Unavoidable induced subgraphs in graphs with complete bipartite induced minors
本文证明了包含特定完全二部图作为导出子式的图必然包含环或theta作为导出子图，并指出排除网格与完全二部图导出子式不足以保证树独立数或有界树宽。
2025-07-22 cs.DM math.CO
Treewidth, Circle Graphs and Circular Drawings
圆图是圆的一组弦的交图。描述了树宽较大的圈图的不可避免诱导子图。这包括与“通常嫌疑人”相去甚远的例子。我们的结果表明树宽和Hadwiger数与圈图类线性相关，并且当且仅当一个顶点子闭类的秩宽有界时，具有大树宽的顶点子闭类的不可避免诱导子图是通常的怀疑对象.使用同样的工具，我们还研究了图$G$的树宽，它有一个圆形图，其交叉图在某种程度上是良好的。在这种情况下，我们表明，如果交叉图是$K_t$ -小自由，那么$G$树宽最多$12t-23$和没有$K_{2,4t}$ -拓扑子。另一方面，我们证明了有任意大的Hadwiger数的图具有圆形图，其交叉图是$2$ -退化的。
2022-12-22 math.CO
Unavoidable minors for graphs with large $\ell_p$-dimension
度量图是一对$(G,d)$，其中$G$是一个图，而$d:E(G) \to\mathbb{R}_{\geq0}$是一个距离函数。设$p \in [1,\infty]$为固定值。度量图$(G,d)$在$\ell_p^k = (\mathbb{R}^k, d_p)$中的等距嵌入是映射$ϕ: V(G) \to \mathbb{R}^k$，使得对于所有边$vw\in E(G)$，$d_p(ϕ(v), ϕ(w)) = d(vw)$。$G$的$\ell_p$ -维是最小整数$k$，使得对于所有距离函数$d$，存在$(G,d)$在$\ell_p^k$中的等距嵌入，使得对于某些$K$，$(G,d)$在$\ell_p^K$中具有等距嵌入。很容易证明$\ell_p$ -维数是次单调性质。本文对$p \in \{2,\infty\}$刻画了具有有界$\ell_p$ -维数的次闭图类$\mathcal{C}$.对于$p=2$，我们给出了一个简单的证明：$\mathcal{C}$有界$\ell_2$ -维数当且仅当$\mathcal{C}$有界树宽.在这个意义上，图的$\ell_2$ -维与它的树宽“绑定”。对于$p=\infty$，情况完全不同。我们的主要结果表明，一个小的封闭类$\mathcal{C}$有界$\ell_\infty$ -维当且仅当$\mathcal{C}$排除一个图连接$K_4$使用$2$…
2020-10-05 cs.DM math.CO math.MG
Induced subgraphs and tree decompositions XVI. Complete bipartite induced minors
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究证明了具有足够大完全二分图诱导极小式的图要么包含大墙诱导极小式，要么包含大星座，并进一步将不可避诱导子图分为两种高度结构化的星座。
2026-02-18 math.CO
Unavoidable immersions of 4- and $f(t)$-edge-connected graphs
该研究提出环分解工具，证明足够大的4边连通图含双环浸入、线性边连通大图含$C_{t,r}$浸入，并以此推导高连通线图的不可避免子式定理。
2024-10-06 math.CO
Defective coloring is perfect for minors
该研究证实了子式闭族缺陷色数等于标准构造下界的猜想，得到聚类色数与禁子式树深度的线性关系，改进了此前的指数界。
2023-11-22 math.CO
Directed Graph Minors and Serial-Parallel Width
图子式是理解无向图结构的主要工具，具有许多概念和算法含义。我们通过修改熟悉的定义，提出了\emph{directed graph minors}和\emph{directed graph embeddings}的新变体。对于2-终端有向无环图类，我们的两个定义是一致的，并且该类在两种运算下都是闭的。我们的定向小操作的有用性证明了所有TDAGs的串行-并行宽度最多$k$，一类网络，以保证有界的负外部性在非原子路由游戏。我们的刻画意味着TDAG具有串并行宽度$1$当且仅当它是有向串并行图。我们还研究了寻找有向子式和计算串并行宽度的计算复杂性。
2019-05-29 cs.DM math.CO
Induced subgraphs and path decompositions
图$H$是图$G$的诱导子图，如果通过删除顶点可以从图$G$得到与图$H$同构的图.最近，人们对理解大树宽图的不可避免的诱导子图产生了极大的兴趣。受这项工作的启发，我们考虑了类似的问题的路径宽度：什么是不可避免的诱导子图的大路径宽度的图？虽然解决这个问题的一般设置看起来具有挑战性，我们证明了稀疏图的各种结果。特别地，我们证明了每个具有有界最大度和足够大的路宽的图包含一个大的完全二叉树的一个剖分或一个大的完全二叉树的一个剖分的线图作为一个诱导子图。同样地，我们证明了每个图除了一个固定的子图，并具有足够大的路径宽度包含一个大的完全二叉树的一个细分或一个大的完全二叉树的一个细分的线图作为一个诱导子图。最后，我们给出了由有限集禁止诱导子图定义的遗传类具有有界路宽的一个刻画。
2022-06-30 math.CO
Excluding a Forest Induced Minor
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学校、克洛德·贝尔纳里昂大学）；Département d’Informatique, Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学信息学系）
本文提出了诱导极小定理的诱导版本，研究了K_{t,t}-子图自由的H-诱导极小无向图的路径宽度有界条件，揭示了H属于特定森林类的特征。
2025-12-01 cs.DM cs.DS math.CO
Chordal matroids arising from generalized parallel connections
本文将弦图的团和构造推广到拟阵，研究由 $GF(q)$ 上射影几何经广义并联连接生成的拟阵类，证明其对诱导子式封闭，并用禁用诱导子式给出刻画，其中 $q=2$ 情形具有特殊性。
2023-10-14 math.CO
Extremal Positive Semidefinite Matrices for Graphs without $K_5$ Minors
对于具有$p$顶点的图$G$，闭凸锥$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$由所有实半正定$p\times p$矩阵组成，其中非对角元素对应于$G$的非边。该锥的极值射线及其相关秩可应用于矩阵完备化问题、统计学中高斯图模型的极大似然估计以及稀疏矩阵的高斯消去。对于一个没有$K_5$子图的图$G$，我们证明了$G$的$(\pm1)$割多面体的刻面的法向量指定了$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$中极值矩阵的非对角项。我们还证明了每个支撑支撑超平面的线性方程的常数项是它在$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$中对应的极值矩阵的秩。此外，我们表明，如果$G$是串并联，那么这给出了一个完整的表征所有可能的极值秩的$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$，从而解决了稀疏序问题的串并联图。
2015-09-21 math.CO
A generalization of the Grid Theorem
一个图的树宽至多为$k$，如果它可以从一组顶点数至多为$k+1$的图中通过一系列团和得到.对于每个非负整数$θ$，定义一个图的$θ$树宽度至多为$k$，如果它可以从一组图中获得，每个图具有至多$k+1$顶点，通过大小小于$θ$的团的团和序列。我们找到了具有大$θ$ -树宽度的图的不可避免的子图，并得到了Robertson和Seymour的网格定理作为推论。
2016-09-28 math.CO
On graphs containing few disjoint excluded minors. Asymptotic number and structure of graphs containing few disjoint minors K4
设${\rm ex \,} {\mathcal B}$是一个极小闭图类，它有一个极小排除极小子图集${\mathcal B}$.本文研究了${\mathcal B}$中不含$k+1$不交子图的渐近数和由所有这类图在顶点$\{1,\dots,n\}$上画出的一致随机图的性质。我们提出了新的结果的情况下，当${\rm ex \,} {\mathcal B}$包含任意大的球迷一般（足够好）的一组禁止未成年人${\mathcal B}$。我们的结果成立的一个特殊情况是${\mathcal B} = \{K_4\}$。对于任何固定的$k = 1, 2, \dots$，我们推导出精确的渐近计数公式，并描述了典型的图的结构，最多有$k$不相交的未成年人$K_4$。对于$k = 0$，这是著名的串-并联图类。对于$k \ge 1$，我们表明典型实例具有复杂的树状结构，其中$2k+1$具有非常高程度的特殊顶点。证明结合了各种方法，包括新的结构结果，罗伯逊和西摩的图子理论和分析组合。
2019-07-14 math.CO
Enumeration and limit laws of series-parallel graphs
证明了$n$顶点上的标号串-平行图的个数$g_n$是渐近的$g_n \sim g\cdot n^{-5/2} γ^n n!$，其中$γ$和$g$是显式的可计算常数.我们证明了随机串-平行图的边数是渐近正态的，其均值和方差都是线性的，并且边数集中在它的期望值附近。类似的结果证明了标记的外平面图和不包含$K_{2,3}$作为一个小的图。
2005-12-19 math.CO
Random graphs from a weighted minor-closed class
最近，从一个合适的小闭类（如所有可平面图）的n-顶点图中均匀抽样的随机图引起了人们的兴趣。在这里，我们使用组合和概率的方法来研究一个更一般的模型。我们认为随机图从一个“表现良好”的一类图：这样的类的例子包括所有的小封闭类的图与2-连接排除未成年人（如森林，串-平行图和可平面图），一类的图嵌入在任何给定的表面上，和类的图与最多k个顶点不相交的循环。此外，我们给权重的边缘和组件指定的概率，使我们的随机图对应的随机集群模型，适当的条件。我们发现，早期的结果自然延伸到两个方向，一般表现良好的类的图形，并加权框架，例如结果的概率随机图连接;我们也给结果的2-核心，这是新的，即使是统一的（未加权）的情况下。
2012-10-09 math.CO
A graph minors characterization of signed graphs whose signed Colin de Verdière parameter $ν$ is two
有符号图是一对$(G,Σ)$，其中$G=(V,E)$是具有$V=\{1,...,n\}$和$Σ\subseteq E$的图（其中允许平行边，但不允许循环）。$Σ$中的边称为奇数，其他边称为偶数。通过$S(G,Σ)$，我们表示所有对称$n\times n$矩阵的集合$A=[a_{i,j}]$，如果$i$和$j$仅由偶数边连接，则$a_{i,j}<0$，如果$i$和$j$仅由奇数边连接，则$a_{i,j}>0$，如果$i$和$j$由偶数边和奇数边连接，则$a_{i,j}\in \mathbb{R}$，如果$i\not=j$和$i$和$j$不相邻，则$a_{i,j}=0$，并且$a_{i,i} \in \mathbb{R}$用于所有顶点$i$。符号图$(G,Σ)$的参数$ν(G,Σ)$是具有强Arnold性质的半正定矩阵$A\in S(G,Σ)$的最大零值。用$K_3^=$表示由$(K_3,\emptyset)$通过向每个偶数边并行添加一个奇数边而获得的带符号图。本文证明了符号图$(G,Σ)$有$ν(G,Σ)\leq 2$当且仅当$(G,Σ)$没有子同构于$(K_4,E(K_4))$或$K_3^=$ .
2012-09-20 math.CO
Unavoidable patterns and plane paths in dense topological graphs
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（HUN-REN阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ELTE Eötvös Loránd University（布达佩斯厄特沃什·罗兰大学）；Department of Mathematics, University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文研究了稠密拓扑图中不可避免的模式和平面路径，证明了在特定条件下拓扑图的边数上限。
2026-02-24 cs.CG math.CO
Implicit Enumeration of Topological-Minor-Embeddings and Its Application to Planar Subgraph Enumeration
给定图$G$和$H$，我们提出了一种方法，隐式枚举的拓扑子嵌入的$H$在$G$使用决策图。我们展示了一个有用的应用程序，我们的方法枚举子图的特征在于禁止拓扑未成年人，即，平面，outerplanar，串并联，仙人掌子图。计算实验表明，我们的方法可以找到所有平面子图在一个给定的图在最多五个数量级的速度比一个天真的回溯为基础的方法。
2019-11-18 cs.DS math.CO
Excluding a ladder
阶梯是一个$2 \times k$网格图。图类$\mathcal{C}$什么时候排除一些梯子作为子图？我们证明了这种情况的充分必要条件是$\mathcal{C}$中的所有图$G$都有一个有界的顶点着色，使得对于$G$的每个$2$连通子图$H$，都有一种颜色在$H$中只出现一次.这种类型的顶点着色是中心着色概念的放松，其中对于$G$的每个连通子图$H$，必须有一种颜色在$H$中只出现一次。$G$的中心着色中的最小颜色数是$G$的树深度，并且已知具有有界树深度的图的类恰好是排除作为子图的固定路径的那些，或者等价地，作为子图的那些。在这个意义上，排除固定梯子作为子图的图的结构类似于没有长路径的图的结构。另一个相似之处如下：很容易观察到，每个具有两条长度为$k$的顶点不相交路径的连通图都有一条长度为$k+1$的路径。我们发现，每一个$3$连通图，其中包含作为一个未成年人的工会足够多的顶点不相交的副本的$2 \times k$网格有一个$2 \times (k+1)$网格未成年人。我们的结构结果有应用偏序集维数。我们证明了偏序集的覆盖图排除一个固定的梯子作为一个小有界的维数。这是一个新的一步的目标，了解哪些图是不可避免的，作为小的覆盖图的偏序集具有大的维数。
2021-04-06 cs.DM math.CO
A decomposition theorem for binary matroids with no prism minor
棱柱图是五点完全图的对偶图，其中删除了一条边，$K_5\backslash e$。本文确定了一类无棱柱子式的二元拟阵。这个问题的动机是1963年的结果狄拉克在那里他确定了简单的3-连通图没有小同构的棱镜图。证明了除了Dirac无限图族和Oxley确定的四个无限非正则拟阵族之外，该类拟阵只存在三种可能：同构于$F_7$与自身在三角形上的广义平行联络的对偶，且三角形中的一个元素被删除，其秩有界于5;或者它允许由$P_9$中的3-分离性诱导的非极小正合3-分离性。由于棱柱图的秩为5，所以该类必须分别包含秩为3和4的二元射影几何$F_7$和$PG(3, 2)$。我们证明了类中只有一个秩为5的极值拟阵。它有17个元素，是$R_{10}$的扩展，$R_{10}$是正则拟阵的唯一分裂器。作为推论，我们得到了Dillon，Mayhew和Royle关于无棱柱子阵的二元内4-连通拟阵的判别结果[5]。
2012-03-16 math.CO
Nonempty Intersection of Longest Paths in Series-Parallel Graphs
Gallai在1966年提出了一个问题：在一个连通图中，是否所有的最长路都有非空的交集。这是不正确的一般和各种反例已经发现。然而，Gallai的问题的答案是肯定的几个著名的类的图，例如连接outerplanar图，连接分裂图，和2-树。如果图不包含$K_4$作为子图，则该图是串并联的。串并行图也称为部分2-树，是2-树的任意子图。我们提出了一个证明，每一个连通的串并联图有一个顶点，是共同的所有最长的道路。由于2-树是最大的串联平行图，和外平面图也是串联平行的，我们的结果捕获这两个类在一个证明，并加强他们的一个更大的一类图。我们还描述了如何在线性时间中找到这个顶点。
2015-03-05 math.CO
Toughness and spanning trees in $K_4$-minor-free graphs
对于整数$k$，$k$ -树是最大度至多为$k$的树。更一般地，如果$f$是顶点上的整数值函数，则$f$树是其中每个顶点$v$具有至多$f(v)$的度的树。令$c(G)$表示图$G$的分支数。证明了如果$G$是一个连通的$K_4$ -minor-free图，且$$ c(G-S) \;\le\; \sum_{v \in S} (f(v)-1) \quad\hbox{for all $S \subseteq V(G)$ with $S \ne \emptyset$} $$有生成$f$ -树.因此，如果$G$是一个$\frac{1}{k-1}$ -tough $K_4$ -minor-free图，则$G$有一个生成$k$ -树。这些结果是强于一般的图，由于赢（$k$ -树）和Ellingham，Nam和Voss（$f$ -树）的结果。无$K_4$ -minor图是平面图的一个子类，与树宽至多为$2$的图相同，也与块串并联的图相同.我们提供的例子表明，上面的不等式不能放松，通过添加$1$的右手边，也表明我们的结果并不适用于一般的平面图。我们的证明使用了一种技术，我们将韧性相关的信息与顶点和割集相关的权重。
2019-07-01 math.CO
The Cops & Robber game on series-parallel graphs
警察和强盗游戏是在无向有限图上进行的。$k$警察和一个强盗位于顶点上，并轮流沿边移动。如果在一次移动后，警察和强盗在同一个顶点上，警察就赢了。如果警察有一个获胜的策略，那么这个图就叫做$k$ -copwin。已知可平面图是3-copwin（Aigner & Fromme，1984），外可平面图是2-copwin（Clarke，2002）。在这篇短文中，我们证明了串并联（即，没有$K_4$次图的图是2-共赢的。在警察与强盗博弈的文献中，这是一个众所周知的技巧，定义了对警察可能的策略施加限制的博弈变体（参见Clarke，2002）。为了我们的证明，我们定义了“有出口的警察和强盗博弈”。我们的证据为警察提供了一个获胜的策略。
2008-01-18 math.CO
Theta rank, levelness, and matroid minors
有限点配置$V$的Theta秩是$V$上的非负线性函数的平方和表示所需的最大次数。这是多项式优化的一个重要不变量，通常很难确定。我们研究的Theta秩和levelness，一个相关的离散几何不变量，拟阵的基础配置。证明了Theta秩或水平度有界的拟阵类在取子式下是闭的。这允许一个特征的拟阵有界Theta秩或levelness禁止未成年人。我们给出了Theta- $1$拟阵的完全（有限）排除子列表，推广了著名的串-平行图。此外，类的Theta- $1$拟阵可以其特征在于在消失理想的生成程度和在psd的相关拟阵基多面体的秩。我们进一步给出了$k$ -水平图和拟阵的排除子的有限列表，并研究了Theta秩$2$的图。
2016-11-03 math.CO math.OC
Minors in graphs of large $θ_r$-girth
对于每一个$r \in \mathbb{N}$，令$θ_r$表示具有两个顶点和$r$平行边的图。图$G$的$θ_r$ -围长是$G$的一个子图能收缩为$θ_r$的最小边数。这个概念推广了通常的周长概念，它对应于$r=2$的情况。在[Minors in graphs of large girth，Random Structures & Algorithms，22（2）：213--225，2003]中，Kühn和Osthus证明了最小度足够大的图中含有阶是其围长的指数函数的c-minor.我们将这一结果推广到$θ_{r}$ -围长的情形，并证明了最小度可以用一些连通性度量来代替。作为我们结果的应用，我们证明了对于每个固定的$r$，排除$k$ $θ_{r}$的不交并作为子图的图具有树宽$O(k\cdot \log k)$ .
2017-01-17 cs.DS math.CO
Solving Larger Maximum Clique Problems Using Parallel Quantum Annealing
针对D-Wave量子退火器规模有限且需次要嵌入、难以求解大型优化问题的限制，提出并行量子退火结合图分解的混合方法，并在多达120个节点、6395条边的图上准确求解最大团问题。
2023-03-14 cs.ET math.CO quant-ph
Every Minor-Closed Property of Sparse Graphs is Testable
假设$G$是一个度由$d$限定的图，为了使它平面化，需要去掉多于$εn$的边。我们表明，在这种情况下，$G$的顶点周围的局部邻域的统计是远离任何可平面图$G'$具有相同的度界的顶点周围的局部邻域的统计。事实上，对于有界度图的任何次闭性，都证明了类似的结果。作为上述结果的直接推论，我们推断，许多研究良好的图形属性，如平面，外平面，串并行，有界属，有界树宽度和其他几个，是可测试的查询的常数，其中常数可能取决于$ε$和$d$，但不是在图的大小。这些属性以前都不知道是可测试的，即使使用$o(n)$查询也是如此。
2008-02-10 math.CO math.PR
Almost Series-Parallel graphs: structure and colorability
串-并联图是指不含拓扑$K_{_4}$的图，它们被认为是平凡的。我们放宽了区分SP图的禁令，只禁止嵌入的$K_{_4}$，其两端的边3-valent（以下简称骨架）诱导一个图同构于某些指定的子图的$K_{_4}$。特别地，我们描述了图的结构不包含嵌入的$K_{_4}$的骨架是同构的$P_{_3}$或$P_{_4}$。这样的“几乎串并行图”（ASP）仍然承认一个简洁的描述。除其他事项外，他们的描述表明：1。本质上，3-连通ASP图是通过用三角形替换每个顶点从3-连通三次图获得的那些图（例如，3-连通无爪图）。2.除$K_{_6}$外，ASP图在多项式时间内都是5-可着色的.区分5-色和4-可着色ASP图是$NP$ -困难的. 3. ASP类比SP类更丰富：4-顶点可着色性、3-边可着色性和Hamilton性对于ASP图是$NP$ -困难的。我们对ASP图的兴趣来自我们以前的一篇论文：“{ \sl关于沿着路径和电路的禁止未成年人的图的可着色性}，离散数学。（出现）"。
2010-12-28 math.CO
Hexagonal Tilings and Locally C6 Graphs
通过证明六角镶嵌图和局部C6图在环面或克莱因瓶中有一个自然嵌入，给出了它们的一个完全分类。我们还表明，局部网格图是未成年人的六边形平铺（和对偶的局部C6图）的收缩的完美匹配和删除所产生的平行边，在一种形式适合于研究他们的Tutte唯一性。
2005-12-14 math.CO
Chordal matroids arising from generalized parallel connections II
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文延续此前对GF(q)-弦拟阵的研究，证明GF(2)-弦拟阵等价于不含特定平坦集的二元拟阵，并给出了GF(q)-弦拟阵的完美消去序式刻画，完善了弦图结果在拟阵中的类比推广。
2026-10-30 math.CO
On clique immersions in line graphs
我们证明了如果$L(G)$浸入$K_t$，那么$L(mG)$浸入$K_{mt}$，其中$mG$是从$G$通过将$G$中的每条边替换为多重性$m$的平行边而获得的图。这意味着当$G$是单图时，$L(mG)$满足Abu-Khzam和Langston的一个猜想.我们还表明，当$G$是一个线图，$G$有$K_t$浸入当$G$有$K_t$ -小时，$t\leq 4$，但这种等价性失败时，在两个方向上，$t \geq 5$。
2020-05-16 math.CO
An $O(\log OPT)$-approximation for covering and packing minor models of $θ_r$
给定两个图$G$和$H$，我们定义了$\textsf{v-cover}_{H}(G)$（分别为. $\textsf{e-cover}_{H}(G)$）作为顶点的最小数目（分别边），其从$G$中移除产生没有与${H}$同构的任何次同构的图。也称为$\textsf{v-pack}_{H}(G)$（分别$\textsf{v-pack}_{H}(G)$）是顶点的最大数目-（相应地，$G$的边）不相交子图，其中包含与$H$同构的次同构。我们用$θ_r$表示两个顶点之间有PDMATHAMT平行边的图。当$H=θ_r$时，参数$\textsf{v-cover}_{H}$、$\textsf{e-cover}_{H}$、$\textsf{v-pack}_{H}$和$\textsf{v-pack}_{H}$是NP难计算的（对于足够大的$r$值）。利用[Minors in graphs of large $θ_r$ -girth，Chatzidimitriou等人，arXiv：1510.03041]，我们给出了一个算法证明，如果$\textsf{v-pack}_{θ_r}(G)\leq k$，那么$\textsf{v-cover}_{θ_r}(G) = O(k\log k)$，并且类似地对于$\textsf{v-pack}_{θ_r}$和$\textsf{e-cover}_{θ_r}$。换句话说，包含$…
2017-01-19 cs.DS math.CO
