Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups
Tullia Dymarz
我们证明了某些彼此准等距的点灯人群体不是bilipschitz等价的。这给出了一个肯定的回答问题的主题几何群论由皮埃尔德拉哈普（第107页）。
We show that certain lamplighter groups that are quasi-isometric to each other are not bilipschitz equivalent. This gives a positive answer to a question in Topics in Geometric Group Theory by Pierre de la Harpe (page 107).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bilipschitz versus quasi-isometric equivalence for higher rank lamplighter groups
我们描述了一个家庭的非线性提出的群体是拟等距的，但不是bilipschitz等价的。第一个这样的例子是由第一作者描述的，是点灯人群$F \wr \mathbb{Z}$，其中$F$是一个有限群;这些群是随机生成的，但不是随机呈现的。本文中给出的例子是这些点灯人群的高阶推广，包括任何$n$的$F_n$类型的群。
Bilipschitz maps of boundaries of certain negatively curved homogeneous spaces
在本文中，我们研究了某些组的bilipschitz映射的边界减去一个点的一个负弯曲的空间，这是一个交换的循环可解李群，其中的扩展是由矩阵的特征值都位于单位圆之外。扩展矩阵是对角矩阵的情况以前由Dymarz研究过。作为应用，结合Eskin-Fisher-Whyte和Peng的工作，给出了可解李群中一类格的拟等距刚性的最后证明步骤.
Day's fixed point theorem, Group cohomology and Quasi-isometric rigidity
在本文中，我们解释了如何戴的不动点定理可以用来共轭某些组的双Lipschitz映射的度量空间到特殊的子群，如相似组。特别地，我们利用Day定理建立了Tukia型定理，并给出了拟等距刚性结果的新证明。
Sublinear biLipschitz equivalence and sublinearly Morse boundaries
度量空间之间的次线性双Lipschitz等价（SBE）是从一个空间到另一个空间的映射，该映射使距离失真，具有有界的乘法常数和次线性加性误差。给定任意次线性函数$κ$，将所有测地真度量空间的$κ$ -Morse边界定义为拟等距不变的可度量的拟测地射线拓扑空间.本文证明了真测地度量空间的$κ$ -Morse边界在适当的SBE下是不变的.证明中的一个工具是使用次线性射线，即射线的次线性bilispchitz嵌入，推广了拟测地线射线。作为一个应用，我们区分一对直角Coxeter群提出的Behrstock次线性biLipschitz等价。我们还表明，在温和的假设下，一般的随机游动可数群是次线性射线。
Nilpotent groups and biLipschitz embeddings into $L^1$
证明了如果一个单连通幂零李群拟等距嵌入到一个$L^1$空间中，则它是阿贝尔的。通过证明biLipschitz嵌入到$L^1$中的每个卡诺群都是阿贝尔群，我们得到了这个结论。我们的证明遵循Cheeger和Kleiner的工作，通过考虑Lipschitz映入$L^1$的拉回距离并使用切割测度表示它。我们表明，这样的切割措施，和诱导的距离，可以炸毁和爆破切割措施的支持上的“通用”的原始集的切线。通过重复这样一个爆破过程，得到一个支撑在半空间上的割测度。然后利用微分的结果证明了在非阿贝尔情形下双Lipschitz嵌入不存在。
Quasisymmetric maps of boundaries of amenable hyperbolic groups
本文证明了：如果$Y=N \times \mathbb{Q}_m$是度量空间，其中$N$是赋有Carnot-Caratheodory度量的Carnot群，则$Y$的任何拟对称映射实际上是bilipschitz映射.关键的观察是，$Y$是一个混合型局部紧顺从双曲群的抛物可视边界。同样的结果也适用于更大类的幂零李群$N$。作为证明的一部分，我们还获得了混合型局部紧顺从双曲群的部分拟等距刚性结果。最后证明了在$N= \mathbb{R}^n$情形下$Y$的Bilipschitz映射的一致子群的刚性结果.
Quasi-isometric rigidity for the solvable Baumslag-Solitar groups, II
设BS（1，n）= < a，b：aba^{-1}=b^n >.证明了任何与BS（1，n）拟等距的有限生成群（直到有限群）同构于BS（1，n）.我们还证明了实直线的拟相似性的任何一致群都是仿射群的bilipschitz共轭群。
Quasi-isometric rigidity for lamplighters with lamps of polynomial growth
本文证明多项式增长灯泡群的拟等距具有测度缩放刚性，缩放因子由增长次数决定，并应用于构造非双Lipschitz等价的群对及迭代圈积分类，首次给出灯泡刚性群例子。
On the logarithmic coarse structures of Lie groups and hyperbolic spaces
本文通过李代数形变和截面曲率夹挤刻画了与实双曲空间或复双曲平面具有等价对数粗结构的李群，并证明测地空间对数粗结构间的粗等价必为 $O(\log)$-双利普希茨等价，同时指出 Tyson 的共形维数猜想条件依赖于四指数猜想。
Bowditch Taut Spectrum and dimensions of groups
对于一个随机生成的群$G$，令$H(G)$表示Bowditch的紧环长度谱。证明了如果$G=(A\ast B) / \langle\!\langle \mathcal R \rangle\!\rangle $是一个群的自由积的$C'(1/12)$小消去商，则$H(G)$等价于$H(A) \cup H(B)$ .我们使用这一结果连同界限上同调和几何尺寸，以及Bowditch的建设连续许多非准等距$C'(1/6)$小取消$2$生成的群体，以获得我们的主要结果：让$\mathcal{G}$表示类的$\mathcal{G}$生成的群体。以下子类包含连续许多单端非准等距群：$\bullet\left\{G\in \mathcal{G} \colon \underline{\mathrm{cd}}(G) = 2 \text{ and } \underline{\mathrm{gd}}(G) = 3 \right\}$ $\bullet\left\{G\in \mathcal{G} \colon \underline{\underline{\mathrm{cd}}}(G) = 2 \text{ and } \underline{\underline{\mathrm{gd}}}(G) = 3 \right\}$ $\bullet\left\{G\in \mathcal{G} \colon \mat…
Twisted conjugacy and quasi-isometric rigidity of irreducible lattices in semisimple Lie groups
设$G$是一个中心有限、分支数为2的非紧半单李群.本文证明了任何与$G$中的不可约格拟等距的非有限生成群$Γ$都具有$R_\infty$ -性质，即对于$Γ$的每一个自同构$ϕ$，都存在无穷$ϕ$ -扭曲共轭类.此外，我们证明了$G$中的任何格都具有$R_\infty$ -性质，推广了我们先前关于不可约格的结果。
Coarse differentiation of quasi-isometries I: spaces not quasi-isometric to Cayley graphs
本文证明了某些空间与有限生成群的Cayley图不是拟等距的。特别是，我们回答了Woess的一个问题，并证明了Diestel和领导人的猜想，通过证明某些齐次图不是拟等距的一个有限生成群的凯莱图。本文是证明[EFW0]中宣布的结果的一系列论文中的第一篇。特别是，本文包含了许多步骤中的证明拟等距刚性的格在溶胶和拟等距分类的点灯人群体。这些结果的证明在[EFW1]中完成。这里使用的方法是基于[EFW0]中引入的“粗微分”的思想。
Isometric group actions on Hilbert spaces: structure of orbits
我们的主要结果是：在具有稠密轨道的无限维希尔伯特空间上，一个生成的幂零群没有等距作用.相反，我们构造这样一个行动与一个可生成的亚阿贝尔群。
Quasi-isometric rigidity of subgroups and Filtered ends
设$G$和$H$是拟等距群生成的群，设$P\leq G$ ;是否存在$H$的子群$Q$（或子群集合），其左陪集粗略地反映了$G$中$P$的左陪集的几何？我们探讨了一个积极的答案的充分条件。本文考虑$(G,\mathcal{P})$形式的对偶，其中$G$是一个群生成的群，$\mathcal{P}$是子群的有限集合，有对偶的拟等距和子群的拟等距特征集合的概念。一个子群如果属于一个气性集合，则它是气性的。在有关拟等距刚性的文献中，研究了子群的气特征集的不同类，本文列出了其中的一些，并给出了其它例子。本文的第一部分证明了：如果$G$和$H$是可生成的拟等距群，且$\mathcal{P}$是$G$的子群的气特征集，则存在$H$的子群$\mathcal{Q}$的集使得$ (G, \mathcal{P})$和$(H, \mathcal{Q})$是拟等距对。本文的第二部分研究了Bowditch引入的群对的滤尾数$\tilde e (G, P)$，并给出了我们主要结果的一个应用：如果$G$和$H$是拟等距群，且$P\leq G$是qi-特征群，则存在$Q\leq H$使得$\tilde e (G, P) = \tilde e (H, Q)$ .
Quasi-isometric diversity of marked groups
利用描述集合论的基本工具证明了：如果$\mathcal S$的每个非空开子集至少包含两个非拟等距群，则标记群的闭集$\mathcal S$有$2^{\aleph_0}$拟等距类.由此得出，每一个完美的一组标记的群体有一个密集的子集，提出的群体包含$2^{\aleph_0}$拟等距类。这些结果解释了大多数已知的非拟等距有限生成群的连续族的构造。它们也可以被用来证明存在的$2^{\aleph_0}$准等距类的有限生成群具有有趣的代数，几何，或模型理论的性质。
Quasi-isometric Higman embeddings and the Dehn function
本文证明满足特定计算枚举条件的有限生成群可拟等距嵌入到 Dehn 函数受计算复杂度控制的有限呈现群中，推广了自由 Burnside 群嵌入结果，并改进了字问题 NP 性与多项式 Dehn 函数嵌入的经典刻画。
Cartan projections of fiber products and non quasi-isometric embeddings
本文研究群纤维积的Cartan投影范数上界，并构造线性Gromov双曲群的纤维积例子，证明其不承认拟等距嵌入的线性表示。
On the quasi-isometric classification of permutational wreath products
本文研究满足非粗分离条件的置换圈积 $F\wr_{H/N}H$，基于 Genevois 与 Tessera 的工作给出其拟等距完整分类，并讨论双 Lipschitz 等价、缩放群及相关 halo 积。
Quasisymmetric universality, quasi-isometric classification and topological rigidity of Kleinian groups
该研究针对克莱因群极限集，通过刻画几何有限极限集的拟对称普适性，实现有限生成克莱因群的拟等距分类及几乎拓扑刚性几何有限克莱因群的分类
Quasi-isometries and rigidity of solvable groups
本文给出了非幂零多环群拟等距刚性的第一个结果。特别地，我们证明了任何与三维可解李群Sol拟等距的群实质上是Sol中的格。本文证明了与$R \ltimes R^n$拟等距的群的类似结果，其中半直积由行列式1的可对角化矩阵定义，在单位圆上没有特征值.我们解决这些问题的方法是首先对可解李群的所有自拟等距进行分类。我们对$R \ltimes \R^n$的自拟等距的分类证明了Farb和Mosher在[FM 4]中提出的一个猜想。我们的技术研究准等距扩展到其他一些类的群体和空间。特别是，我们的特点群体拟等距任何点灯组，回答一个问题的德拉Harpe [dlH]。证明了某些Diestel-Leader图对于任何有限生成群都不是拟等距的，从而验证了Diestel和Leader在[DL]中的一个猜想，并回答了Woess在[SW]，[Wo 1]中提出的一个问题.我们还证明了某些非幺模、非双曲可解李群不是有限生成群的拟等距群。本文的结果是对Gromov的分类程序的贡献有限生成群准等距[Gr 2]。我们介绍了一种新的技术研究拟等距，我们称之为“粗微分”。
Problems on the geometry of finitely generated solvable groups
关于非线性生成的可解群的拟等距分类和刚性的问题、图解和定理综述。
Characterizing a vertex-transitive graph by a large ball
众所周知，一个完备的黎曼流形M如果局部等距于一个对称空间，则它被一个对称空间覆盖。在这里，我们证明了这种性质的离散版本（称为局部到全局刚性）适用于一大类顶点传递图，包括单李群中无挠格的Cayley图，以及无挠虚幂零群的Cayley图。相比之下，我们展示了各种例子的凯莱图的非线性提出的群体（例如SL（4，Z）），没有这个属性，回答了一个问题的Benjamini，埃利斯，和Georgakopoulos。基于Cornulier的一个问题，我们还构造了一个非两两等距大规模单连通局部有限点传递图的连续统。这个问题的动机是这样一个事实，即大规模的单连通凯莱图正是凯莱图的群，因此有可数许多等距类。
Embeddings into left-orderable simple groups
证明了每一个可数左序群都嵌入到一个可数生成的左序单群中。此外，如果第一个群有可计算的左序，那么单群也有可计算的左序。我们还得到了一个Boone-Higman-Thompson型定理的左序群递归可归正锥。这些嵌入是Frattini嵌入，并且当初始群是等距生成时是等距的。最后，我们重新证明了Thompson关于字问题的定理，即保留嵌入到生成的单群中，并观察到嵌入是等距的。
Quasi-isometrically embedded subgroups of Thompson's group F
本文的目的是构造Thompson群$F$的拟等距嵌入子群，它们对所有$n$同构于$\fz^n$.得到了一个估计Thompson群元素范数的结果，作为推论，Thompson群是一个具有无穷维渐近锥面的群的例子.
Uncountably many quasi-isometric torsion-free groups
本文借助Schur覆盖群、群上同调及有界值上同调理论，构造出不可数个同属一个拟等距类、有限生成且两两不同构的无挠群。
Isoperimetric inequalities in finitely generated groups
本文研究了有限生成群的Dehn谱，计算了多种群的Dehn谱，并证明了存在不可数多个非准等距的有限生成群。
Fiber products of rank 1 superrigid lattices and quasi-isometric embeddings
设$Δ$是$\mathsf{Sp}(m,1)$、$m \geq 2$或$F_{4}^{(-20)}$中的余紧格。我们展示的例子，生成子群的$Δ\times Δ$与积极的第一贝蒂数的离散忠实表示到任何真正的半单李群是拟等距嵌入。本文的例子是受Bass-Lubotzky [BL 00]对Platonov猜想的反例的启发。
Quasi-isometric maps and Floyd boundaries of relatively hyperbolic groups
本文描述了从相对双曲群的Floyd边界到其Bowditch边界的正则映射的核。利用我们的方法，然后我们证明了一个有限生成群$H$承认一个拟等距映射$ϕ$到一个相对双曲群$G$是相对双曲的子群系统，其图像下的$ϕ$是位于一个一致有界的距离从抛物子群的$G$。
Fibred coarse embeddability of box spaces and proper isometric affine actions on $L^p$ spaces
我们证明了以下定理的必要部分：一个生成的剩余有限群具有性质$PL^p$（即它允许在某些$L^p$空间上的真等距仿射作用）当且仅当它的一个（或等价地，所有）盒空间允许在某些$L^p$空间中的一个粗嵌入。我们还证明了一个群的盒空间到$L^p$空间的粗嵌入性蕴涵着这个群的性质$PL^p$。
Hyperbolic spaces with geometric and geometrically finite quasi-actions are symmetric
研究证明，若一个度量空间与有限生成群及具有上空的有限生成群空间准等距，则该空间与一维对称空间或实直线准等距。
A quasi-isometric embedding theorem for groups
我们证明了每个群$H$关于某个左不变度量最多指数增长性，允许一个双Lipschitz嵌入到一个有限生成群$G$中，使得$G$是顺从的（分别是，可解的，满足一个非平凡的恒等式，初等顺从的，有限分解复杂性的，等等）.每当$H$。我们还讨论了Lipschitz嵌入到一致凸巴拿赫空间的压缩函数，Følner函数和顺从群的初等类的一些应用。
Central extensions and bounded cohomology
Gersten证明了一个有限生成群的中心扩张是拟等距平凡的，只要它的Euler类是有界的。如果$G$的任意拟等距平凡中心扩张的Euler类是有界的，则称一个拟等距有限生成群$G$满足性质QITB（拟等距平凡蕴含有界）.我们展示了一个有限生成群$G$，它不满足性质QITB。这回答了诺依曼和里夫斯的一个问题，并对温哈德和布兰克的相关问题提供了部分答案。我们还证明了性质QITB适用于一大类群体，包括顺从群体，直角Artin群，相对双曲群顺从周边子群，和3-流形群。最后，我们表明，性质QITB持有的每一个非线性提出的组，如果一个猜想格罗莫夫有界的原始微分形式持有以及。
Conjugator length in finitely generated groups
本文刻画了有限生成群共轭子长度函数的可能形式，并证明任意两个递增函数可同时实现于可公度（拟等距）的有限生成群中。
Obstructions to coarse universality for finitely generated groups
通过指数上界和超指数数量的高围长3-正则图，构造有限生成群，其Cayley图不粗嵌入给定有界度图，解决了Simon Thomas的两个猜想。
Property $(T_B)$ and Property $(F_B)$ restricted to a representation without non-zero invariant vectors
本文给出了无非零不变向量的严格凸Banach空间上的一有限生成群具有类似Kazhdan的性质$(T)$的一个充要条件.类似地，我们给出了一个充要条件，使有限生成群具有像性质$(FH)$限制到集的仿射等距行动，其线性部分是一个等距表示严格凸Banach空间上没有非零不变向量的属性。若Banach空间是有限生成群上的$\ell^p$空间（$1<p<\infty$），则这些条件分别被看作是$p$ -Laplace算子在$\ell^p$空间和$p$ -Dirichlet有限空间上的谱估计.
Embeddings of relatively free groups into finitely presented groups
我们构造了相对自由群（比如自由Burnside群、自由可解群）到可表示群的简单嵌入。本文引入了群簇的动词等周函数的概念。证明了如果相对自由群的言语Dehn函数由多项式有界，则此群可拟等距嵌入到一个具有多项式等周函数的拟等距表示群中.利用多项式Dehn函数构造了任意Baumslag-Solitar可解群到一个可表示群的简单嵌入.
The Large Scale Geometry of Nilpotent-by-Cyclic Groups
非循环幂零群Gamma可以表示为有限生成的幂零群N的HNN扩张。第一个主要结果是：拟等距幂零循环群是拟等距幂零群的HNN扩张。定义这样一个扩张的非满射诱导出与李群相关联的李代数g的一个内射自同态φ，其中N是一个格。定义了幂零李代数自同构的一种标准型--置换绝对Jordan型，并证明它是一个拟等距不变量。证明了如果φ，θ是固定Carnot群G中格的自同态，且G的诱导自同构具有相同的置换绝对Jordan型，则Gamma_φ和Gamma_θ是拟等距的.还发现了两个准等距不变量：垂直流线的“发散率”的集合：D_phi "生长空间“：g_n子集g这些并没有确定置换绝对约旦形式是一个准等距不变量，尽管它们是朝着那个猜想的主要步骤。进一步证明了有限表现幂零循环群的拟等距刚性：任何与非循环幂零循环群拟等距的有限表现群都是（虚幂零）-循环的.
Quasi-isometric rigidity for PSL(2,Z[1/p])
我们证明了PSL（2，Z[1/p]）给出了第一个彼此不拟等距但具有相同拟等距群的群的例子。也就是说，PSL（2，Z[1/p]）和PSL（2，Z[1/q]）不是拟等距群，除非p=q，并且与p无关，PSL（2，Z[1/p]）的拟等距群是PSL（2，Q）。此外，我们还利用拟等距型刻画了PSL（2，Z[1/p]）在所有有限生成群中的唯一性.
Quasi-isometric rigidity for graphs of virtually free groups with two-ended edge groups
本文研究了一个大的有限生成群族的拟等距刚性，这些群分裂为具有虚自由顶点群和两端棱道群的群的图。设$G$是一个单端的群，相对于虚拟交换子群是双曲的，并且在仅包含非二次悬挂的虚拟自由顶点群的双端子群上具有JSJ分解。我们的主要结果是：任何拟等距于$G$的群都可抽象为$G$ .特别是，我们的结果适用于循环子群上的自由群的某些“一般”HNN扩展。
Quasi-isometric rigidity for a product of lattices
研究证明非均匀一维晶格与 nil 晶格乘积的准等距刚性，并展示其扩展为 nilcentral 扩展
Speed of random walks, isoperimetry and compression of finitely generated groups
我们给出了一个解决方案的逆问题（给定一个函数，找到一个相应的组）的速度，熵，等周剖面，返回概率和$L_p$ -压缩函数的有限生成群的指数体积增长的大类。对于较小的类，我们给出了可解群之间的解。作为推论，我们证明了最近的猜测阿米尔联合评估的速度和熵指数，我们得到了一个新的证明存在不可数的许多成对的非准等距可解群，最初是由于Cornulier和Tessera。我们还得到了一个关系到一个群的$L_p$ -压缩指数及其圈积与循环群的$p$在$[1,2]$。
Quasi-Isometric Bounded Generation by ${\mathbb Q}$-Rank-One Subgroups
如果$Γ$的有限指数子群的每个元素$γ$可以被写为$X$的有界数目的元素的乘积$γ= x_1 x_2 \cdots x_r$，使得每个$x_i$的字长由常数乘以$γ$的字长来限制，则我们说子集$X$准等距有界地生成一个双生成群$Γ$。A. Lubotzky，S. Mozes和MS Raghunathan在1993年观察到，${\rm SL}(n,{\mathbb Z})$是由它的自然${\rm SL}(2,{\mathbb Z})$子群的元素准等距生成的。我们推广（一个稍微削弱的版本），这表明，每一个$S$算术子群的各向同性，几乎简单的${\mathbb Q}$ -组拟等距有界产生的标准${\mathbb Q}$ -秩1子群。
Quasi-isometric free group representations into SL_3(R)
研究有限生成非交换自由群到高秩半单李群（非 Anosov 且不被 Anosov 逼近）的拟等距表示，证明某些情形下可扰动为非拟等距或具有旗空间作用不稳定性。
Homology and dynamics in quasi-isometric rigidity of once-punctured mapping class groups
在这些课堂讲稿中，我们将Kevin Whyte最近的同调方法与Benson Farb和我自己开发的较旧的动力学方法结合起来，得到亏格至少为2的一次穿孔曲面S的映射类群MCG（S）的一个新的拟等距刚性定理：若K是与MCG（S）拟等距有限生成群，则存在具有有限核和有限指标象的同态K -> MCG（S）。这个定理是与Kevin Whyte联合提出的。
Groups acting freely on $Λ$-trees
一个群称为$Λ$ -free，如果它在一个有序阿贝尔群$Λ$中有一个自由的Lyndon长度函数，这等价于在一个$Λ$ -树上有一个自由的等距作用.一个群在$Λ$中有一个规则的自由长度函数当且仅当它在一个$Λ$ -树上有一个自由等距作用，使得所有的分支点都属于基点的轨道。本文证明了每一个无$Λ$ -自由群$G$都可以嵌入到$Λ$中一个具有正则自由长度函数的无表示群中，使得嵌入保持了$G$上的长度函数.其次，我们证明了每一个在$Λ$中具有正则自由Lyndon长度函数的群$\widetilde G$，对于适当的$n$，在${\mathbb R}^n$中有一个正则自由Lyndon长度函数，并且可以从一个自由群通过一系列的HNN-扩张得到，其中相关的子群是极大交换的且长度同构。
On a family of finitely generated simple groups of homeomorphisms of the circle
本文研究环群换位子群的单性，构造出具有Aℝ性质的环群，证实圆周保定向同胚群中存在不可数个有限生成简单群。
Proper actions on finite products of quasi-trees
我们说有限生成群$G$具有（QT）性质，如果它等距作用在拟树的有限积上，使得轨道映射是拟等距嵌入.拟树是一个连通图，它的路度量与树拟等距，积空间具有$\ell^1$ -度量。作为投影复形技巧的应用，我们证明了剩余有限双曲群和映射类群具有（QT）。
Commensurability and QI classification of free products of finitely generated abelian groups
设群$G$与群生成的阿贝尔群的有限集$S$的自由积拟等距;令$S'$表示$S$中群的自由阿贝尔部分的秩的集合。则$G$可与$\Z$的自由积混合，其中对于$S'$中出现的每个$n$具有$\Z^n$。
Isometric group actions with vanishing rate of escape on CAT(0) spaces
本文研究 CAT(0) 空间上的等距群作用，证明在零逃逸率且不固定无穷远边界点的条件下，群作用必保持一个平坦子空间，关键工具是等变 $\mu$-调和映射。
Finitely presented wreath products and double coset decompositions
我们刻画了哪些置换圈积W^（X）\rtimes G是可表示的.当且仅当G和W是双存在的，G作用在X上的稳定子是双生成的，并且在笛卡尔平方X^2上的轨道是双生成的。这一方面推广了G. Baumslag关于标准圈积;另一方面，这提供了非平凡的例子，提出的群体。例如，我们得到了两个拟等距群，其中一个是挠自由群，另一个具有无穷挠子群。受上述刻画的启发，我们讨论了以下问题：哪些有限生成群可以有一个具有100多个双陪集的有限生成子群？讨论涉及到极大子群的结构和profinite拓扑的性质。
Torsion Subgroups of Groups with Quadratic Dehn Function
我们构造了第一个具有二次Dehn函数的群的例子，这些群包含一个由二次Dehn函数生成的无穷挠子群。这些例子是“最优的”，因为任何这样的群的Dehn函数必须至少是二次的。证明了对任意$n\geq2^{48}$，若$n$是奇数或可被$2^9$整除，则任意指数为$n$的无限自由Burnside群是一个具有满足同余扩张性质的二次Dehn函数的拟等距嵌入群.
Acylindrically hyperbolic groups and their quasi-isometrically embedded subgroups
我们从几何群论中的一些例子中抽象出A/QI三元组的概念。这样一个三元组（G，X，H）由一个作用在Gromov双曲空间X上的群G组成，该群沿着一个拟等距嵌入该作用的生成子群H非圆柱地作用。例子包括相对双曲群的强拟凸子群，映射类群的凸余紧子群，Out（Fn）的许多已知的凸余紧子群，以及由作用于Gromov双曲空间的群的独立斜驶WPD元素的幂生成的群。本文首先研究了A/QI三元组的交和组合性质。在G是双生成的假设下，我们利用Sisto方法证明了H是稳定的.本文应用Kapovich-Rafi定理和Dowdall-Taylor定理分析了相应的锥流的Gromov边界。我们以一些例子和问题结束。
Isometric orbit equivalence for probability-measure preserving actions
本文通过图化研究有限生成群的保测作用，引入等距轨道等价概念，证明了其对特定群具有刚性，并构造了自由群的非平凡示例，表明混合性在该等价下非不变量。
Groups of piecewise isometric permutations of lattice points or finitary rearrangements of tessellations
通过眼镜的说教减少：我们认为（周期性）镶嵌$Δ$的欧几里德或双曲$n$ -空间$M$。通过$Δ$的分段等距重排，我们指的是沿着corank-1瓦片面将$M$切割成多个凸多面体片段，并将这些片段重排为镶嵌$Δ$的新的紧密覆盖的过程。这样的重排定义了$Δ$的瓦片（的中心）的排列，并且我们对$Δ$的所有分段等距重排的组$PI(Δ)$感兴趣。在本文中，我们提供：a）说明分段等距重排在视觉上有吸引力的双曲平面，b）解释这是如何相关的理查德汤普森的团体，c）一章的结构组培$(\mathbb Z^n)$的所有分段欧几里德重排的标准镶嵌的$\mathbb R^n$单位立方体，和d）结果的有限性质的一些小组培$(\mathbb Z^n)$。
Random quotients of mapping class groups are quasi-isometrically rigid
本文证明了曲面映射类群随机商的拟等距刚性，推广了Ivanov定理，并利用层级双曲群技术证明弱等距性及自同构群与群本身重合。
Quasi-actions on trees: research announcement
我们开发了一组工具来研究群的拟等距刚性和分类问题。这些技术最适合于所有边和顶点群都是粗PD群的有限群图。例如，如果Gamma是一个n固定的粗PD（n）群图，如果Gamma的Bass-Serre树有无限多个端点，并且如果H是一个与pi_1（Gamma）准等距的有限生成群，那么我们证明H是粗PD（n）群图的基本群，其顶点和棱道群与Gamma的顶点和边道群准等距。在边到顶点群包含的各种假设下，我们也得到了非常数维数的粗PD群的图的拟等距刚性定理。
The geometry of groups containing almost normal subgroups
如果$H$的每个共轭都可与$H$共轭，则称子群$H\leq G$几乎正态。如果$H$几乎正规，则存在定义良好的商空间$G/H$。我们表明，如果一个组$G$有类型$F_{n+1}$，并包含一个几乎正常的粗$PD_n$子群$H$与$e(G/H)=\infty$，那么只要$G'$是准等距$G$，它包含一个几乎正常的子群$H'$是准等距$H$。此外，商空间$G/H$和$G'/H'$是拟等距的。这推广了Mosher-Sageev-Whyte的一个定理，他们证明了$G/H$对有限价丛树是拟等距的情况。利用Mosher的工作，我们推广了Farb-Mosher的一个结果，证明了对于许多曲面群扩张$Γ_L$，任何与$Γ_L$拟等距的群实质上同构于$Γ_L$ .我们还证明了类的拟等距刚性，提出$\mathbb{Z}$ -由-（$\infty$结束）集团。
Simple groups and irreducible lattices in wreath products
我们考虑作用在正则树上的有限生成群，它们具有几乎预定的局部作用。我们证明了这些群作为余紧不可约格嵌入到某些局部紧圈积中。这提供了与圈积$C \wr F$拟等距的群生成的单群的例子，其中$C$是有限群，而$F$是非阿贝尔自由群。
Asymptotic geometry of lamplighters over one-ended groups
本文主要研究环积$F\wr H := \left( \bigoplus_H F \right) \rtimes H$的渐近几何，其中$F$是有限群，$H$是单端群.我们的主要结果是一个完整的分类，这些群体的准等距。更精确地说，给定两个有限群$F_1,F_2$和两个单端群$H_1,H_2$，我们证明了$F_1 \wr H_1$和$F_2 \wr H_2$是拟等距的当且仅当（i）$H_1,H_2$是非顺从的拟等距群，并且$|F_1|,|F_2|$有相同的素因子，或者（ii）对于某些$k,n_1,n_2 \geq 1$，$H_1,H_2$是顺从的，$|F_1|=k^{n_1}$和$|F_2|=k^{n_2}$，并且存在准$(n_2/n_1)$对1的准等距$H_1 \to H_2$。这篇文章还包含代数信息的团体准等距等花圈产品。这可以看作是Eskin-Fisher-Whyte的一项著名工作的深远延伸，他治疗了$H=\mathbb{Z}$的病例。然而，我们的方法从根本上是不同的，因为它关键地利用了$H$是单端的假设。我们的中心工具是一个新的几何解释，涉及自然家庭的准中值空间的lampighter组。
On the asymptotic geometry of abelian-by-cyclic groups
一个无挠的循环循环群总是可以写成Z^n的一个递增HNN扩张Gamma_M，由一个n × n整数矩阵M确定，det（M）\ne 0。群Gamma_M是循环的当且仅当|det（M）|=1。本文给出了非多环群Gamma_M到拟等距的完全分类：给定n × n整数矩阵M，N，其中|det（M）|, |det（N）|> 1，群Gamma_M，Gamma_N是拟等距的当且仅当存在正整数r，s使得M^r，N^s具有相同的绝对Jordan型.我们还证明了拟等距刚性：如果Gamma_M是由n × n整数矩阵M确定的交换循环群，|det（M）|> 1，且若G是与Gamma_M拟等距的任意有限生成群，则存在G的有限正规子群K，使得G/K可抽象为Gamma_N，对某个n × n整数矩阵N，|det（N）|> 1.
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