发表机构
Massachusetts Institute of Technology; Princeton University（麻省理工学院; 普林斯顿大学）
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该研究利用熵技术确定了边染色图中彩虹三角形的最大数量上界，并揭示了最优构造与仿射平面的关联，同时探讨了更大团计数的奇偶性差异。
AI 中文摘要
在一个具有$m$条边和$r$种颜色的边染色图中，彩虹三角形的最大数量是多少？利用熵技术，我们证明了彩虹三角形的上界为$C_rm^{3/2}$，其中$C_r=\sqrt{\frac{2(r-2)}{9r}}$；当存在$r-1$阶仿射平面时，该常数是最优的。我们还表明，达到至少$(C_r-\varepsilon_r)m^{3/2}$个彩虹三角形的构造必须呈现仿射平面结构，这进一步改进了当不存在此类仿射平面时的上界。我们还考虑了计数更大尺寸的适当边染色团的问题。令人惊讶的是，如果颜色数$r$为奇数，则该计数反而由适当边染色的$K_{r+1}$的膨胀图最大化。
英文摘要
What is the maximum number of rainbow triangles in an edge-colored graph with $m$ edges and $r$ colors? Using entropic techniques, we prove an upper bound of $C_rm^{3/2}$ rainbow triangles with $C_r=\sqrt{\frac{2(r-2)}{9r}}$; this constant is best possible whenever there exists an affine plane of order $r-1$. We also show that constructions attaining at least $(C_r-\varepsilon_r)m^{3/2}$ rainbow triangles must exhibit an affine plane structure, which further improves the upper bound if no such affine plane exists. We also consider the problem of counting properly edge-colored cliques of larger sizes. Surprisingly, if the number $r$ of colors is odd, this count is instead maximized by blowups of a properly edge-colored $K_{r+1}$.
Comments42 pages, 4 figures
