Pronormality of Hall subgroups in finite simple groups
Evgeny P. Vdovin, Danila O. Revin
证明了有限单群的Hall子群是伪正规的.从而对Kourovka笔记本中的问题17.45（a）得到了肯定的回答。
We prove that Hall subgroups of finite simple groups are pronormal. Thus we obtain an affirmative answer to Problem 17.45(a) of "Kourovka notebook".
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the Pronormality of Subgroups of Odd Index in some Direct Products of Finite Groups
如果对于每个$g \in G$，$H$和$H^g$在$\langle H, H^g \rangle$中共轭，则称群$G$的子群$H$在$G$中是{ \it pronormal}。有限群理论、组合学和置换群理论中的一些问题都是用原正规性来解决的，因此，给定群中给定子群的原正规性问题是人们感兴趣的。有限群中奇指数子群满足一个原性的必要条件。本文继续研究奇指标子群的拟正规性，并考虑了有限群的某些直积中奇指标子群的拟正规性问题。特别地，本文证明了奇指标子群在奇特征域上有限单辛群的直积$G$中是伪正规的当且仅当奇指标子群在$G$的每个直因子中是伪正规的.此外，判定奇特征域上单辛群直积中奇指标子群的准正规性可归结为判定$\prod_{i=1}^t \mathbb{Z}_3\wr Sym_{n_i}$的子群中奇指标子群$H$的准正规性，其中每个$Sym_{n_i}$自然作用于$\{1,\dots, n_i\}$，使得$H$投影到$\prod_{i=1}^t Sym_{n_i}$上。因此，本文得到了奇指数子群$H$在$\prod_{i=1}^t \mathbb{Z}_{p_i}\wr Sym_{n_i}$子群中的一个准正规性准则，其中每个$p_i$是素数，每个$Sym_{n_i}$自然作用于$\{1,\dots, n_i\}$，使得$H$投影到$\prod_{i=1}^t Sym_{n_i}$上.
On the pronormality of Hall subgroups
修复一组素数$π$。一个有限群被称为满足$C_π$，或者换句话说，是一个$C_π$ -群，如果它恰好有一类共轭$π$ -Hall子群。证明了$π$ -Hall子群在$C_π$ -群中的准正规性，或者等价地证明了$C_π$可由$π$ -Hall子群的扩群继承.因此，从“Kourovka笔记本”中得到了问题17.44（a）的肯定解。我们还提供了一个例子，证明了有限群中的Hall子群一般不是伪正规的.
On the Pronormality of Subgroups of Odd Index in Finite Simple Groups
如果对于每个$g \in G$，$H$和$H^g$在$\langle H, H^g \rangle$中共轭，则称群$G$的子群$H$在$G$中是{原正规}的。用拟正规性解决了有限群、组合学和置换群理论中的一些问题。2012年，E. Vdovin和第三作者证明了有限单群中奇指标子群是拟正规的。本文反驳了他们的猜想，并讨论了奇指标子群是伪正规子群的有限单群分类的一个新进展。
On the pronormality of subgroups of odd indices in finite simple symplectic groups
如果对于每个元素$g \in G$，$H$和$H^g$在$\langle H, H^g\rangle$中共轭，则称群$G$的子群$H$在$G$中是前正规的。在[Sib. Math.J.2015. Vol.56，no.6]我们证明了奇数指数的子群在许多有限单群中是伪正规的。在《斯捷克洛夫数学院学报》中，证明了具有$q \equiv \pm 3 \pmod 8$的群$PSp_{6n}(q)$包含奇指标的非伪正规子群。本文证明了：如果$n \not \in \{2^m, 2^m(2^{2k}+1) \mid m, k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$，则具有$q \equiv \pm 3 \pmod 8$的群$PSp_{2n}(q)$包含奇指标的非伪正规子群;如果$n=2^m$，则群$PSp_{2n}(q)$中的任何奇指标子群都是伪正规的，其中$q \equiv \pm 3 \pmod 8$.
Classification and properties of the $π$-submaximal subgroups in minimal nonsolvable groups
设$π$是素数的集合。根据H. Wielandt，有限群$X$的子群$H$称为$π$ -次极大子群，如果存在到有限群$Y$的单态$ϕ:X\rightarrow Y$，使得对于$Y$的$π$ -极大子群$K$，$X^ϕ$在$Y$和$H^ϕ=K\cap X^ϕ$中是次正规的. Wielandt在1979年于美国圣克鲁兹召开的著名有限群会议上发表了一系列公开的问题，其中有以下问题：描述极小不可解群的$π$次极大子群，并研究此类子群的性质：自同构群中的伪正规性、内变异性、共轭性等。在本文中，对于每一个素数集合$π$，给出了极小不可解群中的$π$ -次极大子群的一个刻划，并研究了它们的性质，从而给出了Wielandt问题的一个解.
Pronormal L-subgroups of an L-group
本文利用共轭L-子群概念引入L-群的pronormal L-子群，在正规性与次正规性背景下研究其性质，并探讨其与正规化子及极大L-子群的关系。
An antichain condition for infinite groups
本文研究了无限群的反链条件，证明了在特定子群性质下，广义radical群满足反链条件当且仅当满足RCC，并给出了相关群类的特征化。
Finite groups with Hall 2-maximal subgroups
本文研究了一类群，其中每个2-极大子群都是Hall子群.
Frattini Argument for Hall subgroups
本文证明了：若有限群$G$对素数集$π$有一个$π$ -Hall子群，则$G$的每个正规子群$A$有一个$π$ -Hall子群$H$，使得${G=AN_G(H)}$ .
On Hall subgroups of a finite group
本文给出了有限群的Hall子群的存在性和共轭性的新判据。
Finite Groups with Hall Schmidt Subgroups
Schmidt群是一个非幂零群，它的每个真子群都是幂零的.研究了非幂零群G的所有Schmidt子群都是G的Hall子群的性质.
The existence of pronormal $π$-Hall subgroups in $E_π$-groups
一个群$G$的子群$H$称为{ \it前正规}，如果对于每个$g\in G$子群$H$和$H^g$在$\langle H, H^g\rangle$中共轭。证明了：如果有限群$G$对素数$π$的集合有一个$π$ -Hall子群，则它的每个正规子群（特别是$G$自身）都有一个在~ $G$中次正规的$π$ -Hall子群.
A Criterion for the Existence of a Solvable $π$-Hall Subgroup in a Finite Group
设$G$是一个有限群，$π$是一个素数集.本文证明了$G$的可解$π$ -Hall子群存在的一个判别准则，即群$G$有可解$π$ -Hall子群当且仅当对任何对$p$，$q\inπ$，$G$有$\{p,q\}$ -Hall子群.
On the heritability of the Hall property $D_π$ by overgroups of $π$-Hall subgroups
设$π$是素数的集合。我们说有限群$G$是$D_π$ -群，如果它的所有极大$π$ -子群是共轭的.本文对“Kourovka笔记本”中的问题17.44（b）给出了肯定的回答：证明了在一个$D_π$ -群中，一个$π$-Hall子群的扩群总是一个$D_π$ -群.
Existence criterion for Hall subgroups of finite groups
本文利用合成列得到了有限群的Hall子群存在的一个判别准则。
On the intersection of solvable Hall subgroups in finite simple exceptional groups of Lie type
设有限几乎单群的单基柱同构于李型例外群，它有一个可解Hall子群。则存在子群的四个共轭使得它们的交是平凡的。
On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups
本文给出了有限几乎单群中共轭$π$ -Hall子群的个数.我们还完成了有限单群中$π$ -Hall子群的分类，并纠正了我们在前一篇文章中的一些错误。
The Hall property $\mathcal{D}_π$ is inherited by overgroups of $π$-Hall subgroups
设$π$是素数的集合。我们说有限群$G$是$\mathcal{D}_π$ -群，如果$G$的极大$π$ -子群是共轭的.本文对“Kourovka笔记本”中的问题17.44（b）给出了肯定的回答，即证明了在$\mathcal{D}_π$ -群中，$π$-Hall子群的扩群总是$\mathcal{D}_π$ -群.
Finite groups with permutable Hall subgroups
设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集$\Bbb{P}$的一个划分，$G$是有限群. $G$的子群的集合${\cal H}$被称为$G$的\emph{complete Hall $σ$-set}，如果${\cal H}$的每个成员$\ne 1$对于某些$i\in I$是$G$的Hall $σ_{i}$ -子群，并且$\cal H$对于每个$i$恰好包含一个$σ_{i}$ -子群，使得$σ_{i}\cap π(G)\ne \emptyset$。本文研究了$G$的结构，假定$G$的某些子群与${\cal H}$的所有成员置换.
Intersection of Solvable Hall subgroups in finite groups
本文证明了：如果S是一个单典型群，群G包含在S的内对角自同构中且包含S，H是G的一个可解Hall子群，则存在H的五个共轭，它们的交是平凡的.
Hall's universal group is a subgroup of the abstract commensurator of a free group
霍尔构造了一个泛可数局部有限群U，它的同构由两个性质决定：每个有限群C是U的子群，C到U的每个嵌入都是U的共轭。每个可数局部有限群都是U的子群。证明了有限秩非交换自由群的抽象算子的子群是U。
Large orbits of Hall subgroups of solvable linear groups
本文证明有限可解群中Hall子群的最大特征标次数平方至少为其某正规商群的π部分，刻画了可解线性群中Hall子群的大轨道性质。
Characterizing normal Hall subgroups by character degrees, II
本文证明了有限单经典群中真非平凡 Hall 子群的特征标次数性质，从而结合已有约化，给出了任意有限群中 Hall 子群正规性的充要条件：其诱导表示的不可约成分次数均为 $\pi'$ 数。
A conjugacy criterion for Hall subgroups in finite groups
一个有限群$G$称为对一个素数集$π$满足$C_π$，如果$G$恰好有一类共轭$π$ -Hall子群.本文给出了有限群$G$用其正规列满足$C_π$的一个判别准则。
On the lattice of the $σ$-permutable subgroups of a finite group
设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集$\Bbb{P}$的某个划分，$G$是有限群，$σ(G) =\{σ_{i} |σ_{i}\cap π(G)\ne \emptyset \}$是素数集.一个$G$的子群集合${\cal H}$称为$G$的完全Hall $σ$ -集合，如果${\cal H}$的每个成员$\ne 1$对于某个$σ_{i}\in σ$都是$G$的Hall $σ_{i}$ -子群，并且${\cal H}$对于每个$σ_{i}\in σ(G)$都恰好包含一个$G$的Hall $σ_{i}$ -子群。$G$的子群$A$称为$σ$ -在$G$中可置换的，如果$G$拥有一个完整的Hall $σ$ -集合，并且$A$与$G$的每个Hall $σ_{i}$ -子群$H$置换，即$AH=HA$对所有$i \in I$。我们用$σ$ -置换子群的分配格刻画了有限群.
A generalization of the Arad--Ward theorem on Hall subgroups
本文推广 Arad–Ward 定理，证明同时属于两类 Hall 子群群类的有限群也属于其素数集交对应的群类，并推出在所有适当大小素数子集上均含 Hall 子群时存在可解 Hall $π$-子群。
On $H_σ$-permutably embedded and $H_σ$-subnormaly embedded subgroups of finite groups
设$G$是一个有限群。设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集合$\Bbb{P}$的一个划分，$n$是一个整数.我们写$σ(n) =\{σ_{i} |σ_{i}\cap π(n)\ne \emptyset \}$、$σ(G) =σ(|G|)$。$G$的子群的集合$ {\cal H}$称为$G$的完全Hall $σ$ -集合，如果${\cal H}\setminus \{1\}$的每个成员对于某个$σ_{i}$都是$G$的Hall $σ_{i}$ -子群，并且对于每个$σ_{i}\in σ(G)$，${\cal H}$恰好包含一个$G$的Hall $σ_{i}$ -子群。$G$的一个子群$A$被称为：（i）$G$的一个$σ$ -Hall子群，如果$σ(|A|) \cap σ(|G:A|)=\emptyset$ ;（ii）$σ$ -在$G$中可置换，如果$G$拥有一个完全的Hall $σ$ -集合${\cal H}$，使得对于所有$H\in {\cal H}$和所有$x\in G$都有$AH^{x}=H^{x}A$。如果$A$是$G$的某个$σ$ -可置换子群的$σ$-Hall子群，则我们称$G$的子群$A$是$H_σ$ -可置换嵌入$G$ .研究了具有$|A|$阶$H_σ$ -可置换嵌入子群的有限群$G$，其中$G$的每个子群$A$.推广了已有的结果。
Extensions of a theorem of P. Hall on indexes of maximal subgroups
本文推广 P. Hall 关于极大子群指数与有限群可解性的经典定理，证明在极大子群幂零或真非极大子群含于素数（平方）指数子群时，$G$ 仍可解。
Determining hypercentral Hall subgroups in finite groups
本文研究如何利用有限群中π-元素的共轭类长度及其重数推断群的π-结构，并证明该类长度多重集可判定群是否具有超中心Hall π-子群。
Conjugacy classes of $π$-elements and nilpotent/abelian Hall $π$-subgroups
本文研究有限群中 π-元素共轭类的数量下界，并证明当该数量足够大时，群必含有幂零或阿贝尔的 Hall π-子群。
Length parameters of finite groups and their Hall subgroups
研究有限群及其Hall子群的长度参数，证明若有限群G有Hallπ-子群H，则G的非p-可解长度受H的广义Fitting高度限制。
On abelian subgroups of finitely generated metabelian groups
本文介绍了与Hall在1950年定义的$\mathcal B$ -群类有关的$\mathcal H$ -群类（或Hall群）.建立了Hall群的一些基本性质，利用它们得到了关于阿贝尔群嵌入的结果.特别是，我们给出了一个明确的分类所有的阿贝尔群，可以出现在有限生成的元阿贝尔群的子群。Hall群允许对Baumslag在1990年提出的关于同构类集合的基数的猜想给出否定的回答，该猜想是关于在生成的亚阿贝尔群中阿贝尔子群的同构类集合的基数。
On the converse of Hall's theorem
本文主要研究了P. Hall证明的一个著名定理的逆定理，并在Hall子群族存在的各种假设下给出了详细的刻画.特别地，我们证明了如果$p\neq 3$和有限群$G$对每个素数$q\neq p$都有Hall $\{p,q\}$ -子群，则$G$是$p$ -可解的.
On $Π$-permutable subgroups of finite groups
设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是所有素数集合$\Bbb{P}$的某个划分，$Π$是集合$σ$的非空子集。一个有限群$G$的子群集合${\cal H}$称为$G$的一个\emph{ complete Hall $Π$-set}，如果${\cal H}$的每个成员对于某个$σ_{i}\in Π$都是$G$的一个Hall $σ_{i}$ -子群，并且${\cal H}$对于每个$σ_{i}\in Π$都恰好包含一个$σ_{i}$ -子群，使得$σ_i\cap π(G)\neq\emptyset$。如果$G$拥有一个完整的霍尔$Π$ -集${\cal H}=\{H_{1}, \ldots , H_{t} \}$，使得对于任何$i$和所有$x\in G$都有$AH_{i}^{x}=H_{i}^{x}A$，则$G$的一个子群$H$称为\emph{$Π$-quasinormal}或\emph{$Π$-permutable}.在$H$在$G$中是$Π$ -可置换的假设下，我们研究了$H$的嵌入性质.推广了已有的结果。
On $σ$-semipermutable subgroups of finite groups
令$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是所有素数集合的某个分区$\Bbb{P}$，$G$是有限群，而$σ(G) =\{σ_{i} |σ_{i}\cap π(G)\ne \emptyset \}$。$G$的子群的集合${\cal H}$称为$G$的一个\emph{complete Hall $σ$-set}，如果${\cal H}$的每个成员$\ne 1$对于某个$σ_{i}\in σ$都是$G$的一个Hall $σ_{i}$ -子群，并且${\cal H}$对于每个$σ_{i}\in σ(G)$都恰好包含一个$σ_{i}$ -子群。$G$的一个子群$H$被称为：\emph{$σ$-semipermutable in $G$ with respect to ${\cal H}$}，如果$HH_{i}^{x}=H_{i}^{x}H$对于所有$x\in G$和所有$H_i\in {\cal H}$使得$(|H|, |H_{i}|)=1$ ; \emph{$σ$-semipermutable in $G$}，如果$H$是$σ$ -在$G$中相对于$G$的某个完全Hall $σ$ -集合是半可置换的。我们研究了$G$的结构是基于这样的假设，即$G$的某些子群是$σ$ -半置换的。
Finite Groups Having Nonnormal T.I. Subgroups
本文研究了具有非正规T. I.的有限群$G$的结构。研究了子群$H$，它也是Hall $π$ -子群.作为Gow的一个结果的推广，我们证明了当$G$是$π$ -可分的时，$H$是Frobenius补.这是通过获得以下事实来实现的：Hall T.I.子群在有限群中是共轭的。我们还证明了关于正规补的两个定理，其中一个定理推广了Frobenius的一个经典结果。
On weakly $sigma$-permutable subgroups of finite groups
设G是有限群，σ = {σ_i，\in I}是素数集\mathbb{P}的一个划分. G的子群集合\mathcal{H}有1个\in \mathcal{H}称之为G的完全Hall σ-集，如果\mathcal{H}的每个非恒等成员都是G的Hall σ_i-子群.称G的子群H是σ-可置换的，如果G有一个完备的Hall σ-集\mathcal{H}，使得对所有的A \in \mathcal{H}和所有的x \in G，HA^x = A^xH.我们称G的子群H在G中弱σ-置换，如果存在G的σ-次正规子群T使得G = HT且H \cap T \leq H_σG.其中H_σG是H的子群，它由G中H的所有σ-置换子群生成。利用这个新概念，我们建立了群G是σ-可解群和超可解群的一些新的判别准则，并给出了群G的正规子群是超循环嵌入群的条件.
On the inheriting of the property $C_π$ by some normal subgroups
本文证明了指数为$π'$-数的正规子群继承Hall性质$C_π$。
The $D_π$-property on products of $π$-decomposable groups
本文的目的是证明以下结果：设$π$是奇素数集.如果群$G=AB$是两个$π$ -可分解子群$A=A_π\times A_{π'}$和$B=B_π\times B_{π'}$的乘积，则$G$有唯一的Hall $π$ -子群共轭类，并且任何$π$ -子群包含在Hall $π$ -子群中（即$G$满足性质$D_π$）。
Nilpotent and Abelian Hall Subgroups in Finite Groups
本文给出了具有幂零或交换Hall $π$ -子群的有限群的一个特征，该特征可从特征标表中容易地得到验证。
Finite groups whose $n$-maximal subgroups are $σ$-subnormal
令$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是所有素数集合$\Bbb{P}$的某个划分。$G$的子群的集合${\cal H}$称为$G$的一个\emph{complete Hall $σ$-set}，如果对于某个$i\in I$，${\cal H}$的每个成员$\ne 1$都是$G$的一个Hall $σ_{i}$ -子群，并且对于每个$σ_{i}\in σ(G)$，$\cal H$都恰好包含一个$σ_{i}$ -子群。$G$的一个子群$H$称为：\emph{$σ$-permutable}或\emph{$σ$-quasinormal} in $G$，如果$G$拥有一个完整的霍尔$σ$ -集集合${\cal H}$，使得$HA^{x}=A^{x}H$对于所有$A\in {\cal H}$和$x\in G$：\emph{$σ$-subnormal} in $G$，如果存在一个子群链$A=A_{0} \leq A_{1} \leq \cdots \leq A_{t}=G$，使得$A_{i-1}\trianglelefteq A_{i}$或$A_{i}/(A_{i-1})_{A_{i}}$对于一些$σ_{i}\in σ$对于所有$i=1, \ldots t$是有限的$σ_{i}$ -群.如果每个$n$ -极大子群的$G$是$σ$ -subnormal（$σ$ -quasinormal，分别…
On finite $PσT$-groups
设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集$\Bbb{P}$的某个划分，$G$是有限群.如果$G$的每个主因子$H/K$对于某些$i=i(H/K)$是$σ_{i}$ -群，则称$G$是\emph{$σ$-soluble}。一个$G$的子群的集合${\cal H}$称为$G$的\emph{complete Hall $σ$-set}，如果${\cal H}$的每个成员$\ne 1$对于某个$σ_{i}\in σ$都是$G$的Hall PDMATHAMR-子群，并且${\cal H}$对于每个$i \in I$都恰好包含一个PDMATHAMR-$G$的Hall子群，使得$σ_{i}\cap π(G)\ne \emptyset$。如果$G$有一个完整的霍尔$σ$集$\cal H$，使得对于所有$x\in G$和所有$H\in \cal H$，都有$AH^{x}=H^{x}A$，则称$G$的子群$A$为\emph{$σ$-permutable}或$G$中的\emph{$σ$-quasinormal}。本文给出了有限$σ$ -可解群$G$的一个刻划，其中$σ$ -拟正规性是$G$中的一个传递关系.
A Robinson characterization of finite $PσT$-groups
设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集$\Bbb{P}$的某个划分，$G$是有限群。如果$G$对所有$i$都有Hall $σ_{i}$ -子群，则称$G$为$σ$ -full。如果$G$是$σ$ -全的，并且$A$与$G$的所有Hall $σ_{i}$ -子组$H$（即，$AH=HA$）对于所有$i$都可以置换，则$G$的子组$A$被称为$σ$ -可在$G$中置换。得到了有限群$G$的一个特征，其中$σ$ -置换是$G$中的一个传递关系，即如果$K$是$H$的一个$σ$ -置换子群，$H$是$G$的一个$σ$ -置换子群，则$K$是$G$的一个$σ$ -置换子群.
Characterizations of some classes of finite $σ$-soluble $PσT$-groups
设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集合$\Bbb{P}$的某个划分，$G$是有限群.如果$G$的每个主因子$H/K$对于某些$i=i(H/K)$是$σ_{i}$ -群，则称$G$是$σ$ -可溶的。一个$G$的子群集合${\cal H}$称为$G$的完全Hall $σ$ -集合，如果${\cal H}$的每个成员$\ne 1$对于某个$σ_{i}\in σ$都是$G$的Hall $σ_{i}$ -子群，并且对于每个$i \in I$，${\cal H}$恰好包含一个$σ_{i}$ -子群，使得$σ_{i}\cap π(G)\ne \emptyset$。如果$G$有一个完整的霍尔$σ$ -集$\cal H$，使得对于所有$x\in G$和所有$H\in \cal H$都有$AH^{x}=H^{x}A$，则称$G$的子群$A$在$G$中是$σ$ -可置换的。给出了有限$σ$ -可解群$G$的特征，其中$σ$ -置换是$G$中的传递关系.
Pseudo Sylow numbers
其中一部分西洛的著名定理群论指出，一些西洛p-子群的有限群总是全等1模p.相反，马歇尔霍尔表明，不是每一个正整数$n\equiv 1\pmod{p}$出现的一些西洛p-子群的有限群。虽然霍尔的证明依赖于深厚的知识模表示理论，我们表明，通过初等手段，没有有限群有确切的35西洛17-子群。
Hall $π$-subgroups and characters of $π'$-degree
本文探讨了有限群中Hall π-子群与π'度数特征标之间的关系，并将Navarro和Tiep的结果推广到多个奇素数的情况。
Hall complement numbers
受张纪平对霍尔数分类问题启发，钱国华提出霍尔补数分类问题。本文证明每个霍尔补数要么是\(1\)，要么是\(4k + 2\)（\(k\)为非负整数），解决了钱国华的问题。
On the intersections of solvable Hall subgroups in finite groups
本文考虑如下猜想：若有限群$G$有可解的$π$ -Hall子群$H$，则存在元素$x,y,z,t\in G$使得恒等式$H\cap H^x\cap H^y\cap H^z\cap H^t=O_π(G)$成立.最小反例是几乎单群的李型。
On an open problem of Skiba
令$σ=\{σ_{i}|i\in I\}$是所有素数的集合$\mathbb{P}$的某个划分，即，对于所有$i\neq j$，有$\mathbb{P}=\bigcup_{i\in I}σ_{i}$和$σ_{i}\cap σ_{j}=\emptyset$。设$G$是一个有限群。$G$的子群的集合$\mathcal {H}$称为$G$的完全Hall $σ$ -集合，如果$\mathcal {H}$的每个非恒等成员都是$G$的Hall $σ_{i}$ -子群，并且对于每个$σ_{i}\in σ(G)$，$\mathcal {H}$恰好包含一个$G$的Hall $σ_{i}$ -子群。如果$G$拥有一个完备的Hall $σ$ -集，则称它是一个$σ$ -群。$σ$ -组$G$被称为$σ$ -分散型，前提是$G$具有正常系列$1 = G_1<G_2<\cdots< G_t< G_{t+1} = G$和完整的Hall $σ$ -设置$\{H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{t}\}$，以便所有$i= 1,2,\ldots t$的$G_iH_i = G_{i+1}$。本文给出了$σ$ -色散群的一个刻划，从而肯定地回答了Skiba的一个公开问题。
Commuting probability for the Sylow subgroups of a profinite group
该研究探讨投射有限群的子群交换概率，证明若投射有限群的Sylow 2-子群与Sylow 3、5-子群的交换概率为正则群是虚投射可解的，还给出投射可解群为虚投射幂零的概率判据。
Characters, Hall subgroups, and Normal Complements
本文在更一般假设下，为1989年关于有限群Hall子群的不可约复特征标延拓与正规补群等价的经典结果提供了模版本。
Indices of non-supersolvable maximal subgroups in finite groups
基于Doerk和Hall关于有限群可解性的经典结果，本文刻画了极大子群为超可解或指数为素数/素数平方的非可解有限群的结构。
On generalized $σ$-soluble groups
设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集$\Bbb{P}$的一个划分，$G$是一个有限群.令$σ(G)=\{σ_{i} : σ_{i}\cap π(G)\ne \emptyset$。$G$的子群的集合${\cal H}$称为$G$的完全Hall $σ$ -集合，如果${\cal H}$的每个成员$\ne 1$对于某个$i\in I$是$G$的Hall $σ_{i}$ -子群，并且$\cal H$对于每个$i$恰好包含一个$σ_{i}$ -子群，使得$σ_{i}\in σ(G)$。我们说$G$是$σ$ -full，如果$G$拥有一个完整的Hall PDMATHAMR-set。$G$的一个完全Hall $σ$ -集$\cal H$称为$G$的一个$σ$ -基，如果每两个子群$A, B \in\cal H$是可置换的，即$AB=BA$ .本文研究了具有$σ$ -基的有限群的性质。特别地，我们证明了如果$G$有一个PDMATHAMR-基，则$G$是广义PDMATHAMR-可解的，即$G$有一个完备的Hall PDMATHAMR-集，并且对于$G$的每个主因子$H/K$，我们有$|σ(H/K)|\leq 2$ .此外，回答问题8.28在[A.N. Skiba，在有限部分可解群理论中的一些结果，Commun。数学统计，4（3）（2016），281- 309]，我们证明了下面的定理…
A generalization of Hall's theorem on hypercenter
设$ σ$是素数集的一个划分，$\mathfrak{F}$是一个遗传群系.我们描述了所有的形成$\mathfrak{F}$的$\mathfrak{F}$ -超中心和交叉的弱$K$ - $\mathfrak{F}$ -subnormalizers的所有Sylow子群在每个组中重合。特别地，所有$σ$ -幂零群的形成都具有这个性质。在我们的结果的帮助下，我们解决了洛杉矶的一个特殊情况。关于$\mathfrak{F}$ -极大子群与$\mathfrak{F}$ -超中心的交的Shemetkov问题。作为推论，我们得到了P. Hall和R. Baer关于超中心的经典结果。证明了群的非$σ$ -幂零图是连通的，且其直径不超过3。
Hall's Theorem for limit groups
马歇尔霍尔的一个著名定理。这意味着，所有的自由生成的自由群都是子群可分的，并且它们的所有的自由生成的子群都是有限指数子群的收缩。我们使用拓扑技术的启发工作Stallings证明，所有的极限群共享这两个属性。这回答了塞拉的一个问题。
The exceptional Hall numbers
本文刻画有限群中的 Hall 数，证明除平凡情形外仅 12、24、60 满足定义，解决了 Jiping Zhang 提出的问题。
Variants of theorems of Baer and Hall on finite-by-hypercentral groups
我们证明，如果群$G$有一个有限正规子群$L$，使得$G/L$是超中心的，则$G$的超中心指数受$L$阶函数的限制。这完成了R.贝尔和P.霍尔。然后，我们将我们的结果应用到自同构群的一组$G$在一个有限的方式作用在一个上升正常系列的$G$。
The permutability of $σ_i$-sylowizers of some $σ_i$-subgroups in finite groups
设$σ=\{σ_{i}|i\in I\}$是素数集$\mathbb{P}$的一个划分，$G$是有限群，$σ(G)=\{σ_{i}|σ_{i}\cap π(|G|)\neq\emptyset\}$是素数集.如果$S$在$G$中相对于将$R$作为其Hall $σ_i$ -子群是最大的，则将群$G$的子群$S$称为$G$中$σ_i$ -子群$R$的$σ_i$ -sylowizer。本文的主要目的是研究$σ_i$ -sylowizers对有限群结构的影响。利用某些$σ_i$ -子群的$σ_i$ -sylowizers的可置换性，得到了超可解群的一些新的刻画.
Pro-Hall $R$-groups and groups discriminated by the free pro-$p$ group
本文引入pro-Hall $R$ -群作为Hall $R$ -群的逆极限，并证明了对于由$\mathbb{Z}_p$判别的环$S$的二项式闭包$S^{bin}$，自由pro-Hall $S^{bin}$ -群$\mathbb{F}(A,S^{bin})$是完全剩余自由的$p$ .进一步证明了$\mathbb{F}(A,S^{bin})$中任意有限元素集定义了一个pro- $p$子群，从而定义了自由pro- $p$群上的一个不可约坐标群.
On finite groups in which some maximal invariant subgroups have indices a prime or the square of a prime
本文研究有限群在互素自同构群作用下极大不变子群指数为素数或素数平方时的可解性，推广了Hall定理，并完整刻画了非幂零极大不变子群包含某Sylow子群正规化子且指数为素数的有限群。
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