一个线性方程L称为k-正则的，如果每个正整数的k-染色都包含L的单色解. Richard Rado证明了对于每一个正整数k，存在一个线性方程是（k-1）-正则的但不是k-正则的.证明了方程$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1} x_i = (-1 + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1}) x_0$具有这一性质。这个猜想是Richard K. Guy的书“Unsolved problems in数论“，在那里它被归因于Rado的1933年论文，“Kombinatorik”。
英文摘要：
A linear equation L is called k-regular if every k-coloring of the positive integers contains a monochromatic solution to L. Richard Rado conjectured that for every positive integer k, there exists a linear equation that is (k-1)-regular but not k-regular. We prove this conjecture by showing that the equation $\sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1} x_i = (-1 + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1}) x_0$ has this property.
This conjecture is part of problem E14 in Richard K. Guy's book "Unsolved problems in number theory", where it is attributed to Rado's 1933 thesis, "Studien zur Kombinatorik".
我们研究了Rado泛函和极大条件（最早由J.M. Barret等人）根据线性方程与不等式混合制系统的剖分正则性，得到了一个新的解.通过加强极大Rado条件，给出了交换环的无穷子集上多项式方程的分块正则性的一个充分条件.应用这些结果，我们得到了M. Di Nasso和L.本文讨论了关于三元剖分正则非齐次多项式的LuvaniBaglini定理，并给出了$H(xz^ρ,y)=0$形式方程的剖分正则性条件，其中$ρ$是非零有理数，$H\in\mathbb{Z}[x,y]$是齐次多项式。
Partition regularity and multiplicatively syndetic sets
我们展示了如何乘法syndetic集可以用于研究的伸缩不变系统的多项式方程的分割正则性。特别地，我们证明了一个膨胀不变的多项式方程组是划分正则的当且仅当它在每个乘法合集内都有解。我们还采用了Green-Tao和Chow-Lindqvist-Prendiville的方法来开发Roth密度增量策略的联合版本。然后，该参数用于获得形式为$\{x, d, x + d, x + 2d\}$的配置的Rado数的界限。
