Some multivariable Rado numbers
方程的Rado数是与方程相关联的拉姆齐理论量。设$\mathcal{E}$是一个线性方程。用$\operatorname{R}_r(\mathcal{E})$表示最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E})]$的任何$r$着色必须允许$\mathcal{E}$的单色解。本文给出了$\sum_{i=1}^{m-2}x_i+kx_{m-1}=\ell x_{m}$的Rado数的上下界，并给出了一些精确值。进一步，我们得到了$\ell=m=4$和$m=5, \ell=k+i \ (1\leq i\leq 5)$的一些结果.作为推广，线性方程组$\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r$的\emph{$r$-color Rado numbers}被定义为最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)]$的任何$r$ -着色必须允许某个$\mathcal{E}_i$的单色解，其中$1\leq i\leq r$。利用Lovász局部引理给出了$\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)$的下…
2022-03-11 math.CO
Off-diagonal Rado numbers for $x+y+c=z$ and $x+y+k=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究了非齐次线性方程组$x+y+c=z$和$x+y+k=z$（其中$c≤k）的离散和连续对角线Rado数，确定了精确的两色离散和连续对角线Rado数R₂(c,k)。
2026-08-12 math.CO
Rado Numbers of Regular Nonhomogeneous Equations
我们考虑正则方程$\mathcal{E}(b)$的Rado数形式为\[ c_1x_1+c_2x_2+\dots+ c_{k-1}x_{k-1} = x_k + b, \]其中$b \in \mathbb{Z}$和$c_i \in \mathbb{Z}^{+}$对所有$i$ .给出了$b>0$和$b<0$的$t$ -色Rado数$r(\mathcal{E}(b);t)$用$r(\mathcal{E}(0);t)$表示的上界和下界的充分条件.我们还给出了例子，从这些结果中得到的Rado数的精确值。
2019-08-30 math.CO
New Upper and Lower Bounds on the Rado Numbers
若E是线性齐次方程，c是自然数，则Rado数$R_c(E)$是最小的N，使得从1到N的任何正整数的c-染色都包含单色解.刻划了R_c（E）总是存在的Rado。Rado定理的原始证明给出了R_c（E）（当它存在时）的极大界。本文建立了R_c（E）的较好的上界和一些下界。在附录中，我们使用我们的一些定理，以及来自概率SAT求解器的想法，来找到许多新的Rado数。
2012-06-21 math.CO
Rado Numbers and SAT Computations
给定一个线性方程$\mathcal{E}$，$k$ -色Rado数$R_k(\mathcal{E})$是最小的整数$n$，使得$\{1,2,3,\dots,n\}$的每个$k$ -着色都包含$\mathcal E$的单色解. $\mathcal E$的正则度，记为$dor(\mathcal E)$，是使得$R_k(\mathcal E)$是有限的最大值$k$。本文给出了三元方程的Rado数$R_3(\mathcal{E})$和正则度$\mathcal{E}$的新的理论和计算结果。%我们使用SAT求解器来计算固定整数$a,b,$和$c$的三色雷达数$R_3(ax+by+cz = 0)$的许多新值。我们还给出了一个基于SAT的方法来计算这些数的无限族。特别是，我们表明，$R_3(x-y = (m-2) z)$的值等于$m^3-m^2-m-1$的$m\ge 3$。这解决了Myers的一个猜想，并暗示了广义Schur数$S(m,3) = R_3(x_1+x_2 + \dots x_{m-1} = x_m)$等于$m^3-m^2-m-1$的猜想。我们的SAT求解器的计算，结合我们新的组合结果，给出了改进的$dor(ax+by = cz)$和精确值为$1\le a,b,c\le 5 $的界限。我们还给出了Golowich猜想的反例。
2022-10-07 math.CO
Determination of the two-color Rado number for $a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$
对于正整数$a_1,a_2,...,a_m$，我们确定了最小正整数$R(a_1,...,a_m)$，使得对于集合$[1,n]={1,...,n}$和$n\ge R(a_1,...,a_m)$的每一个2-着色，存在方程$a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$和$x_0,...,x_m\in[1,n]$的单色解. $R(a_1,...,a_m)$的精确值显示为$av^2+v-a$，其中$a=min{a_1,...,a_m}$和$v=\sum_{i=1}^{m}a_i$。这证实了B的一个猜想。Hopkins和D.沙尔
2007-12-24 math.CO math.NT
Off-diagonal Rado number for $x+y+c=z$ and $x+qy=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文确定了非齐次线性方程x+y+c=z和x+qy=z的双色非对角线Rado数R₂(c,q)。
2026-02-27 cs.DM math.CO
Equations resolving a conjecture of Rado on partition regularity
一个线性方程L称为k-正则的，如果每个正整数的k-染色都包含L的单色解. Richard Rado证明了对于每一个正整数k，存在一个线性方程是（k-1）-正则的但不是k-正则的.证明了方程$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1} x_i = (-1 + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1}) x_0$具有这一性质。这个猜想是Richard K. Guy的书“Unsolved problems in数论“，在那里它被归因于Rado的1933年论文，“Kombinatorik”。
2009-01-25 math.CO
The Rado Path Decomposition Theorem
本文讨论Rado的一个定理：每一个自然数对的r-染色都有一个路分解。
2018-12-18 math.CO math.LO
On the off-diagonal unordered Erdős-Rado numbers
本文研究无序非对角规范 Ramsey 数，证明 CR(s,r) 的新界并匹配已知下界，同时给出 ER(m,ℓ,r) 的界。
2024-09-17 math.CO
Canonical Ramsey numbers of sparse graphs
本文研究了稀疏图的Erdős-Rado数及受限拉姆齐数问题，证明了度数有界的二部图该数为多项式级，一般图为指数级，并给出了树与路径的受限拉姆齐数近乎最优的上界。
2024-10-11 math.CO
Off-Diagonal Continuous Rado Numbers $x_1 + x_2 + \dots + x_k = x_0$
South Dakota State University（南达科他州立大学）
本文研究了连续版非对角线拉多数，通过扩展原有二色非对角线广义舒尔数的结果，确定了实数范围内满足特定方程的最小数。
2025-11-25 math.CO
Solution Regularity of k-partite Linear Systems -- A Variant of Rado's Theorem
组合数论中的一个经典问题是，一个方程在其定义域的某个子集内是否有解。Rado定理给出了线性方程组在正整数着色时有单色解的一组充要条件。在本文中，我们提供了这个定理的一个变体。对于$k \ge 2$，我们提出的条件，使得当一组变量被划分成$k$子集，有一个解决方案，使每个子集的变量是单色的，我们称之为半单色的解决方案。我们采用Graham，Rothschild和Spencer的smod $p$染色，将半单色解的存在性转化为线性多项式公共根的存在性.利用这一思想，我们可以进一步将定理推广到一般代数数域上的线性方程组。
2022-10-01 math.CO math.NT
Rainbow and Gallai-Rado numbers involving binary function equations
本文研究涉及二元函数方程的 Rainbow 数和 Gallai-Rado 数，给出了若干精确值，并提出计算非线性二元函数方程 Rainbow 数的算法。
2024-05-24 math.CO math.NT
Helly type problems in convexity spaces
该研究报告了有界Radon数凸性空间组合性质的最新进展，讨论了Radon数与多种Helly相关性质、弱ε-网及(p,q)定理的关系，并应用该理论引入新一致超图类且证明其χ-有界。
2025-02-17 math.CO
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
On Rado numbers for equations with unit fractions
University of Denver（丹佛大学）
本研究聚焦单位分数方程的拉多数问题，通过构造满足线性方程单色解且最小公倍数足够小的有限集方法，改进了相关上界，该方法还可推广至其他相关方程的拉多数研究。
2024-06-25 math.CO
The Rado Multiplicity Problem in Vector Spaces over Finite Fields
本文将 flag algebra 方法扩展至有限域向量空间，确定了 F_3^n 的 3-着色中单色 3-AP 的最小数量，并给出 F_5^n 的 2-着色中单色 4-AP 最小数量的首个非平凡下界。
2023-04-01 math.CO math.NT math.OC
Fourier analysis on finite groups and the Lovász theta-number of Cayley graphs
我们应用傅里叶分析在有限群上得到Cayley图的Lovász θ-数的简化公式。我们把这些公式用于检查几个情况下的猜想埃利斯，Friedgut和皮尔佩尔在最近的文章证明了一个版本的Erdens-Ko-Rado定理$k$交叉家庭的排列。我们还引入了$k$ -交叉置换族的概念的$q$ -模拟，并通过计算机验证了相应的Erdens-Ko-Rado断言的几种情况。
2013-07-22 math.CO math.OC
Optimization Tools for Computing Colorings of $[1,\cdots ,n]$ with Few Monochromatic Solutions on $3$-variable Linear Equations
本文借助整数优化与半定优化工具，构造三变量非正则齐次线性方程的最优或近最优二着色，并将 Schur 方程的结果推广到多色情形。
2024-10-29 math.CO
A Note On Rainbow 4-Term Arithmetic Progression
本文基于已有构造证明对所有自然数n存在平衡4-染色，并确立非负整数k≥3和n>1下平衡k-染色包含彩虹AP(k)当且仅当k=3，同时讨论了Z_n的无彩虹等数量4-染色。
2025-02-03 math.CO
A conditional approach for monochromatic unit distance in a plane for four and five coloring
用测度论的方法研究了平面上存在有限单位距离的图不是五个（或四个）可染图的问题。
2022-10-27 math.CO
Strong colorings based on oscillations
University of Toronto（多伦多大学）；Institut de Mathématiques de Jussieu, CNRS（巴黎数学研究所，法国国家科学研究中心）；Matematički Institut, SANU（塞尔维亚科学和艺术院数学研究所）；University of North Texas（北德克萨斯大学）
证明对任意不可数基数κ，存在着色c: [κ]^2→ω使得任意序型为ω_1且在公共上确界中驻定的A,B⊆κ满足c''A⊗B=ω，从而否定Erdős-Rado定理的驻定版本和高维Friedman性质，并展示定理的最优性。
2026-06-04 math.CO math.LO
A Victorian Age Proof of the Four Color Theorem
本文研究了四色地图问题中的一些老问题。本文给出了构造Kempe四色定理反例的一般方法，并证明了通过重构极大可平面图的双螺旋链形式的特殊2-色双路分解，可以排除所有反例.本文的第二部分给出了三次平面映射的四色定理的一个算法证明。我们的算法证明分三步给出。前两个步骤是最大的单色，然后最大的双色着色的脸，以这样的方式，所产生的无色（白色）地区的不完整的双色地图诱导没有奇循环，使在（最后）第三步四着色的地图已获得几乎平凡。
2010-05-07 math.CO
A mathematical proof of four color theorem
由于最后一部分证明中的一个关键错误，本文已被作者撤回。
2004-11-04 math.CO
A note on balanced edge-colorings avoiding rainbow cliques of size four
完全图的平衡边染色是指每个顶点与每种颜色关联的次数相同的边染色。本文给出了完全图在$n=13^k$顶点上的一个六色平衡边染色的构造，对每一个正整数$k$，不含彩虹$K_4$ .这解决了Erdos和Tuza的一个问题。
2023-03-26 math.CO
Klein Group And Four Color Theorem
本文分析了三次图的构造方法，并证明了一个通过平面三次图的基本圈的每对连接边的色盘的存在性定理。
2010-06-03 math.CO
Total Colorings of Some Classes of FourRegular Circulant Graphs
色数，$χ''(G)$是需要被分配以获得图$G$的全着色的颜色的最小数目。由Behzad和Vizing独立提出的全着色猜想（TCC）证明了对任意图都有$χ''(G) \leq Δ(G)+2 $，其中$Δ(G)$表示$G$的最大度.本文给出了几类四个正则循环图的全色数色数。
2021-10-29 math.CO
The Borowiecki-Broere Generalized Total Coloring Conjecture for Planar Graphs
New York University（纽约大学）
本文证明了每个有限简单平面图均存在四色广义全染色，即正常四顶点染色可扩展为四色森林边染色，且边色异于端点色，证明结合三角剖分计数不等式与拟阵划分定理，并给出 Lean 4 形式化。
2026-10-02 math.CO
Signed permutations and the four color theorem
对于$S_{n}$中的每个置换$σ$，我们将固定的$(n+2)$ -边形的三角剖分相关联。然后，我们确定了这种联合的纤维，并表明它们与Novelli，Hivert和Thibon所描述的Sylvester类相一致。一个有符号的版本，这个建设允许我们重新制定的四色定理在对称群$ S_{n}的凯莱图中的任何两个排列之间的存在的有符号的道路。
2006-06-28 math.CO
Graph Homomorphisms via Vector Colorings
本文利用半定规划研究了同态$G\to H$的存在性。具体地说，我们使用的向量色数的图，定义为最小的实数$t \ge 2$，存在的单位向量$i\mapsto p_i$分配到它的顶点，使$\langle p_i, p_j\rangle\le -1/(t-1),$时，$i\sim j$。我们的方法允许在不使用Erdens-Ko-Rado定理的情况下重新证明，对于$n>2r$，Kneser图$K_{n:r}$和$q$-Kneser图$qK_{n:r}$是核，并且对于$n/r = n'/r'$，存在同态$K_{n:r}\to K_{n':r'}$当且仅当$n$整除$n'$。在新的应用方面，我们证明了$n$ -立方体$H_{n,k}$的距离$k$ -图的偶权分量是核，并且非二部泰勒图是核。此外，我们给出了当$n/k = n'/k'$时，同态$H_{n,k}\to H_{n',k'}$存在的一个充分必要条件。最后，我们证明了如果一个2-行走正则图（非二部且不完全多部）有唯一的最优向量染色，则它是一个核。基于这个充分条件，我们对Ted Spence的强正则图列表进行了计算研究，发现至少84%是核。
2019-03-28 math.CO
On the 4-color theorem for signed graphs
有几种方法可以将图着色推广到符号图。Máčajová，Raspaud和Škoviera介绍了其中之一，并证明在这种情况下，对于有符号的可平面图，四色总是足够的，从而推广了四色定理。我们推翻了这个猜想。
2019-06-13 math.CO
Toward a language theoretic proof of the four color theorem
本文研究了在一定的简单文法下，每对具有相同叶数的二叉树都能解析一个公共词的问题。我们列举了几个无限家庭的树对常见的解析字，并讨论了几种方法来减少问题的一对树找到一个解析字，为一个较小的对。每对树都有一个公共解析字的陈述等价于每一个可平面图都是四色图的陈述，因此这些结果是四色定理的语言理论证明的一步。
2011-12-10 math.CO
Another simple reformulation of the four color theorem
我们给出了一个简单的重新制定的四色定理作为一个问题的字符串在一个四个字母表。
2021-08-24 cs.DM math.CO
A sharp lower bound for some reciprocal Rado numbers
Community College of Aurora（奥罗拉社区学院）
本文研究了递归拉多数的下界，证明了对于r≥1，f_r(2)≥4^r/2，且对于k≥3，f_r(k)≥(2^r-1)k^r。当r=2时，针对特定k值给出更精确的下界，并提供了新的计算结果和一般化的下界扩展。
2026-07-07 cs.DM math.CO math.NT
The Balanced Four-Color Theorem
The University of Tokyo（东京大学）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）
研究n≥3顶点平面图的染色问题，核心方法是证明其能进行特定4染色且可在O(n log n)时间找到，贡献是给出最优界限并扩展到更多颜色及一般曲面图。
2026-07-15 cs.DS math.CO
Algorithmic methods of finite discrete structures. The Four Color Theorem. Theory, methods, algorithms
本文基于将极大平面图归约为正则平面三次图，并利用Tate-Volynsky定理和四阶Klein群变换律，提出平面图四着色算法。
2024-04-26 cs.DM math.CO math.HO
