Optimal bounds for the colored Tverberg problem
证明了一个“Tverberg型”多重交定理。它通过添加颜色约束，加强了1966年的原始Tverberg定理的素数情况，以及Barany et al.（1980）的拓扑Tverberg定理。它也为Barany & Larman（1992）的（拓扑）有色Tverberg问题提供了一个改进的界，该界在素数情形下是紧的，在一般情形下是渐近最优的。证明是基于相对等变阻塞理论。
2014-11-17 math.AT math.CO
On the number of colored Birch and Tverberg partitions
2009年，Blagojevic，Matschke & Ziegler建立了第一个紧着色Tverberg定理，但没有给出着色Tverberg分拆个数的下界。我们开发了我们以前的结果（2008年）的彩色版本，我们扩展了我们的结果从无色版本：均匀性和非平凡的下界的数量着色Tverberg分区。这是从类似的结果的数量彩色伯奇分区。
2012-12-09 math.CO
Colored Tverberg Theorems for non-prime powers
我们证明了一个相对的最佳（B型）}有色Tverberg定理的Ekivaljević和Vrekenica修改这一结果在两个不同的方式。(1)如果彩虹面的个数为$q= p^n-1$，其中$p$是素数，则我们的结果是有效的. (2)彩虹单形的大小满足条件$\vert C_i\vert \in \{2q-2, 2q+1\}$，而在原来的定理$\vert C_i\vert = 2q-1$对所有$i$。
2022-11-03 math.AT math.CO
Classifying unavoidable Tverberg partitions
设$T(d,r) = (r-1)(d+1)+1$为Tverberg定理中的参数，将$\{1,2,\ldots,T(d,r)\}$的$\mathcal I$划分为$r$部分称为“Tverberg型”.我们说$\mathcal I$“出现”在有序点序列$P$中，如果$P$包含$T(d,r)$点的子序列$P'$，使得与$\mathcal I$序同构的$P'$的划分是Tverberg划分。如果$\mathcal I$出现在每个足够长的点序列中，我们说它是“不可避免的”。在本文中，我们研究的问题，确定哪些Tverberg型是不可避免的。我们猜想一个完整的特征的不可避免的Tverberg型，我们证明了我们的猜想$d\le 4$的一些情况下。一路上，我们研究了许多其他几何谓词的可避免性。我们的技术也产生了一个大家庭的$T(d,r)$点集的Tverberg分区的数量正好是$(r-1)!^d$。这进一步支持了Sierksma关于Tverberg分区数的猜想。
2017-03-22 cs.CG math.CO
A new $k$-partite graph $k$-clique iterator and the optimal colored Tverberg problem for ten colored points
我们提供了一个算法，验证了最佳的彩色Tverberg问题的$10$点在平面上：每个$10$点在平面上的颜色类的大小最多$3$可以被划分为$4$彩虹片，使它们的凸包相交于一个共同的点。这是通过将问题转化为$k$ -部图，并使用一种新的算法来验证这些图不具有$k$ -团。
2022-03-25 math.CO
A tight colored Tverberg theorem for maps to manifolds
本文证明了：任意n维单形Delta_N到d维流形M的连续映射，必有r个点从Delta_N的不相交彩虹面映射到M中的同一点：为此，我们必须假设N \geq（r-1）（d+1），Delta_N的r个顶点不具有相同的颜色，并且我们的证明需要r是素数. Delta_N的面是彩虹面，如果所有顶点都有不同的颜色。这个结果是我们最近的“新着色Tverberg定理”的一个推广，它是M=R^d的特殊情况。它也是Volovikov的1996年拓扑Tverberg定理的推广，用于映射到流形，当所有颜色类的大小为1时（即，没有颜色限制）;对于这种特殊情况，Volovikov的证明，以及我们的，当r是素数幂时工作。
2011-07-10 math.AT math.CO
Multiple chessboard complexes and the colored Tverberg problem
在D. B。Karaguezian，V. Reiner和M.L. Wachs（Matching Complexes，Bounded Degree Graph Complexes，and权空间of $GL$ -Complexes，Journal of Algebra 2001）研究了多棋盘复形的连通度和可壳性。我们的中心新的结果（定理3.2和4.4）提供了尖锐的连接边界Tverberg型问题中的应用，其中重点相同的颜色是允许的。这些结果也为Tverberg-van Kampen-Flores类型的新结果提供了基础，如arXiv：1502.05290 [math.CO]中所宣布的。
2015-10-19 math.CO
The topological transversal Tverberg theorem plus constraints
在本文中，我们使用的约束方法的强度结合广义Borsuk-Ulam型定理和上同调交引理，以显示如何可以获得许多新的拓扑Tverberg型横切定理。特别地，我们得到了一个拓扑广义横截Van Kampen-Flores定理和一个拓扑横截弱色Tverberg定理.
2017-01-13 math.AT math.CO math.MG
A geometric proof of the colored Tverberg theorem
着色Tverberg定理断言，对于每个d和r，存在t=t（d，r），使得对于R^d中基数为（d+1）t的每个集合C，划分为t-点子集C_1，C_2，.，C_{d+1}（我们将其视为颜色类;例如，C_1的点是红色的，C_2的点是蓝色的，等等），存在r个不相交的集合R_1，R_2，.，R_r \subseteq C是“彩虹”，意思是|R_i \cap C_j| < 2，且其凸包都有公共点。这个定理的所有已知证明都是拓扑的。我们提出了一个几何版本的最近美丽的证明布拉戈耶维奇，Matschke和齐格勒，避免直接使用拓扑方法。这种去拓扑化的目的是使证明更加具体和直观，并且更广泛的受众可以访问。
2011-06-01 math.CO
Beyond the Borsuk-Ulam theorem: The topological Tverberg story
Bárány在1976年的“拓扑Tverberg猜想”中指出，任何$N$ -单纯形$Δ_N$到$\mathbb{R}^d$的连续映射，对于$N\ge(d+1)(r-1)$，将$Δ_N$中$r$不相交面的点映射到$\mathbb{R}^d$中的同一点。当$r$是素数时，这个结果的证明，以及相同结果的一些有色版本，使用Borsuk-Ulam和Dold关于具有自由群作用的空间之间的等变映射的不存在性的结果，是Matoušek 2003年的书“Using the Borsuk-Ulam theorem”的主要主题。“在本文中，我们展示了先进的等变拓扑方法如何允许一个超越拓扑Tverberg猜想的主要情况。首先，我们详细解释了如何等变上同调工具（采用Borel结构，比较的Serre谱序列，Fadell-Husseini指数等）。当$r$是素数幂时，可以利用它证明拓扑Tverberg猜想.我们的介绍包括一些改进的证明，以及新的结果，如一个完整的确定的Fadell-Husseini指数的棋盘复杂的主要情况。然后，我们介绍了“约束方法”，适用于适当的“不可避免的复合物”产生了各种各样的变化和推论的拓扑Tverberg定理，如“有色”和“尺寸限制”（范Kampen-弗洛雷斯型）版本。这两个部分都为最近在高维度中出现的壮观反例提供了关键的组成部分，这些反例是针对$r$不是素数幂的情况。
2017-05-21 math.AT math.CO math.MG
Plus minus analogues for affine Tverberg type results
经典的1966年定理的特沃伯格与其众多的变化是，仍然是一个动力背后的许多重要发展，凸和计算几何以及试验场的方法，从等变代数拓扑。2018年，Bárány和Soberón提出了一个新的变体，“Tverberg加减定理”。本文利用射影变换给出了Tverberg加减定理的一个新证明。同样的工具允许我们得到所有已知的仿射Tverberg型结果的正负类似物。特别是，我们证明了一个加减模拟的最佳彩色Tverberg定理。
2019-07-14 math.CO math.MG
Tverberg plus constraints
许多加强和扩展的拓扑特沃伯格定理可以得出令人惊讶的容易直接从原来的定理：为此，我们介绍了一种证明技术，结合了“特沃伯格不可避免的subcomplex”的概念与观察特沃伯格点，均衡的距离，从这样一个subcomplex可以从地图上获得一个扩展的目标空间。因此，我们得到了拓扑Tverberg定理的许多变体的简单证明，例如Zivaljevic和Vrecica（1992）的着色Tverberg定理。我们还得到了Sarkaria（1991）和Volovikov（1996）的广义van Kampen-Flores定理的一个新的加强版本，他们的“j-不相交”Tverberg定理的一个仿射版本，以及Soberon（2013）关于具有相等重心坐标的Tverberg点的结果的一个拓扑版本。
2014-04-29 math.AT math.CO
Optimal bounds for a colorful Tverberg--Vrecica type problem
本文证明了如下的最优色Tverberg-Vrecica型截线定理：对于素数r和任意k+1个色点集C^l，|C^l| =（r-1）（d-k+1）+1，其中每个C^l是大小小于r的子集（颜色类）C_i^l的并集，l=0，.，k，存在将集合C^l划分为彩色集合F_1 ^l，.，F_r^l，使得在r（d-k）为偶数或k=0的假设下，存在满足所有凸包conv（F_j^l）的k平面。沿着证明我们得到了三个独立的结果：我们给出了特殊情况k=0的两个替代证明（我们的最优着色Tverberg定理（2009）），计算了棋盘复形并的上同调指数，并建立了一个新的Borsuk-Ulam型定理（Z_p）^m-等变丛，推广了Volovikov（1996）和Zivaljevic（1999）的结果。
2009-12-31 math.AT math.CO
Chessboard complexes indomitable
我们给出了Blagojevic和Ziegler引人注目的新Tverberg型定理的另一种证明，arXiv：0910.4987v1 [math.CO]。我们的方法也产生了一些新的情况下的“限制Tverberg定理”在地狱的意义下，包括一个简单的着色Radon定理的d+3点在R^d。这是论文的最终版本，改进了表述方式，纠正了错别字，并增加了参考文献。
2011-04-10 math.AT math.CO
Convexity in (colored) affine semigroups
本文研究仿射半群中的凸性，提出着色仿射半群理论，并证明 Tverberg、彩色 Helly 及锥上彩色 Carathéodory 定理的半群类比，同时引入着色 Frobenius 数。
2023-10-04 math.AC math.CO
Tverberg's theorem and graph coloring
拓扑Tverberg定理已被推广到几个方向，通过设置额外的限制Tverberg分区。限制Tverberg分区，定义的想法，某些点不能在同一部分，编码与图形。当两个点在图形中相邻时，它们不在同一部分中。如果限制太苛刻，那么拓扑Tverberg定理就失败了。着色Tverberg定理对应于由小的完全图构成的不交并图。地狱研究了路径和循环的情况。在图论中，这些划分通常被视为图着色。正如Aharoni、Haxell、Meshulam和其他人所探索的那样，图着色和拓扑组合学的几个概念之间存在着根本的联系。对于普通的图着色，要求颜色数q满足q>Delta就足够了，其中Delta是图的最大度。第一作者使用等变拓扑证明了，如果q>Δ^2，则拓扑特沃伯格定理仍然有效。证明了q>KΔ对于某个常数K也是足够的，在本文中我们证明了这个猜想的一个固定参数版本。所需的拓扑连通性的结果证明与壳性，这也加强了一些以前的部分结果，拓扑连通性证明与神经引理。
2013-11-05 math.AT math.CO math.GT
Combinatorics of `unavoidable complexes'
单纯复形$K\subset 2^{[n]}$的分区号$π(K)$是最小整数$ν$，使得对于$[n]$的每个分区$A_1\uplus\ldots\uplus A_ν= [n]$，集合$A_i$中的至少一个在$K$中。一个复杂的$K$是$r$ -如果$π(K)\leq r$不可避免。受Tverberg-Van Kampen-Flores型问题的启发，并受Blagojević、Frick和Ziegler的“约束方法”的启发，arXiv：1401.0690 [math.CO]，我们研究了$r$ -不可避免复合物的组合学。
2019-05-13 math.CO
Tverberg type theorems for matroids
在本文中，我们证明了一个变种的彩色Tverberg定理，这是有效的任何拟阵：令$S$是一个序列的非循环在拟阵$M$的有限秩$m$关闭操作cl。假设$S$以这样的方式着色，即第一种颜色不出现超过$r$ -次，并且每种其他颜色最多出现$(r-1)$ -次。然后，$S$可以被划分成$r$彩虹序列$S_1,\ldots, S_r$，使得$cl\,\emptyset\subsetneq cl\,S_1\subseteq cl\, S_2\subseteq \ldots \subseteq cl\,S_r$。特别是$\emptyset\neq \bigcap_{i=1}^r cl\,S_i$。一个子序列被称为彩虹，如果它包含每种颜色最多一次。我们的定理的结论弱于原来的Tverberg定理在$\mathbb R^d$的结论，它指出，$\bigcap conv\,S_i\neq \emptyset$，而我们只声称，$\bigcap aff\,S_i\neq \emptyset$。另一方面，我们的定理在其他几个方面加强了Tverberg定理：1）它适用于任何拟阵（而Tverberg定理只能在$\mathbb R^d$中使用），2）代替$\bigcap cl\,S_i\neq \emptyset$，我们有更强的条件$cl\,\emptyset\subsetneq cl\,S_1\subseteq cl…
2019-09-19 math.CO
Turán and Ramsey-type results for unavoidable subgraphs
研究了边有色图的Turán和Ramsey型问题。一个边有色图称为{ \em $\varepsilon$ -平衡}，如果每个颜色类至少包含一个$\varepsilon$ -比例的边.给定一个边有色图族$\mathcal{F}$，Ramsey函数$R(\varepsilon, \mathcal{F})$是最小的$n$，使得任何$\varepsilon$ -平衡的$K_n$都必须包含一个$F\in\mathcal{F}$的拷贝，Turán函数$\mathrm{ex}(\varepsilon, n, \mathcal{F})$是$n$ -顶点$\varepsilon$ -平衡的图中避免所有$\mathcal{F}$的最大边数.在本文中，我们考虑了几类边-有色图的这个Turán函数，证明了Ramsey函数对于有界度图是线性的，并证明了一个定理，给出了两个参数之间的关系.
2020-04-19 math.CO
Colored unavoidable patterns and balanceable graphs
研究了边着色完全图的Turán型问题。我们证明了对于任何$r$和$t$，任何充分大的$r$ -边着色完全图在$n$顶点上且$Ω(n^{2-1/tr^r})$边在每种颜色中都包含一个来自$r$ -边着色完全图的有限族$\mathcal{F}_t^r$的成员.我们推测，$Ω(n^{2-1/t})$边缘在每种颜色是足够的，以找到一个成员从${\mathcal{F}}_t^r$。Girão和Narayanan的一个结果证实了这个猜想时，$r=2$。接下来，我们研究一个相关的问题，其中相应的图兰阈值是线性的。我们称一条路的边着色为$P_{rk}$平衡的，如果每种颜色在着色中出现$k$次。我们证明了一个大的完全图的任何$3$ -边染色都包含一个平衡的$P_{3k}$，其中每种颜色都有$kn+o(n)$边。这是紧到$2$的常数因子。对于更多的颜色，问题变得令人惊讶地更加微妙。已经为$r=7$，我们表明，即使从每种颜色的$n^{2-o(1)}$边缘不保证存在一个平衡的$P_{7k}$。
2021-07-15 math.CO
Tverberg's theorem for unions of convex sets: Sharp bounds and colored extensions
Capital Normal University（首都师范大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Zhejiang University（浙江大学）
研究凸集并的特弗伯格定理中$f_{r}(d,s_{1},\ldots,s_{r})$的界，通过证明渐近精确下界、一般下界及改进上界得到$f_r(d,s,\ldots,s)=\Theta_{d,r}(s^r\log s)$等结果，还研究了两个着色类似物并证明了完全横截定理。
2026-09-09 math.CO math.MG
Topology of unavoidable complexes
单纯复$K\subset 2^{[m]}$的分区号$π(K)$是最小整数$ν$，使得对于$[m]$的每个分区$A_1\uplus\ldots\uplus A_ν= [m]$，至少一个集合$A_i$在$K$中。一个复杂的$K$是$r$ -如果$π(K)\leq r$不可避免。我们说一个复$K$是全局$r$ -不可嵌入$\mathbb{R}^d$的，如果对于每个连续映射$f: | K| \rightarrow \mathbb{R}^d$，存在$r$顶点不相交的面$σ_1,\ldots, σ_r$的$| K|$，使得$f(σ_1)\cap\ldots\cap f(σ_r)\neq\emptyset$。受Tverberg-Van Kampen-Flores型问题的启发，我们证明了几个结果（定理3.6，3.9，4.6），它们将这两类复形的组合学和拓扑学联系在一起。我们的一个中心结论（定理4.6），总结和推广了G. Schild，B. Grünbaum和许多其他人的观点是，在$r$-不可避免的复合物的连接$K = K_1\ast\ldots\ast K_s$中可以找到（全局）$r$-不可嵌入的复合物的有趣例子。
2018-09-16 math.AT math.CO
Regular Polygonal Partitions of a Tverberg Type
本文研究Tverberg定理不适用的少点集划分问题，提出正多边形/正多胞体形的P(r,d)划分，证明平面及高维空间中对应点数的划分可行性与紧界，并给出素数幂下的拓扑推广及相关衍生结论。
2021-02-25 math.AT math.CO math.MG
A Colorful Extension of VC-dimension and Geometric Applications
Ariel University（阿里埃勒大学）；Ben-Gurion University of the NEGEV（内盖夫本-古里安大学）
研究VC维的多彩变体，通过该概念得到多种几何结果，包括改进的特弗伯格定理、多彩\(k\)重特弗伯格定理等，还扩展到凸集并集的多彩特弗伯格定理，提升了相关定量界。
2026-07-14 cs.CG math.CO
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
Canonical theorems in geometric Ramsey theory
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；KIT（卡尔斯鲁厄理工学院）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在欧几里得空间中，任何锐角三角形或m维单位超立方体在任何着色下必然存在单色或彩虹副本。
2025-06-10 math.CO
