循环箭图的Ringel-Hall代数

Claus Michael Ringel对Gorenstein-投射模的主要贡献

Claus Michael Ringel's main contributions to Gorenstein-projective modules

本文系统梳理了Claus Michael Ringel在Gorenstein-投射模领域的多项基础性贡献，涵盖问题求解、技术提出、对应关系证明、范畴刻画及否定性结论等多方面成果。

Constructions of highest weight modules of double Ringel-Hall algebras via functions

In [19], Zheng studied the bounded derived categories of constructible $\bar{\mathbb{Q}}_l$-sheaves on some algebraic stacks consisting of the representations of a enlarged quiver and categorified the integrable highest weight modules of the corresponding quantum group by using these categories. In this paper, we shall generalize Zheng's work to highest weight modules of a subalgebra of the double Ringel-Hall algebra associated to a quiver in a functional version.

有理Ringel-Hall代数、仿射型Hall多项式和标准基

Rational Ringel-Hall algebras, Hall polynomials of affine type and Canonical bases

本文引入了驯服箭图的有理Ringel-Hall代数，并将其等同于量子扩展Kac-Moody代数的正部分.利用有理Ringel-Hall代数，证明了驯服Ringel-Hall代数的Hall多项式的存在性.构造了PBW基，证明了一类新的反常层具有强纯性。这使得我们可以构造量子扩展Kac-Moody代数的正部分的标准基。

关于分辨率抖动的注记

A note on resolution quivers

最近，Ringel为连通的Nakayama代数引入了分解定理。众所周知，分辨率的每个连通分量都有一个唯一的循环。我们证明了所有的决议中的循环是相同的大小。我们在解析式中引入了圈的权的概念。所有的循环都有相同的权重。

Quantum Borcherds-Bozec algebras via semi-derived Ringel-Hall algebras II: braid group actions

Based on the realization of quantum Borcherds-Bozec algebra $\widetilde{\mathbf{U}}$ and quantum generalized Kac-Moody algebra ${}^B\widetilde{\mathbf{U}}$ via semi-derived Ringel-Hall algebra of a quiver with loops, we deduce the braid group actions of $\widetilde{\mathbf{U}}$ introduced by Fan and Tong recently and establish braid group actions for ${}^B\widetilde{\mathbf{U}}$ by applying the BGP reflection functors to semi-derived Ringel-Hall algebras.

单齐次正则模的Ringel-Hall数和Gabriel-Roiter子模

Ringel-Hall numbers and the Gabriel-Roiter submodules of simple homogeneous regular modules

设k是任意域，Q是Tame型非循环域.考虑路代数kQ和有限维右模范畴Mod kQ。本文的第一部分证明了预投射不可分解单齐次正则（维数为极小根向量）中的Gabriel-Roiter包含及其Gabriel-Roiter测度是域独立的。利用这个结果，我们可以证明在一个更一般的设置一个定理，陈波其中规定，加布里埃尔-Roiter子模的一个简单的齐次定期（与维的最小根向量）是一个预投射不可分解的缺陷-1。推广包括在考虑原来失踪的情况下$\tilde E_8$和使用任意字段（而不是代数封闭的）。我们的证明是基于林格尔的想法（用于Dynkin多项式的上下文中）比较所有可能的林格尔-霍尔多项式的特殊形式，他们采取的情况下，加布里埃尔-罗伊特包含。为此，我们计算（使用GAP编写的程序）一个有用的林格尔霍尔多项式在驯服的情况下。

Nakayama代数的解析有向图及其最小Auslander-Gorenstein性质

The resolution quiver of Nakayama algebras which are minimal Auslander-Gorenstein

本文通过Ringel的解析有向图，提出判断Nakayama代数是否为最小Auslander-Gorenstein的准则，核心方法基于自同态维数的奇偶性。

Ringel duality for certain strongly quasi-hereditary algebras

We introduce quasi-hereditary endomorphism algebras defined over a new class of finite dimensional monomial algebras with a special ideal structure. The main result is a uniform formula describing the Ringel duals of these quasi-hereditary algebras. As special cases, we obtain a Ringel-duality formula for a family of strongly quasi-hereditary algebras arising from a type A configuration of projective lines in a rational, projective surface as recently introduced by Hille and Ploog, for certain Auslander-Dlab-Ringel algebras, and for Eiriksson and Sauter's nilpotent quiver algebras when the qui…

Quantum Borcherds-Bozec algebras via semi-derived Ringel-Hall algebras

We use semi-derived Ringel-Hall algebras of quivers with loops to realize the whole quantum Borcherds-Bozec algebras and quantum generalized Kac-Moody algebras.

二重Tame遗传代数的Ringel-Hall代数

Ringel-Hall Algebras of Duplicated Tame Hereditary Algebras

设$A$是有限域$k$上具有$q$元的驯服遗传代数，${\bar{A}}$是$A$的复制代数.本文研究了Ringel-Hall代数$\mathscr{H} (\bar{A})$和相应的复合代数$\mathscr{C} (\bar{A})$的结构.作为应用，我们证明了当$A$是一个驯服的可分解的$k$-代数时，对于任意的$\bar{A}$ -模$M, X$和$Y$，若$A$是一个驯服的可分解的$k$ -代数，则存在Hall多项式$g_{XY}^M$，并得到了由$\bar{A}$诱导的李子代数.

广义Kac-Moody李代数与积箭图

Generalized Kac-Moody Lie Algebras And Product Quivers

我们构造了整个广义Kac-Moody李代数作为另一个广义Kac-Moody李代数的正部分的商.广义Kac-Moody李代数的正部分可以用Ringel的Hall代数构造法从箭图的表示中构造出来。从而给出了整个广义Kac-Moody李代数的一个直接实现。

量子化辛分解的跨壁函子：反常性和部分Ringel对偶

Wall-crossing functors for quantized symplectic resolutions: perversity and partial Ringel dualities

本文研究了辛分解量子化上模范畴之间的跨壁函子。我们证明，穿墙函子通过面对反常的等价，并使用此验证Etingof型猜想的量化Nakajima的变种与仿射箭。在这种情况下，当有一个哈密顿环面的决议与许多不动点，使它有意义的范畴$\mathcal{O}$在量子化的发言，我们引入新的标准分层结构，这些类别$\mathcal{O}$和相关的Ringel对偶函子与这些标准分层结构的作用。

Ringel-Hall代数到量子簇代数的同态

On homomorphisms from Ringel-Hall algebras to quantum cluster algebras

在\cite{rupel3}中，作者定义了从某个遗传交换范畴$\mathcal{A}$的对偶Ringel-Hall代数到一个适当的$q$-多项式代数的代数同态.在$\mathcal{A}$是无圈图的表示范畴的情况下，利用\cite{DX}中的簇乘公式给出了另一种证明.此外，如果$Q$的底层图是二部的，并且与二部图$Q$相关联的矩阵$B$是满秩的，我们证明了代数同态的像在相应的量子簇代数中.

Köchern的错误和错误

Über erreichbare und baumartige unzerlegbare Darstellungen von Köchern

设$A$是代数闭域上的有限维代数.本文的出发点是利用正合序列从简单模归纳地构造不可分解的$A$ -模的问题--可达性。它使我们考虑有限箭图的特殊的和不可分解的树表示。继林格尔之后，我们证明了他的结果：异常表示是树表示。本文详细介绍了在证明中起重要作用的斯科菲尔德归纳法的各个方面。此外，我们引入了一个函子（强假设），使我们能够构建不可分解模的代数从不可分解表示的某些二分图。我们还证明了Ringel的一个结果，即广义Kronecker图的维数$d>1$的每个例外表示都有维数$d-1$的不可分解因子或子表示.本文最后通过一些计算来说明3-Kronecker-算符在小维中的表示的可及性。

Some Identities in Quantum Torus Arising from Ringel-Hall Algebras

We define two classes of representations of quivers over arbitrary fields, called monomorphic representations and epimorphic representations. We show that every representation has a unique maximal nilpotent subrepresentation and the associated quotient is always monomorphic, and every representation has a unique maximal epimorphic subrepresentation and the associated quotient is always nilpotent. The uniquenesses of such subrepresenations imply two identities in the Ringel-Hall algebra. By applying Reineke's integration map, we obtain two identities in the corresponding quantum torus.

循环箭图的Hall代数与$q$ -变形Fock空间

Hall algebras of cyclic quivers and $q$-deformed Fock spaces

在Ringel和Green工作的基础上，我们可以定义一个双$Q$的（Drinfeld）双Ringel-Hall代数${\mathscr D}(Q)$及其最高权模.本文的主要目的是证明循环图$Δ_n$的${\mathscr D}(Δ_n)$的基本表示$L(Λ_0)$提供了Hayashi定义的$q$ -变形Fock空间$\bigwedge^\infty$的一种实现.这是通过延长Varagnolo和Vasserot的建筑来实现的。通过分析$Δ_n$的幂零表示的结构，得到了基本表示$L(Λ_0)$的一个分解，它导出了$\bigwedge^\infty$的Kashiwara-Miwa-Stern分解，以及由Leclerc和Thibon定义的${\mathscr D}(Δ_n)$的正则基的构造.

四维代数与箭图

Finite-dimensional algebras and quivers

这是一篇为《数学物理百科全书》撰写的关于有限维代数和箭图的概述文章。我们涵盖了路代数，Ringel-Hall代数和Lusztig和Nakajima的代数簇。

量子双对数恒等式与循环箭图

Quantum dilogarithm identities and cyclic quivers

本文利用Ringel-Hall代数方法研究了循环箭图的量子双对数恒等式。对于任意给定的具有$n$顶点的循环群$Δ_n$的离散稳定性函数，我们得到了某些在Bytsko和Volkov意义下的$n$阶循环量子双对数恒等式.

关于Nakayama代数同调性质的注记

A note on homological properties of Nakayama algebras

利用连通Nakayama代数的分解定理，给出了判定其整体维数是否有限和是否Gorenstein的快速算法。后者加强了Ringel的一个结果。

Resolution quiver and cyclic homology criteria for Nakayama algebras

If a Nakayama algebra is not cyclic, it has finite global dimension. For a cyclic Nakayama algebra, there are many characterizations of when it has finite global dimension. In [She17], Shen gave such a characterization using Ringel's resolution quiver. In [IZ92], the second author, with Zacharia, gave a cyclic homology characterization for when a monomial relation algebra has finite global dimension. We show directly that these criteria are equivalent for all Nakayama algebras. Our comparison result also reproves both characterizations. In a separate paper we discuss an interesting example tha…

Hall algebras and quantum symmetric pairs I: foundations

A quantum symmetric pair consists of a quantum group $\mathbf U$ and its coideal subalgebra ${\mathbf U}^{\imath}_{\boldsymbolς}$ with parameters $\boldsymbolς$ (called an $\imath$quantum group). We initiate a Hall algebra approach for the categorification of $\imath$quantum groups. A universal $\imath$quantum group $\widetilde{\mathbf U}^{\imath}$ is introduced and ${\mathbf U}^{\imath}_{\boldsymbolς}$ is recovered by a central reduction of $\widetilde{\mathbf U}^{\imath}$. The semi-derived Ringel-Hall algebras of the first author and Peng, which are closely related to semi-derived Hall algeb…

循环箭图的增强幂零表示

Enhanced Nilpotent Representations of a Cyclic Quiver

我们定义了一组“增强”幂零锥表示，推广了增强幂零锥。这个集合允许一个由一个具有多个轨道的关联代数群$K$作用。我们定义了一个组合集，参数化的轨道集下，这一行动，我们得出一个纯粹的组合公式的轨道的尺寸。

具有循环定向环的簇倾斜代数

Cluster tilted algebras with a cyclically oriented quiver

结合整体维数为2的有限维代数A，我们考虑A的自同态代数，它被看作是有界导出范畴的轨道范畴的三角壳中的一个对象，在Amiot意义下.我们刻划了整体维数为2的代数A，使得它的自同态代数同构于一个具有循环定向群的簇倾斜代数，并且，如果具有循环定向群的簇倾斜代数是Dynkin型或扩展Dynkin型的，则A等价于一个同类型的遗传代数.

循环箭图的两行幂零轨道

Two-row nilpotent orbits of cyclic quivers

证明了当循环箭图的幂零轨道闭包对应于至多两行的划分时，其局部交上同调是平凡的。这给出了Graham和Lehrer的一个结果的几何证明，该结果指出$GL_d$的仿射Hecke代数的标准模对应于至多有两个Jordan块的幂零元是无重数的.

GKM-Theory for Torus Actions on Cyclic Quiver Grassmannians

We define and investigate algebraic torus actions on quiver Grassmannians for nilpotent representations of the equioriented cycle. Examples of such varieties are type $\tt A$ flag varieties, their linear degenerations, finite dimensional approximations of the $GL_n$-affine flag variety and affine Grassmannian. We show that these quiver Grassmannians, equipped with our torus action, are GKM-varieties and that their moment graph admits a combinatorial description in terms of coefficients quiver of the underlying quiver representations. By adapting to our setting results by Gonzales, we are able …

通过调制图可对称化的箭图簇和晶体

Quiver varieties and crystals in symmetrizable type via modulated graphs

Kashiwara和Saito给出了任意对称Kac-Moody代数的无限晶体的尺规作图法.基础集由Lusztig的幂零表示的变种的不可约分量组成，这些变种是预投射代数的幂零表示。我们推广到可对称化的卡茨-穆迪代数取代Lusztig的预投射代数与一个更一般的由于Dlab和Ringel。在非对称类型中，我们被迫在非代数闭域上工作。

The magnitude for Nakayama algebras

The magnitude for algebras is a generalization of the Euler characteristic. We investigate the magnitude for Nakayama algebras. Using Ringel's resolution quiver, the existence and the value of rational magnitude is given. As a result, we show that the finite global dimension criteria for Nakayama algebras of Madsen and the first author are equivalent.

驯服箭图与仿射基II：非对称情形

Tame quivers and affine bases II: nonsimply-laced cases

本文用Ringel-Hall代数方法将仿射典范基推广到一般对称化情形，证明所得bar不变基与Lusztig带符号典范基一致，并在$\tilde{B}_n,\tilde{C}_n$型中直接给出典范基。

局部代数上无圈箭图的 $\tau$-例外序列的突变

Mutation of $τ$-exceptional sequences for acyclic quivers over local algebras

本文证明局部代数上箭图的 $\tau$-例外序列突变等价于经典例外序列突变，并由此得出辫群在完备 $\tau$-例外序列上传递作用。

Semi-derived Ringel-Hall algebras and Drinfeld double

Let $\mathcal{A}$ be an arbitrary hereditary abelian category that may not have enough projective objects. For example, $\mathcal{A}$ can be the category of finite-dimensional representations of a quiver or the category of coherent sheaves on a smooth projective curve or on a weighted projective line. Inspired by the works of Bridgeland and Gorsky, we define the semi-derived Ringel-Hall algebra of $\mathcal{A}$, denoted by $\mathcal{S}\mathcal{D}\mathcal{H}_{\mathbb{Z}/2}(\mathcal{A})$, to be the localization of a quotient algebra of the Ringel-Hall algebra of the category of $\mathbb{Z}/2$-gr…

循环群的Chevalley限制定理

Chevalley restriction theorem for the cyclic quiver

本文证明了一个Chevalley限制定理及其对循环图的双重类比。

树型箭图的预投射代数

Preprojective algebras of tree-type quivers

设$Q$是一个树型代数，$\mathbf{k} Q$是它的路代数，$λ$是域$\mathbf{k}$中的非零元素。我们在$\mathbf{k} Q$的有界导出范畴的内射分支的Auslander-Reiten图中构造了满足我们称之为$λ$ -关系的不可约态射.当$λ=1$时，这些关系称为网格关系。当$λ=-1$时，它们被称为交换关系。使用这种技术与贝尔Geigle Lenzing，Crawley-Boevey，Ringel和其他人给出的结果，我们表明，对于任何树型的代数，几个描述其预投射代数是等价的。

双参数量子群与$A_{\infty}-$型Ringel-Hall代数

Two-Parameter Quantum Groups and Ringel-Hall algebras of $A_{\infty}-$type

本文研究了无限秩李代数$\mathfrak sl_{\infty}$的双参数量子群$U_{r,s}(\mathfrak sl_{\infty})$.我们将证明双参数量子群$U_{r,s}(\mathfrak sl_{\infty})$既有Hopf代数结构又有三角分解。特别地，它可以被实现为它的某些Hopf子代数的Drinfeld二重。我们还将研究与无限线性代数$A_{\infty}$的所有有限维表示范畴相关的双参数扭曲Ringel-Hall代数$H_{r,s}(A_{\infty})$。特别地，我们将建立$H_{r,s}(A_{\infty})$的迭代斜多项式表示，并证明$H_{r,s}(A_{\infty})$是与有限线性代数$A_{n}$相关联的双参数Ringel-Hall代数$H_{r,s}(A_{n})$的有向系统的直接极限。由此，我们构造了$H_{r,s}(A_{\infty})$的PBW基，并证明了$H_{r,s}(A_{\infty})$的所有素理想都是完全素的.进一步，我们建立了从$U_{r,s}^{+}(\mathfrak sl_{\infty})$到$H_{r,s}(A_{\infty})$的代数同构，从而得到了$U_{r,s}^{+}(\mathfrak sl_{\infty})$的相应结果.最后，利用$A_{\infty}$有限维表示范畴中的通有扩张理论，我…

量子仿射GL_n的乘法公式和正则基

Multiplicaton formulas and canonical basis for quantum affine gl_n

我们将给出\cite [Thm~4.5]{DuFu 2015 quantum}中循环群$Δ(n)$的Ringel-Hall代数${\frak H}_Δ(n)$中乘法公式的表示论证明.作为第一个应用，我们立即看到存在的霍尔多项式的循环箭图，一个事实建立在\cite{Guo1995hallpoly}和\cite{Ringel1993composition}，并推导出一个递归公式来计算它们。我们将进一步利用\cite{DengDuXiao2007generic}中给出的${\mathfrak H}_Δ(n)$的公式和某些单项式基的构造，以及量子圈代数$U_v(\hat{gl}_n)$在\cite{DengDuFu2012double}中的双Ringel-Hall代数实现，来发展一些算法和计算$U_v(\hat{gl}_n)^+$的正则基.作为例子，我们将明确地显示与量子群$U_v(\hat{gl}_n)$的Lowey长度至多为$2$的模相关的正则基的一部分。

循环箭图Hall代数中的本原元素

Primitive elements in the Hall algebra of a cyclic quiver

本文研究循环箭图幂零表示的Hall代数，给出了其中本原元素的显式公式，解决了该类代数中本原元的具体构造问题。

On cyclic quiver parabolic Kostka-Shoji polynomials

We obtain an explicit combinatorial formula for certain parabolic Kostka-Shoji polynomials associated with the cyclic quiver, generalizing results of Shoji and of Liu and Shoji.

Lusztig簇晶体结构的同调描述

Homological description of crystal structures on Lusztig's quiver varieties

利用同调代数的方法，得到了（几乎所有）有限维单缀李代数的量子化包络代数的下半部分的两种晶基实现之间的显式晶同构.我们考虑的第一个实现是一个尺规作图法的不可约组成部分的某些Kashiwara和齐藤建立的品种。第二个是Reineke利用量子群的Ringel Hall代数方法得到的量子群表示的同构类的实现。我们表明，这两个建设密切相关的研究充分通用的预投射代数表示。

循环图的变形Harish-Chandra同态

Deformed Harish-Chandra homomorphism for the cyclic quiver

在循环映射的情形下，我们证明了Etingof和Ginzburg证明的变形Harish-Chandra映射的存在性是好定义的.作为应用，我们证明了分圆Bessel函数的Kirillov型公式。

通过Ringel–Hall李代数构造GIM和椭圆李代数

GIM and Elliptic Lie algebras via Ringel--Hall Lie algebras

该研究通过构造带对合的无环赋值箭图及其轨道范畴，利用Ringel–Hall李代数建立GIM代数与椭圆李代数的相关同构与同态，证实了实根空间上的单射性。

三点循环箭图与Markov方程

Cluster-Cyclic Quivers with three Vertices and the Markov Equation

非循环簇代数可以用由某些遗传代数定义的Calabi-Yau范畴中的倾斜对象来解释。因此，对于给定的簇$Q$，需要判定由$Q$定义的簇代数是否是非循环的。在这种情况下，我们将$Q$称为簇非循环的，否则称为簇循环的。本文利用马尔可夫研究的丢番图方程对三顶点簇循环箭图进行了分类。

Motivic Springer Theory

We show that representations of convolution algebras such as Lustzig's graded affine Hecke algebra or the quiver Hecke algebra and quiver Schur algebra in (affine) type A can be realised in terms of certain equivariant motivic sheaves called Springer motives. To this end, we lay foundations to a motivic Springer theory and prove formality results using weight structures. As byproduct, we express Koszul and Ringel duality in terms of a weight complex functor and show that partial quiver flag varieties in affine type A (with cyclic orientation) admit an affine paving.

线性和循环箭图的幂零轨道与A型Kazhdan-Lusztig多项式

Nilpotent orbits of linear and cyclic quivers and Kazhdan-Lusztig polynomials of type A

已知线性（循环）箭图的幂零轨道的闭包的交上同调可由对称群（仿射对称群）的Kazhdan-Lusztig多项式描述。我们解释了如何使用组合取消过程来简化这种描述，并推导出表示论的一些结果。

The Parity of Lusztig's Restriction Functor and Green's Formula

Our investigation in the present paper is based on three important results. (1) In [12], Ringel introduced Hall algebra for representations of a quiver over finite fields and proved the elements corresponding to simple representations satisfy the quantum Serre relation. This gives a realization of the nilpotent part of quantum group if the quiver is of finite type. (2) In [4], Green found a homological formula for the representation category of the quiver and equipped Ringel's Hall algebra with a comultiplication. The generic form of the composition subalgebra of Hall algebra generated by simp…

循环图在$q=0$上的Hall代数

The Hall algebra of a cyclic quiver at $q=0$

我们表明，一般霍尔代数的幂零表示的定向循环专门在$q=0$是同构的通用扩展幺半群的意义上的Reineke。这是Reineke工作的延续。

T型箭图预投射代数的Hochschild和循环（余）同调

Hochschild and cyclic (co)homology of preprojective algebras of quivers of type T

本文计算了T型预投射代数的霍赫希尔德同调、上同调和循环同调的加法和乘法结构（以及分次）。我们还计算了由霍赫希尔德同调/上同调对构成的演算结构。

Twisted cyclic quiver varieties on curves

We study the algebraic geometry of twisted Higgs bundles of cyclic type along complex curves. These objects, which generalize ordinary cyclic Higgs bundles, can be identified with representations of a cyclic quiver in a twisted category of coherent sheaves. Referring to the Hitchin fibration, we produce a fibre-wise geometric description of the locus of such representations within the ambient twisted Higgs moduli space. When the genus is 0, we produce a concrete geometric identification of the moduli space as a vector bundle over an associated (twisted) A-type quiver variety; we count the numb…

Equivalent definitions of the preprojective algebra

Following the article of C. M. Ringel we introduce preprojective algebras of a Dynkin quiver $Q$ starting from three definitions which, despite concerning completely different algebraic structures, turn out to be equivalent. Our main result is a new version of Ringel's proofs that applies a theorem by Happel and exploits the techniques of homological algebra. Moreover we show that the definition of the preprojective algebra given with the usual notion of commutator is equivalent to the definition with the "generalised" commutator.

循环箭图的单位双模的子双模

Sub-bimodules of the identity bimodule for cyclic quivers

我们描述了组合的multisemigroups与重的张量范畴的子双模的单位双模，为任意非一致取向的有限循环的。

循环图上有理Cherednik代数与微分算子的一个注记

A remark on rational Cherednik algebras and differential operators on the cyclic quiver

证明了与对称群和循环群的圈积相关的有理Cherednik代数的球面子代数同构于循环群的表示空间上的不变微分算子环的商.在循环群的情况下，这证实了Etingof和Ginzburg猜想的一个版本。该证明是一个简单的应用工作Oblomkov变形哈里什-钱德拉同态，和克劳利-Boevey和GAN和金斯堡的预投射代数。

循环有序的有向图

Cyclically ordered quivers

本文研究了具有顶点循环顺序结构的有向图，这种结构在许多重要应用中自然出现，并引入了新的强大突变不变量。

用于循环颤动器的簇character

The cluster character for cyclic quivers

我们定义了一个类似的Caldero-Chapoton映射（\cite{CC}）的集群范畴有限维幂零表示在一个循环圈。我们证明了它是一个簇特征（在\cite{Palu}的意义下），并且满足广义簇变量（簇范畴的对象在映射下的像）之间相乘的一些归纳公式.此外，我们构造了一个$\mathbb{Z}$ -基的代数生成的所有广义簇变量。

Hochschild and cyclic homology of preprojective algebras of ADE quivers

We calculate the additive structure (together with the grading) of the Hochschild homology and cohomology and the cyclic homology of preprojective algebras of types ADE.

关于 $\mathbb{F}_1$ 上箭图表示的高次扩张

On higher extensions of quiver representations over $\mathbb{F}_1$

本文通过循环箭图的例子，证明了有限维幂零 $\mathbb{F}_1$-表示之间的高次扩张空间可能是无限维的，澄清了文献中的一个误解，并指出对于循环箭图 $\Delta_n$，$\operatorname{Ext}^3(-,-)$ 消失而 $\operatorname{Ext}^2(-,-)$ 对简单表示是无限维的。

量子扩展Kac-Moody代数和Hall多项式的标准基

Canonical bases for the quantum extended Kac-Moody algebras and Hall polynomials

本文引入了一个Tame代数的奇异Ringel-Hall代数，并证明了它同构于量子扩展Kac-Moody代数的正部分.构造了PBW基，证明了一类新的反常层具有纯性。这允许构造量子扩展Kac-Moody代数的正部分的标准基。作为应用，证明了Tame代数的Hall多项式的存在性.