Klein Group And Four Color Theorem
Sergey Kurapov
本文分析了三次图的构造方法，并证明了一个通过平面三次图的基本圈的每对连接边的色盘的存在性定理。
In this work methods of construction of cubic graphs are analyzed and a theorem of existence of a colored disc traversing each pair of linked edges belonging to an elementary cycle of a planar cubic graph is proved.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Five-coloring graphs on the Klein bottle
我们展示了一个显式的九个图的列表，使得在克莱因瓶中绘制的图是5-可着色的当且仅当它没有子图同构于列表的成员。
On $4$-chromatic Schrijver graphs: their structure, non-$3$-colorability, and critical edges
给出了$4$ -色Schrijver图的非$3$ -可染性的一个初等证明，从而也为$4$ -色Kneser图提供了这样的证明.为此，我们使用一个完整的描述结构的$4$ -色Schrijver图，已经给出了布劳恩，甚至更早的未发表的手稿李。我们还处理连接到表面四边形。特别地，我们证明了$4$ -色Schrijver图的一个生成子图使克莱因瓶四边化，而另一个生成子图使射影平面四边化.后者是Kaiser和Stehl 'ık的一个结果的特例。我们刻画了$4$ -色Schrijver图的色临界边，并对高色数Schrijver图的色临界边的刻画给出了初步的结果.最后，我们表明（除了两种情况下的小参数），我们提出的四边形的克莱因瓶的子图是边色临界的。类似的结果，子图的四边形的射影平面是一个直接的后果，早期的结果由金贝尔和Gimassen，并已注意到凯泽和Stehl 'ık。
Odd list-coloring of graphs of small Euler genus with no short cycles of specific types
本文研究了图的奇列表着色问题，证明了在无特定短圈的环面和克莱因瓶可嵌入图上存在使用5种颜色的最优奇列表着色方案。
Cascades and Obstructions of Low Connectivity for Embedding Graphs into the Klein Bottle
研究了关于欧拉亏格临界的2-点割图的结构。给出了描述积木块的一般定理。这些成分，称为料斗和级联，分类的情况下，欧拉属小。因此，得到了将图嵌入到克莱因瓶中的连通性2的障碍的完整列表。
Supermodular Extension of Vizing's Edge-Coloring Theorem
该研究引入相交2/3-超模函数，提出Vizing边着色定理与弱版超模着色定理的统一推广，并借此给出Gupta边着色定理的新证明，丰富了图论与组合优化的着色理论。
On the 4-color theorem for signed graphs
有几种方法可以将图着色推广到符号图。Máčajová，Raspaud和Škoviera介绍了其中之一，并证明在这种情况下，对于有符号的可平面图，四色总是足够的，从而推广了四色定理。我们推翻了这个猜想。
A note on a Brooks' type theorem for DP-coloring
Dvoclák和Postle \cite{DP}引入了一个单图的\textit{DP-coloring}作为列表着色的推广。他们证明了关于DP-染色的Brooks型定理，Bernshteyn，Kostochka和Pron \cite{BKP}将其推广到多重图的DP-染色。然而，当一个多重图不允许DP-染色的详细结构没有规定在\cite{BKP}。在本文中，我们明确了这一点，并给出了完整的结构。这也是由与符号图的符号着色的关系所激发的。
A mathematical proof of four color theorem
由于最后一部分证明中的一个关键错误，本文已被作者撤回。
A Hajnal-Szemerédi Theorem for Skewed Colorings
本文推广Hajnal-Szemerédi定理至偏斜染色，在自然上界条件下保证任意指定大小颜色类的存在。
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
A short proof of Brooks' theorem
我们给出了一个简单的简短证明布鲁克斯定理只使用归纳法和贪婪着色，同时避免了图的连通性问题。这个论证很容易推广到Brooks定理的一些扩展，包括列表着色，符号图着色和对应着色的变体。
Some orientation theorems for restricted DP-colorings of graphs
本文推广对应分配概念，借助辅助有向图证明Alon-Tarsi型定理，并得到三个DP染色推论，应用于环面网格的受限情形。
Kőnig's Line Coloring and Vizing's Theorems for Graphings
经典的Vizing定理指出，每个最大度$d$的图允许至多有$d+1$色的边染色。此外，正如Kynnig先前所示，如果图是二分图，则$d$颜色就足够了。研究了图的可测边着色的存在性。图是有界度图的一种分析推广，它出现在各种领域，如稀疏图极限、轨道等价理论和可测群论。我们证明了最大度$d$的每一个图都有一个用$d + O(\sqrt{d})$颜色的可测边染色;此外，如果图没有奇圈，那么$d+1$颜色就足够了。事实上，如果关于有限图的某个猜想加强了Vizing定理，那么我们的方法将表明$d+1$颜色总是足够的。
Reformulating the Map Color Theorem
本文讨论了平面地图四色着色问题的一种新的形式。背景是三次图的三种颜色的边着色，使得每个顶点处出现三种不同的颜色。我们讨论了Eliahou-Kryuchkov猜想、Penrose公式、向量向量积公式以及由G.斯宾塞-布朗后者包括Spencer-Brown奇偶引理的证明和奇偶通算法的讨论。
A Victorian Age Proof of the Four Color Theorem
本文研究了四色地图问题中的一些老问题。本文给出了构造Kempe四色定理反例的一般方法，并证明了通过重构极大可平面图的双螺旋链形式的特殊2-色双路分解，可以排除所有反例.本文的第二部分给出了三次平面映射的四色定理的一个算法证明。我们的算法证明分三步给出。前两个步骤是最大的单色，然后最大的双色着色的脸，以这样的方式，所产生的无色（白色）地区的不完整的双色地图诱导没有奇循环，使在（最后）第三步四着色的地图已获得几乎平凡。
An Erdős-Gallai type theorem for vertex colored graphs
在研究奇圈自由超图时，Gyamari和Lemons介绍了经典的关于$P_k$ -free图的Erdés和Gallai定理的着色版本。他们证明了任何一个顶点着色正确且没有端点颜色不同的长为$2k+1$的路的图$G$至多有$2kn$边。我们表明，Erdés和Gallai的原始尖锐的上界$kn$持有他们的问题，以及。我们还介绍了这个问题的一个版本的树，并提出了一个推广的Erdens-Sós猜想。
Brooks' theorem with forbidden colors
我们考虑扩展布鲁克斯的经典定理的顶点着色的某些颜色不能使用某些顶点。特别地，我们证明了：如果$G$是一个最大度的连通图，$Δ(G) \geq 4$不是一个完全图，而$P \subseteq V(G)$是一个顶点集，其中（i）对于$P$中的每个顶点，至多有$Δ(G)-2$颜色是禁止的，并且$P$中的任意两个顶点的距离至少为$4$，或者（ii）对于$P$中的每个顶点，至多有$Δ(G)-3$颜色是禁止的，并且$P$的任意两个顶点之间的距离至少为$3$，则存在$G$的适当$Δ(G)$ -着色.事实上，我们将证明这些结果在更一般的列表着色设置中成立。这些结果是尖锐的。
A quantitative variant of the multi-colored Motzkin-Rabin theorem
我们本着[BDWY 12]的精神证明了多色Motzkin-Rabin定理的定量版本：令$V_1,\ldots,V_n \subset R^d$为（$n$“颜色”的）$n$不相交点集。假设对于每个$V_i$和每个点$v \in V_i$，至少有$δ|V_i|$个其他点$u \in V_i$，使得连接$v$和$u$的线包含另一种颜色的第三个点。然后所有$n$集合中的点的并集包含在由$n$和$δ$单独的函数限定的维度的子空间中。
Excluded minors for the Klein Bottle I. Low connectivity case
图是关键的（最小排除未成年人）在表面的嵌入性进行了研究。在第一部分中，我们考虑的结构图与2-顶点割是关键方面的欧拉亏格。给出了描述积木块的一般定理。这些成分，称为料斗和级联，分类的情况下，欧拉属小。因此，得到了将图嵌入到克莱因瓶中的连通性2的障碍的完整列表。这是第一个完整的结果关于障碍的可嵌入性的图在克莱因瓶，结果是有点令人惊讶的意义上说，有相当少的排除未成年人比预期的。
Coloring planar graphs with three colors and no large monochromatic components
证明了一个函数$f :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$的存在性，使得每个可平面图的顶点都是3-着色的，并且使得每个单色分量至多有$Δ$顶点.这是最好的可能性（颜色的数量不能减少，对最大程度的依赖不能避免），并回答了Kleinberg，Motwani，Raghavan和Venkatasubramanian在1997年提出的问题。我们的结果扩展到有界亏格的图。
Another simple reformulation of the four color theorem
我们给出了一个简单的重新制定的四色定理作为一个问题的字符串在一个四个字母表。
Stanley--Elder--Fine theorems for colored partitions
我们给出了一个新的证明划分定理俗称长老定理，但这也归功于斯坦利和罚款。我们将定理扩展到有色分区（或预制件）的上下文中。更具体地说，我们给出类似的结果$b$着色分区，其中每个部分出现在$b$颜色;为$b$着色分区与奇数部分（或不同的部分）;分区的部分$k$在$k$颜色;和overpartitions。
Colored Tverberg theorem with new constraints on the faces
在本文中，我们证明了一个版本的有色Tverberg定理与新的限制的面孔，在其中我们限制的数量与每一种颜色的面孔。
Some results about Colored Tverberg Theorem
本文给出了Barany-Larman着色问题和Zivaljevic和Vrecica着色Tverberg问题的一些结果。给出了素数为-1的Barany-Larman猜想和最优着色Tverberg定理的另一种证明。此外，我们证明了推广的着色Tverberg定理Zivaljevic和Vrecica。
Some Ramsey theorems for finite $n$-colorable and $n$-chromatic graphs
给定一个固定的整数$n$，我们证明了所有有限序$n$ -可着色图，有限$n$ -可着色图，有限序$n$ -色图和有限$n$ -色图类的Ramsey型定理.
A colored Tverberg type theorem for unavoidable complexes
本文的主要结果是“彩虹不可避免复形的着色Tverberg定理”。这个定理可以被认为是两个定理的合并：“Tverberg定理集体不可避免的复形”和“平衡色Tverberg定理”。证明的主要工具是离散的莫尔斯理论。
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
Topological Colored Tverberg Theorem and the Reduction Lemma
本文从动机的角度给出了BMZ约化引理的一个证明，并利用上同调维数的经典定义说明了映射到流形的BMZ约化引理。在[4]中证明和利用的引理在BMZ着色拓扑Tverberg定理的证明中给出了一个几何见解。
An analogue of Gromov's waist theorem for coloring the cube
证明了如果将一个$d$维立方体划分为$n^d$个小立方体，并将这些小立方体着色为$m+1$颜色，则存在至少由$f(d, m) n^{d-m}$个小立方体组成的单色连通分支.
The Balanced Four-Color Theorem
研究n≥3顶点平面图的染色问题，核心方法是证明其能进行特定4染色且可在O(n log n)时间找到，贡献是给出最优界限并扩展到更多颜色及一般曲面图。
Brooks's theorem for measurable colorings
推广了Brooks定理，证明了如果$G$是标准Borel空间$X$上的Borel图，且$X$的度以$d \geq 3$为界，且$G$不含$(d+1)$ -团，则$G$关于$X$上的任意Borel概率测度$μ$允许一个$μ$ -可测$d$-染色，并且关于$X$上的任意相容波兰拓扑允许一个Baire可测$d$ -染色.这个定理的证明使用了一种新的技术来构造Borel图的单端生成子森林，以及列表着色研究的想法。我们应用该定理所产生的群作用的图，以获得因子IID $d$ -染色度$d$的凯莱图，除了在两个例外的情况下。
Optimal colored Tverberg theorems for prime powers
Blagojević、Matschke和Ziegler的A型着色Tverberg定理在相交彩虹单形的个数为素数的条件下，为着色Tverberg问题提供了最优界。我们将这个结果推广到一个最优的，A型有色Tverberg定理的多集色点，这是有效的每个素数权力$r=p^k$。其中一个主要的新想法是取代周围的单纯形$Δ^N$，在原来的特沃伯格定理中使用的，由一个“简化的单纯形”的较小尺寸，并补偿这种减少，允许顶点重复出现在不同的彩虹单纯形的控制次数。在证明中使用的配置空间是组合伪流形，可以表示为多个棋盘复形。我们的主要拓扑工具是Eilenberg-Krasnoselskii理论的程度等变映射的非自由行动。
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