Minors in expanding graphs
Michael Krivelevich, Benny Sudakov
推广了以前的一些结果，我们得到了几乎紧估计的最大尺寸的cn-minor在各种类别的扩展图。这些结果可以用来证明不含短圈的图和其它H-自由图中含有大的子图，解决了这一领域的一些悬而未决的问题。
Extending several previous results we obtained nearly tight estimates on the maximum size of a clique-minor in various classes of expanding graphs. These results can be used to show that graphs without short cycles and other H-free graphs contain large clique-minors, resolving some open questions in this area.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Large complete minors in expanding graphs
2009年，Krivelevich和Sudakov研究了当扩张因子$t$成为超常数时，$(t,α)$ -扩张图中存在大完全子式的问题。在本文中，我们给出了Krivelevich和Sudakov的结果的一个扩展，通过调查之间的联系，在图中的大完全子式的存在性和良好的顶点扩张性质。
The Minor Crossing Number of Graphs with an Excluded Minor
图$G$的“次交叉数”是包含$G$作为次交叉的图的最小交叉数。证明了对每个图$H$，都存在一个常数$c$，使得不含$H$ -子图的图$G$最多有$c|V(G)|$的子交叉数.
Framed $4$-valent Graph Minor Theory II: Special Minors and New Examples
本文对框架$4$ -图子式理论进行了研究，它是在“框架$4$ -价图子式理论I”中提出的.介绍。证明了任意框架4-图的平面性定理，并证明了在射影平面中可嵌入性的类似结果。
Excluded checkerboard colourable ribbon graph minors
本文首先引入了由欧拉带图子式所激发的带图的棋盘列子式的概念，以及带图的两类二部子式，一类是棋盘列子式的对偶，另一类是由抽象图的二部子式所激发.然后给出了棋盘列带图、二部带图、平面棋盘列带图和平面二部带图类的一个排除子刻画。
Complete Graph Minors and the Graph Minor Structure Theorem
Robertson和Seymour的图的子结构定理表明，每个排除固定子的图都可以由四个成分的组合构成：嵌入有界亏格的曲面中的图，有界宽度的有界数量的涡，有界数量的顶点，以及cn-sum运算。本文研究了一个逆问题：在用这四个成分构成的图中，一个完全图子图的最大阶是多少？我们的主要结果回答了这个问题的一个常数因子。
On graph classes with minor-universal elements
一个图$U$对于一个图类$\mathcal{C}\ni U$是通用的，如果每个$G\in \mathcal{C}$都是$U$的子图。我们证明了存在或不存在的通用图在几个自然的图形类，包括图形组件明智的嵌入到一个表面，图形禁止$K_5$，或$K_{3,3}$，或$K_\infty$作为一个未成年人。我们证明了存在不可数的许多小封闭类的可数图，（做和）没有一个普遍的元素。我们的一些结果和问题可能会感兴趣的有限图论家。特别是，我们的一个副结果是每个$K_5$ -无小调图都是最大度为22的$K_5$ -无小调图的小调。
Universal planar graphs for the topological minor relation
Huynh等人最近证明了一个包含每个可列可平面图作为子图的可列图$G$必须包含任意大的有限完全图作为拓扑子图，和一个无限完全图作为子图。我们加强了这一结果表明，同样的结论成立，如果$G$包含每个可数可平面图作为拓扑子。特别地，不存在包含每个可数可平面图作为拓扑子式的可数可平面图，这回答了Diestel和Kühn的一个问题。此外，我们构造了一个局部有限可平面图，它包含每个局部有限可平面图作为拓扑子图。这表明，在上述结果中，要求$G$包含每个局部有限可平面图作为拓扑子式是不够的。
Maxima of the $Q$-index: Graphs with no $K_{1,t}$-minor
如果一个图不包含作为子图的$H$，则称该图为\textit{$H$-minor free}。本文刻画了所有$n$ -顶点$K_{1,t}$ -子自由图（$t\ge3$）中唯一具有最大$Q$ -指数的极图.
On graphs containing few disjoint excluded minors. Asymptotic number and structure of graphs containing few disjoint minors K4
设${\rm ex \,} {\mathcal B}$是一个极小闭图类，它有一个极小排除极小子图集${\mathcal B}$.本文研究了${\mathcal B}$中不含$k+1$不交子图的渐近数和由所有这类图在顶点$\{1,\dots,n\}$上画出的一致随机图的性质。我们提出了新的结果的情况下，当${\rm ex \,} {\mathcal B}$包含任意大的球迷一般（足够好）的一组禁止未成年人${\mathcal B}$。我们的结果成立的一个特殊情况是${\mathcal B} = \{K_4\}$。对于任何固定的$k = 1, 2, \dots$，我们推导出精确的渐近计数公式，并描述了典型的图的结构，最多有$k$不相交的未成年人$K_4$。对于$k = 0$，这是著名的串-并联图类。对于$k \ge 1$，我们表明典型实例具有复杂的树状结构，其中$2k+1$具有非常高程度的特殊顶点。证明结合了各种方法，包括新的结构结果，罗伯逊和西摩的图子理论和分析组合。
Coloring graphs without fan vertex-minors and graphs without cycle pivot-minors
一个扇形图$F_k$是由$k$顶点上的一条诱导路和一个与该路所有顶点相邻的附加顶点组成的图.我们证明了对所有正整数$q$和$k$，每一个具有足够大色数的图都包含一个大小为$q$的团或一个同构于$F_k$的顶点子式.我们还证明了对所有正整数$q$和$k\ge 3$，每个具有足够大色数的图要么包含一个大小为$q$的团，要么包含一个同构于一个长度为$k$的圈的子图.
Eulerian-minors and a concise recursive characterization of 4-regular planar graphs
本文利用欧拉子式关系刻画欧拉图、平面欧拉图和外平面欧拉图，并给出4-正则平面图的简洁递归刻画。
Erdős-Pósa property for labelled minors: 2-connected minors
在20世纪60年代，Erdens和Pósa证明了图中的圈存在packing-covering对偶。作为图小项目的一部分，Robertson和Seymour极大地扩展了这一点：当且仅当$H$是可平面图时，图中的$H$ -展开存在这样的对偶性（这包括之前关于$H=K_3$的结果）。我们考虑了点标号图和子图，并给出了$2$连通标号图$H$的一个刻画.
Ribbon graph minors and low-genus partial duals
我们给出了一个排除次要的带状图类的特征，承认部分欧拉亏格在最多一个。
Coloration of $K_7^-$-minor free graphs
Hadwiger猜想指出，每个$K_t$ -子自由图都是$(t - 1)$ -可着色的.这个问题已被证明为$t \leq 6$，但仍然开放的$t \geq 7$。$K_7$ -minor free图已被证明是$8$ -可着色的（Albar & Gonçalves，2013）。证明了无$K_7^-$ -子图是$7$ -可着色的，其中$K_7^-$是由$K_7$去掉一条边得到的图.
A short proof of the existence of a minor-universal countable planar graph
本文提出了一种新的、更简短的次泛通用平面图构造方法，证明了其存在性。
Minor exclusion in quasi-transitive graphs
本文证明了局部有限拟传递图是树的拟等距图当且仅当与它们拟等距的所有其它局部有限拟传递图都是小图。这推广了Ostrovskii和Rosenthal以及Khukhro关于群的未成年人排斥的结果。
Long cycles in locally expanding graphs, with applications
本文给出了局部扩张图存在长圈的充分条件，并给出了这些条件和技巧在拉姆齐理论、随机图和位置对策中的应用.
New minor minimal non-apex graphs
本文研究极点图的极小禁止子图，列举了顶点数≤12和边数≤26的极小禁止子图，并证明了阶数为13的图要么是极点图要么包含K_6子图，验证了Jørgensen猜想。
Graphs with no $K_9^=$ minor are 10-colorable
Hadwiger猜想认为任何没有$K_t$子图的图都是$(t - 1)$ -可着色的。这一点已在$t \le 6$中得到证明，但在$t \ge 7$中仍是开放的。作为这个猜想的一个变体，没有$K_t^=$子图的图已经被考虑，其中$K_t^=$表示去掉两条边的完全图。已经证明，没有$K_t^=$子图的图对于$t \in \{7, 8\}$是$(2t - 8)$可着色的。在本文中，我们将这个结果推广到$t = 9$的情况，并证明了没有$K_9^=$子图的图是$10$ -可着色的。
Properties of $8$-contraction-critical graphs with no $K_7$ minor
受著名的Hadwiger猜想的启发，我们研究了不含$K_7$子图的$8$ -收缩-临界图的性质;证明了不含$K_7$子图的$8$ -压缩临界图至多有一个度为$8$的顶点，其中，如果$G$不是$7$ -color，则图$G$是$8$ -收缩关键的但$G$的每个真子式都是$7$ -可着色的。这是我们努力证明每个没有$K_7$子图的图都是$7$ -可着色的一步，这仍然是开放的。
Hamiltonicity of planar graphs with a forbidden minor
Tutte证明了$4$ -连通可平面图是Hamilton图，但众所周知$3$ -连通可平面图不一定是Hamilton图.证明了无$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通可平面图是Hamilton图.这并不延伸到$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通图in general，如Petersen图所示，也不延伸到$K_{2,6}$ -minor-free $3$ -connected可平面图，如我们通过无限族的例子所示。
Graphs without large $K_{2,n}$-minors
本文的目的是刻画图，没有一个大的$K_{2,n}$ -子。作为推论，证明了对任意给定的正整数$n$，每个最小度至少为6的充分大3-连通图、每个顶点度足够高的4-连通图和每个充分大5-连通图必有一个$K_{2,n}$ -子图.
A note on minor antichains of uncountable graphs
Komjáth的结果，对每一个不可数基数$κ$，有$2^κ$图的大小$κ$没有一个是另一个的一个小的。
Cliques in Graphs Excluding a Complete Graph Minor
本文考虑了以下问题：在没有$K_t$ -子式的$n$ -顶点图中，$k$ -团的最大数目是多少？这个问题推广了$K_t$ -子式的极值函数，它对应于$k=2$的情况。给出了$t\leq 9$和$k$的所有值的精确答案。我们还确定了一个$n$ -顶点图中没有$K_t$ -子图的最大团总数为$t\leq 9$。对一般$t$的情况作了几点观察。
Forbidden Minors For 3-Connected Graphs With No Non-Splitting 5-Configurations
对于一组五条边，如果相关的道奇森多项式之一等于零，则图分裂。图G的每五条边都可分裂是一个小闭性质。因此，有一个有限集的禁止子F，使得如果一个图H不包含一个子同构于任何图F，那么H分裂。在本文中，我们证明了，如果一个图G是简单的，3-连通的，并分裂，那么G必须不包含任何子同构K5，K3，3，八面体，立方体，或图是一个单一的delta-Y变换远离立方体。因此，这是所有简单3连通禁止子式的集合。2-连通或非简单禁止子式的完整集合仍然没有解决，尽管已经发现了一些。
An excluded minor theorem for the Wagner graph plus an edge
令$V_{8}+e$表示从Wagner图（也称为$V_{8}$）通过在Hamilton圈上的距离为3的两个顶点之间添加一条边而获得的唯一图，该Hamilton圈恰好是Petersen图的子图的分裂。在[J. Maharry和N. Robertson，不拓扑包含Wagner图的图的结构，J. Combin。理论系列B 121（2016）398-420]。本文刻画了所有不含$V_{8}+e$子图的内部4连通图.
On triangles in K_r-minor free graphs
本文研究了与小度顶点（分别为7和9）相邻的每条边属于多个三角形（分别为4和5）的图，并证明了这些图包含一个完全图（分别为K_6和K_7）作为子图。第二个案例解决了Nevo问题（Nevo，2007）。如果图的每条边都属于6个三角形，则该图含有一个K_8-子图或含有K_{2,2,2,2,2}作为诱导子图.然后，我们展示了这些结构性质的应用程序，以应力自由度和着色的图形。特别地，在Hadwiger猜想的启发下，我们证明了每个K_7-子自由图是8-可着色的，每个K_8-子自由图是10-可着色的。
A new upper bound on the chromatic number of graphs with no odd $K_t$ minor
Gerards和Seymour证明了没有奇数$K_t$子图的图是$(t-1)$ -可着色的.这是对著名的哈德维格猜想的加强。Geelen等人证明了没有奇数$K_t$子式的图是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的.使用的方法，本作者和Postle最近开发的着色图没有$K_t$子，我们作出了第一次改进，这个界显示，每个图没有奇数$K_t$子是$O(t(\log t)^β)$ -着色的每一个$β> 1/4$。
Forcing large complete minors in infinite graphs
众所周知，在有限图中，可以通过假设大的平均度来强制大的完全子式/拓扑子式。我们的目标是将这一事实扩展到无限图。对于这一点，我们概括的概念，相对结束度，这是以前介绍的第一作者为局部有限图，并表明，大的最小相对度的两端和大的最小程度的顶点意味着存在大的完整（拓扑）未成年人在无限的图可数多个结束。
Interval minors of complete multipartite graphs
二部图的区间子图是由Jacob Fox在Stanley-Wilf极限的研究中引入的。最近，Mohar，Rafiey，Tayfeh-Rezaie和Wu研究了当$k=2$和$k=3$满足时，$K_{k,\ell}$ -区间次自由二部图的最大边数.本文研究了一般$k$和$\ell$的$K_{k,\ell}$ -区间次自由二部图的最大边数.我们还研究了$K_{\ell_1,\ell_2,\cdots,\ell_t}$ -区间次自由多部图的最大边数。
On the structure of graphs excluding $K_{4}$, $W_{4}$, $K_{2,4}$ and one other graph as a rooted minor
本文给出了不含根$K_{4}$、$W_{4}$、$K_{2,4}$的图和一个称为$L$的图的结构特征.
Minors of Hermitian (quasi-) Laplacian matrix of a mixed graph
通过对无向图的一个边子集进行定向，得到一个混合图。Yu，Liu和Qu在2017年建立了混合图的Hermitian（准）Laplacian矩阵的行列式表达式。在这里，我们找到了混合图的埃尔米特（准）拉普拉斯矩阵的所有子式的一般表达式。
Minor-Obstructions for Apex Sub-unicyclic Graphs
一个图是次单圈的，如果它至多包含一个圈。我们还称一个图$G$是$k$ -顶点次单圈的，如果它可以通过去掉$k$的顶点而成为次单圈的.我们确定了29个图是$1$ -顶点子单圈图类的小障碍，即，所有不属于这个类的次极小图的集合。当$k$的值较大时，我们给出了所有属于$k$ -顶点子单圈图的小障碍的仙人掌图的结构刻画，并列举了它们.这意味着，对于每个$k$，$k$ -顶点子单圈图类至少有$0.34\cdot k^{-2.5}(6.278)^{k}$小障碍。
On the growth rate of minor-closed classes of graphs
一个子闭图类是一组在同构和取子下闭的标号图。对于一个次闭类$C$，我们设$c_n$为$C$中有$n$顶点的图的个数. Norine等人最近的一个结果表明，对于所有的小闭类$C$，存在一个常数$r$，使得$c_n < r^n n!$。我们的主要结果表明，$c_n$的增长率是远远不是任意的。例如，没有小闭类$C$具有$c_n= r^{n+o(n)} n!$和$0 < r < 1$或$1 < r < ξ\approx 1.76$。
Chromatic roots and minor-closed families of graphs
给定一个次闭图类$\mathcal{G}$，$G \in \mathcal{G}$的色多项式的非平凡根的下确界是什么？当$\mathcal{G}$是所有图的类时，已知答案是$32/27$。我们回答这个问题，正是为三个小封闭类的图。此外，我们推测，当值大于$32/27$。
Every longest circuit of a 3-connected, $K_{3,3}$-minor free graph has a chord
Carsten Schlassen证明了3-连通图中的每一个最长圈都有弦.我们证明了猜想的图没有$K_{3,3}$子，从而为可平面图。
Equitable Colorings of $K\_4$-minor-free Graphs
证明了对任意正整数$Δ$，任意最大度$Δ$的无K4-minor图都允许k个颜色的均匀染色，其中k $\ge$（$Δ$ +3）/2.这个界是紧的，证实了张和胡的一个猜想。我们不使用放电的方法，而是利用分解树的K 4-minor-free图。
Rank-width and Tree-width of H-minor-free Graphs
本文证明了对任意固定的r>=2，不含K_r拓扑子式的图的树宽（分别为K_r = 0，K_r = 0）。作为子图）由线性（分别地，多项式）的函数。我们也给出了其他图类，如K_r-子自由图和有界亏格图的界的改进。
Homological face-width condition forcing $K_6$-minors in graphs on surfaces
证明了嵌入在非分离面宽至少为$7$的（非球面）曲面上的每个图都包含一个同构于$K_6$的子图。对于射影平面上的图，面宽为4也得到同样的结论。
On the number of graphs not containing $K_{3,3}$ as a minor
我们得到精确的渐近估计的标记图的数量不包含$K_{3,3}$作为一个未成年人，也为那些边最大。此外，我们建立了随机$K_{3,3}$ -未成年人自由图的参数的极限定律，如预期的边缘数。为了建立这些结果，我们将相应的图类分解成生成函数的方程，并使用奇异性分析。我们还发现了一个精确的估计不包含图$K_{3,3}$加上一个边作为一个未成年人的图形的数量。
Extremal results regarding $K_6$-minors in graphs of girth at least 5
证明了围长为$\geq 6$的6-连通图都有$K_6$ -子式，从而解决了围长为$ \geq 6$的图的Jorgensen猜想.放松围长的假设，证明了每一个长为$\geq 3 1/5 n-8$和围长为$\geq 5$的6-连通$n$ -顶点图都包含一个$K_6$ -子图.
Universal graphs with forbidden wheel minors
本文证明对任意禁止轮图子式的可数图类，存在一个泛图包含该类中所有图作为诱导子图。
Dense minors of graphs with independence number two
受Hadwiger猜想的启发，我们证明了每个不含3个独立集的$n$ -顶点图$G$都含有一个带$$0.98688 \cdot \binom{|V(H)|}{2} - o(n^2)$$边的$\lceil n/2\rceil$ -顶点简单子图$H$.
Universal graphs for the topological minor relation
本文证明可数平面图类中不存在拓扑子式万有图，回答了Diestel和Kühn的问题并加强了Pach的结果，同时刻画了细分星图T使得可数T-自由图类具有拓扑子式万有图的条件。
Extremal $K_4$-minor-free graphs without short cycles
当$g = 5$或$g$为偶数时，我们确定了围长为$g$的无$K_4$ -minor-free $n$ -顶点图的最大边数.证明了如果$n$是偶数，$g$是奇数，则存在许多不同的$n$ -顶点极图.
Spectral extrema of $K_{s,t}$-minor free graphs--On a conjecture of M. Tait
子图在极值图论和谱极值图论中起着重要的作用。泰特[科林·德·维迪埃参数，排除未成年人，和光谱半径，J。Theory Ser. A 166（2019）42--58]确定了充分大阶$n$的$K_r$ -minor free图的最大谱半径并刻画了唯一极值图，他还在$K_{s,t}$ -minor free图方面取得了重大进展并提出了一个猜想：设$2\leq s\leq t$和$n-s+1=pt+q$，其中$n$足够大并且$1\leq q\leq t.$然后$K_{s-1}\nabla (pK_t\cup K_q)$是在所有$n$上具有最大谱半径的唯一极值图-顶点$K_{s,t}$ -小自由图本文完全解决了Tait猜想。我们还确定了$n$ -顶点$K_{1,t}$ -子图的最大谱半径及其极图.为了证明我们的结果，一些谱和结构的工具，如局部边极大值，局部度序列优化，双特征向量变换，推导出极图的结构性质。
Forcing finite minors in sparse infinite graphs by large-degree assumptions
进一步发展斯坦最近的概念，在无限图的相对端度，我们调查的程度假设可以迫使一个局部有限图包含一个给定的有限未成年人，或一个有限的子图给定的最低程度。这是一个更广泛的项目的一部分，该项目旨在发展稀疏无限图的极值理论。
Independent Sets in Graphs with an Excluded Clique Minor
设$G$是一个有$n$个顶点的图，有独立数$α$，且对于某个$t\geq5$没有$K_{t+1}$ -子图.证明了$(2α-1)(2t-5)\geq2n-5$ .
Bipartite Minors
我们引入了一个概念的二部未成年人和证明了一个二部类似的瓦格纳定理：一个二部图是平面的当且仅当它不包含$K_{3,3}$作为一个二部未成年人。同样，我们提供了一个禁止的外平面图和森林的小特征。然后，我们建立了二部$(2,2)$ -Laman图--一类包含所有极大二部可平面图的图族的递归刻画。
Rooted Graph Minors and Reducibility of Graph Polynomials
在2009年，布朗给出了一组条件，当满足这些条件时，意味着费曼积分的值为多个zeta值。其中一个条件称为归约，它粗略地说费曼积分有一个积分阶，布朗的技术将成功。约化可以从费曼积分中抽象出来，仅仅是两个多项式的条件，第一个和第二个西曼齐克多项式。这些多项式可以从图中定义，因此约简是图的一个性质。我们证明，对于一个固定数量的外部动量和没有群众，reductionary是图未成年人关闭，纠正以前声称的证明这一事实。Bogner和Lüders进行了一项约简的计算研究，他们发现对于具有$4$ -壳动量且没有质量的图，每个顶点上都有动量的$K_{4}$是一个禁止子图。我们添加到这一点，并发现，当我们限制到图与四个壳外动量以下图是禁止的未成年人：$K_{4}$与动量的每个顶点，$W_{4}$与外部动量的边缘顶点，$K_{2,4}$与外部动量的大边的bipartite，和另一个图。我们并不期望这些未成年人的特点reducibility，所以我们给不包含这些未成年人的子集的图的结构特征。我们的特征图不包含一个根$K_{4}$或根$W_{4}$未成年人，图不包含根$K_{4}$或根$W_{4}$或根$K_{2,4}$未成年人，也不包含所有已知的禁止未成年人的图形的特征。对不含$K_{3,4}$、$K_{6}$或与Wagner图有关的图作为子图的图作了一些评论。
Every graph with no $\mathcal{K}_9^{-6}$ minor is $8$-colorable
对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对于每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。受著名的Hadwiger猜想的启发，Jakobsen在1971年证明了所有不含$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图都是$6$ -可着色的;最近，作者证明了所有不含$\mathcal{K}_8^{-4}$子图的图都是$7$ -可着色的。在本文中，我们继续我们的工作，并证明了任何没有$\mathcal{K}_9^{-6}$子图的图是$8$ -可着色的。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对所有九点图$H$成立，使得$H$是$ \mathcal{K}_9^{-6}$中每个图的子图。
Complete and almost complete minors in double-critical 8-chromatic graphs
一个连通的$k$ -色图$G$称为{ \it双临界}，如果对于$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.一个长期存在的猜想Erdés和Lovász指出，完全图是唯一的双临界图。Kawarabayashi，Pedersen和Toft [ \it{Electron. J. Combin.}，17（1）：Research Paper 87，2010]证明了每个具有$k \leq 7$的双临界$k$ -色图包含一个$K_k$子图.它仍然是未知的，是否一个任意的双临界$8$ -chromatic图包含一个$K_8$子，但在本文中，我们证明了任何双临界$8$ -chromatic包含一个$K_8^-$子;这里$K_8^-$表示完全$8$ -图与一个边缘失踪。此外，我们还观察到任何最小度不同于$10$和$11$的双临界$8$ -色图都包含一个子图$K_8$.
Even-cycle decompositions of graphs with no odd-$K_4$-minor
图G的偶圈分解是将E（G）划分为偶数长度的圈。显然，每一个欧拉二部图都有偶圈分解。Seymour（1981）证明了每一个具有偶数条边的2-连通无环欧拉可平面图也允许偶圈分解。后来，Zhang（1994）将其推广到没有$K_5$ -子式的图。我们的主要定理给出了图的偶圈分解存在的充分条件。也就是说，我们证明了每一个2-连通无环欧拉奇- $K_4$ -minor-free图的边数为偶数，有一个偶圈分解。这是最可能的，因为“odd- $K_4$ -minor-free”不能用“odd- $K_5$ -minor-free”代替。主要的技术成分是一类奇- $K_4$ -minor-free图的结构特征，这是由于Lovász，Seymour，Schrijver和Truemper。
Markov bases of binary graph models of K_4-minor free graphs
图的马尔可夫宽度是图的不变量，定义为二进制列联表的相应图模型的马尔可夫基元素的最大度。我们证明了一个图的马尔可夫宽度最多为4当且仅当它不包含$K_4$作为一个未成年人，回答了一个问题的Reynoldin和Sullivant。给出了$Ω(n^{2-\varepsilon})$阶数关于$K_n$的马尔可夫宽度的下界.
Cliques in Odd-Minor-Free Graphs
本文讨论：（1）图中某类团的个数的界;（2）列出图中所有团的算法。我们提出了一个简单的算法，列出所有团在$n$ -顶点图在O（n）时间每个团。对于O（1）-退化图，如不包括一个固定的子图，我们描述了一个O（n）时间算法列出所有团。证明了不含固定奇子图的图有$O(n^2)$团（这是紧的），并给出了列出所有团的$O(n^3)$时间算法.
Nowhere-zero 4-flows in graphs excluding a proper minor of the Petersen graph
研究最小度至少为三且围长至少为五的几乎 4 - 连通非平面图含\(P/e\)子图情况，利用此结构结果证明有限无桥不含\((P/e)\)子图的多重图有无处零 4 - 流，扩展并补充相关定理，结合多种定理证明，部分由计算机辅助。
A characterization of $K_{2,4}$-minor-free graphs
给出了$K_{2,4}$ -minor-free图的一个完整的结构刻画。$3$ -连通$K_{2,4}$ -无子图由9个最多8个顶点上的小图组成，以及一族包含$K_4$的平面图，对于每个$n \ge 5$，还包含$n$阶的$2n-8$非同构图.为了描述$2$ -连通$K_{2,4}$ -无minor图，我们使用$xy$ -外平面图，即具有Hamilton $xy$ -路的可嵌入平面的图，使得所有其它边都位于这条路的一侧。$xy$ -外平面图是没有根$K_{2,2}$的图。其中，$x$和$y$对应于$K_{2,2}$的二分区的一侧上的两个顶点。每个$2$ -连通$K_{2,4}$ -无子图则是（i）外平面图，（ii）三个$xy$ -外平面图和可能的边$xy$的并集，或（iii）通过用$x_i y_i$ -外平面图替换满足一定条件的集合$\{x_1 y_1, x_2 y_2, \ldots, x_k y_k\}$中的每个边$x_iy_i$从$3$ -连通$K_{2,4}$ -无子图获得.
Connectivity and choosability of graphs with no $K_t$ minor
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。虽然Hadwiger的猜想不适用于列表着色，但线性弱化被证明是正确的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -列表可着色的。最近，作者和Song证明了不含$K_t$子图的图对每个$β> \frac 1 4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的.在这里，我们建立在该结果的基础上，以表明每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> \frac 1 4$都是$O(t(\log t)^β)$ -列表可着色的。我们主要的新工具是一个上界的顶点数在高度连接的$K_t$ -minor-free图：我们证明了，对于每一个$β> \frac 1 4$，每一个$Ω(t(\log t)^β)$ -连通图没有$K_t$子有$O(t (\log t)^{7/4})$顶点。
Unavoidable Parallel Minors of 4-Connected Graphs
平行子图是由图的任意序列的边收缩和平行边删除得到的。本文证明了对任意正整数k，每一个足够高阶的内部4-连通图都含有一个平行子图，它同构于在k度顶点上具有完全图的K_{4,k}的一个变分，在k度顶点上具有完全图的k-划分三重扇，k-辐双轮，k-辐带轴双轮，（2k+1）-梯级Mobius之字形梯，（2k）级锯齿形阶梯，或K_k。我们还发现了1-，2-和3-连通图的不可避免的平行子图。
Minor-minimal planar graphs of even branch-width
设k>0为整数，H为射影平面上的次极小图，使得每一条同伦非平凡闭曲线至少与H相交k次，G为H的平面双覆盖，将G提升到射影平面的万有覆叠空间，即球面.证明了G是分支宽度为2k的次极小图。我们还展示了分支宽度为6的次极小可平面图的例子，这些图不是这样产生的。
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