四色定理的数学证明
A mathematical proof of four color theorem
摘要:
由于最后一部分证明中的一个关键错误,本文已被作者撤回。
英文摘要:
This paper has been withdrawn by the author due to a crucial error in last part of proof.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
A mathematical proof of four color theorem
Han Heewon
由于最后一部分证明中的一个关键错误,本文已被作者撤回。
This paper has been withdrawn by the author due to a crucial error in last part of proof.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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A Victorian Age Proof of the Four Color Theorem
本文研究了四色地图问题中的一些老问题。本文给出了构造Kempe四色定理反例的一般方法,并证明了通过重构极大可平面图的双螺旋链形式的特殊2-色双路分解,可以排除所有反例.本文的第二部分给出了三次平面映射的四色定理的一个算法证明。我们的算法证明分三步给出。前两个步骤是最大的单色,然后最大的双色着色的脸,以这样的方式,所产生的无色(白色)地区的不完整的双色地图诱导没有奇循环,使在(最后)第三步四着色的地图已获得几乎平凡。
A Mathematical Proof of Dodgson's Algorithm
本文给出了Dodgson算法[1]的一个数学证明。最近Zeilberger [2]给出了一个双射证明。我们的技术是基于行列式性质,它们是通过归纳法获得的。
A short proof of Brooks' theorem
我们给出了一个简单的简短证明布鲁克斯定理只使用归纳法和贪婪着色,同时避免了图的连通性问题。这个论证很容易推广到Brooks定理的一些扩展,包括列表着色,符号图着色和对应着色的变体。
Spiral Chains: The Proofs of Tait's and Tutte's Three-Edge-Coloring Conjectures
本文在不假定可平面图的四色定理的情况下,证明了每一个(无桥)三次可平面图都有三边染色.这是一个古老的猜想,由于泰特在尖叫的努力解决四色猜想在19世纪末。我们还证明了我们的方法的适用性,另一个著名的三次图的三边着色猜想。即Tutte的猜想:“任何不含Petersen子式的2-连通三次图都是3-边可着色的”。因此,本文的结论暗示了四色定理在不同情况下利用螺旋链的另一种非计算机证明。
Combinatorial Proofs for Two-Color Partition Identities Involving Overpartitions and Minimal Excludants
研究涉及超分割和最小排除数的双色分拆恒等式,通过构造显式保权双射和奇偶反转对合给出组合证明,还给出相关超分割精细化的新组合证明。
Spiral Chains: A New Proof of the Four Color Theorem
可以接受,但由于计算机的广泛使用,弗朗西斯·格思里著名的四色地图问题的相当令人不愉快的证明最终由W. Appel和K. 1976年的哈肯。使用同样的方法,但缩短了证明20年后,由另一个团队,即N。罗伯逊,D.P.桑德斯,P.D. Seymour和R.托马斯也不会大大提高证明的可读性。因此,人们普遍认为需要更优雅和可读的证明。有相当数量的等价公式的问题,但没有一个承诺的可能的非计算机证明。另一方面,已知的证据使用的概念肯普链和reductionary的配置,这是一个世纪的想法。考虑到这一点,我们在极大可平面图中引入了一个新的概念,我们称之为“螺旋链”。我们已经证明,对于任何极大图,只要使用螺旋链,我们就不需要第五种颜色。本文给出了四色定理的另一种证明,它不是建立在其他数学分支的深刻抽象的理论基础上,也不是利用计算机的计算能力,而是完全建立在图论的一种新思想上。
Toward a language theoretic proof of the four color theorem
本文研究了在一定的简单文法下,每对具有相同叶数的二叉树都能解析一个公共词的问题。我们列举了几个无限家庭的树对常见的解析字,并讨论了几种方法来减少问题的一对树找到一个解析字,为一个较小的对。每对树都有一个公共解析字的陈述等价于每一个可平面图都是四色图的陈述,因此这些结果是四色定理的语言理论证明的一步。
A geometric proof of the colored Tverberg theorem
着色Tverberg定理断言,对于每个d和r,存在t=t(d,r),使得对于R^d中基数为(d+1)t的每个集合C,划分为t-点子集C_1,C_2,.,C_{d+1}(我们将其视为颜色类;例如,C_1的点是红色的,C_2的点是蓝色的,等等),存在r个不相交的集合R_1,R_2,.,R_r \subseteq C是“彩虹”,意思是|R_i \cap C_j| < 2,且其凸包都有公共点。这个定理的所有已知证明都是拓扑的。我们提出了一个几何版本的最近美丽的证明布拉戈耶维奇,Matschke和齐格勒,避免直接使用拓扑方法。这种去拓扑化的目的是使证明更加具体和直观,并且更广泛的受众可以访问。
Bijective proofs of proper coloring theorems
色多项式及其推广的色对称函数是两个重要的图不变量。著名的Birkhoff、Whitney和Stanley定理表明了这两个对象可以用三种不同的方式来表示:所有生成子图上的和,没有断开回路的生成子图上的和,以及具有相容着色的非循环方向。我们用双射的方法建立这六个表达式。事实上,我们只用两个双射就可以做到这一点,因为在对称函数设置中的证明是使用与多项式情况相同的双射获得的,并且对于断开电路的双射只是对于所有生成子图的双射的限制。
The combinatorics of some two-color partition identities
本研究针对Andrews、EI Bachraoui及Chen和Zhou提出的双色分拆恒等式相关问题,给出了已有恒等式的组合证明,还推导了若干新的双色分拆恒等式并提供组合证明,推进了分拆组合学领域的相关研究。
Combinatorial proofs and refinements of three partition theorems of Andrews
在他最近的工作中,安德鲁斯重新审视了双色分区,并对连续部分之间的差异进行了某些限制,他建立了三个定理,将这些双色分区与更熟悉的分区类型联系起来。本文给出了Andrews的这三个定理的双射证明和改进。我们的改进考虑了两种颜色中每种颜色的部件数量。
Two-color partitions and overpartitions: a combinatorial proof
利用双模图给出Andrews和El Bachraoui关于双色分拆与超分拆之间关系的主要结果的组合证明。
A different short proof of Brooks' theorem
Lovász给出了一个简短的证明布鲁克斯定理着色greetings在一个良好的秩序。我们给出一个不同的简短证明,通过减少到立方的情况。然后,我们展示了如何通过核引理将结果扩展到(在线)列表着色。
A new proof of two-color partition regularity of Pythagorean triples
本文给出一个由ChatGPT Astra发现的新证明,说明自然数两色染色时必存在单色毕达哥拉斯三元组。
Generalized Kneser coloring theorems with combinatorial proofs
Kneser猜想(1955年)由Lovász(1978年)使用Borsuk-Ulam定理证明;所有后续的证明,扩展和推广也依赖于代数拓扑学的结果,即Borsuk-Ulam定理及其扩展。直到2000年,Matoušek才首次给出了Kneser猜想的组合证明。在这里,我们提供了一个超图着色定理,并给出了组合证明,该定理的特殊情况是Kneser猜想及其由Dol'nikov、Alon-Frankl-Lovász、Sarkaria和Kriz的(超图)着色定理进行的扩展和推广。我们还给出了Schrijver定理的一个组合证明。
Color Degree Condition for Large Heterochromatic Matchings in Edge-Colored Bipartite Graphs
由于证明中的错误,这篇论文已被作者撤回。
On Wegner's 8-Coloring Theorem for Planar Graphs of Maximum Degree Three
该研究简化了Wegner猜想特殊情况(最大度≤3的平面图可8色距离2着色)的证明,重点简化了原证明中移除5-环这一技术难点部分。
Algebraic proof of Brooks' theorem
我们使用Alon和Tarsi的代数方法证明了Brooks定理及其列表着色扩展;这也表明Brooks定理在更一般的游戏着色设置中仍然有效。
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界,给出了著名的Grötzsch定理的半页证明,即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明,其中包括Grünbaum-Aksenov定理:每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
Acyclic edge coloring
由于证明中的一个错误,这篇论文已被作者撤回。
5-Coloring Planar Graphs with a Color Class of Order at Most $|V|/6$
本文证明任意平面图存在5-着色,使一种颜色类大小不超过顶点数的1/6,并给出O(|V|^2)算法,且证明无需计算机验证。
Another proof that the two color bipartite Ramsey number is $O(2^t)$
本文独立证明了二分拉姆齐数 $b_2(t)\le 128\cdot 2^t$,并推广到一般 $q$ 色情形 $b_q(t)\le 128\cdot q^t$,通过密度论证给出 Zarankiewicz 数的统一上界。
Proof of the Goldberg-Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs
给定一个多重图$G=(V,E)$,{ \em边着色问题}(ECP)是用最少的颜色数给$G$的边着色,使得相邻的边都不具有相同的颜色.这个问题可以自然地表述为整数规划,其线性规划松弛被称为{ \em分数边着色问题}(FECP)。在文献中,ECP的最佳值(分别为。FECP)被称为{ \em色度指数}(分别为{ \em分数色指数}),表示为$χ'(G)$(分别$χ^*(G)$)。令$Δ(G)$是$G$的最大度,令\[Γ(G)=\max \Big\{\frac{2|E(U)|}{|U|-1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\],其中$E(U)$是$G$的所有边的集合,其两端都在$U$中。显然,$\max\{Δ(G), \, \lceil Γ(G) \rceil \}$是$χ'(G)$的下限。如Seymour所示,$χ^*(G)=\max\{Δ(G), \, Γ(G)\}$ .在20世纪70年代,Goldberg和Seymour独立地验证了$χ'(G) \le \max\{Δ(G)+1, \, \lceil Γ(G) \rceil\}$。在过去的四十年里,这个猜想,现代边着色的基石,一直是广泛研究的主题,并激发了大量的工作。本文给出了这个猜想的一个证明。我们的结果意味着…
A polynomial 3-colorability algorithm with automatic generation of NO 3-colorability (i.e. Co-NP) short proofs
本文给出了平面图3-可染性的判定算法,即判定问题(YES/NO)。该算法虽然不精确(可能产生误报),但有两个非常重要的特征:(i)它具有多项式复杂度;(ii)对于每个“否”答案,都会生成一个“简短”证明,这是非常有趣的,因为3-着色性是NP完全问题,因此其互补问题是Co-NP。因此,该算法是准确的,当它确定一个给定的平面图是不是3-着色,因为这是通过自动生成的简短的正式证明(也是人类可读的)验证。
A proof of a conjecture on Ramsey numbers $B(2,2,3)$
二分Ramsey数$B(n_1,n_2,\ldots,n_t)$是最小正整数$b$,使得对于某些$i$($1\leq i\leq t$),用$t$颜色对$K_{b,b}$的边的任何着色将导致$K_{n_i,n_i}$的第$i-$颜色的单色副本。本文给出了二部Ramsey数$B(2,2,3)$的精确值.特别地,我们证明了Radziszowski等人在aobut $B(2,2,3)$的猜想,该猜想是在2015年提出的。事实上,我们证明了$B(2,2,3)=17$。
On the generalized Erdős--Kneser conjecture: proofs and reductions
Alon、Frankl和Lovász证明了Erdés的一个猜想,即至少需要$\lceil \frac{n-r(k-1)}{r-1} \rceil$颜色来着色$\{1, \dots, n\}$的$k$ -子集,使得具有相同颜色的$k$ -子集的任何$r$都不成对不相交。Sarkaria考虑了这个问题的一个推广,其中需要$s$ -wise而不是成对相交。他声称证明了一个广义的Erdés-Kneser猜想建立了一个下界的颜色,减少到Erdés '原来的猜想${s = 2}$。兰格和齐格勒指出,只要$r$不是素数,他的证明就会失败。这里我们对每一个$r$建立了这个广义的Erdens-Kneser猜想,只要$s$不太接近$r$ .我们的结果包括早期的结果,但显着更一般。我们讨论了我们的结果的关系,Ziegler和Abyazi萨尼和Alishahi的代数,并证明了后者在几种情况下。
Hilbert basis in the face-centered cubic grid -- mathematical proofs
本文通过几何、组合、代数与运筹学方法证明了面心立方网格的基本环可分为11种类型,并给出了各类型的元素数量,从而揭示了该网格希尔伯特基的结构。
Sufficient conditions for the existence of perfect heterochromatic matchings in colored graphs
由于证明中的错误,这篇论文已被作者撤回。
Greedy Coloring and Simple Exponential Strengthenings of Brooks-Type Theorems
本文对布鲁克斯定理给出新证明,证明连通非完全且最大度Δ≥3的图存在指数多个正常Δ着色,还拓展技术到多种着色场景,给出新归约与度可选性定理的新证明。
A Simple Proof and Some Difficult Examples for Hindman's Theorem
我们给出了Hindman定理的一个简短而明确的证明:在整数的每一个有限着色中,存在一个无限集,它的所有有限和具有相同的颜色。我们给出了几个例子的着色的整数,没有可计算的证人Hindman定理。
Best lower bound for the maximum heterochromatic matchings in edge-colored bipartite graphs
由于证明中的错误,这篇论文已被作者撤回。
A bijective proof and generalization of Siladić's Theorem
在最近的一篇论文中,杜斯介绍了西拉迪奇定理的一个改进,其中部分出现在两种原色和三种次生色中。她的证明使用了加权词和$q$ -差分方程的方法。本文的目的是给出一个从两个原色到任意多个原色的Dousse定理的推广的双射证明。
Proof of a conjecture of Andrews and El Bachraoui on the parity of two-color partitions
研究安德鲁斯和埃尔·巴赫拉维关于双色划分奇偶性的猜想,通过证明若\(q\)-级数傅里叶系数\(t_o(n)\)为奇数,\(8n + 9\)可由\(x^2 + 2y^2\)表示来进行验证。
Square coloring planar graphs with automatic discharging
放电法是一种强有力的证明技术,特别是对于图着色问题。它的主要缺点是,它往往需要冗长的案例分析,有时需要计算机进行验证。然而,使用计算机主动寻找放电证据的情况要少得多。本文采用线性规划方法来自动寻找放电证据。虽然我们的系统是不完全自主的,我们设法取得了一些进展,韦格纳的猜想距离PDMATHAMM着色的可平面图,通过显示,$12$颜色是足够的颜色在距离$2$每一个平面图与最大程度的$4$。
A new proof of the Larman-Rogers upper bound for the chromatic number of the Euclidean space
欧几里得空间$\mathbb{R}^n$的色数$χ(\mathbb{R}^n)$是足以对空间中所有点着色的最小颜色数,使得距离为1的任何两点具有不同的颜色。1972年,Larman-Rogers证明了$χ(\mathbb{R}^n) \leq (3 + o(1))^n$。我们给出了这个界的一个新的证明。
Proof of a Conjecture of Galvin
证明了如果实数的无序偶集合被三种颜色着色,则存在一个与其偶至多有两种颜色的有理数同胚的实数集合。我们的证明使用了大基数,并且验证了Galvin在20世纪70年代提出的一个猜想.我们把这个结果推广到一个本质上最优的拓扑空间类来代替实数。
Topological Colored Tverberg Theorem and the Reduction Lemma
本文从动机的角度给出了BMZ约化引理的一个证明,并利用上同调维数的经典定义说明了映射到流形的BMZ约化引理。在[4]中证明和利用的引理在BMZ着色拓扑Tverberg定理的证明中给出了一个几何见解。
A uniform proof approach for congruences modulo 3 for partitions with $k$-colored odd parts
本文为带$k$色奇数部分的分拆函数$a_k(n)$建立模3同余的统一证明框架,从而证明无限族非嵌套同余。
Reducibility in the Four-Color Theorem
在[J. Combin. Theory Ser. B 70(1997),2-44]我们给出了四色定理的一个简化证明。证明是计算机辅助的,因为对于文章中的两个引理,我们没有给出证明,而是断言我们已经使用计算机验证了这些陈述。在这里,我们给出了这些引理之一的额外细节,我们包括原始的计算机程序和数据作为“辅助文件”伴随着这个提交。
Colored Tverberg problem, extensions and new results
利用不同的方法、工具和思想证明了一个“多重着色Tverberg定理”和一个“平衡着色Tverberg定理”。第一个定理的证明使用多重棋盘复形(作为配置空间)和非自由作用的等变映射的Eilenberg-Krasnoselskii度理论。第二个结果的证明依赖于由离散莫尔斯理论建立的位形空间的高度连通性。
Three-coloring triangle-free planar graphs in linear time
Grotzsch定理指出每个无三角形的可平面图是3-可着色的。这一事实的几个相对简单的证明是由Mrsassen和其他作者提供。很容易将这些证明转换为二次时间算法来找到3-着色,但不清楚如何在线性时间内找到这样的着色(Kowalik使用非平凡数据结构来构造O(n log n)算法)。我们设计了一个线性时间算法来求给定的无三角形可平面图的3-着色。该算法避免了使用复杂的数据结构,易于实现。作为副产品,我们给出了格罗奇定理的更简单的证明。
A Combinatorial Proof of the Dense Hindman Theorem
稠密Hindman定理指出,在整数的任何有限着色中,可以找到单一颜色和“稠密”集合$B_1$,对于每个$b_1\in B_1$,“稠密”集合$B_2^{b_1}$(取决于$b_1$),对于每个$b_2\in B_2^{b_1}$,“稠密”集合$B_3^{b_1,b_2}$(取决于$b_1,b_2$),等等,使得对于任何这样的$b_i$序列,所有有限和属于所选择的颜色。(Here密度通常被认为是“分段共点的”,但对于满足某些性质的密度的任何概念,证明都是不变的。这个定理是一个组合陈述的例子,其中唯一已知的证明需要使用超滤或类似的无穷形式主义。本文给出了该定理的一个直接的组合证明。
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