发表机构
Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
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本文研究Thompson猜想的定量版本，在PSL_n(2)上证明其紧密变体成立，但在PSL_n(8)和PSL_n(5)上构造反例，否定Shalev问题并反驳Pyber猜想。
AI 中文摘要
经典的Thompson猜想断言：在任何有限非阿贝尔单群$G$中，存在一个共轭类$S$，使得$S$的平方等于整个群。Shalev（Annals Math., 2009）猜想一个更强的定量版本成立：存在$\u03b5 > 0$，使得对于任何满足$|S| \u2265 |G|^{1-\u03b5}$的共轭类$S$，有$G \u2216 \{1\} \u2286 S^2$。虽然该猜想在一般情况下被证明不成立，但我们在$\operatorname{PSL}_n(2)$上证明了该猜想的一个紧密变体：存在$\u03b5>0$和$N \u2208 \mathbb{N}$，使得对所有$n\u2265N$，每个满足$|S|\u2265|\operatorname{PSL}_n(2)|^{1-\u03b5}$的共轭类$S\u2286\operatorname{PSL}_n(2)$都满足$\{x\u2208\operatorname{PSL}_n(2):\operatorname{supp}(x)\u22601\}\u2286 SS^{-1}.$ 另一方面，我们证明对于每个$\u03b5>0$，存在$\operatorname{PSL}_n(8)$中的共轭类$S$，其大小$>|\operatorname{PSL}_n(8))|^{1-\u03b5}$，使得$SS^{-1}$遗漏了支撑大小与$n$成线性关系的偶数元素。此外，对于每个奇数$n \u2265 5$，我们在$\operatorname{PSL}_n(5)$中构造了一个具有固定正密度的逆封闭正规集，其平方遗漏了一个非单位元素。这否定了Shalev（ECM, 2021）的一个问题，并反驳了Pyber（Kourovka notebook, 2022）的一个猜想。
英文摘要
The classical Thompson's conjecture asserts that in any finite nonabelian simple group $G$, there exists a conjugacy class $S$ whose square is equal to the entire group. Shalev (Annals Math., 2009) conjectured that a much stronger quantitative version holds: there exists $ε> 0$ such that for any conjugacy class $S$ with $|S| \geq |G|^{1-ε}$, we have $G \setminus \{1\} \subseteq S^2$. While the conjecture turns out to fail in general, we prove a close variant of the conjecture over $\operatorname{PSL}_n(2)$: There exist $ε>0$ and $N \in \mathbb{N}$ such that for all $n\geq N$, every conjugacy class $S\subseteq\operatorname{PSL}_n(2)$ with $|S|\geq|\operatorname{PSL}_n(2)|^{1-ε}$ satisfies $\{x\in\operatorname{PSL}_n(2):\operatorname{supp}(x)\neq1\}\subseteq SS^{-1}.$ On the other hand, we show that for each $ε>0$, there exist conjugacy classes $S \subset \operatorname{PSL}_n(8)$ of size $>|\operatorname{PSL}_n(8))|^{1-ε}$ for which $SS^{-1}$ misses even elements with support size linear in $n$. In addition, for every odd $n \ge 5$, we construct an inverse-closed normal set in $\operatorname{PSL}_n(5)$ with fixed positive density whose square misses a nonidentity element. This answers on the negative a question of Shalev (ECM, 2021) and disproves a conjecture of Pyber (Kourovka notebook, 2022).
