Problems on the geometry of finitely generated solvable groups
Benson Farb, Lee Mosher
关于非线性生成的可解群的拟等距分类和刚性的问题、图解和定理综述。
A survey of problems, conjectures, and theorems about quasi-isometric classification and rigidity for finitely generated solvable groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An example of a fractal finitely generated solvable group
构造了一个具有无界迭代恒等式的可解群，并证明了它的生成可解群.
Palindromic Width of Finitely Generated Solvable Groups
研究了可解群生成的可解群的回文宽度。我们证明了每一个可生成的$3$ -步可解群都有有限的回文宽度。更一般地，我们证明了有限的回文宽度的交换由幂零由幂零群。对任意可解群的步$\geq 3$，证明了如果$G$是一个可解群的一个可解生成群，且该可解群是一个阿贝尔群通过一个满足正规子群极大条件的群的扩张，则$G$的回文宽度是有限的.我们还证明了$\mathbb Z \wr \mathbb Z$关于标准生成元集的回文宽度是$3$。
Non-linear, solvable, residually $p$ groups
本文构造了有限生成非线性可解剩余2群的第一个例子，填补了从剩余有限群到剩余p群这一研究方向的空白。
Solvable Groups of Exponential Growth and HNN Extensions
我们证明了以下版本的米尔诺定理的可解群的指数增长性：一个非循环生成的可解群包含一个上升的HNN扩展。因此，一个ERF生成的可解群是ERF当且仅当它是多环的。
Subgroups of finitely presented groups with solvable conjugacy problem
我们证明了每个具有可解幂问题的可数群嵌入到具有可解幂和共轭问题的有限呈现2-生成群中。
Some torsion-free solvable groups with few subquotients
本研究构造出满足所有有限生成无挠亚阿贝尔子商均为虚阿贝尔的无限秩有限生成无挠可解群，证明了P. Kropholler的无限秩可解群刻画定理不存在无挠版本。
A finitely-presented solvable group with a small quasi-isometry group
我们展示了一族无限的、有限表现的、幂零的阿贝尔群。这个群族的每个成员都是一个与Baumslag-Solitar群相关的可解S-算术群，并且这些群中的每个群都有一个准等距群，它实际上是一个可解实李群和一个可解p-adic李群的乘积。此外，我们提出了一个多环群的准等距群是一个可解的真正的李群的候选人，我们介绍了一个准等距刚性可解群，这是不确定的候选人。我们还记录了一些关于点灯人群体的大尺度几何的描述。
Embeddings of relatively free groups into finitely presented groups
我们构造了相对自由群（比如自由Burnside群、自由可解群）到可表示群的简单嵌入。本文引入了群簇的动词等周函数的概念。证明了如果相对自由群的言语Dehn函数由多项式有界，则此群可拟等距嵌入到一个具有多项式等周函数的拟等距表示群中.利用多项式Dehn函数构造了任意Baumslag-Solitar可解群到一个可表示群的简单嵌入.
Growth rate for endomorphisms of finitely generated nilpotent groups and solvable groups
本文证明了一个广义生成的幂零群的自同态的增长率等于其阿贝尔化的诱导自同态的增长率，推广了文[14]中关于自同构的相应结果.我们还研究了特殊的可解群，Sol格的自同态的增长率，给出了[5]中一个已知结果的反例，并证明了增长率是一个代数数.
Polynilpotent Multipliers of Finitely Generated Abelian Groups
本文给出了一个显式公式，证明了一个可生成的阿贝尔群关于类行$(c_1,...,c_t)$，${\cal N}_{c_1,...,c_t}$的多幂零群簇的Baer不变量.特别地，可以获得$\ell$ -可解乘子的显式结构（关于长度至多为$\ell\geq 1,\ {\cal S}_{\ell}$的可解群的多样性的Baer不变量）。生成的阿贝尔群。
Residual finiteness and strict distortion of cyclic subgroups of solvable groups
我们提供了多项式下界的剩余有限性，剩余有限，可解群可解群，承认无限阶元素的拟合子群的严格失真至少指数。对于这类可解群，包括具有非平凡指数根的多环群和亚阿贝尔Baumslag-Solitar群，我们改进了文献中的下界.此外，对于满足我们定理条件的无限Prüfer秩的剩余有限、有限生成的可解群类，我们提供了第一个非平凡的下界。
We prove that, for a finitely generated residually finite group, having solvable word problem is not a sufficient condition to be a subgroup of a finitely presented residually finite group. The obstruction is given by a residually finite group with solvable word problem for which there is no effective method that allows, given some non-identity element, to find a morphism onto a finite group in which this element has a non-trivial image. We also prove that the depth function of this group grows faster than any recursive function.
On conjugacy growth for solvable groups
证明了非虚幂零的可解群具有指数共轭增长。
On the residual solvability of generalized free products of finitely generated nilpotent groups
本文研究了群生成的幂零群群的广义自由积的剩余可解性。我们表明，这类结构往往是剩余可解的。
Free-by-cyclic groups have solvable conjugacy problem
利用O. Maslakova的一个算法可以找到生成集的固定子群的自由群自同构，和一个P. Brinkmann的，可以确定是否两个循环字在一个自由群映射到对方的一些权力，一个给定的自同构。该算法有效地计算共轭元素，如果它存在的话。我们还解决了幂共轭问题，并给出了一个算法，以确定是否两个给定的元素的一个非线性生成的自由群是Reidemeister等价关于一个给定的自同构。
Weak Identities in finitely generated groups
在这篇文章中，我们引入了群中弱恒等式的概念，并研究了它们的性质。我们证明了弱恒等式具有与普通恒等式相似的性质。我们用这个概念证明了任何一个可解判别群都是阿贝尔群。
Given a finitely generated group $G$, we are interested in common geometric properties of all graphs of faithful actions of $G$. In this article we focus on their growth. We say that a group $G$ has a Schreier growth gap $f(n)$ if every faithful $G$-set $X$ satisfies $\mathrm{vol}_{G, X}(n)\succcurlyeq f(n)$, where $\mathrm{vol}_{G, X}(n)$ is the growth of the action of $G$ on $X$. Here we study Schreier growth gaps for finitely generated solvable groups. We prove that if a metabelian group $G$ is either finitely presented or torsion-free, then $G$ has a Schreier growth gap $n^2$, provided $G$…
Virtually torsion-free covers of minimax groups
我们证明了每一个可生成的，虚拟可解的极大极小群可以表示为一个虚拟无挠的，虚拟可解的极大极小群的同态像。这个结果使我们推广了Ch. Pittet和L. Saloff-Coste关于在极小生成的、几乎可解的极大极小群上的随机游动。此外，该文件确定的属性，如导出的长度和幂零类的拟合子群，这是保留在覆盖过程。最后，我们确定到底哪些无限生成的，几乎可解的极大极小群也拥有这种类型的覆盖。
Computability of Følner sets
我们定义的概念的可计算性的Følner集的可计算性生成的顺从的群体。通过一个明确的描述，证明了具有不可解字问题的可表示可解群Kharlampovich群有可计算Følner集.我们还证明了Følner集的可计算性的一组，这是一个可解的字问题的问题，由一个有限生成群与可计算的Følner集与subrecursive失真函数的顺从群的扩展。此外，我们得到了一些已知的和一些新的上界的Følner函数在这些特定的扩展。
Separability of Solvable Subgroups in Linear Groups
设G是特征为0的域上的非线性生成的线性群.设G的每一个可解子群都是循环的。然后，声称任何可解子群G是可分的。这一点在G=SL_n（Z）中得到了证明。然而，第4节中的主要定理的证明是不完整的。
In this paper, we prove a series of results on group embeddings in groups with a small number of generators. We show that each finitely generated group $G$ lying in a variety ${\mathcal M}$ can be embedded in a $4$-generated group $H \in {\mathcal M}{\mathcal A}$ (${\mathcal A}$ means the variety of abelian groups). If $G$ is a finite group, then $H$ can also be found as a finite group. It follows, that any finitely generated (finite) solvable group $G$ of the derived length $l$ can be embedded in a $4$-generated (finite) solvable group $H$ of length $l+1$. Thus, we answer the question of V. H…
Integrality and arithmeticity of solvable linear groups
给出了判定可解代数群$G$的可解生成子群是否为算术群的一个实用算法。这包括一个程序来计算一个生成集的算术子群的$G$。我们还提供了一个简单的新算法的完整性测试的可解的有限线性群在有理数域上。该算法已在{ \sc Magma}中实现。
Solvable Subgroup Theorem for simplicial nonpositive curvature
给定一个群$G$与有界挠，适当地作用于一个收缩复形，我们表明，每一个可解子群的$G$是可解生成和几乎阿贝尔的秩最多$2$。特别是这给出了一个新的证明上述定理的收缩群。证明中使用的主要工具是乘积分解定理和平坦环面定理。
Isomorphism versus commensurability for a class of finitely presented groups
构造了一类同构问题可解但可解性问题不可解的群。相反，我们构造了一类可解性问题可解但同构问题不可解的群。这些是关于同构问题的这种对比复杂性行为的第一个例子。
Embedding hyperbolic groups into finitely presented infinite simple groups
本文回顾了Boone--Higman猜想的历史，并概述了证明双曲群可嵌入有限呈现单群的相关工作。
Abstract commensurators of solvable Baumslag - Solitar groups
证明了对任意自然数n>1，Baumslag-Solitar群BS（1，n）的抽象分解子群同构于A_{11} =1的有理数上的2 × 2上三角形矩阵A.证明了对任何具有唯一根性质的有限生成群G，其自然同态Aut（G）--> Comm（G）--> QI（G）是嵌入.
The membership problem for 3-manifold groups is solvable
本文证明了3-流形群的广义生成子群的隶属问题是可解的。
Residually finite rationally solvable groups and virtual fibring
我们证明了一个可生成的剩余有限有理可解（或RFRS）群$G$是虚满的，在这个意义上，它允许一个虚满射到具有可生成核的$\mathbb{Z}$，当且仅当$G$的第一个$L^2$ -贝蒂数为零。这推广了（并给出了一个新的证明）伊恩·阿戈尔的类似结果的基本群的$3$ -流形。
Automorphisms and monomorphisms of direct products of virtually solvable minimax groups
本文研究了有限生成近可解极小极大群直积的自同构与单射映射性质，证明了在特定条件下，每个单射映射可唯一分解为θ·ζ形式，其中θ将每个因子映射到排列后的因子，并且ζ是中心且非对角的。
Connections between properties of the additive and the multiplicative groups of a two-sided skew brace
研究了双边斜支撑的加法群与乘法群之间的关系。特别地，我们证明了：如果一个双边斜支撑的加法群是有限可解的（分别是可解的、剩余可解的、剩余有限的），那么这个斜支撑的乘法群也是可解的（分别是可解的、剩余可解的）.证明了若双侧斜支撑的乘法群是幂零类$k$的幂零群，则该斜支撑的加法群至多是类$2k$的可解群.信结果推广的结果Byott说，如果乘法群的有限斜括号是阿贝尔，然后添加剂组的斜括号是可解的。此外，我们解决了两个问题（问题19.49和问题19.90（a））有关斜括号，制定了Kourovka笔记本电脑。
About the speed of random walks on solvable groups
我们证明了对于每个$λ\in [\frac{1}{2}, 1]$，存在一个可解群和一个可解测度，使得相关的随机游动具有上速度指数$λ$。
On the difficulty of presenting finitely presentable groups
我们展示类组中的字问题是一致可解的，但在其中没有算法，可以计算有限的presentable子群。双曲群的直积、整数矩阵群和直角Coxeter群形成这样的类。我们讨论相关类的群体，其中确实存在一个算法来计算有限的介绍可表示的子群。我们还构造了一个具有多项式Dehn函数的可表示群，但其中没有算法来计算可表示子群的第一个贝蒂数。
Solvable Subgroups of Locally Compact Groups
证明了连通李群的闭可解子群是紧生成的。特别地，连通李群的每个离散可解子群都是可解生成的。讨论了局部紧群的推广.
A probabilistic Tits alternative and probabilistic identities
本文引入了剩余有限群的概率恒等式的概念。我们证明了一个随机生成的线性群满足概率恒等式当且仅当它是虚可解的。作为应用，我们证明了Tits替代的一个概率变体：设G是一个非线性生成的线性群的profinite完成。则要么G是虚拟可解的，要么对任意正整数n，概率为1，G的n个独立的均匀分布的元素自由生成G的秩为n的自由子群。
The pro-$k$-solvable topology on a free group
本文证明了自由群有限生成子群在pro-(元)交换和pro-${\bf V}$拓扑下闭包性质的可判定性，并给出了闭包基的有效构造及成员资格判定。
Quasi-isometry and finite presentations of left cancellative monoids
我们证明了有限可表示和有限可表示且可解字问题是有限生成的左可消么半群的准等距不变量。我们的主要工具是一个基本的，但有用的，左cancellative幺半群有限presentability的几何表征。我们也给出例子表明，这种特性并不延伸到一般的幺半群，事实上，如可解的字问题的属性不是等距不变量一般幺半群。
Some elementary amenable subgroups of interval exchange transformations
本文研究了区间交换变换中某些初等可容许子群的性质，探讨了其非虚拟可解性和可解性条件，并展示了无限多个非线性且非虚拟可解的群以及可解群的导出长度。
Rigidity and flexibility results for groups with a common cocompact envelope
该文研究具有公共余紧包络的有限生成群的共有性质，在完全不连通包络、有限秩可解群等情形下建立了刚性与柔性结果，证明有限秩可解群类非QI刚性，还展示了$F_n$型群的柔性行为。
The Amalgamated product of free groups and residual solvability
本文研究了两个双生成自由群的合并积的剩余可解性。我们发现这种结构是剩余可解的条件，并表明，在一般情况下，这是不是这样的。然而，这种结构总是亚剩余可解的。
Palindromic width of wreath products, metabelian groups, and max-n solvable groups
如果存在$n$，使得每个元素都可以表示为$n$或更少回文字的乘积，则群具有有限回文宽度。证明了如果$G$关于某个生成集具有有限回文宽度，则$G \wr \mathbb{Z}^{r}$也具有有限回文宽度.我们还给出了一个新的，自包含的，证明，生成的亚阿贝尔群有有限的回文宽度。最后，证明了满足正规子群（max-n）极大条件的可解群具有有限回文宽度.
The Geometry of the Conjugacy Problem in Wreath Products and Free Solvable Groups
我们描述了一个有效的版本的共轭问题，并研究它的圈积和自由可解群。这个问题涉及到估计的长度短共轭之间的两个元素的组，一个概念，导致定义的共轭长度函数。证明了对于自由可解群，共轭长度函数至多为三次。对于圈积的行为取决于共轭长度函数的两个群体参与，以及子群失真内的商群。
Approximating a group by its solvable quotients
一个群的可解Farb增长量化了这个群被它的有限可解子近似的程度。本文给出了实幂零多环群的一个新刻画。也就是说，我们表明，一个组有可解的Farb增长，这是在$\log(n)$多项式当且仅当该集团是多环和几乎幂零的。我们还给出了关于幂零元逼近定向曲面群的新结果。因此，我们证明了一个自然数$C$的存在，使任何非平凡元素的$Ck$长期的下中心序列的一个非平凡生成的定向表面群必须有字长至少$k$。这里，$C$仅取决于发电机组的选择。最后，我们给出了一些结果，给出了某些亚阿贝尔群（包括Lighter群）的可解Farb增长的新的下界。
The Conjugacy Problem and Higman Embeddings
对任意一个递归表示群G，构造一个包含G的递归表示群H，使得G是（Frattini）嵌入到H中的，且群H有可解共轭问题当且仅当G有可解共轭问题.此外，G和H具有相同的r.e.。共轭问题的图灵度。这就解决了D.柯林斯
The Identity Problem in virtually solvable matrix groups over algebraic numbers
该研究针对代数数域上的虚可解矩阵群，证明了单位元问题与群问题的可判定性，推广了此前幂零群、亚阿贝尔群的相关结果，缩小了两类判定问题的可判定性差距。
Uniform Exponential Growth for Linear Groups
本文证明了特征为零的域上的任意非虚可解线性群具有一致指数增长性。
We say a group $G$ has property $R_\infty$ if the number $R(φ)$ of twisted conjugacy classes is infinite for every automorphism $φ$ of $G$. For such groups, the $R_\infty$-nilpotency degree is the least integer $c$ such that $G/γ_{c+1}(G)$ has property $R_\infty$. In this work, we compute the $R_\infty$-nilpotency degree of all Generalized Solvable Baumslag-Solitar groups $Γ_n$. Moreover, we compute the lower central series of $Γ_n$, write the nilpotent quotients $Γ_{n,c}=Γ_n/γ_{c+1}(Γ_n)$ as semidirect products of finitely generated abelian groups and classify which integer invertible matrice…
Finitely annihilated groups
我们说一个群是群零化的，如果它是它的所有真正规有限指数子群的集合论并。我们研究了这个新的性质，并观察到它是独立于其他几个众所周知的群性质。对于有限生成群，我们证明了在许多情况下它等价于具有非循环阿贝尔化，同时构造了一个明确的无穷族反例。我们证明了，这个属性既不是马尔可夫，也不是co-Markov。在我们的工作的背景下，我们表明，一个非完美的有限群，或一个非完美的可解群生成的可解群的重量，是相同的重量，其abelianisation。我们推广了Brodie-Chamberlain-Kappe关于群的有限覆盖的一个定理，并对我们的新定义作了一些推广和变化。
Speed of random walks, isoperimetry and compression of finitely generated groups
我们给出了一个解决方案的逆问题（给定一个函数，找到一个相应的组）的速度，熵，等周剖面，返回概率和$L_p$ -压缩函数的有限生成群的指数体积增长的大类。对于较小的类，我们给出了可解群之间的解。作为推论，我们证明了最近的猜测阿米尔联合评估的速度和熵指数，我们得到了一个新的证明存在不可数的许多成对的非准等距可解群，最初是由于Cornulier和Tessera。我们还得到了一个关系到一个群的$L_p$ -压缩指数及其圈积与循环群的$p$在$[1,2]$。
Geometry and dynamics on the free solvable groups
给出了水平二的自由可解群的新模型，这有助于计算群的Poisson-Furstenberg边界.
We study systematically groups whose marked finite quotients form a recursive set. We give several definitions, and prove basic properties of this class of groups, and in particular emphasize the link between the growth of the depth function and solvability of the word problem. We give examples of infinitely presented groups whose finite quotients can be effectively enumerated. Finally, our main result is that a residually finite group can be even not recursively presented and still have computable finite quotients, and that, on the other hand, it can have solvable word problem while still not…
A branch group with unsolvable conjugacy problem
本文通过将任意有限生成剩余有限群保持共轭关系地嵌入有限生成分支群，构造出字问题可解但共轭问题不可解的分支群，回答了相关公开问题。
Superrosy dependent groups having finitely satisfiable generics
我们研究了一个模型理论的背景下（有限荆棘秩，NIP，与可满足的泛型），这是一个共同的推广群体的有限Morley秩和可定义的紧群在O-最小的结构。我们证明了，假设荆棘秩1，该组是阿贝尔有限的，并假设荆棘秩2的组是可解的有限。一个域也是代数闭的。
The subgroup identification problem for finitely presented groups
我们引入了子群识别问题，证明了存在一个不可解的群G，并且证明了它在可解的局部Hopfian群类中是一致可解的.这是作为一个调查之间的差异强和弱有效的一致性，为共同提出的群体。
Sieve methods in group theory I: Powers in Linear groups
给出了群的一般筛法。它使人们能够“测量”一个有限生成群的子集。作为应用，我们证明了如果$Γ$是一个特征为零的非虚可解线性群，则$Γ$的真幂集是指数小的.这是对\cite{HKLS}的主要结果的深远加强。
Isoperimetric Functions of Groups and Computational Complexity of the Word Problem
证明了一个有限生成群$G$的字问题是NP（非确定图灵机多项式时间可解）的当且仅当这个群是一个具有多项式等周函数的非确定表示群$H$的子群.可以以这样的方式选择嵌入，使得$G$在$H$中具有有界失真。
Solvable Baumslag-Solitar Groups Are Not Almost Convex
Cannon、Floyd、Grayson和Thurston的论证表明，可解几何群不是几乎凸的，也表明可解Baumslag-Solitar群不是几乎凸的。
Algorithms for linear groups of finite rank
设$G$是一个有限生成可解的线性群.给出了计算$G$的无挠秩的算法和计算$G$的Prüfer秩的上界.这反过来又产生一个算法，以决定是否有一个有限生成的子群的$G$有有限的指数。这些算法是在MAGMA中实现的，适用于代数数域上的群。
The braided Ptolemy-Thompson group is finitely presented
为了研究Thompson群与映射类群之间的关系，我们引入了群$T^*$（及其进一步的推广），它是Ptolemy-Thompson群$T$通过无限多股上的全辫群$B_{\infty}$的推广.我们证明了它是一个具有可解字问题的群，并给出了它的一个显式表示。
Automorphism groups of solvable groups of finite abelian ranks
本文研究了可解群的自同构群结构，通过有理代数包络的构造，探讨了S-算术子群的性质及外自同构群的算术像。
Conjugacy in normal subgroups of hyperbolic groups
设N是Gromov双曲群G的一个N-生成正规子群.根据G/N的相应性质，建立了N有可解共轭问题和共轭可分的判据。证明了F. Haglund's和D.怀斯版本的里普斯构造是遗传共轭可分的。然后，我们使用这种结构产生的第一个例子，生成和提出的共轭可分群，包含非（共轭可分）子群的有限指数。
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