The number of rank-$k$ flats in a matroid with no $U_{2,n}$-minor
我们证明了，如果$k$和$\ell$是正整数，并且$r$足够大，那么不含$U_{2,\ell+2}$ -子式的秩-$r$拟阵$M$中的秩-$k$平坦数小于或等于GF $(q)$上秩- $r$射影几何中的秩-$k$平坦数，其中$q$是不超过$\ell$的最大素幂.
2013-09-16 math.CO
Blind cop-width and balanced minors of graphs
School of Computing, KAIST（韩国科学技术院）；School of Mathematics, Monash University（蒙纳士大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Department of Mathematical Sciences, KAIST（韩国科学技术院数学科学系）
本文研究了盲追捕宽度与图的平衡主图，提出了一个新的关于树宽的下界，并探讨了追逐-逃避游戏中的图参数关系。
2025-11-27 math.CO
Directed Minors III. Directed Linked Decompositions
研究将托马斯关于无向图的定理推广到有向图，证明有向图G分别有宽度等于其有向路径宽度和有向无环图宽度的链接有向路径分解和链接有向无环图分解。
2026-07-21 math.CO
Markov bases of binary graph models of K_4-minor free graphs
图的马尔可夫宽度是图的不变量，定义为二进制列联表的相应图模型的马尔可夫基元素的最大度。我们证明了一个图的马尔可夫宽度最多为4当且仅当它不包含$K_4$作为一个未成年人，回答了一个问题的Reynoldin和Sullivant。给出了$Ω(n^{2-\varepsilon})$阶数关于$K_n$的马尔可夫宽度的下界.
2008-10-10 math.CO
Robertson's conjecture I. Well-quasi-ordering bounded tree-width graphs by the topological minor relation
本文证明了有界树宽图的Robertson猜想，即不包含特定拓扑次式的图按拓扑次式关系构成良拟序，这是迈向完整证明的关键步骤，且证明自包含并蕴含已知结果。
2024-12-26 math.CO
Minors of plane digraphs
Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究了平面有向图的 semi-strong minor 性质，定义了基于分支组合的宽度度量，证明不含 H 为 semi-strong minor 的平面有向图宽度有界，而一般平面有向图宽度无界。
2026-04-01 math.CO
A chain theorem for sequentially $3$-rank-connected graphs with respect to vertex-minors
本文提出了一个关于顶点子图更高连通性的链定理，证明了每个序列 $3$-秩连通图 $G$ 都存在比其少一个顶点的序列 $3$-秩连通顶点子图，除非 $|V(G)|\leq 12$。
2023-05-19 math.CO
Obstructions for matroids of path-width at most k and graphs of linear rank-width at most k
本文证明了有限域上路宽至多为k的拟阵类和线性秩宽至多为k的图类的排除子式具有有界规模，从而导出了判定路宽和线性秩宽的多项式时间算法。
2022-11-29 math.CO
Directed Graph Minors and Serial-Parallel Width
图子式是理解无向图结构的主要工具，具有许多概念和算法含义。我们通过修改熟悉的定义，提出了\emph{directed graph minors}和\emph{directed graph embeddings}的新变体。对于2-终端有向无环图类，我们的两个定义是一致的，并且该类在两种运算下都是闭的。我们的定向小操作的有用性证明了所有TDAGs的串行-并行宽度最多$k$，一类网络，以保证有界的负外部性在非原子路由游戏。我们的刻画意味着TDAG具有串并行宽度$1$当且仅当它是有向串并行图。我们还研究了寻找有向子式和计算串并行宽度的计算复杂性。
2019-05-29 cs.DM math.CO
Rank connectivity and pivot-minors of graphs
图$G$中的集合$X$的割秩是二元域上邻接矩阵的$X\times (V(G)-X)$子矩阵的秩。分裂是将顶点集划分为两个集合$(X,Y)$，使得$X$的割秩小于$2$，并且$X$和$Y$都具有至少两个顶点。一个图是素的（相对于分裂分解），如果它是连通的并且没有分裂。一个图$G$是$k^{+\ell}$ -秩连通的，如果对于每一个割秩小于$k$的顶点集$X$，$\lvert X\rvert$或$\lvert V(G)-X\rvert $小于$k+\ell$。证明了每一个至少有$10$个顶点的素$3^{+2}$ -秩连通图$G$都有一个素$3^{+3}$ -秩连通次子图$H$使得$\lvert V(H)\rvert =\lvert V(G)\rvert -1$ .作为推论，我们证明了秩宽至多为$k$的图类的每一个被排除的子图对于$k\ge 2$至多有$(3.5 \cdot 6^{k}-1)/5$顶点.我们还表明，被排除的未成年人的类图的秩宽度最$2$有最$16$顶点。
2022-10-11 math.CO
Unavoidable pivot-minors in graphs of large rank-depth
本文证明了秩深度足够大的图必包含特定的枢轴子式（长为 t 的路或由半图连接的两个 t 团），从而解决了 Kwon 等人 2021 年提出的公开问题。
2025-07-17 math.CO
K_6 minors in 6-connected graphs of bounded tree-width
本文证明了树宽有界的充分大6-连通图要么有K_6子图，要么有一个顶点，其删除使图成为平面图。这是向证明相同结论对所有足够大的6-连通图成立的一步。Jorgensen证明了它对所有6-连通图都成立。
2013-04-05 cs.DM math.CO
Tree pivot-minors and linear rank-width
树宽及其线性变径径宽对图的子式关系起着核心作用。特别地，Robertson和Seymour（1983）证明了对于每一棵树~$T$，不包含$T$作为子图的图类具有有界路宽。对于非子式关系，秩宽度和线性秩宽度取代了树宽度和路径宽度的作用。因此，很自然地要检查是否对于每棵树~$T$，不包含$T$作为子图的图类具有有界线性秩宽度。我们首先证明，这个说法是假的，只要$T$是一棵树，是不是毛毛虫。我们猜想，如果$T$是一个毛毛虫，这个陈述是正确的。我们还证明了：（1）对于每棵树$T$，$T$-无子图距离遗传图类具有有界线性秩宽当且仅当$T$是毛毛虫;（2）对于每棵至多四个顶点上的毛毛虫$T$，$T$-无子图距离遗传图类具有有界线性秩宽.为了证明我们的第二个结果，我们只需要考虑$T=P_4$和$T=K_{1,3}$，但我们遵循一个一般的策略：首先，我们证明了类$T$-无子图包含在某些类$(H_1,H_2)$-无图，我们然后证明了有界线性秩宽度。特别地，我们证明了无$(K_3,S_{1,2,2})$图类具有有界线性秩宽，从而加强了一个已知的结果，即无$(K_3,S_{1,2,2})$图类具有有界秩宽.
2021-08-11 cs.DM math.CO
Matroids with no $U_{2,n}$-minor and many hyperplanes
对每个$r \ge 3$和每个素幂$q > 10$，我们构造了一个没有$U_{2,q+2}$ -子式的秩- $r$拟阵，它比$\mathrm{GF}(q)$上的秩- $r$射影几何有更多的超平面.
2018-05-18 math.CO
Matroid 3-connectivity and branch width
证明了：对每个非负整数k和拟阵N，若M是包含N作为子阵的3连通拟阵，且M的分支宽度足够大，则存在E（M）的k元子集X，使得M \X和M/X之一是3连通的且包含N作为子阵.
2014-12-10 math.CO
The 4x4 minors of a 5xn matrix are a tropical basis
我们计算了热带秩不超过3的5 × 5矩阵空间，并证明了它与Kapranov秩不超过3的5 × 5矩阵空间，即TP 4中的5个标记共面点空间是一致的。然后，我们证明了每一个5xn矩阵的Kapranov秩等于其热带秩;等价地，一个5xn变量矩阵的4x 4子矩阵形成一个热带基。这回答了一个问题提出的巴丹，桑托斯，和Sturmfels。
2009-12-29 math.CO
Forbidden Directed Minors and Kelly-width
部分1-树是树宽至多为1的无向图。类似地，部分1-DAG是KellyWidth至多为2的有向图。众所周知，一个无向图是部分1-树当且仅当它没有K_3子图。在本文中，我们将这种特征推广到部分1-DAG。我们证明了部分1-DAG由三个禁止的有向子式K_3、N_4和M_5刻画。
2014-01-11 cs.DM math.CO
Tree-width of a graph excluding an apex-forest or a wheel as a minor
本文研究了无两个不相交环的平面图H在网格minor定理中的极小树宽f(H)，证明了apex-forest的f(H)等于顶点数减一，并给出了wheel的f(H)线性上界。
2025-09-11 math.CO
An Upper Bound on the Size of Obstructions for Bounded Linear Rank-Width
本文给出了线性秩宽至多为$p$的固定有限域$\mathbb{F}$上对称或反对称矩阵的禁子式大小的双指数上界.作为推论，我们得到了线性秩宽至多为$p$的图的禁止点子式的大小在$p$中的一个双指数上界.这解决了Jeong，Kwon和Oum提出的一个开放问题[排除顶点子项的线性秩宽度至多$k$的图。European J. Combin.，41：242- 257，2014]。对于路径宽度至多为$p$的固定有限域上可表示的拟阵，我们给出了$p$中关于禁子式大小的双指数上界.我们的基本工具是Lagergren [上界对障碍和Interwines的大小的上界，组合理论系列B杂志，73：7- 40，1998]用于限制有界路径宽度的禁止图子式的大小的伪子式顺序。为了使这个概念适应线性秩宽度，有必要很好地定义部分图和合并操作，以适应非子式。利用Courcelle和Kanté提出的代数运算，Kanté和Rao将其推广到（斜）对称矩阵，定义了有界$s$ -标号图，并证明了类似的关于子图和线性秩宽度的结构定理.
2014-12-19 cs.DM math.CO
Excluded vertex-minors for graphs of linear rank-width at most k
线性秩宽是一个图的宽度参数，它是通过将其树限制为毛毛虫而得到的秩宽的变化。作为已知定理的推论，对于每个$k$，存在图的有限阻塞集$\mathcal{O}_k$，使得图$G$具有至多$k$的线性秩宽度当且仅当$G$的顶点子式与$\mathcal{O}_k$中的图不同构。然而，尚未尝试为$k\ge 2$限制$\mathcal{O}_k$中的图形数量。我们证明了对于每个$k$，在$\mathcal{O}_k$中至少存在$2^{Ω(3^k)}$两两局部非等价图，因此在$\mathcal{O}_k$中的图数至少是双指数的.为了证明这一定理，需要刻画$\mathcal O_k$中的两个图何时局部等价。一个图是块图，如果它的所有块是完全图。证明了如果两个块图的单纯顶点的度至少为$2$，则它们是局部等价的。这不仅对我们的定理有用，而且还隐含了Bouchet的定理[Transforming trees by successful local complementations，J.图论12（1988），no. 2，195-207]，该定理指出，如果两棵树是局部等价的，则它们是同构的。
2014-04-23 math.CO
Minors of two-connected graphs of large path-width
设$P$是一个顶点为$v$的图，使得$P\backslash v$是一个森林，$Q$是一个外平面图.证明了存在一个数$p=p(P,Q)$，使得路宽至少为$p$的2连通图有一个子同构于$P$或$Q$ .这个结果回答了Seymour的一个问题，并暗示了Marshall和Wood的一个猜想.证明是基于树分解的一个新的属性。
2018-04-15 cs.DM math.CO
The number of lines in a matroid with no $U_{2,n}$-minor
我们证明了，如果$q$是至多5的素数幂，那么每个不含$U_{2,q+2}$ -子式的秩- $r$拟阵的线数不多于GF $(q)$上的秩- $r$射影几何的线数.我们也给出例子表明，对于其他所有的素数幂，这个界不成立。
2013-06-11 math.CO
The grid theorem for vertex-minors
证明了对于每个圈图$H$，每个秩宽度足够大的图都包含一个同构于$H$的顶点子图.
2020-12-16 math.CO
Minors of asymptotically almost all sparse paving matroids
我们使用计数参数表明，渐近几乎所有的稀疏铺路拟阵包含一个$H$ -未成年人，其中$H$属于几个简单的类拟阵之一。此外，如果我们限制为渐近几乎所有固定秩$r$的稀疏铺路拟阵（其中$r$必然不小于$H$的秩），则结果对更大类拟阵中的所有$H$都成立。
2016-05-09 math.CO
The quasi principal rank characteristic sequence
一个矩阵的子式是拟主的，如果它是主的或几乎主的子式。引入了$n\times n$对称矩阵的拟主秩特征序列（qpr-序列），定义为$q_1 q_2 \cdots q_n$，其中$q_k$是$\tt A$，$\tt S$，或$\tt N$，根据它的所有、部分但不是全部或没有$k$阶拟主子式是非零的.该序列推广了文献中只依赖于矩阵主子式的主秩特征序列。建立了qpr序列可达性的一个必要条件。利用概率方法，给出了特征为$0$的域上的对称矩阵所能达到的qpr序列的一个完整刻画.
2017-11-03 math.CO
The Excluded Vertex-Minors and Pivot-Minors for Rank-Width at Most Two
Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；KAIST（韩国科学技术院）
该研究确定秩宽至多为二的图类的排除顶点子式和排除枢轴子式，通过反转素图单顶点约化定理，利用规范键确定等价类，借助计算机辅助计算得出具体数量，完善了相关列表。
2026-08-04 cs.DM math.CO
Braces of Perfect Matching Width 2
本文研究完美匹配宽度与匹配缩图的关联，建立匹配覆盖图与其砖、brace的完美匹配宽度的紧密联系，证明其在匹配缩图下几乎单调，并给出宽度为2的braces的多种刻画及多项式识别算法。
2024-02-02 cs.DM math.CO
On the almost-principal minors of a symmetric matrix
引入了$n\times n$对称矩阵的几乎主秩特征序列（apr-序列），定义它为串$a_1 a_2 \cdots a_{n-1}$，其中$a_k$是$\tt A$，$\tt S$或$\tt N$，根据它的几乎主子式中的全部、部分但不是全部或没有一个非零.与文献中的其它主秩特征序列不同，矩阵的apr-序列不依赖于主子式。定义了对称矩阵$B$的概主秩，记作${\rm aprank}(B)$，定义为$B$的最大非奇异概主子阵的大小.不包含$\tt A$的序列可以实现为域$\mathbb{F}$上的对称矩阵的apr-序列的完整表征。给出了域$\mathbb{F}$上对称矩阵的apr-序列的一个必要条件。它表明，如果$B \in \mathbb{F}^{n\times n}$是对称的和非对角的，那么${\rm rank}(B)-1 \leq {\rm aprank}(B) \leq {\rm rank}(B)$，与两个边界是尖锐的。此外，它表明，如果$B$是对称的，非对角的和奇异的，并且不包含零行，那么${\rm rank}(B) = {\rm aprank}(B)$。
2020-07-29 math.CO
Clique-width and induced topological minors
Warsaw University of Technology（华沙理工大学）；University of Warsaw（华沙大学）；FAMNIT and IAM, University of Primorska（普里莫斯卡大学 FAMNIT 与 IAM）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究证明，当图H不包含诱导子图H的子图时，团宽有界当且仅当H是P4、paw或diamond的诱导子图，解答了Dabrowski等人提出的问题。
2026-05-14 cs.DM math.CO
Theta rank, levelness, and matroid minors
有限点配置$V$的Theta秩是$V$上的非负线性函数的平方和表示所需的最大次数。这是多项式优化的一个重要不变量，通常很难确定。我们研究的Theta秩和levelness，一个相关的离散几何不变量，拟阵的基础配置。证明了Theta秩或水平度有界的拟阵类在取子式下是闭的。这允许一个特征的拟阵有界Theta秩或levelness禁止未成年人。我们给出了Theta- $1$拟阵的完全（有限）排除子列表，推广了著名的串-平行图。此外，类的Theta- $1$拟阵可以其特征在于在消失理想的生成程度和在psd的相关拟阵基多面体的秩。我们进一步给出了$k$ -水平图和拟阵的排除子的有限列表，并研究了Theta秩$2$的图。
2016-11-03 math.CO math.OC
Maximum size binary matroids with no AG(3,2)-minor are graphic
证明了秩为$r \geq 5$且不含AG（3，2）-子式的简单二元拟阵的最大尺寸为$\binom{r+1}{2}$，并对达到此界的拟阵进行了研究.当$r \geq 6$，图形拟阵$M(K_{r+1})$是唯一的拟阵满足边界，但有少数较小的例子。此外，我们确定了无AG（3，2）-子式的非正则简单二元拟阵的大小函数，并确定了每个秩的最大大小拟阵。
2013-04-09 math.CO
Infinitely many minimal classes of graphs of unbounded clique-width
著名的Robertson和Seymour定理指出，在小闭图类族中，存在唯一的树宽无界的极小图类，即可平面图类。在树宽的情况下，限制到子闭类是合理的，因为一个图的树宽绝不会小于它的任何子闭类的树宽。然而，这不是相对于图的宽度的情况，因为图的宽度可以比它的子图的宽度小小于。另一方面，图的cn-width永远不会小于它的任何诱导子图的cn-width，这使得我们在研究cn-width时，只能局限于遗传类（即在取诱导子图下封闭的类）。到目前为止，文献中只发现了200多个具有无界宽度的图的极小遗传类。在本文中，我们证明了这样的类的家庭是无限的。此外，我们表明，同样是真实的关于线性的candle-width。
2017-01-30 cs.DM math.CO
Planar Decompositions and the Crossing Number of Graphs with an Excluded Minor
图的树分解在结构和算法图论中具有重要意义。平面分解通过允许任意可平面图对分解进行索引来推广树分解。我们证明了，每一个图，排除一个固定的图作为一个小有界的宽度和线性袋数的平面分解。图的交叉数是指在平面上画出的图的最小交叉数。我们证明了平面分解是密切相关的交叉数。特别地，有界度图具有线性交叉数当且仅当它具有有界宽度的平面分解和线性袋数。由上面关于平面分解的结果可以得出：每个度有界且有一个排除子图的图都有线性交叉数。对于凸交叉数和直线交叉数也证明了类似的结果。特别地，每个度有界且树宽有界的图都有线性凸交叉数，每个度有界的$K_{3,3}$ -minor自由图都有线性直线交叉数。
2007-05-30 math.CO
Minor-closed classes of binary functions
本文研究二元函数的小闭类，通过排除小元刻画具有良定义小元及关联秩函数的类，并推广Tutte定理至二元函数空间。
2024-10-02 math.CO
Almost every matroid has an $M(K_4)$- or a $\mathcal{W}^3$-minor
我们发现，几乎每一个拟阵包含的秩3旋转$\mathcal{W}^3$或完全图形拟阵$M(K_4)$作为一个未成年人。
2021-11-22 math.CO
Algebraically grid-like graphs have large tree-width
根据Robertson和Seymour的网格子定理，每个树宽足够大的图都包含一个大的网格作为子图。因此，树宽度可以被视为图的“网格相似性”的度量。网格在周长上包含一个长循环，它是内部矩形的$\mathbb{F}_2$ -和。此外，网格仅使周期的度量失真两倍。我们证明了每一个在代数意义上类似于网格的图都有大树宽：设$k, p$是整数，$γ$是实数，$G$是图。假设$G$包含一个长度至少为$2 γp k$的循环，它是长度至多为$p$的循环的和的$\mathbb{F}_2$，并且它的度量被至多为$γ$的因子扭曲。则$G$的树宽度至少为$k$。
2018-02-14 math.CO
The Factor Width Rank of a Matrix
Mount Allison University（蒙特艾利森大学）；Vali-e-Asr University of Rafsanjan（拉夫桑詹瓦利·埃·阿斯尔大学）；Brandon University（布兰登大学）
该文定义矩阵的因子宽度-$k$秩为其因子宽度至多$k$的分解中秩1矩阵的最小数量，证明带状、箭头矩阵的该秩等于常规秩，建立了其与图$k$-团覆盖数的关联并分析Hadamard运算下的变化。
2025-04-02 math.CO
Complete Graph Minors and the Graph Minor Structure Theorem
Robertson和Seymour的图的子结构定理表明，每个排除固定子的图都可以由四个成分的组合构成：嵌入有界亏格的曲面中的图，有界宽度的有界数量的涡，有界数量的顶点，以及cn-sum运算。本文研究了一个逆问题：在用这四个成分构成的图中，一个完全图子图的最大阶是多少？我们的主要结果回答了这个问题的一个常数因子。
2012-05-18 math.CO
Unavoidable butterfly minors in digraphs of large cycle rank
本文证明了圈秩足够大的有向图必然包含有向圈链、有向阶梯或有向树链作为蝴蝶子式，并研究了圈秩与图弱着色数有向模拟的新联系。
2025-07-16 cs.DM math.CO
$K_{2,3}$-induced minor-free graphs admit quasi-isometry with additive distortion to graphs of tree-width at most two
School of Computer Science, University of Leeds（利兹大学计算机学院）
本文提出了一种在亚二次时间内计算普遍可签名图直径的算法，通过证明$K_{2,3}$-诱导极小图可加误差地准等距于树宽至多为二的图。
2026-08-13 cs.DM math.CO
Tree-depth and Vertex-minors
在最近的一篇论文中，Kwon和Oum声称每个有界秩宽度的图都是有界树宽度的图的子图（而之前已经知道相反的情况）。本文研究了图的深度参数的类似问题，即树深度和相关的新的灌木深度。我们证明了在取点子式的情况下，灌木深度是单调的，并且每一个有界灌木深度的图类都可以通过有界树深度的图的点子式得到。我们也考虑了同样的问题，二部图和子图。
2014-03-27 cs.DM math.CO
A decomposition theorem for binary matroids with no prism minor
棱柱图是五点完全图的对偶图，其中删除了一条边，$K_5\backslash e$。本文确定了一类无棱柱子式的二元拟阵。这个问题的动机是1963年的结果狄拉克在那里他确定了简单的3-连通图没有小同构的棱镜图。证明了除了Dirac无限图族和Oxley确定的四个无限非正则拟阵族之外，该类拟阵只存在三种可能：同构于$F_7$与自身在三角形上的广义平行联络的对偶，且三角形中的一个元素被删除，其秩有界于5;或者它允许由$P_9$中的3-分离性诱导的非极小正合3-分离性。由于棱柱图的秩为5，所以该类必须分别包含秩为3和4的二元射影几何$F_7$和$PG(3, 2)$。我们证明了类中只有一个秩为5的极值拟阵。它有17个元素，是$R_{10}$的扩展，$R_{10}$是正则拟阵的唯一分裂器。作为推论，我们得到了Dillon，Mayhew和Royle关于无棱柱子阵的二元内4-连通拟阵的判别结果[5]。
2012-03-16 math.CO
The signed enhanced principal rank characteristic sequence
$n \times n$厄米特矩阵的带符号增强主秩特征序列（sepr-序列）是序列$t_1t_2 \cdots t_n$，其中$t_k$是基于以下标准的$\tt A^*$、$\tt A^+$、$\tt A^-$、$\tt N$、$\tt S^*$、$\tt S^+$或$\tt S^-$：如果$B$具有正阶和负阶- $k$主从式，并且每个阶- $k$主从式非零，则为$t_k = \tt A^*$。$t_k = \tt A^+$（分别为$t_k = \tt A^-$），如果每个订单- $k$主从式为正（分别为负）。$t_k = \tt N$，如果每个订单- $k$主从为零。$t_k = \tt S^*$如果$B$各有一个正、负和零阶- $k$主从式。$t_k = \tt S^+$（分别为$t_k = \tt S^-$），如果$B$同时具有零阶和非零阶- $k$主从式，并且每个非零阶- $k$主从式为正（分别为负）。这样的序列提供了比文献中的$({\tt A,N,S})$ epr序列更多的信息，其中$k$ th项是$\tt A$、$\tt N$或$\tt S$，这取决于矩阵的阶- $k$主子式的全部、没有或一些（但不是全部）是非零的。各种sepr序列被证明是不可达到的厄米特矩阵。特别是，通过应用缪尔定律的可扩展的未成年人，它表明，如$\tt A^*N$和$\tt NA^*$是禁止的Sep…
2017-09-02 math.CO
Excluding A Grid Minor In Planar Digraphs
在[有向树宽度]中，J. Combin. Theory Ser. B 82（2001），138-154]我们引入了有向图树宽的概念，并提出了一个猜想，在与Noga Alon和Bruce Reed的讨论中提出，一个巨大树宽的有向图有一个大的“圆柱形网格”子图。在这里，我们证明了平面有向图的猜想，但许多步骤的证明工作一般。这是一份2001年10月未经编辑和打磨的手稿。由于许多人要求提供副本，我们正在提供，希望它可能有用。Kawarabayashi和Kreutzer在arXiv：1411.5681中证明了这个猜想。
2015-10-02 cs.DM math.CO
On tree decompositions whose trees are minors
在2019年，Dvotelák问是否每个连通图$G$都有树分解$(T, \mathcal{B})$，使得$T$是$G$的子图，并且$(T, \mathcal{B})$的宽度由$G$的树宽度的函数限定。我们证明，这是假的，即使当$G$有树宽$2$和$T$允许是一个未成年人的$G$。
2023-02-23 math.CO
Shallow vertex minors, stability, and dependence
École Normale Supérieure, Paris（巴黎高等师范学院）；KAIST, Daejeon（韩国科学技术院）；CNRS, Paris（法国国家科学研究中心）；Centre d’Analyse et de Mathématiques Sociales (CNRS, UMR 8557), Paris（社会分析与数学中心）；Computer Science Institute of Charles University, Praha（布拉格查理大学计算机研究所）
本文研究了浅层顶点矿石在hereditary图类中的稳定性与依赖性，提出稳定和依赖的刻画，并证明了浅层顶点矿石在保持稳定性与依赖性方面的性质。
2024-05-01 math.CO
Characterizing width two for variants of treewidth
在本文中，我们考虑的概念\emph{special treewidth}，最近推出的Courcelle \cite{Courcelle2012}。在一个特殊树分解中，对于给定图的每个顶点$v$，包含$v$的包形成一条根路.本文证明了树宽不超过2的特殊图类在取子式下是闭的，并给出了6个小障碍的完整列表.作为一个中间结果，我们证明了每一个特殊树宽至多为2的连通图可以通过将特殊树宽至多为2的块以特定的树状方式排列来构造。受特殊树宽概念的启发，我们引入了树宽的三个自然变体，即\emph{spaghetti treewidth}、\emph{strongly chordal treewidth}和\emph{directed spaghetti treewidth}。所有这些参数都位于路径宽度和树宽度之间，我们提供了这些参数的共同结构属性。对于每一个参数，我们证明了具有参数至多两个的图类是小闭的，并且我们用具有附加条件的\emph{tree of cycles}来刻画这些类。最后，我们表明，对于每个$k\geq 3$，特殊树宽，意大利面条树宽，有向意大利面条树宽，或强弦树宽，分别至多$k$的图类，是不封闭的下采取未成年人。
2014-09-29 math.CO
Rank-width and Well-quasi-ordering of Skew-Symmetric or Symmetric Matrices
本文证明了反对称或对称矩阵M_1，M_2，.在固定有限域上，若M_i，M_j（i<j）具有有界秩宽，则M_i同构于M_j中非奇异主子矩阵的Schur补的主子矩阵。这推广了关于图或拟阵的良好拟序的三个定理，它们允许良好的树状分解;（1）Robertson和Seymour定理，关于有界树宽的图;（2）Geelen、Gerards和Whittle定理，关于在具有有界分支宽度的固定有限域上可表示的拟阵;（3）Oum定理，关于有界秩宽度的图。
2010-07-22 math.CO
Rank-width of Random Graphs
图G的秩宽度（rw（G））是Oum和Seymour（2006）引入的图的宽度参数。研究了随机图G（n，p）的秩宽度的渐近性质。证明了：（i）若0<p<1为常数，则rw（G（n，p））= \lceil n/3 \rceil -O（1），（ii）若1/n<< p <1/2，则rw（G（n，p））= \lceil n/3 \rceil -O（n），（iii）若p = c/n且c > 1，则rw（G（n，p））> rn，其中r = r（c），（iv）若p ≤ c/n且c<1，则rw（G（n，p））≤ 2.作为推论，我们推导出当p=c/n且c>1时，G（n，p）有线性树宽，回答了Gao（2006）的一个问题。
2010-01-04 math.CO
Extremal Positive Semidefinite Matrices for Graphs without $K_5$ Minors
对于具有$p$顶点的图$G$，闭凸锥$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$由所有实半正定$p\times p$矩阵组成，其中非对角元素对应于$G$的非边。该锥的极值射线及其相关秩可应用于矩阵完备化问题、统计学中高斯图模型的极大似然估计以及稀疏矩阵的高斯消去。对于一个没有$K_5$子图的图$G$，我们证明了$G$的$(\pm1)$割多面体的刻面的法向量指定了$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$中极值矩阵的非对角项。我们还证明了每个支撑支撑超平面的线性方程的常数项是它在$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$中对应的极值矩阵的秩。此外，我们表明，如果$G$是串并联，那么这给出了一个完整的表征所有可能的极值秩的$\mathbb{S}^p_{\succeq0}(G)$，从而解决了稀疏序问题的串并联图。
2015-09-21 math.CO
Inclusion of Forbidden Minors in Random Representable Matroids
1984年，Kelly和Oxley提出了随机可表示拟阵$M[A_n]$的模型，该拟阵对应于一个随机矩阵$A_n \in \mathbb{F}_q^{m(n) \times n}$，其元素是从$\mathbb{F}_q$独立一致地抽取的。尽管诸如秩、连通性和电路大小等属性已经得到了很好的研究，但禁止子项尚未得到分析。在这里，我们调查的渐近概率$n \to \infty$，一个固定的$\mathbb{F}_q$ -可表示拟阵$M$是一个小的$M[A_n]$。(We对于所有足够大的$n$，始终假定$m(n) \geq \text{rank}(M)$，否则$M$永远不会是相应$M[A_n]$的次项。）当$M$是自由的，我们证明了$M$是渐近几乎必然（a.a.s.）$M[A_n]$的副歌。当$M$不自由时，我们显示了相变：$M$是a.a.s.如果是$n - m(n) \to \infty$，则为未成年人，但为a.a.s.如果是$m(n) - n \to \infty$就不会。在更一般的设置$m \leq n$和$m > n$，我们给出了下限和上限，分别对渐近和非渐近概率$M$是一个小的$M[A_n]$。我们开发的工具来分析拟阵运算和随机拟阵的子阵可能是独立的兴趣。我们的结果直接暗示了$M[A_n]$是a.a.s.不包含在$\mathbb{F}_q$ -可表示拟阵的任何真的、子闭类$\math…
2017-02-05 math.CO
Fragile minor-monotone parameters under random edge perturbation
Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；KAIST（韩国科学技术院）
研究随机边扰动对图参数的影响，发现少量随机边可显著增加树宽、亏泛数和哈迪沃数。
2025-11-18 math.CO
Twin-width V: linear minors, modular counting, and matrix multiplication
我们继续围绕全序二元结构的孪晶宽度发展理论，这在本系列的前一篇论文中已经开始。我们首先介绍的奇偶校验和线性子矩阵的概念，它包括迭代替换连续的行或连续的列与它们的线性组合。我们证明了一个矩阵类有界孪生宽度当且仅当它的线性子闭包不包含所有的矩阵。我们观察到，固定参数易处理算法的一阶模型检查的结构给出了一个$O(1)$序列（有界双宽度证书）和事实，即一阶转换有界双宽度类有界双宽度，都建立在双宽度I，扩展到一阶逻辑与模块计数量词。我们明确了一个双赢的论点，作为双宽度IV的副产品，有点类似于二维，我们称之为秩二维。武装与上述扩展到模计数，我们表明，在一个有限域上的两个共形矩阵$A, B$的产品的孪生宽度是有界的$A$，$B$，和字段的大小的孪生宽度的函数。此外，如果$A$和$B$是$n \times n$矩阵的twin-width $d$在$\mathbb F_q$，我们表明，$AB$可以计算的时间$O_{d,q}(n^2 \log n)$。最后，我们提出了一个特别的算法，有效地乘以两个矩阵的有界的孪生宽度，在孪生宽度界的单指数依赖：如果输入是在一个紧凑的树状形式，称为孪生分解（宽度$d$），那么两个$n \times n$矩阵$A, B$在$\mathbb F_2$，一个孪生分解的$AB$与宽度$2^{d+o(d)}$可以计算在时间$4^{d+o(d)}n$（分别）。$4^{d+o(d)}…
2022-09-24 cs.DM cs.DS cs.LO
Growth rate functions of dense classes of representable matroids
对于包含所有简单$\GF(q)$-可表示拟阵的$\GF(q^2)$ -可表示拟阵的每个真小闭子类$\cM$，我们对所有大的$r$给出了$\cM$中秩$r$拟阵点数的一个紧上界，并构造了$\cM$中秩$r$拟阵使其等式成立.因此，我们给出了一个紧上界的点的数目在$\GF(q^2)$ -可表示的，秩- $r$拟阵没有$\PG(k,q^2)$ -小。
2011-05-20 math.CO
