Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
A short proof of Brooks' theorem
我们给出了一个简单的简短证明布鲁克斯定理只使用归纳法和贪婪着色，同时避免了图的连通性问题。这个论证很容易推广到Brooks定理的一些扩展，包括列表着色，符号图着色和对应着色的变体。
2018-05-28 math.CO
Some orientation theorems for restricted DP-colorings of graphs
本文推广对应分配概念，借助辅助有向图证明Alon-Tarsi型定理，并得到三个DP染色推论，应用于环面网格的受限情形。
2024-12-07 math.CO
Kőnig's Line Coloring and Vizing's Theorems for Graphings
经典的Vizing定理指出，每个最大度$d$的图允许至多有$d+1$色的边染色。此外，正如Kynnig先前所示，如果图是二分图，则$d$颜色就足够了。研究了图的可测边着色的存在性。图是有界度图的一种分析推广，它出现在各种领域，如稀疏图极限、轨道等价理论和可测群论。我们证明了最大度$d$的每一个图都有一个用$d + O(\sqrt{d})$颜色的可测边染色;此外，如果图没有奇圈，那么$d+1$颜色就足够了。事实上，如果关于有限图的某个猜想加强了Vizing定理，那么我们的方法将表明$d+1$颜色总是足够的。
2016-08-21 math.CO
A Victorian Age Proof of the Four Color Theorem
本文研究了四色地图问题中的一些老问题。本文给出了构造Kempe四色定理反例的一般方法，并证明了通过重构极大可平面图的双螺旋链形式的特殊2-色双路分解，可以排除所有反例.本文的第二部分给出了三次平面映射的四色定理的一个算法证明。我们的算法证明分三步给出。前两个步骤是最大的单色，然后最大的双色着色的脸，以这样的方式，所产生的无色（白色）地区的不完整的双色地图诱导没有奇循环，使在（最后）第三步四着色的地图已获得几乎平凡。
2010-05-07 math.CO
Toward an uncountable analogue of Gallai's Theorem for colorings of the plane
本文证明了：若$S$是$\mathbb{Z}^2$中任意有限点的组态，则$\mathbb{E}^2$的任意有限染色必包含不可数个与$S$位似的单色子集.本文将Brown，Dunfield和Perry关于$\mathbb{E}^2$的2-染色的一个结果推广到$\mathbb{E}^2$的任意有限染色.
2012-08-01 math.CO
Brooks' theorem with forbidden colors
我们考虑扩展布鲁克斯的经典定理的顶点着色的某些颜色不能使用某些顶点。特别地，我们证明了：如果$G$是一个最大度的连通图，$Δ(G) \geq 4$不是一个完全图，而$P \subseteq V(G)$是一个顶点集，其中（i）对于$P$中的每个顶点，至多有$Δ(G)-2$颜色是禁止的，并且$P$中的任意两个顶点的距离至少为$4$，或者（ii）对于$P$中的每个顶点，至多有$Δ(G)-3$颜色是禁止的，并且$P$的任意两个顶点之间的距离至少为$3$，则存在$G$的适当$Δ(G)$ -着色.事实上，我们将证明这些结果在更一般的列表着色设置中成立。这些结果是尖锐的。
2023-03-13 math.CO
A quantitative variant of the multi-colored Motzkin-Rabin theorem
我们本着[BDWY 12]的精神证明了多色Motzkin-Rabin定理的定量版本：令$V_1,\ldots,V_n \subset R^d$为（$n$“颜色”的）$n$不相交点集。假设对于每个$V_i$和每个点$v \in V_i$，至少有$δ|V_i|$个其他点$u \in V_i$，使得连接$v$和$u$的线包含另一种颜色的第三个点。然后所有$n$集合中的点的并集包含在由$n$和$δ$单独的函数限定的维度的子空间中。
2014-06-05 math.CO
An infinite cardinal version of Gallai's Theorem for colorings of the plane
本文推广了Tibor Gallai的一个结果：对于平面上的任意有限集$\mathcal{S}$，如果平面被着色为任意多个颜色，则存在平面上的$2^{\aleph_0}$单色子集与$\mathcal{S}$位同构.此外，我们还证明了$n$维欧几里得空间的一个更强的结果。
2014-12-24 math.CO
Signed permutations and the four color theorem
对于$S_{n}$中的每个置换$σ$，我们将固定的$(n+2)$ -边形的三角剖分相关联。然后，我们确定了这种联合的纤维，并表明它们与Novelli，Hivert和Thibon所描述的Sylvester类相一致。一个有符号的版本，这个建设允许我们重新制定的四色定理在对称群$ S_{n}的凯莱图中的任何两个排列之间的存在的有符号的道路。
2006-06-28 math.CO
On Wegner's 8-Coloring Theorem for Planar Graphs of Maximum Degree Three
该研究简化了Wegner猜想特殊情况（最大度≤3的平面图可8色距离2着色）的证明，重点简化了原证明中移除5-环这一技术难点部分。
2025-11-12 math.CO
Brooks' Theorem and Beyond
我们收集了一些我们最喜欢的布鲁克斯定理的证明，突出每个的优点和扩展。这些证明说明了图着色中的一些主要技术，如贪婪着色，Kempe链，击中集和核引理。我们还讨论了顶点着色的标准增强，如列表着色，在线列表着色，和Alon-Tarsi方向，因为布鲁克斯定理的类似物在每个上下文中。最后，我们沿着布鲁克斯定理的路线得出两个更强的猜想，即鲍罗丁-科斯托奇卡猜想和里德猜想。
2014-03-03 math.CO
Matroid colorings of KKM covers
本研究提出并证明了多面体集合覆盖的拟阵着色族的KKM型定理，该定理推广了Gale的彩色KKM定理及相关近期稀疏彩色变体结果。
2024-10-30 math.CO
Edge Coloring Signed Graphs
我们定义了一个边着色的方法签署的图，这意味着这样的着色是适当的。我们的方法有许多理想的性质：它专门针对通常的边染色的概念时，签署的图是全负的，它有一个自然的定义，在一个线图的顶点染色，和所需的最小颜色数的签署单图的适当着色是有界的Δ + 1以上平行于Vizing定理。事实上，Vizing定理是关于符号图的更困难的定理的特殊情况。
2018-12-04 math.CO
Pushed colorful polytopal KKMS Theorem and orthogonal star transversals
Facultad de Ciencias, UNAM（国立自治大学理学院）
该研究推广了彩色多面体KKMS定理，引入多面体彩虹可推性，将正交星形横截问题的颜色类需求从d+1减少到⌊log₂d⌋+2，还推广了相关彩色定理并证明d≥2时需三种颜色。
2026-10-14 math.CO
The Johansson--Molloy Theorem for DP-Coloring
本说明有两个目的。一方面，我们提出了一个简化版本的莫洛伊的新证明的界$χ(G) \leq (1+o(1))Δ(G)/\ln Δ(G)$的三角形的图$G$，避免了技术性的熵压缩方法，只使用通常的“不平衡”Lovász本地引理（虽然在一个有点不寻常的设置）。另一方面，我们将Molloy的结果扩展到DP-着色（也称为对应着色），这是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。
2018-07-26 math.CO
Revisiting Cases 2 and 11 of the Map Color Theorem
San Francisco State University（旧金山州立大学）
本文旨在通过寻找具有更简单弧标记模式的当前图家族，简化环面地图着色定理中n≡2,11 mod12情况的构造。
2026-04-18 math.CO
The Four Color Theorem and Trees
本文叙述了四色定理与树上的一些运算的联系。L.H.本文讨论了有限体积积与向量向量积的Kauffman定理。利用树的移植操作和括号按结合律的移动，提出了一个猜想。当映射表示为树的系时，该猜想提出了该映射特殊着色的存在性。这种着色使得连续移植成为可能，这样这些树中的一棵树被转换为另一棵树，并且所有中间映射都被正确着色。这意味着（在L.H. Kauffman），不仅对于n个因子的乘积中括号的两个不同位置，结合律起作用（对因子的特殊值），而且还有一种移动括号的方法，即对于括号的所有中间位置，都遵守结合律。一些类的树的猜想是证明。
2013-09-24 math.CO
Further Extensions of the Grötzsch Theorem
Grötzsch定理指出每个无三角形可平面图都有一个真$3$ -染色。在它的许多推广中，Grünbaum和Aksenov的一个，给出了至多有三个三角形的可平面图的$3$ -可着色性，也许是最著名的。将子图的$3$ -染色推广到整个图也得到了很大的关注。本文考虑至多含有一个三角形的可平面图的$3$ -染色。特别地，我们证明了任意两个不邻顶点的预染色和长度至多为$4$的面的预染色可以推广到图的$3$ -染色。另外，我们证明了对于度至多为$3$的每个顶点，其邻域的同色预染色扩展到图的$3$ -染色.后一个结果意味着对一个关于adjacent着色的猜想的肯定回答。所有的结果都是紧密的。
2021-10-05 math.CO
Tverberg type theorems for matroids
在本文中，我们证明了一个变种的彩色Tverberg定理，这是有效的任何拟阵：令$S$是一个序列的非循环在拟阵$M$的有限秩$m$关闭操作cl。假设$S$以这样的方式着色，即第一种颜色不出现超过$r$ -次，并且每种其他颜色最多出现$(r-1)$ -次。然后，$S$可以被划分成$r$彩虹序列$S_1,\ldots, S_r$，使得$cl\,\emptyset\subsetneq cl\,S_1\subseteq cl\, S_2\subseteq \ldots \subseteq cl\,S_r$。特别是$\emptyset\neq \bigcap_{i=1}^r cl\,S_i$。一个子序列被称为彩虹，如果它包含每种颜色最多一次。我们的定理的结论弱于原来的Tverberg定理在$\mathbb R^d$的结论，它指出，$\bigcap conv\,S_i\neq \emptyset$，而我们只声称，$\bigcap aff\,S_i\neq \emptyset$。另一方面，我们的定理在其他几个方面加强了Tverberg定理：1）它适用于任何拟阵（而Tverberg定理只能在$\mathbb R^d$中使用），2）代替$\bigcap cl\,S_i\neq \emptyset$，我们有更强的条件$cl\,\emptyset\subsetneq cl\,S_1\subseteq cl…
2019-09-19 math.CO
Toward a language theoretic proof of the four color theorem
本文研究了在一定的简单文法下，每对具有相同叶数的二叉树都能解析一个公共词的问题。我们列举了几个无限家庭的树对常见的解析字，并讨论了几种方法来减少问题的一对树找到一个解析字，为一个较小的对。每对树都有一个公共解析字的陈述等价于每一个可平面图都是四色图的陈述，因此这些结果是四色定理的语言理论证明的一步。
2011-12-10 math.CO
Five-List-Coloring Graphs on Surfaces: The Many Faces Far-Apart Generalization of Thomassen's Theorem
设$G$是一个平面图，$C$是其外表面的边界，$(L(v):v\in V(G))$是一个非空集族。所谓$G$的子图$J$的$L$ -染色，是指$J$的（真）染色$ϕ$，使得对于$J$的每个顶点$v$，$ϕ(v)\in L(v)$. Rumassen证明了如果$v_1,v_2\in V(C)$是相邻的，$L(v_1)\ne L(v_2)$，$|L(v)|\ge3$对于每个$v\in V(C)\setminus \{v_1,v_2\}$，$|L(v)|\ge5$对于每个$v\in V(G)\setminus V(C)$，那么$G$有$L$ -着色.作为我们关于$5$ -列表着色系列的最后一部分的最后一个应用，我们从我们所有的理论中推导出了一个意义深远的普适性定理，即普适性定理对任意多个这样的面的推广，只要这些面对于某个普适常数$D>0$来说是成对距离$D$。
2021-08-29 math.CO
Sharp Dirac's Theorem for DP-Critical Graphs
对应着色（英语：Correspondence coloring），简称DP-着色，是最近由Dvoconák和Postle提出的列表着色的推广。本文在DP-染色的框架下建立了关于临界图最少边数的Dirac定理的一个版本。我们的主要结果的推论回答了一个问题所提出的Kostochka和Stiebitz分类列表-临界图，满足狄拉克的界限与平等。
2017-12-12 math.CO
Revisiting Mayer: Symmetric solutions for sporadic cases of the Map Color Theorem
完全图$K_n$的亏格的最初证明依赖于$n = 18, 20, 23$的Mayer \emph{ad hoc}解。最近，作者发现了一种改进的解决方案$K_{20}$。本文的目的是利用电流图理论来解释上述结果，并提供新的嵌入$K_{18}$和$K_{23}$。
2018-03-25 math.CO
Bijective proofs of proper coloring theorems
色多项式及其推广的色对称函数是两个重要的图不变量。著名的Birkhoff、Whitney和Stanley定理表明了这两个对象可以用三种不同的方式来表示：所有生成子图上的和，没有断开回路的生成子图上的和，以及具有相容着色的非循环方向。我们用双射的方法建立这六个表达式。事实上，我们只用两个双射就可以做到这一点，因为在对称函数设置中的证明是使用与多项式情况相同的双射获得的，并且对于断开电路的双射只是对于所有生成子图的双射的限制。
2020-07-27 math.CO
Another simple reformulation of the four color theorem
我们给出了一个简单的重新制定的四色定理作为一个问题的字符串在一个四个字母表。
2021-08-24 cs.DM math.CO
Combinatorial proofs and refinements of three partition theorems of Andrews
在他最近的工作中，安德鲁斯重新审视了双色分区，并对连续部分之间的差异进行了某些限制，他建立了三个定理，将这些双色分区与更熟悉的分区类型联系起来。本文给出了Andrews的这三个定理的双射证明和改进。我们的改进考虑了两种颜色中每种颜色的部件数量。
2022-02-06 math.CO
Stanley--Elder--Fine theorems for colored partitions
我们给出了一个新的证明划分定理俗称长老定理，但这也归功于斯坦利和罚款。我们将定理扩展到有色分区（或预制件）的上下文中。更具体地说，我们给出类似的结果$b$着色分区，其中每个部分出现在$b$颜色;为$b$着色分区与奇数部分（或不同的部分）;分区的部分$k$在$k$颜色;和overpartitions。
2021-03-04 math.CO math.NT
A renewal approach to prove the Four Color Theorem unplugged, Part II: R/G/B Kempe chains in an extremum non-4-colorable MPG
本文通过 R/G/B Kempe 链和 RGB 铺砌重新审视极值非四色可染极大平面图，提出无需计算机验证四色定理的更新方法，并发现一系列与四色可染性相关的基本定理。
2023-09-17 math.CO
A Sharp Ramsey Theorem for Admissible Colorings of Ordered Cliques
School of Science, Shanghai Institute of Technology（上海应用技术大学理学院）；School of Science, Shenyang Aerospace University（沈阳航空航天大学理学院）；School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）
研究有序完全图红蓝边染色中\(f(k)\)的值，通过特定方法得到\(k\geq3\)时\(f(k)\)的精确值，证实了布拉达克等人提出的猜想。
2026-07-23 math.CO
Toward a Hajnal-Szemeredi theorem for hypergraphs
设$H$是一个具有最大度$d>1$的三元系，设$r>10^7\sqrt{d}\log^{2}d$ .然后$H$有一个适当的顶点着色与$r$颜色，使任何两个颜色类的大小相差最多一个。$r$上的结合在除了对数因子之外的数量级上是尖锐的。此外，这样的$r$ -着色可以通过随机化算法找到，该算法的预期运行时间是$\cH$的顶点数的多项式。这是将Hajnal-Szemerédi定理推广到超图的第一个结果。
2010-05-21 math.CO
Greedy Coloring and Simple Exponential Strengthenings of Brooks-Type Theorems
University of Utah（犹他大学）；CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（法国国家科学研究中心，里昂高等师范学院，克洛德·贝尔纳里昂第一大学）；ENS de Lyon, LIP UMR 5668（里昂高等师范学院）
本文对布鲁克斯定理给出新证明，证明连通非完全且最大度Δ≥3的图存在指数多个正常Δ着色，还拓展技术到多种着色场景，给出新归约与度可选性定理的新证明。
2026-10-14 math.CO
A renewal approach to prove the Four Color Theorem unplugged, Part III: Diamond routes, canal lines and $Σ$-adjustments
本文作为四色定理免计算机证明系列的第三部分，提出菱形路线、运河线和Σ-调整三种工具，并证明极值非4-可着色极大平面图中不存在由四个度为5的顶点构成的菱形。
2023-09-17 math.CO
Monochromatic products and sums in $2$-colorings of $\mathbb{N}$
我们表明，任何$2$ -着色的$\mathbb{N}$包含无限多个单色集的形式$\{x,y,xy,x+y\},$和更一般的单色集的形式$\{x_i,\prod x_i,\sum x_i: i\leq k\}$的任何$k\in\mathbb{N}.$沿的方式，我们证明了单色产品的总和定理，扩展Hindman定理和丰富多彩的变体，这一结果，在任何“平衡”着色。
2022-05-25 math.CO
Generalized Kneser coloring theorems with combinatorial proofs
Kneser猜想（1955年）由Lovász（1978年）使用Borsuk-Ulam定理证明;所有后续的证明，扩展和推广也依赖于代数拓扑学的结果，即Borsuk-Ulam定理及其扩展。直到2000年，Matoušek才首次给出了Kneser猜想的组合证明。在这里，我们提供了一个超图着色定理，并给出了组合证明，该定理的特殊情况是Kneser猜想及其由Dol'nikov、Alon-Frankl-Lovász、Sarkaria和Kriz的（超图）着色定理进行的扩展和推广。我们还给出了Schrijver定理的一个组合证明。
2001-03-23 math.AT math.CO
An Alon-Tarsi Style Theorem for Additive Colorings
该研究给出Alon-Tarsi列表着色定理的新证明，借助其思路提出加性着色的Alon-Tarsi型定理，引入新有向图$\boldsymbol{\text{W}}(D)$并给出加性列表着色存在的条件，还将结果应用于一类三部图。
2024-05-09 math.CO
Third case of the Cyclic Coloring Conjecture
循环着色猜想断言，每个具有最大面尺寸D的平面图的顶点可以用至多3D/2种颜色着色，使得没有面与两个相同颜色的顶点关联。循环着色猜想仅在两个D值的情况下被证明：D=3的情况等价于四色定理，D=4的情况等价于Borodin的六色定理，该定理说，每个可以在平面上绘制的每个边最多与另一个边相交的图都是6-可着色的。我们证明了猜想D=6的情形。
2016-02-05 math.CO
Brooks-type theorem for $r$-hued coloring of graphs
简单图$G$的$r$ -着色是其顶点的适当着色，使得每个顶点$v$至少与$\min\{r, °(v)\}$不同着色的顶点相邻.图$G$的$r$色调着色所需的最小颜色数，即$r$色调色数，记为$χ_{r}(G)$ .本文证明了对于每个简单图$G$和每个$r \geq 2$，当$r < Δ(G)$改进了目前已知的基于$Δ(G)$的$χ_r(G)$上界，即$r Δ(G) + 1$时，都有$$χ_r(G) \leq (r - 1)(Δ(G) + 1) + 2,$$.我们还讨论了$r$ -色数与$(r-1)(Δ+ 1 ) + 2$接近的图的存在性，证明了对于任何$r \in \{2, \dots, 9\}$和$Δ\geq r + 2$的无穷多个值，存在一个最大度$Δ$的二部图，其$r$ -色数为$(r-1)Δ+ 1$;我们认为$(r-1)Δ(G) + 1$是任何二部图$G$的$r$ -色数的最佳上界.
2022-11-02 math.CO
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
2012-11-16 cs.DM math.CO
Algebraic proof of Brooks' theorem
我们使用Alon和Tarsi的代数方法证明了Brooks定理及其列表着色扩展;这也表明Brooks定理在更一般的游戏着色设置中仍然有效。
2009-07-21 math.CO
A sequel to the adventure of RGB-tilings to explore the Four Color Theorem
本文延续 RGB 铺砌证明四色定理的研究，提出新方法论并修正既有方法，改进三个五度顶点的结果，同时处理含六个哑铃形五度顶点的图。
2024-01-23 math.CO
On Colorful Kruskal--Katona Theorems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
该研究利用熵技术确定了边染色图中彩虹三角形的最大数量上界，并揭示了最优构造与仿射平面的关联，同时探讨了更大团计数的奇偶性差异。
2026-10-02 math.CO
A different short proof of Brooks' theorem
Lovász给出了一个简短的证明布鲁克斯定理着色greetings在一个良好的秩序。我们给出一个不同的简短证明，通过减少到立方的情况。然后，我们展示了如何通过核引理将结果扩展到（在线）列表着色。
2013-06-25 math.CO
An analogue of Gromov's waist theorem for coloring the cube
证明了如果将一个$d$维立方体划分为$n^d$个小立方体，并将这些小立方体着色为$m+1$颜色，则存在至少由$f(d, m) n^{d-m}$个小立方体组成的单色连通分支.
2011-11-17 math.AT math.CO
The Balanced Four-Color Theorem
The University of Tokyo（东京大学）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）
研究n≥3顶点平面图的染色问题，核心方法是证明其能进行特定4染色且可在O(n log n)时间找到，贡献是给出最优界限并扩展到更多颜色及一般曲面图。
2026-07-15 cs.DS math.CO
Hindman's Coloring Theorem in arbitrary semigroups
Hindman定理断言，对于自然数的每个有限着色，存在不同的自然数$a_1,a_2,\dots$，使得所有的和$a_{i_1}+a_{i_2}+\dots+a_{i_m}$（$m\ge 1$，$i_1<i_2<\dots<i_m$）具有相同的颜色。著名的Galvin-Glazer证明Hindman定理和Shevrin对半群的分类一起暗示，对于每个无限半群$S$的每个有限着色，都有$S$的不同元素$a_1,a_2,\dots$，使得几乎所有的乘积$a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_m}$（$m\ge 1$，$i_1<i_2<\dots<i_m$）都有相同的颜色。利用这些方法，我们刻画了半群$S$，使得对于$S$的每个有限着色，存在$S$的无限个\emph{subsemigroup} $T$，使得$T$的几乎所有成员具有相同的颜色.我们的表征连接我们的研究，一个经典的问题，美利肯，伯恩赛德集团和塔斯基怪物。我们还提出了一个应用拉姆齐的图着色定理Shevrin的理论。
2013-09-12 math.CO math.GR
A tight colored Tverberg theorem for maps to manifolds
本文证明了：任意n维单形Delta_N到d维流形M的连续映射，必有r个点从Delta_N的不相交彩虹面映射到M中的同一点：为此，我们必须假设N \geq（r-1）（d+1），Delta_N的r个顶点不具有相同的颜色，并且我们的证明需要r是素数. Delta_N的面是彩虹面，如果所有顶点都有不同的颜色。这个结果是我们最近的“新着色Tverberg定理”的一个推广，它是M=R^d的特殊情况。它也是Volovikov的1996年拓扑Tverberg定理的推广，用于映射到流形，当所有颜色类的大小为1时（即，没有颜色限制）;对于这种特殊情况，Volovikov的证明，以及我们的，当r是素数幂时工作。
2011-07-10 math.AT math.CO
Beyond Göllnitz' Theorem I: A Bijective Approach
在2003年，Alladi、Andrews和Berkovich证明了一个划分的恒等式，其中部分出现在11种颜色中：4种原色、6种二次色和1种四次色。他们的工作回答了一个长期存在的问题，即如何超越格尔尼茨的经典定理，该定理使用三原色和三原色。他们的主要工具是一个深刻而困难的四参数$q$系列恒等式。在本文中，我们采取了不同的方法。而不是添加第十一个四元色，我们引入禁止模式，并给出一个双射证明的十色划分身份超越Göllnitz定理。使用第二个双射，我们表明，我们的身份是等同于身份的Alladi，安德鲁斯和Berkovich。从组合的观点来看，使用禁止模式是更自然的，并导致一个更简单的制定。事实上，在本系列的第二部分中，我们将展示如何使用我们的方法来超越Göllnitz定理，适用于任何数量的原色。
2021-05-20 math.CO math.NT
A Simple Proof and Some Difficult Examples for Hindman's Theorem
我们给出了Hindman定理的一个简短而明确的证明：在整数的每一个有限着色中，存在一个无限集，它的所有有限和具有相同的颜色。我们给出了几个例子的着色的整数，没有可计算的证人Hindman定理。
2011-07-01 math.CO math.LO
Convexity in (colored) affine semigroups
本文研究仿射半群中的凸性，提出着色仿射半群理论，并证明 Tverberg、彩色 Helly 及锥上彩色 Carathéodory 定理的半群类比，同时引入着色 Frobenius 数。
2023-10-04 math.AC math.CO
Brooks's theorem for measurable colorings
推广了Brooks定理，证明了如果$G$是标准Borel空间$X$上的Borel图，且$X$的度以$d \geq 3$为界，且$G$不含$(d+1)$ -团，则$G$关于$X$上的任意Borel概率测度$μ$允许一个$μ$ -可测$d$-染色，并且关于$X$上的任意相容波兰拓扑允许一个Baire可测$d$ -染色.这个定理的证明使用了一种新的技术来构造Borel图的单端生成子森林，以及列表着色研究的想法。我们应用该定理所产生的群作用的图，以获得因子IID $d$ -染色度$d$的凯莱图，除了在两个例外的情况下。
2016-06-01 math.CO math.LO math.PR
A Vizing-like theorem for union vertex-distinguishing edge coloring
G-SCOP (CNRS, Univ. Grenoble-Alpes)（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Univ Lyon, Université Lyon 1（里昂第一大学）
本文研究了一种边着色变种，每条边被赋予颜色子集，顶点标签是其邻边颜色集的并集。研究了找到最小颜色数使每个顶点标签不同的问题，并证明对于任何图，该最小颜色数仅可能取3个值，针对路径、环和完全二叉树给出了精确值。
2017-07-17 cs.DM math.CO
Non-degenerate colorings in the Brook's Theorem
令$c\geq 2$和$p\geq c$是两个整数。如果对度至少为$p$的$G$的任一顶点，至少有$c$与之相邻的不同颜色的顶点，则称图$G$的一个真染色为\textit{$(c,p)$-nondegenerate}.设$D\geq 3$和$G$是一个在$D+1$顶点上不存在团的图，且该图中任一顶点的度不大于$D$ .则对每一个整数$c\geq 2$，都存在$G$的一个真$(c,p)$ -非退化顶点$D$ -染色，其中$p=(c^3+8c^2+19c+6)(c+1).$在初步证明中，得到了一些有趣的推论.
2008-12-01 cs.DM math.CO
Higher-dimensional generalization of Youngs' theorem and circular colorings
College of Liberal Arts and Science, Kitasato University（北里大学文理学院）；Department of Mathematical Sciences, Faculty of Science, Shinshu University（信州大学理学部数学科学系）
本文推广了Youngs定理，证明实射影平面的任何四边形剖分不是3-可染的，并将其扩展到其他非可定向闭曲面、四边形剖分的高维类似物以及圆染色。
2026-07-02 math.AT math.CO
