（着色）仿射半群中的凸性
Convexity in (colored) affine semigroups
AI总结：
本文研究仿射半群中的凸性，提出着色仿射半群理论，并证明 Tverberg、彩色 Helly 及锥上彩色 Carathéodory 定理的半群类比，同时引入着色 Frobenius 数。
摘要：
本文探讨了 Helly、Tverberg 和 Carathéodory 凸几何定理的仿射半群版本。此外，我们建立了一种新的着色仿射半群理论，其中半群生成元各被赋予一种颜色，而半群中的元素会考虑所使用的颜色（经典仿射半群理论对应于所有生成元具有相同颜色的情形）。我们证明了半群上的 Tverberg 定理类比和彩色 Helly 定理，以及锥上的彩色 Carathéodory 定理版本。我们还通过引入 Frobenius 数的着色版本，表明着色数值半群具有特别丰富的结构。
英文摘要：
In this paper, we explore affine semigroup versions of the convex geometry theorems of Helly, Tverberg, and Caratheodory. Additionally, we develop a new theory of colored affine semigroups, where the semigroup generators each receive a color and the elements of the semigroup take into account the colors used (the classical theory of affine semigroups coincides with the case in which all generators have the same color). We prove an analog of Tverberg's theorem and colorful Helly's theorem for semigroups, as well as a version of colorful Caratheodory's theorem for cones. We also demonstrate that colored numerical semigroups are particularly rich by introducing a colored version of the Frobenius number.
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