minor-closed classes of binary functions
本文研究二元函数的小闭类，通过排除小元刻画具有良定义小元及关联秩函数的类，并推广Tutte定理至二元函数空间。
The Highly Connected Matroids in Minor-closed Classes
对于固定有限域上的任意次闭拟阵类，给出了该类中充分连通拟阵的一个精确结构刻画。我们还指出了一些可能是接近使用的结构表征。
Maximum degree in minor-closed classes of graphs
给定一类图G在取子式下闭，研究了图G的n阶随机图的最大度Δ n.我们证明了几个下限和上界，持有高概率。在其他结果中，我们发现了一类图，它们提供了以前没有观察到的Δ n的数量级，如\log n/ \log \log \log n和\log n/ \log \log \log n.
On the growth rate of minor-closed classes of graphs
一个子闭图类是一组在同构和取子下闭的标号图。对于一个次闭类$C$，我们设$c_n$为$C$中有$n$顶点的图的个数. Norine等人最近的一个结果表明，对于所有的小闭类$C$，存在一个常数$r$，使得$c_n < r^n n!$。我们的主要结果表明，$c_n$的增长率是远远不是任意的。例如，没有小闭类$C$具有$c_n= r^{n+o(n)} n!$和$0 < r < 1$或$1 < r < ξ\approx 1.76$。
Islands in minor-closed classes. I. Bounded treewidth and separators
图类的聚类色数是最小整数$t$，使得对于某些$C$，该类中每个图的顶点都可以用$t$着色，使得每个单色分量的大小至多为$C$ .证明了可嵌入曲面的图类的簇色数为4，证明了Esperet和Ochem的猜想.此外，我们研究了这个概念的列表形式，并利用给定的簇列表色数刻画了有界树宽图的次闭类。我们进一步加强了上述结果，解决了次闭类自举渗流的一些极值问题。
Computing excluded minors for classes of matroids representable over partial fields
本文实现了一种计算机搜索方法，用于寻找可在部分域上表示的拟阵类的“小”排除子式，枚举了二元和2-正则拟阵类至多15个元素的排除子式，并对两者的排除子式提出了猜想与证明。
Densities of minor-closed graph classes are rational
对于图类$\mathcal{F}$，令$ex_{\mathcal{F}}(n)$表示图中$\mathcal{F}$在$n$顶点上的最大边数。我们证明了对于每一个真次闭图类$\mathcal{F}$，函数$ex_{\mathcal{F}}(n) - Δn$最终是周期的，其中$Δ= \lim_{n \to \infty} ex_{\mathcal{F}}(n)/n$是$\mathcal{F}$的极限密度.这证实了Geelen，Gerards和Whittle猜想的一个特例。特别地，每一个真次闭图类的极限密度都是有理的，这回答了Eppstein的一个问题。作为一个主要步骤的证明，我们表明，每一个适当的小闭图类包含一个子类的有界路径宽度具有相同的极限密度，证实了第二作者的猜想。最后，我们研究了在取拓扑子式下闭的图类的极限密度集。
Clustered Colouring in Minor-Closed Classes
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .我们证明了对每一个图$H$，无$H$ -小图类的簇色数与$H$的树深度有关.特别地，如果$H$与树深度$t$相连，则每个$H$ -无次图都是$(2^{t+1}-4)$ -列，其单色分量的大小至多为$c(H)$。这为Ossona de Mendez，Oum and Wood（2016）关于$H$ -minor-free图的亏色猜想提供了第一个证据。如果是$t=3$，那么我们证明4种颜色就足够了，这是最好的可能。我们还确定了那些次闭图类的聚类色数2。最后，我们提出了一个关于任意次闭类的聚色数的猜想。
Chi-boundedness of graph classes excluding wheel vertex-minors
一类图是$χ$ -有界的，如果存在一个函数$f:\mathbb N\rightarrow \mathbb N$，使得对于该类中的每个图$G$和$G$的诱导子图$H$，如果$H$没有大小为$q+1$的团，则$H$的色数小于或等于$f(q)$ .我们用$W_n$表示$n+1$顶点上的轮图。我们证明了不具有与$W_n$同构的顶点子式的图类是$χ$ -有界的.这推广了以前的几个结果; $χ$有界圆图，图没有$W_5$顶点未成年人，图没有风扇顶点未成年人。
Classes of binary matroids with small lists of excluded induced minors
该研究在前期拟阵诱导子式相关刻画工作的基础上，确定了不含指定二元拟阵对作为诱导子式的拟阵类，并证明了用于刻画不含$M(K_4)$诱导子式拟阵类的结构引理。
On the critical densities of minor-closed classes
给定一个图的次闭类$\mathcal{A}$，用$β_{\mathcal{A}}$表示$\mathcal{A}$中所有图的边顶点比的上确界.我们调查了所有这些值$β_{\mathcal{A}}$的集合$B$，进一步采取了Eppstein开始的项目。在其他结果中，我们确定小值$B$（那些高达2），我们表明，$B$是“渐近密集”，我们回答了一些问题所提出的Eppstein。
Proper Minor-Closed Classes in Blowups of Fans
本文肯定回答了 Dujmović 等人的问题，证明任意 $n$ 顶点 $K_t$-次免图均包含于扇图的 $O_t(\sqrt{n}\log^2(n))$-膨胀中。
Fractal classes of matroids
一个拟阵的子闭类是（强）分形的，如果类中的n元拟阵的数目由n元排除子阵的数目决定。我们猜想，当K是一个无限域时，K-可表示拟阵类是强分形的。证明了当k ≥ 3时，至多具有k个圈超平面的稀疏铺路拟阵类是强分形类.至多具有k个回路超平面（k>4）的尖峰类的子闭包满足一个严格较弱的条件：类中2 t元拟阵的数目由2 t元排除子阵的数目决定。然而，只有2000多名被排除在外的未成年人拥有奇怪大小的地面集。
The excluded minors for three classes of 2-polymatroids having special types of natural matroids
本文针对自然拟阵分别属于二元拟阵类、不含M(K4)-子式的拟阵类以及串并联网络圈拟阵连通分支类的三类2-多拟阵，求出了它们的排除子式，并引入k-自然拟阵证明这些类在2-对偶下封闭。
Counting matroids in minor-closed classes
一个平面覆盖是一个平面的集合，用来标识拟阵的非基。我们引入覆盖复杂性的概念，这样一个平面覆盖的最小尺寸，作为一个拟阵的复杂性的措施，并提出了覆盖复杂性有界的$n$元素上的拟阵的数量上界。我们应用覆盖复杂性表明，类拟阵没有$N$ -小是渐近小的情况下$N$是稀疏铺路拟阵之一$U_{2,k}$，$U_{3,6}$，$P_6$，$Q_6$，或$R_6$，从而证实了一些特殊情况下的猜想由于Mayhew，纽曼，威尔士，和惠特尔。另一方面，我们显示了一个下界的拟阵的数量没有$M(K_4)$ -未成年人渐近匹配的最佳已知的下界的所有拟阵的数量，由于高德纳。
On minor-closed classes of matroids with exponential growth rate
设$\cM$是不包含任意长直线的拟阵的次闭类。$\cM$的增长率函数$h:\bN\rightarrow \bN$由下式给出：$$h(n) = \max(|M|\, : \, M\in \cM, simple, rank-$n$).$$增长率定理表明存在整数$c$使得：$h(n)\le c\, n$或${n+1 \choose 2} \le h(n)\le c\, n^2$，或者存在素数幂$q$使得$\frac{q^n-1}{q-1} \le h(n) \le c\, q^n$ ;这将类分为线性密度、二次密度和基$q$指数密度。对于不含$(q^2+1)$ -点线的基$q$指数密度类，证明了对于所有充分大的$n$，$h(n) =\frac{q^n-1}{q-1}$.我们还证明了，对于不含$(q^2+q+1)$ -点线的基$q$指数密度类，存在$k\in\bN$，使得对于所有足够大的$n$都有$h(n) = \frac{q^{n+k}-1}{q-1} - q\frac{q^{2k}-1}{q^2-1}$.
Shallow vertex minors, stability, and dependence
本文研究了浅层顶点矿石在hereditary图类中的稳定性与依赖性，提出稳定和依赖的刻画，并证明了浅层顶点矿石在保持稳定性与依赖性方面的性质。
On the purity of minor-closed classes of graphs
给定一个至少有一条边的图$H$，设$\operatorname{gap}_{H}(n)$表示两个不含子图$H$的$n$ -顶点边-极大图中边数之差的最大值.我们证明了对于四个连通图$H$（至少有两个顶点），没有小$H$的图类是纯的，即$\operatorname{gap}_{H}(n) = 0$对于所有$n \geq 1$;对于每个连通图$H$（至少有两个顶点），我们有二分法，要么$\operatorname{gap}_{H}(n) = O(1)$或$\operatorname{gap}_{H}(n) = Θ(n)$。此外，如果$H$是2-连通的并且不产生纯类，则存在常数$c>0$使得$\operatorname{gap}_{H}(n) \sim cn$。当$H$不连通或有两个或两个以上被排除的未成年人时，我们也给出了一些部分结果。
The excluded minors for the intersection of bicircular and lattice path matroids
本文针对双圈拟阵与格路拟阵的交集类别，确立了其完整的排除子式列表，从而解决了一个最近提出的开放问题。
Clustered colouring of graph classes with bounded treedepth or pathwidth
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .本文确定了树深有界的次闭类的聚类色数，并证明了路宽有界的次闭类的聚类色数的一个最佳可能上界。由此，我们确定了每个次闭类的分数簇色数。
$1$-perfectly orientable $K_4$-minor-free and outerplanar graphs
一个图$G$称为$1$ -完全可定向的，如果它有一个定向使得对于每个顶点$v\in V(G)$，$D$中的$v$的外邻域是$G$中的团。在$1982$中，Skrien提出了刻画$1$ -完全可定向图类的问题.这个图形类形成弦和圆弧图形类的共同概括;然而，虽然多项式可识别通过减少到$2$ -SAT，没有结构表征这类有趣的图形是已知的。在将$1$ -完全可定向图的研究归结为双连通图的基础上，利用禁止诱导子图和合成定理刻画了$1$ -完全可定向$K_4$ -无子图和$1$ -完全可定向外平面图的类.作为我们方法的一部分，我们引入了一类与$2$树类类似定义的图，并将所考虑的图类与文献中研究的在诱导子式下封闭的另外两个图类联系起来：循环可定向图和最多可分离的图~ $2$。
The densest matroids in minor-closed classes with exponential growth rate
非空的次闭拟阵类$\mathcal{M}$的$\mathit{growth\ rate\ function}$是函数$h_{\mathcal{M}}(n)$，其整数$n \ge 0$的值被定义为秩至多为$n$的$\mathcal{M}$中的简单拟阵中的元素的最大数目。Geelen，Kabell，Kung和Whittle证明了，只要$h_{\mathcal{M}}(2)$是有限的，函数$h_{\mathcal{M}}$在$n$中线性、二次或指数增长（基数等于素数幂$q$），直到一个常数因子。我们证明了在指数情况下，有非负整数$k$和$d \le \tfrac{q^{2k}-1}{q-1}$，使$h_{\mathcal{M}}(n) = \frac{q^{n+k}-1}{q-1} - qd$的所有足够大的$n$，我们证明了哪些拟阵达到大$n$的增长率函数。我们还表明，如果$\mathcal{M}$指定在一定的“自然”的方式（交叉类拟阵表示在不同的有限域和/或排除一组有限的未成年人），那么常数$k$和$d$，以及点，“足够大”开始适用于$n$，可以确定由有限的计算。
Grad and classes with bounded expansion I. decompositions
我们引入了一类图的有界扩张作为推广的适当的小闭类和度有界类。这些类基于一个新的不变量，即G的最大约化平均密度（grad），秩为r，grad r（G）。对于这些类，我们证明了存在的几个分区的结果，如存在低树宽和低树深着色。这推广和简化了几个早期的结果（获得小闭类）。
Random graphs from a weighted minor-closed class
最近，从一个合适的小闭类（如所有可平面图）的n-顶点图中均匀抽样的随机图引起了人们的兴趣。在这里，我们使用组合和概率的方法来研究一个更一般的模型。我们认为随机图从一个“表现良好”的一类图：这样的类的例子包括所有的小封闭类的图与2-连接排除未成年人（如森林，串-平行图和可平面图），一类的图嵌入在任何给定的表面上，和类的图与最多k个顶点不相交的循环。此外，我们给权重的边缘和组件指定的概率，使我们的随机图对应的随机集群模型，适当的条件。我们发现，早期的结果自然延伸到两个方向，一般表现良好的类的图形，并加权框架，例如结果的概率随机图连接;我们也给结果的2-核心，这是新的，即使是统一的（未加权）的情况下。
A note on Fiedler value of classes with sublinear separators
一类图$\mathcal C$的$n$阶Fiedler值是具有$n$顶点的图$G\in\mathcal C$的最大第二特征值$λ_2(G)$.在这篇文章中，我们将这个值与浅子图联系起来，作为推论，我们确定了一些小闭图类（包括可平面图类）的$n$ -th Fiedler值的正确顺序。
Characterisations and Examples of Graph Classes with Bounded Expansion
类与有界的扩展，其中概括类，排除了一个拓扑子，最近介绍了Nešetziil和Ossona德门德斯。这些类的定义的事实，即最大的平均程度的一个浅子的类中的图是有界的深度的函数的浅子。有界扩展类（如子图同构测试）的几个线性时间算法是已知的，它们允许限制同态对偶，以及其他理想的属性。在本文中，我们建立了两个新的有界扩张类的特征，一个是所谓的拓扑参数，另一个是控制稠密部分。后一个特征然后被用来表明，有界扩张的概念是兼容的Erdös-Rényi模型的随机图与常数平均度。特别地，我们证明了对于每一个固定的$d>0$，存在一个有界扩展的类，使得一个阶为$n$且边概率为$d/n$的随机图几乎必然渐近地属于这个类.然后，我们提出了几个新的例子，类有界扩展，不排除一些拓扑未成年人，并自然出现在图形绘制或图形着色的背景下。特别是，我们证明了以下类别有界的扩展：图，可以画在平面上的每边有界的交叉数，图有界的堆栈数，图有界的队列数，和图有界的非重复色数。我们还证明了图的“线性”交叉数包含在一个拓扑封闭类，而图的有界交叉数包含在一个小封闭类。
Minors in expanding graphs
推广了以前的一些结果，我们得到了几乎紧估计的最大尺寸的cn-minor在各种类别的扩展图。这些结果可以用来证明不含短圈的图和其它H-自由图中含有大的子图，解决了这一领域的一些悬而未决的问题。
On the existence of asymptotically good linear codes in minor-closed classes
设$\mathcal{C} = (C_1, C_2, \ldots)$是一个码序列，使得每个$C_i$是某个固定有限域$\mathbb{F}$上的线性$[n_i,k_i,d_i]$码，其中$n_i$是码字的长度，$k_i$是维数，$d_i$是最小距离。如果对于某些$\varepsilon > 0$和所有$i$、$n_i \geq i$、$k_i/n_i \geq \varepsilon$和$d_i/n_i \geq \varepsilon$，我们说$\mathcal{C}$是渐近好的。渐近好码序列是存在的。证明了若$\mathcal{C}$是一类GF $(p^n)$ -线性码（其中$p$是素数，$n \geq 1$是素数），在删截和缩短下是闭的，且若$\mathcal{C}$包含渐近好序列，则$\mathcal{C}$必包含所有GF $(p)$ -线性码.我们的证明依赖于一个强大的新的结果拟阵结构理论。
Growth rate functions of dense classes of representable matroids
对于包含所有简单$\GF(q)$-可表示拟阵的$\GF(q^2)$ -可表示拟阵的每个真小闭子类$\cM$，我们对所有大的$r$给出了$\cM$中秩$r$拟阵点数的一个紧上界，并构造了$\cM$中秩$r$拟阵使其等式成立.因此，我们给出了一个紧上界的点的数目在$\GF(q^2)$ -可表示的，秩- $r$拟阵没有$\PG(k,q^2)$ -小。
Minor-closed graph classes with bounded layered pathwidth
证明了一个次闭图类具有有界分层路宽当且仅当某个顶点森林不在该类中。这推广了Robertson和Seymour的一个定理，即一个小闭图类具有有界路宽当且仅当某个森林不在该类中。
Chromatic roots and minor-closed families of graphs
给定一个次闭图类$\mathcal{G}$，$G \in \mathcal{G}$的色多项式的非平凡根的下确界是什么？当$\mathcal{G}$是所有图的类时，已知答案是$32/27$。我们回答这个问题，正是为三个小封闭类的图。此外，我们推测，当值大于$32/27$。
On two classes of nearly binary matroids
本文给出了拟阵类M的一个排子式刻画，其中M \e或M/e对E（M）中的所有e都是二元的.这个类与拟阵类密切相关，其中每个成员都是二进制的，或者可以通过放松回路超平面从二进制拟阵获得。我们还提供了一个排除次要的第二类的特征。
Supporting document to the paper "Logical limit laws for minor-closed classes of graphs"
我们在Heinig，Muller，Noy和Taraz的论文“Logical limit laws for minor-closed classes of graphs”中为引理4.9提供了一个可手工检验的证明。
Subcritical graph classes containing all planar graphs
我们构造了次临界且包含所有可平面图的次闭可加图族。这与努伊的一个著名猜想（的一个方向）相矛盾。
A new minor-closed class of transversal matroids
本文刻画了横截拟阵单元素收缩仍为横截拟阵的条件，据此定义了新的次要闭横截拟阵类——路径-循环拟阵，其推广了双循环拟阵和多路径拟阵。
Homomorphism counting for immersion-closed classes is not isomorphism
本文证明了对于任何proper immersion闭的图类M，存在非同构的图G和H，其同构计数在M上无法区分。
Rank-width and Tree-width of H-minor-free Graphs
本文证明了对任意固定的r>=2，不含K_r拓扑子式的图的树宽（分别为K_r = 0，K_r = 0）。作为子图）由线性（分别地，多项式）的函数。我们也给出了其他图类，如K_r-子自由图和有界亏格图的界的改进。
Reconfiguring dominating sets in minor-closed graph classes
对于图$G$，$G$中的两个控制集$D$和$D'$，以及一个非负整数$k$，如果存在$G$中的控制集序列$D_0,\ldots,D_\ell$，使得对于每个$i\in \{ 0,1,\ldots,\ell\}$都有$D=D_0$，$D'=D_\ell$，$|D_i|\leq k$，并且$D_i$是通过对每个$i\in \{ 1,\ldots,\ell\}$增加或删除一个顶点而从$D_{i-1}$产生的，则称集合$D$为$k$ -transform to $D'$.证明了存在正常数$c$，存在任意大阶$n$的环面图$G$，以及$G$中的两个最小控制集$D$和$D'$，使得$D$ $k$ -变换为$D'$的条件是$k\geq \max\{ |D|,|D'|\}+c\sqrt{n}$ .相反，对于每一个遗传类${\cal G}$，有平衡的隔离符的顺序$n\mapsto n^α$的一些$α<1$，我们证明，有一些正常数$C$，使，如果$G$是一个图在${\cal G}$的顺序$n$，和$D$和$D'$是两个控制集在$G$，然后$D$ $k$ -转换到$D'$的$k=\max\{ |D|,|D'|\}+\lfloor Cn^α\rfloor$。
Sparse String Graphs and Region Intersection Graphs over Minor-Closed Classes have Linear Expansion
研究证明了有限表面中稀疏字符串图具有线性扩张，扩展至任意proper minor-closed类的稀疏区域交图，并应用于图着色。
Rooted complete minors in line graphs with a Kempe coloring
如果有限图的顶点着色使得任意两个色类的并集导出连通图，则对于每个顶点集$T$，存在一个完全子图使得$T$包含每个分支集的一个成员.在这里，我们证明的声明线图。
The matroid secretary problem for minor-closed classes and random matroids
证明了对素域上可表示的拟阵的每一个真次闭类$M$，存在$M$中拟阵的常竞争拟阵秘书算法.这一结果依赖于Geelen、Gerards和Whittle发展的非常强大的拟阵次结构理论。我们还注意到，几乎所有的拟阵，拟阵秘书算法，选择一个随机基，忽略权重，是$(2+o(1))$ -竞争。事实上，假设几乎所有拟阵都是铺路的猜想，那么几乎所有拟阵都存在一个$(1+o(1))$ -竞争算法。
On the Exponent of Several Classes of Oscillatory Matrices
振荡矩阵是在Reinmacher和Krein的开创性工作中引入的。一个$n\times n$矩阵$A$称为振荡矩阵，如果它的所有子矩阵都是非负的，并且存在一个正整数$k$使得$A^k$的所有子矩阵都是正的.最小的$k$，这是成立的称为指数的振荡矩阵$A$。Reynmacher和Krein证明了指数总是小于或等于$n-1$。一个重要而重要的问题是确定指数的精确值。在这里，我们使用连续的基本双对角分解的振荡矩阵，其图论表示，推导出一个明确的表达式的指数的几个类的振荡矩阵，和一个非平凡的上界的指数为其他几个类。
Normality of cut polytopes of graphs is a minor closed property
Sturmfels-Sullivant证明了图的割多面体是正规的当且仅当图没有K_5子图。本文证明了图的割多面体的正规性是一个次闭性质。利用这个结果，我们得到了大量的正规割多面体。此外，事实证明，为了研究该猜想，考虑4-连通平面三角剖分就足够了。
Adjacency labelling for proper minor-closed graph classes
研究证明proper minor-closed图类存在高效的邻接标记方案，其大小为(1+o(1))log₂n位，并展示了相应图的同构性质。
Model Checking for Low Monodimensionality Fragments of CMSO on Topological-Minor-Free Graph Classes
本文提出了一种基于低单维性的CMSO碎片，证明其在拓扑极小图类上具有固定参数可解性，扩展了逻辑元定理到拓扑极小图类。
Additive non-approximability of chromatic number in proper minor-closed classes
罗宾·托马斯（Robin Thomas）问，是否对每一个适当的小闭类C，都存在一个多项式时间算法，该算法将图的色数从C逼近到一个与类C无关的常数加性误差。我们证明了这是不可能的：除非P=NP，对于任意整数k>=1，没有多项式时间算法可以用至多chi（G）+k-1种颜色给无K_{4k+1} -minor图G着色.更一般地，对于每个k>=1和1<=β<=4 - 3，不存在多项式时间算法来使用少于β χ（G）+（4- 3 β）k种颜色对无K_{4k+1} -minor图G着色。据我们所知，这是第一个关于真次闭类中色数的非平凡不可逼近性结果。我们还给出了一些较弱的非逼近界的K_{4k+1} -minor-free图，没有大小为4的团。在积极的一面，我们提出了一个加性近似算法，其误差取决于禁止子图的顶点数，并在附加假设图没有4-圈的情况下，提出了一个加性误差为6的算法.
Universality in minor-closed graph classes
研究极小闭图类中普适图的存在性，通过构造具有线性着色数、线性扩张和平衡分离器的可数图，证明了包含所有可数平面图的图必须包含无限完全图作为子式，并给出了最优性结果。
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