On Some Problems from the Kourovka Notebook
University of Cape Town（开普敦大学）
本文解决《库罗夫卡笔记本》中八个群论问题，包括构建特定群、证明元素乘积取值情况、说明群阶与统计量不能确定单性、构造算子，还涉及确定生成群、证明幂图性质、探讨子群格情况及反驳秩不等式，且由形式推理主体在Lean中完成。
2026-07-28 math.CO math.GR
Pronormality of Hall subgroups in finite simple groups
证明了有限单群的Hall子群是伪正规的.从而对Kourovka笔记本中的问题17.45（a）得到了肯定的回答。
2013-02-05 math.GR
Twisted conjugacy in free groups and Makanin's question
我们讨论了G. Makanin从"Kourovka笔记本“：是否存在一个算法来确定是一个自由群$F_n$和任意自同构$ϕ\in Aut(F_n)$的任意一对词$U$和$V$的方程$ϕ(X) U = V X$可解在$F_n$？当一个自同构是虚内自同构时，即当它的某个非零幂是$F_n$的内自同构时，我们给出了肯定的回答.
2004-02-04 math.GR
Alternating Groups and Embeddings into Groups Invariably Generated by Two Prime-Order Elements
该研究针对不同素数p、q，证明存在有限群无法嵌入由p阶与q阶元素不变生成的有限群，否定了《Kourovka Notebook》的相关问题，且当n足够大时交错群Aₙ无法嵌入这类群。
2026-08-04 math.GR
Magnus embedding and algorithmic properties of groups $F/N^{(d)}$
本文进一步研究了Magnus嵌入的性质，给出了$F/N^{(d)}$形式的群中Dehn问题的精确约化图，并给出了Kourovka笔记本中问题12.98的详细解答.我们还表明，大多数的约简是多项式时间的约简，可以用于实际计算。
2015-01-05 math.GR
Strictly ascending HNN extensions in soluble groups
我们证明了存在非线性生成的可解群，它们不是LERF，但不包含循环群的严格上升HNN扩张。这解决了Kourovka笔记本中的问题16.2。我们进一步证明了存在一个非LERF但不包含多环群的严格升HNN扩张的可解群。
2010-04-01 math.GR
A note on torsion length and torsion subgroups
本文通过构造具有任意挠长的polycyclic群及挠子群商群非有限展示的有限展示群示例，解答了Kourovka笔记本中的两个问题。
2022-07-23 math.GR
Periodic groups saturated with finite simple groups of lie type rank 1
在Kourovka笔记本以下问题是提出14.101：这是真的，一个周期群饱和有限单群的李型的行列有界的聚集，本身是一个单群的李型？本文对有限个秩为1的李型单群饱和的周期群给出了这个问题的部分答案。
2017-08-28 math.GR
On the heritability of the Hall property $D_π$ by overgroups of $π$-Hall subgroups
设$π$是素数的集合。我们说有限群$G$是$D_π$ -群，如果它的所有极大$π$ -子群是共轭的.本文对“Kourovka笔记本”中的问题17.44（b）给出了肯定的回答：证明了在一个$D_π$ -群中，一个$π$-Hall子群的扩群总是一个$D_π$ -群.
2015-04-13 math.GR
Strong reality of finite simple groups
有限单强实群的分类是完备的。很容易看出，对于每个非交换有限单群，强实在性等价于每个元素可以写成两个对合的乘积的事实。因此，我们从Kourovka笔记本中得到了问题14.82的解决方案，从有限简单强实数群的分类中得到。
2010-06-17 math.GR
The Baumslag-Gersten group and a problem of Olshanskii
Korea Institute for Advanced Study（韩国高级科学研究院）
通过构造连续函数芽表示，证明Baumslag-Gersten单关系群BG(1,2)的该表示不忠实，否定回答了Olshanskii在2010年提出的问题。
2026-06-29 math.GR
On element orders in covers of $L_4(q)$ and $U_4(q)$
设$L$是有限单群$PSL_4(q)$或$PSU_4(q)$中的一个，且$L$作用于域上的向量空间$W$上，域的特征除$q$ .我们证明了$W$和$L$的自然半直积包含一个元素，其阶不同于$L$中任何元素的阶，从而回答了Kourovka笔记本中的问题14.60和17.73（a）。
2020-02-03 math.GR
Some remarks on sharply 2-transitive groups and near-domains
本文证明特征0的尖锐2传递群在点稳定子含有限指数阿贝尔子群时可分裂，并推广至近域，回答Kourovka笔记本问题12.48 b)。
2022-06-01 math.GR
Non-solvable groups generated by involutions in which every involution is left $2$-Engel
下面的问题在D. V. Lytkina：设$G$是由对合生成的有限$2$ -群，其中对每一个$x \in G$和每一个对合$u \in G$有$[x, u, u] = 1$. $G$的导出长度有界吗？这个问题是问的可解性长度的上界有限$2$ -群所产生的对合，其中每一个对合（不仅是发电机）也离开$2$ -恩格尔。我们否定地回答这个问题。
2014-04-17 math.GR
The Hall property $\mathcal{D}_π$ is inherited by overgroups of $π$-Hall subgroups
设$π$是素数的集合。我们说有限群$G$是$\mathcal{D}_π$ -群，如果$G$的极大$π$ -子群是共轭的.本文对“Kourovka笔记本”中的问题17.44（b）给出了肯定的回答，即证明了在$\mathcal{D}_π$ -群中，$π$-Hall子群的扩群总是$\mathcal{D}_π$ -群.
2018-08-09 math.GR
Asymptotic growth and least common multiples in groups
在本文中，我们将词和子群增长与剩余有限性量化中出现的某些函数联系起来。这种努力的一个结果是一对结果，等同于一个有限生成群的幂零性与这些功能的渐近行为。本文的后半部分研究了其中两个函数的渐近行为。我们的主要结果在这个舞台上解决了一个问题的Bogopolski从Kourovka笔记本关于下界这些功能之一的nonabelian自由群。
2010-01-27 math.GR
Products of nonconjugate maximal subgroups
School of Mathematics and Physics, Suqian University（宿迁学院数学与物理学院）；Department of Mathematics, Texas State University（德克萨斯州立大学数学系）
该研究证明了满足任意一对非共轭极大子群乘积为群本身的有限群必可解，否定解决了库罗夫卡问题集的10.34号问题，并应用该结果解答了Guo提出的一个公开问题。
2026-08-21 math.GR
On the pronormality of Hall subgroups
修复一组素数$π$。一个有限群被称为满足$C_π$，或者换句话说，是一个$C_π$ -群，如果它恰好有一类共轭$π$ -Hall子群。证明了$π$ -Hall子群在$C_π$ -群中的准正规性，或者等价地证明了$C_π$可由$π$ -Hall子群的扩群继承.因此，从“Kourovka笔记本”中得到了问题17.44（a）的肯定解。我们还提供了一个例子，证明了有限群中的Hall子群一般不是伪正规的.
2013-02-05 math.GR
Free-by-cyclic groups are conjugacy separable
Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩莱茵弗里德里希威廉大学）；University of New Brunswick（新不伦瑞克大学）
本文证明了所有有限生成的自由-循环群都是共轭可分离的，并展示了外自同构群的残余有限性。
2026-04-21 math.GR
Subgroups of free groups with the same derived subgroup
St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文证明任意秩自由群中具有相同非平凡换位子群的两个子群必相等，并由此肯定回答了Shpilrain关于非循环子群换位子群正规性蕴含子群正规性的问题。
2026-09-29 math.GR
A Torsion-free Supersoluble Group with Trivial Outer Automorphism Group
针对《库罗夫卡笔记本》问题13.23，构造 Hirsch 长度为14的无挠群 \(G\)，通过特定有限序列，使其各商因子无限循环且外自同构群平凡，给出问题否定解。
2026-07-14 math.GR
A generalization of the Brauer-Fowler theorem
本文利用有限单群分类推广了Brauer-Fowler定理，证明简单局部有限群若存在至多与$n$个对合交换的对合则必为有限且阶仅由$n$界定，回答了Strunkov的问题。
2024-02-08 math.GR
Finite groups whose maximal subgroups of order divisible by all the primes are supersolvable
研究了有限群$G$，证明了对于$G$中任意阶能被$|G|$的所有素除子因子整除的极大子群$M$，$M$是超可解的.我们证明了任何非阿贝尔单群都可以作为这样的群的合成因子出现，并且如果$G$可解，则幂零长度和秩是任意大的。另一方面，对于每一个素数$p$，这样一个群的$p$ -长度至多是$1$。这回答了V. Monakhov在Kourovka笔记本中提出的问题。
2020-11-20 math.GR
Properties of element orders in covers for L(n,q) and U(n,q)
证明了如果同构于PSL（n，q）或PSU（n，q）的有限单群G作用在具有G的定义特征的域上的向量空间上，其中$n\ne 4$或q是素数或偶数，则相应的半直积包含一个其阶不同于G的每个元素阶的元素.因此，我们证明了PSL（n，q），其中$n\ne 4$或q素数或甚至，是可识别的频谱从它的覆盖，从而给出了部分肯定的答案问题14.60从Kourovka笔记本。
2008-02-08 math.GR
On torsion-free groups with finite regular file bases
1995年，V.V. Bludov在The Kourovka Notebook中提出了以下问题：如果一个无挠的群$G$有一个有限的生成元系统$a_1$，.，$a_n$，使得$G$的每个元素都以$a_1^{k_1}... a_n^{k_n}$的形式具有独特的呈现，其中$k_i\in\mathbb Z$，$G$实际上是多环的吗？答案是“不总是。本文构造了一个由生成元和定义关系表示的群的反例。
2007-04-20 math.GR
On the non-existence of finite groups with certain normal subgroups
该研究证明不存在同时满足两个正规子群同构且商群不同构的有限群。
2026-01-07 math.GR
On the independence of permutation characters
Università di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
该研究证明有限群G的子群共轭类代表元对应的置换特征标线性无关当且仅当G是循环群，且有限非可解群不满足Kourovka Notebook第11.9题的要求。
2026-08-19 math.GR
Two problems about bases and independent sets in free groups
CUNY Graduate Center（纽约市立大学研究生院）
本研究解决了Dotsenko关于自由群子群生成元最大长度与秩的紧上界问题，还借助Stallings折叠法与图论工具，解决了Kourovka笔记本中Grigorchuk的长期问题。
2026-09-07 math.CO math.GR
Characteristic classes of involutions in nonsolvable groups
设$G,D_{0},D_{1}$是有限群，使得$D_{0}\trianglelefteq D_{1}$是$G$的自同构群，其中包含$G$的内自同构.假设$D_{1}/D_{0}$具有正规的$2$ -补，并且$D_{1}$在$G$的对合的$D_{0}$ -共轭类的集合上无固定点地作用（即，对于每个对合$a\in G$的$C_{D_{1}}(a)D_{0}<D_{1}$）。证明了$G$是可解的.我们还构造了一个不具有非平凡循环子群的特征共轭类的非可解有限群。这表明，为了保证$G$的可解性，必须对上述$D_{1}/D_{0}$的结构做出假设，并且还对A. I. 1969年，萨科诺夫。
2019-09-19 math.GR
On Intersections of System Normalizers
University of Washington（华盛顿大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Texas State University（德克萨斯州立大学）
本文构造了有限亚交换群，否定了库罗夫卡笔记问题17.39，证明即使Frattini子群阶固定，具有平凡交集的系统正规化子最小数目也无界。
2026-09-22 math.GR
On the solvability of regular subgroups in the holomorph of a finite solvable group
本文证明了无穷多个自然数$n$，对于这些自然数至少存在一个$n$阶的不可解群，但任何$n$阶的可解群的全形都没有不可解正则子群.我们还解决了Kourovka笔记本中的问题19.90（d）。
2019-09-02 math.GR math.NT math.QA
A $G$-covering subgroup system of a finite group for some classes of $σ$-soluble groups
设${\frak F}$是群类，$G$是有限群.然后$G$的子群的集合$Σ$被称为类${\frak F}$的\emph{$G$-covering subgroup system}，如果$G\in {\frak F}$每当$Σ\subseteq {\frak F}$。我们证明：{ \sl如果$G$的子群集合$Σ$包含$G$的每个Sylow子群的每个极大子群的至少一个补充，则$Σ$是所有$σ$ -可溶和所有$σ$ -幂零群的类以及所有$σ$ -可溶$PσT$ -群的类的$G$ -覆盖子群系统。这一结果对Kourovka笔记本中的问题19.87和19.88给出了肯定的答案。
2021-01-01 math.GR
On L.G. Kovàcs' problem
“Kourovka笔记本”包含由于L.G.的问题。Kovàcs（问题8.23）：如果18阶二面体群$D$是直积$X\times Y$的一个截面，那么$X$和$Y$中至少有一个必须有一个截面同构于$D$？本文的目的是在$X$和$Y$是局部有限的条件下给出这个问题的肯定答案。事实上，我们证明甚至更多：如果一个非平凡的半直积$D=A\rtimes B$的循环$p$ -组$A$和一个组$B$的顺序$q$，其中$p$和$q$是不同的素数，在于一个局部有限品种所产生的一组$\mathfrak{X}$的群体，那么$D$是一个部分的一组从$\mathfrak{X}$。
2016-09-27 math.GR
On finite groups with exactly one noncommutator
本文针对MacHale在Kourovka笔记本中提出的“是否存在阶大于2且恰含一个非换位子的有限群”的问题，给出肯定答案，构造了无限多此类群，其中最小群的阶为16609443840。
2025-09-22 math.GR
On recognition of direct powers of finite simple linear groups by spectrum
本文证明了当 $n$ 为大于等于 $56k^2$ 的 $2$ 的幂时，单线性群 $L_n(2)$ 的第 $k$ 次直幂可由其谱在有限群类中唯一确定，肯定回答了 Kourovka 笔记本中的问题 20.58(a)。
2023-02-07 math.GR
A note on factorizations of finite groups
在Kourovka笔记本的问题19.35中，M。H. Hooshmand问是否，给定一个有限群$G$和一个分解$\mathrm{card}(G)= n_1\ldots n_k$，人们总是可以找到子集$A_1,\ldots,A_k$的$G$与$\mathrm{card}(A_i)=n_i$，使$G=A_1\ldots A_k;$等价，使组乘法映射$A_1\times\ldots\times A_k\to G$是一个双射。我们证明了对于4个元素上的交替群$G$、$k=3$和$(n_1,n_2,n_3) = (2,3,2)$，答案是否定的。然后，我们推广了一些在我们的证明中使用的工具，并注意到一个开放的问题。
2020-03-28 math.GR
Densities, submeasures and partitions of groups
在1995年在Kourovka笔记本第二作者提出了以下问题：这是真的，对于每个分区$G=A_1\cup\dots\cup A_n$的一组$G$有一个细胞$A_i$的分区，使$G=FA_iA_i^{-1}$为一些集$F\subset G$的基数$|F|\le n$？在本文中，我们调查这个问题的几个部分解决方案，特别是那些涉及某些典型的不变密度和子措施的群体。
2014-05-09 math.CO math.GR
Transitive sets of derangements in primitive actions of PSL_2(q)
Institute of Mathematics, University of Würzburg（维尔茨堡大学数学研究所）
本文研究了PSL_2(q)在原始作用中的传递错位集，证明此类群不构成负例。
2025-12-22 math.GR
A test for a local formation of finite groups to be a formation of soluble groups with the Shemetkov property
本文针对Shemetkov提出的寻找特定有限群局部构成的问题，基于极小非群可解的已知解，提出了一种多项式时间检查方法，用于验证有界局部构成是否为具有Shemetkov性质的可解群构成。
2024-05-30 math.GR
Every finite group admits a just finite presentation
Mathematical Institute, University of Oxford, Woodstock Road, Oxford OX2 6GG, United Kingdom（牛津大学数学研究所，伍德斯托克路，牛津OX2 6GG，英国）
本文证明每个有限群都存在一个恰有限的呈现，即移除任一关系后呈现的群变为无限群。
2026-11-05 cs.AI math.GR
Intersection of conjugate solvable subgroups in finite classical groups
我们考虑Vdovin（2010）在“Kourovka notebook”（问题17.41）中提出的以下问题：设$H$是有限群$G$的可解子群，该群没有非平凡的可解正规子群。$H$是否总存在五个共轭且其交是平凡的？这个问题与Babai，Goodman和Pyber（1997）关于有限群中正规可解子群指数的上界的猜想密切相关。特别是，Vdovin问题的一个肯定的答案产生，如果$G$有一个可解的子群的指数$n$，那么它有一个可解的正规子群的指数最多$n^5$。Vdovin（2012）将该问题简化为$G$几乎是单群的情况。设$G$是一个几乎单群，其基柱同构于一个单线性群、酉群或辛群。对于所有这样的群体$G$，我们提供了一个积极的回答Vdovin的问题。
2022-10-05 math.GR
Products of three conjugacy classes in the alternating group
本文证明了当交错群 Alt(n) 中三个共轭类都足够大时，其乘积等于整个群，正面回答了 Kourovka 笔记本问题 20.23，并改进了此前使用四个类或更大类的相关定理。
2025-05-09 math.CO math.GR
Compact groups with many elements of bounded order
Lévai和Pyber提出了以下猜想：设$G$是一个投射有限群，使得方程$x^n=1$的解集具有正Haar测度。然后$G$有一个开子群$H$和一个元素$t$，使得陪集$tH$的所有元素都有顺序划分$n$（参见[The Kourovka Notebook，No. 19，2019]的问题14.53）。该猜想的有效性已在[Arch. Math.（Basel）75（2000）1-7]中对$n=2$得到证明。在这里，我们研究的猜想，紧群$G$不一定profinite和$n=3$，我们表明，在后一种情况下，该集团$G$包含一个开放的正常$2$ -恩格尔子群。
2020-01-17 math.GN math.GR
A Finite Skew Brace with Perfect Additive Group and Almost Simple Multiplicative Group
National Group for Algebraic and Geometric Structures, and their Applications (GNSAGA–INdAM)（代数与几何结构及其应用的全国小组（GNSAGA-INDAM））
构造有限斜括号，加法群完美，乘法群非完美且几乎单，对《库罗夫卡笔记本》问题20.109作答。结合特定加法群与乘法群的斜括号、自同构扩张分裂及半直积来构造，加法群为\(\PSU_5(64)\times A_5\)，乘法群为\(\Aut(\PSU_5(64))\)。
2026-07-16 math.GR
Some answers regarding factorizations of finite groups
Binghamton University（宾汉姆顿大学）
针对《库罗夫卡笔记本》中关于有限群分解的问题，G. M. 伯格曼给出\(k = 3\)反例并提问，本文给出\(k \geq 3\)的反例，解决了部分问题，\(k = 2\)时问题仍待解决。
2026-08-11 math.GR
Average dimension of fixed point spaces with applications
设$G$是有限群，$F$是域，$V$是有限维$FG$-模，使得$G$在$V$上没有平凡的合成因子。则$G$在$V$上的元素的不动点空间的算术平均维数至多为$(1/p) \dim V$，其中$p$是$G$阶的最小素因子。这回答和概括了1966年的猜想诺依曼这也出现在一份文件诺依曼和沃恩-李，也作为一个问题在Kourovka笔记本张贴沃恩-李。我们的结果也推广了Isaacs，Keller，Meierfrankenfeld和Moretó的一个最近的定理。给出了各种应用。例如，证明了Neumann和Vaughan-Lee的另一个猜想，改进和/或推广了Segal和Shalev关于BFC群的一些结果.
2010-01-21 math.GR math.RT
Ordinary $G$-permutable subgroups of finite simple groups
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
该研究解决了《Kourovka笔记》中问题17.112(a)，明确了存在真非平凡普通$G$-可置换子群的非阿贝尔有限单群类型，并对其相关子群完成分类，其余此类群无该类子群。
2026-10-09 math.GR
A Group with Exactly One Noncommutator
The American University in Cairo（开罗美国大学）
本文通过算法方法发现两个阶数为368640的非同构群，其中仅有一个元素是非交换子群，解决了群论中的开放问题。
2025-12-31 math.GR
Profinite groups with many elements of bounded order
Lévai和Pyber提出了以下猜想：设$G$是一个profinite群，使得方程$x^n=1$的解集具有正Haar测度。然后$G$有一个开子群$H$和一个元素$t$，使得陪集$tH$的所有元素都有顺序划分$n$（参见[The Kourovka Notebook，No. 19，2019]的问题14.53）。本文对所有有限群定义了一个常数$c_n$，并证明了后一个猜想等价于一个猜想$c_n<1$ .利用后一个等价性，我们观察到：当有限群的广义Hughes-Thompson子群$H_n$是非平凡的时，Lévai和Pyber猜想的正确性意味着其指数的泛上界$\frac{1}{1-c_n}$的存在性.已知后者甚至对所有素数$n=p\geq 5$都是广泛开放的。对于奇$n$，我们还证明了Lévai和Pyber猜想等价于证明了当$c_n$只在有限可解群上计算时，$c_n$小于$1$.在[Arch. Math.（Basel）75（2000）1-7]中证明了该猜想对$n=2$的有效性.在这里，我们证实了$n=3$的猜想。
2021-04-08 math.GR
On Shalev's Quantitative Version of Thompson's Conjecture
Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文研究Thompson猜想的定量版本，在PSL_n(2)上证明其紧密变体成立，但在PSL_n(8)和PSL_n(5)上构造反例，否定Shalev问题并反驳Pyber猜想。
2026-09-21 math.GR
Total 3-closure for projective special linear groups
University of Washington（华盛顿大学）；Texas State University（德州州立大学）
本文研究有限单射影特殊线性群的全3-闭包性质，明确了PSL₂(q)、PSL₃(q)、PSL₄(q)及n≥5且q>2时PSLₙ(q)的判定条件，还肯定回答了《Kourovka Notebook》中的问题20.2。
2026-08-19 math.GR
Finite groups with simple or $p$-nilpotent maximal subgroups
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）
研究《库罗夫卡笔记本》中关于极大子群的问题，对于奇数\(p\)，证明满足特定条件的非单非可解群是\(p\)-幂零群和\(p\)-可分解群，\(p = 2\)时改进相关结果，给出特定非可解群的完整分类。
2026-09-02 math.GR
Connections between properties of the additive and the multiplicative groups of a two-sided skew brace
研究了双边斜支撑的加法群与乘法群之间的关系。特别地，我们证明了：如果一个双边斜支撑的加法群是有限可解的（分别是可解的、剩余可解的、剩余有限的），那么这个斜支撑的乘法群也是可解的（分别是可解的、剩余可解的）.证明了若双侧斜支撑的乘法群是幂零类$k$的幂零群，则该斜支撑的加法群至多是类$2k$的可解群.信结果推广的结果Byott说，如果乘法群的有限斜括号是阿贝尔，然后添加剂组的斜括号是可解的。此外，我们解决了两个问题（问题19.49和问题19.90（a））有关斜括号，制定了Kourovka笔记本电脑。
2018-09-25 math.GR math.RA
A proof of the Galt--Tyutyanov conjecture on Skiba's question
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文通过抛物子群下降方法与有限单群分解分类，证明了Galt-Tyutyanov猜想，给出有限群为单群的新判据，部分回答Skiba问题，此前仅对部分单群验证过该猜想。
2026-10-09 math.GR
