Topology of unavoidable complexes
单纯复$K\subset 2^{[m]}$的分区号$π(K)$是最小整数$ν$，使得对于$[m]$的每个分区$A_1\uplus\ldots\uplus A_ν= [m]$，至少一个集合$A_i$在$K$中。一个复杂的$K$是$r$ -如果$π(K)\leq r$不可避免。我们说一个复$K$是全局$r$ -不可嵌入$\mathbb{R}^d$的，如果对于每个连续映射$f: | K| \rightarrow \mathbb{R}^d$，存在$r$顶点不相交的面$σ_1,\ldots, σ_r$的$| K|$，使得$f(σ_1)\cap\ldots\cap f(σ_r)\neq\emptyset$。受Tverberg-Van Kampen-Flores型问题的启发，我们证明了几个结果（定理3.6，3.9，4.6），它们将这两类复形的组合学和拓扑学联系在一起。我们的一个中心结论（定理4.6），总结和推广了G. Schild，B. Grünbaum和许多其他人的观点是，在$r$-不可避免的复合物的连接$K = K_1\ast\ldots\ast K_s$中可以找到（全局）$r$-不可嵌入的复合物的有趣例子。
2018-09-16 math.AT math.CO
On tournaments combinatorics
本文给出了竞赛图复形、方向性过滤复形和持久同调复形的一个新的证明。本文是华金·卡斯塔涅达本科论文的一部分。
2022-05-03 math.CO
Spectrum and combinatorics of two-dimensional Ramanujan complexes
Ramanujan图具有极值谱性质，这意味着一个显着的组合行为。本文计算了Ramanujan三角形复形的高维Hodge-Laplace谱，并证明了它具有组合展开性质和伪随机性质。为此，我们证明了一个Cheeger型不等式和一个独立的混合引理。
2017-07-04 math.CO math.RT math.SP
Lp expander Complexes
我们讨论了两个组合的方式推广的定义扩展图和Ramanujan图，到更高的维度的建筑物的继承人。这两种可能的定义对于仿射建筑物是等价的，给出了Lp-扩张复形的概念。我们计算显式的谱间隙上的许多组合算子，任何Lp-扩展复杂。我们与任何复杂的自然“zeta函数”，推广Ihara-Hashimoto zeta函数的有限图。我们推广了桥本的一个著名定理，证明了一个复杂的是Ramanujan当且仅当zeta函数满足黎曼假设。
2016-12-31 math.CO
Subdivisions of Shellable Complexes
在几何、代数和拓扑组合学中，经常研究组合生成多项式的单峰性。当多项式是（实）稳定时，单峰性随之而来，这是一个经常通过交错多项式理论推导出的属性。关于多项式的稳定性和单峰性的许多公开问题涉及胞腔复形的面的计数。本文将交错多项式理论与胞腔复形的可壳性联系起来。首先推导出可壳复形细分的$h$ -多项式稳定的充分条件。为了应用它，我们推广的概念，倒易域凸嵌入的多面体抽象多面体，并使用这种推广来定义家庭的稳定壳的多面体复杂。我们刻画了立方复形和单纯复形的稳定壳，并应用这一理论回答了Brenti和Welker关于著名的立方多面体的重心重分的一个问题.我们还给出了一个问题的Mohammadi和Welker的边缘细分的胞腔复形的积极的解决方案。最后，我们将稳定线壳族与超平面排列的组合学联系起来。我们提出相关的问题，答案将解决一些长期存在的问题，同时加强理论之间的联系交错多项式和组合的超平面安排。
2020-06-25 math.CO
Geometry, combinatorics, and algebra of inductively pierced codes
凸神经代码是描述凸集集合的相交模式的组合结构。诱导穿孔码是Stapleton等人在2011年的信息可视化文献中引入的神经代码的一个特别好的子类，并由Gross等人在2016年引入凸代码文献。在这里，我们证明了所有的诱导刺穿码都是非退化凸码和非退化超平面码。特别是，我们证明了一个$k$ -诱导刺穿代码的$n$神经元有一个凸实现与球在$\mathbb R^{k+1}$和半空间在$\mathbb R^{n}$。我们刻画了归纳穿孔码的单纯形复形和极复形，证明了单纯复形是顶点可分解团复形的不交并，极复形是可壳的.在本预印本的早期版本中，我们给出了一个有缺陷的证明，即$k$ -诱导穿孔码的复曲面理想在由$\mathcal C$的极性复形的壳序诱导的项序下具有二次Gröbner基。我们现在把这说成是一个受到计算证据启发的猜想。
2019-06-28 math.CO
Colorful Words and d-Tverberg Complexes
本文给出弱d-Tverberg复形的完整组合刻画，并构造对任意d'≤d均非弱d'-Tverberg的图，回答了De Loera等人的问题。
2023-10-17 math.CO
Alexander Duality and Rational Associahedra
最近的一对论文阿姆斯特朗，Loehr，和沃林顿和阿姆斯特朗，威廉姆斯，作者发起了系统的研究{ \em理性加泰罗尼亚组合}这是一个推广的福斯加泰罗尼亚组合（这反过来又是一个推广的经典加泰罗尼亚组合）。后一份文件给出了两种可能的模式，一个合理的模拟associahedron附加单纯复形的任何一对互质正整数a < b。这些复形符合Fuss-Catalan的一般性水平，但在一般情况下，一个可能是另一个的严格子复形。在Armstrong、Williams和作者的猜想中，我们证明了这些复形符合同伦，事实上，一个复形坍缩到另一个复形上。这调和了两个竞争的模型为合理的associahedra。作为推论，我们得到互素正整数对上的对合（a < b）\longleftrightarrow（b-a < b）在拓扑上表现为有理结合面体的Alexander对偶.这种崩溃和亚历山大对偶是理性加泰罗尼亚组合学的新特征，在福斯-加泰罗尼亚的一般性水平上是不可见的。
2013-11-23 math.CO
Moment-angle complexes and combinatorics of simplicial manifolds
设$ρ:(D^2)^m\to I^m$为环面$T^m$对角作用于单位多圆盘$(D^2)^m$的轨道图，$I^m=[0,1]^m$为单位立方体。设$C$是$I^m$中的立方子复形.矩-角复合$\ma(C)$是子集$ρ^{-1}(C)\subset(D^2)^m$的$T^m$不变的二阶胞状分解，其胞对应于$C$的面。通过研究相应矩角复形的等变拓扑，可以处理关于立方复形及相关组合对象的不同组合问题。这里我们考虑由单纯复形的正则三次细分定义的矩角复形。我们描述了单纯复形的组合学和相应的矩角复形的双阶上同调之间的关系。在单纯复形是单纯流形的情况下，相应的矩角复形有一个由奇点组成的轨道。这个轨道的不变邻域的补是一个有边界的带边流形。这个流形的相对Poincare对偶蕴涵了关于单纯流形的面数的广义Dehn-Sommerville方程。
2000-05-20 math.AT math.CO math.DG
Generalized cluster complexes and Coxeter combinatorics
本文介绍了一类与有限根系和非负整数参数m相关的简单复形，通过计算其面数和h向量，揭示了与Coxeter群、根系和超平面排列的联系，并提出基于递推的算法计算Coxeter不变量。
2006-09-11 math.CO math.RT
Discrete Morse Complexes
本文研究了Forman定义的单纯复形上离散Morse函数集的性质。不难看出，有限单纯复形的离散莫尔斯函数的配对又形成了一个单纯复形，即离散莫尔斯复形。原来，几个已知的结果，从组合拓扑学和枚举组合，这以前似乎是无关的，可以重新解释这些离散的莫尔斯复。
2000-11-28 math.CO
Subword complexes via triangulations of root polytopes
子字复形是由Knutson和Miller引入的单纯复形，用于说明舒伯特多项式和行列式理想的组合。他们证明了任何子字复形都同胚于一个球或一个球面，并询问了它们的几何实现。我们表明，一个家庭的子字复合体可以实现几何通过定期三角形的根多面体。这意味着一族$β$ -Grothendieck多项式是根多面体的细分代数中约化形式的特殊情况。我们也可以用$β$ -Grothendieck多项式来表示根多面体的体积和Ehrhart级数。
2017-07-01 math.CO
Combinatorics of combinatorial topology
我们开发了一个更紧密的实现基本PL拓扑，它跟踪一些组合结构以外的PL同胚类型。用这种技术，我们澄清PL的横截性的一些方面，并给出一些已知的结果的组合证明。新的结果包括组合特征的可折叠多面体的可构造偏序集（广义面偏序集的可构造单纯复形的意义上的Hochster）。相关的可构造偏序集也被刻画在Reading的偏序集压缩中，这是单纯复形中边压缩的一种变体。
2018-08-30 math.CO math.GT
The graph minor theorem in topological combinatorics
本文从图子式范畴视角研究匹配复形等拓扑组合构造，证明有界亏格图的同调挠部分一致有界，给出了Robertson-Seymour图子式定理的代数版本。
2023-04-14 math.AC math.AT math.CO
Homotopy type of shellable $q$-complexes and their homology groups
本文针对可剥$q$-单纯复形，确定了其同伦型，证明了含$q$-拟阵复形的字典序可剥$q$-单纯复形的序复形可剥，进而全面确定了这类复形的同调群，拓展了$q$-复形可剥性的拓扑研究。
2024-03-11 math.CO
Combinatorics of embeddings
我们对库拉托斯基图平面性准则的陈述和罗伯逊-西摩-托马斯内在联系准则的陈述的6/7提供以下解释。我们称一个胞腔复形为“二分的”，如果每一个胞腔都对应一个唯一的具有顶点补集的胞腔。则每个二分胞腔复形都PL同胚于一个球面;恰好存在两个3维二分胞腔复形，它们的1-η是K_5和K_{3,3} ;恰好存在六个4维二分胞腔复形，它们的1-η是Petersen族中除一个图外的所有图。在n>2的高维中，我们观察到，为了用大量的“禁止子式”来刻画嵌入到S^{2n}中的紧致n-多面体，只要建立所有（n-1）-连通n维有限胞腔复形的列表的有限性就足够了，这些有限细胞复形不嵌入到S^{2n}中，但它们的所有真子复形和真象细胞的组合子都嵌入到那里。我们的主要结果是，该列表包含（2n+1）维二分胞腔复形的n-ε。5维二分胞腔复形形的2-η（除了（2 i +2）-单纯形的i-η的三个连接之外）至少包括十个非单纯复形。
2011-05-17 math.CO math.GT
Moving robots efficiently using the combinatorics of CAT(0) cubical complexes
给定一个可重构系统X，比如一个机器人在网格上移动，或者一组粒子在图中移动而不发生碰撞，X的可能位置自然形成一个三次复形S（X）。当S（X）是CAT（0）空间时，我们可以显式地构造任意两点之间的最短路径，对于四个最自然的度量中的任何一个：距离，时间，移动次数和同时移动的步数。CAT（0）立方复形与具有不相容对的偏序集（PIP）相对应，因此我们可以通过识别对应的PIP来证明状态复形S（X）是CAT（0）。我们用一个已知的例子和一个新的例子来说明这个非常一般的策略：艾布拉姆斯和格里斯特的积极的机器人手臂在一个正方形网格上，机器人手臂在一个长条上。然后，我们使用PIP作为一个组合的“遥控器”，有效地将这些机器人从一个位置移动到另一个位置。
2014-08-27 cs.CG cs.DM math.CO
Simplicial Complexes of Antichains in Root Posets and Related Combinatorics of Dyck Paths
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普大学）
本文研究根系偏序集反链构成的单纯复形的可壳性，证明其等价于根系为A_n、B_n、D_3或G_2，并利用f-和h-三角形给出Dyck路径的统计量，有理情形留作开放问题。
2026-09-15 math.CO math.RT
Cell complexes, poset topology and the representation theory of algebras arising in algebraic combinatorics and discrete geometry
近年来，人们注意到许多组合结构，如实超平面和复超平面排列、区间拟阵、拟阵和定向拟阵都具有称为左正则带的有限幺半群的结构。幺半群模型上的随机游动有许多有趣的马尔可夫链，如Tsetlin库和riffle shuffle。左正则带的表示论开始发挥作用，并对与这种结构相关的组合学和概率论产生了重大影响。在最近的一篇论文中，作者建立了左正则带的代数和组合不变量之间的密切联系，证明了左正则带的代数的某些同调不变量与自然关联到左正则带的偏序集的序复形的上同调一致。本专著的目的是进一步发展和深化左正则带和偏序集拓扑之间的联系。这使我们能够计算有限投射分解的所有简单的模左正则带代数域和更多。在这个过程中，我们被引导到定义的CW左正则带类的左正则带类，其相关的偏序集是正则CW复形的面偏序集。文献中出现的大多数例子都属于这一类。一类新的和重要的例子是CAT（0）立方复形的面偏序集上的左正则带结构。此外，最近引入的COM（复合的定向拟阵或条件定向拟阵）的概念很好地适应我们的设置，包括CAT（0）立方体复合和某些更一般的CAT（0）zonotopal复合。一个相当完整的图片的表示论CW左正则带得到。
2018-09-27 math.CO math.GR math.RA
Complexes of connected graphs
给定k个顶点的图生成一个（非循环）单纯复形。我们描述了它的商复形的同调，形成所有的连通图，并证明了它的应用，拓扑结构的辫群，纽结理论，组合学和奇异性理论。指出了这种复合物的多维类似物，这些类似物在同伦理论、高级陈-西蒙斯理论和复杂性理论中自然产生。
2014-09-21 math.CO math.GT
Riordan pattern's quest within simplicial complexes
本文探讨 Riordan 矩阵在几何组合学中的应用，将其用于连接 f、h、γ 等向量，并研究拓扑联运算在单纯复形和 Alexandroff 空间中的组合性质及由此产生的 Riordan 矩阵特性。
2025-07-13 math.CO
Minimal Cohen-Macaulay Simplicial Complexes
定义并研究了极小Cohen-Macaulay单纯复形的概念。证明了任何Cohen-Macaulay复形都是在我们意义下的极小复形上的壳，并给出了复形是极小Cohen-Macaulay复形的充分条件.我们表明，许多有趣的例子，组合学中的科恩-麦考利复合物是最小的，包括鲁丁的球，齐格勒的球，傻瓜帽，最近发现的不可分割的科恩-麦考利复合物。我们还提供了构建这种复合物的各种方法。
2019-05-13 math.AC math.CO
Box complexes, neighborhood complexes, and the chromatic number
Lovasz的显着证明Kneser的猜想从1978年使用Borsuk-乌拉姆定理提供了一个下界的色数的一个图。我们引入了单纯复形的Shore剖分，并用它来表示这个拓扑下界的一个上界，并构造了从盒复形（Matousek和Ziegler的版本）到Lovasz复形的一个强Z_2-形变收缩.在这个过程中，我们分析和澄清所涉及的复合物的组合学，并通过几个“中间体”复合物连接它们的结构。
2003-10-21 math.AT math.CO
Poset Partitions and the Combinatorics of the $\textbf{cd}$-Index
Pontificia Universidad Católica（天主教庞蒂菲亚大学）；University of Washington（华盛顿大学）
本文提出了一种新的欧拉 poset 类，称为 S-分割 poset，证明其具有非负的 cd 指数，并引入了 SE-分割 poset 的半欧拉版本。
2026-02-02 math.CO
On f- and h- vectors of relative simplicial complexes
相对单纯复形是$Δ\setminus Γ$形式的集合的集合，其中$Γ\subset Δ$是单纯复形。相对复形在代数、几何和拓扑组合学的最新进展中发挥了关键作用，但与单纯复形相比，人们对它们的一般组合结构知之甚少。在本文中，我们解决了一个基本问题，在这个方向上，并给出了$f$ -向量的相对（多）复形的基集的固定大小的特征。在代数方面，这产生了一个表征的希尔伯特函数的同分之齐次理想在多项式环与一个固定数量的不定。此外，我们还刻画了完全Cohen-Macaulay相对复形的$h$ -向量以及具有给定维数极小面的Cohen-Macaulay相对复形的$h$ -向量.后者解决了比约纳的问题。
2018-08-03 math.AC math.CO
Moment-angle complexes, monomial ideals, and Massey products
每个有限单纯复形K都有一个“矩角”有限CW-复形Z_K;如果K是球面的三角剖分，则Z_K是光滑的紧致流形。在Buchstaber，Panov和Baskakov的工作基础上，我们研究了矩角复形的上同调环，同伦群和三重Massey积，将这些拓扑不变量与基础单纯复形的代数组合学联系起来。应用研究的非正式流形和子空间安排。
2007-05-08 math.AT math.CO
Permutohedral complexes and rational curves with cyclic action
我们定义了一个有限阶自同构和加权轨道的有理曲线的模空间，我们证明了它的边界层的组合编码的一个特定的多面体复杂，也捕捉代数结构的复杂反射群作用于模空间。这推广了Losev-Manin的曲线模空间（其边界层由置换面体编码并与对称群相关）以及Batyrev-Blume的对合曲线模空间的情况，并将该工作扩展到环面背景之外。
2021-04-13 math.AG math.CO
Composition of simplicial complexes, polytopes and multigraded Betti numbers
对于m个顶点上的单纯复形K和单纯复形K1，.，Km是复合单纯复形K（K1，.，Km）的。这种构造推广了A. Bahri，M. Bendersky，F. R. Cohen和S. Gitler，并允许描述多面体P（P1，...，Pm）由G.阿格纳森该复合定义了一组有限单纯复形上的操作数的结构。我们证明了以下内容：（1）一个合成复形K（K1，.，Km）是单形球当且仅当K是单形球，Ki是单形的边界;（2）一类球面神经复合体在复合运算下是闭的（3）最后，我们给出了K（K1，…，Km）表示为K，K1，.的多重贝蒂数，Km使用生成函数的组合。
2013-01-18 math.AT math.CO
Torsion in the Matching Complex and Chessboard Complex
匹配复形的拓扑性质首先由Bouc在与Quillen复形的联系中研究，棋盘复形的拓扑性质首先由Garst在与Tits陪集复形的联系中研究。Björner、Lovász、Vrécica和{}ivaljević建立了这些复形连通性的界限，并证明这些界限是尖锐的。在本文中，我们证明了该猜想是真实的，通过建立非零的积分同调的程度，这些界限。此外，我们表明，对于足够大的$n$，底部非零的同源匹配复$M_n$是一个基本的3-组，改进了布茨的结果，和棋盘复杂的底部非零的同源$M_{n,n}$是一个3-组的指数最多为9。当为$n \equiv 2 \bmod 3$时，$M_{n,n}$的底部非零同源性显示为$\Z_3$。我们的证明依赖于计算机计算，长精确序列，表示论，和表组合。
2004-09-03 math.CO
$LS$-category of moment-angle manifolds and higher order Massey products
利用基础单纯复形$K$的组合学，我们给出了矩角复形$\zk$的Lusternik-Schnirelmann（LS）范畴的各种上下界.我们描述家庭的单纯复形和组合操作，允许系统的描述LS类。特别地，我们将LS范畴的矩角复$\zk$三角形$d$流形$K$为$d\leq 2$，以及更高的维度领域建立了通过连接的总和，加入，顶点加倍操作。该表征是根据$K$的组合、$H^*(\zk)$的杯积长度以及某些Massey积给出的。我们表明，LS范畴密切相关的消失的Massey产品在$H^*(\zk)$，并通过这种连接，我们描述了第一结构性质的Massey产品在矩角流形。一些进一步的应用包括计算的LS范畴和描述的条件消失的梅西产品的矩角流形上富勒烯，Pogorelov多面体和$k$ -邻域复合物，这双作为重要的例子双曲流形。
2021-01-15 math.AC math.AT math.CO
Face enumeration on simplicial complexes
设$M$是一个可三角剖分的闭流形，$Δ$是$M$的三角剖分。$Δ$可以拥有的最小顶点数是多少？作为顶点数的函数，$Δ$的边数可以有多大或多小？更一般地说，$Δ$可能具有的面数（$f$ -编号，简称）是什么？换句话说，$M$的拓扑对可能的$f$ -$M$的三角剖分的数目-有什么限制？为了使事情更有趣，我们可以在我们正在考虑的三角剖分上添加一些组合条件（例如，flagness，balancedness，etc.）并询问这些组合条件强加了什么额外的限制。虽然几十年前组合数学领域只有几个定理，但在过去十年左右的时间里，该领域只是爆炸性地产生了新的结果和想法。因此，我们认为早就应该提出一份调查文件。由于在我们打印本章的时候，新的定理正在被证明，而且由于我们只有有限的页数，我们提前向我们的朋友和同事道歉，他们的一些结果将不会在这里提到。
2015-05-23 math.CO
On the topology of conormal complexes and posets of matroids
University of Minnesota（明尼苏达大学）；Brown University（布朗大学）
本文研究了 matroid 的 biflats poset 的拓扑结构，证明了其与 conormal 复形和 Bergman 复形的 join 是简单同调等价的，并探讨了它们的组合性质。
2026-03-02 math.CO
On the matching complexes of categorical product of path graphs
Indian Institute of Technology (IIT) Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；Indian Institute of Technology (IIT) Mandi（印度理工学院曼迪分校）
研究路径图范畴积P_n×P_m的匹配复形，证明当n≥2且3≤m≤5时，其在同调类型下等价于多个球面的 wedge，且对m=3计算球面数量与维度，m=4,5给出最小和最大维度。
2026-04-23 math.CO
Algebraic and combinatorial expansion in random simplicial complexes
本文研究了$d$-维线性Meshulam随机单纯复形在上同调连通度阈值以上的组合Laplace算子的展开性质和谱.我们考虑拉普拉斯算子的谱隙和Cheeger常数，因为这是由Parzanchevski，Rosenthal和Tessler（$Combinatorica$ 36，2016）引入的。我们发现，以高概率的随机单纯复形的频谱间隙以及Cheeger常数都集中在所有$d-1$-面之间的最小co-degree。此外，我们考虑了这样一个复杂的随机游动的推广，并表明相关的电导是有界的高概率远离0。
2020-06-16 math.AT math.CO math.PR
Vanishing of cohomology groups of random simplicial complexes
本文研究了由二项随机$(k+1)$ -一致超图通过取下闭包生成的$k$ -维随机单纯复形，其中$k\geq 2$ .对于每个$1\leq j \leq k-1$，我们确定当所有上同调群的系数在$\mathbb{F}_2$从一维到$j$消失，第零个上同调群是同构的$\mathbb{F}_2$。这个属性是不确定性单调的随机复合物的这个模型，但尽管如此，我们表明，它有一个单一的尖锐的阈值。此外，我们证明了一个首中时的结果，这些上同调群的消失，最后的最小障碍的消失。我们还研究了临界窗内$j$ -次上同调群维数的渐近分布。作为推论，我们推导出[Linial and Meshulam，Combinatorica，2006]中引入的随机单纯复形的不同模型的首中时结果，该结果以前仅针对二维[Kahle and Pittel，Random Structures Algorithms，2016]。
2018-06-12 math.CO math.GT math.PR
The combinatorics and topology of proper toric maps
研究了复曲面映射的拓扑。证明了如果$f\colon X\to Y$是一个真环面态射，且$X$是单纯的，则$f$的每根纤维的上同调是纯的，且是Hodge-Tate型的.当映射是纤维化映射时，我们给出了纤维的Betti数用$f$ -向量的相对形式表示的显式公式，推广了单纯完备复曲面簇的贝蒂数的一般公式.然后，我们描述了一个复曲面纤维化的分解定理，特别是一个非负的组合不变附加到每个锥的风扇$Y$，这是积极的正是当相应的闭子集的$Y$出现作为一个支持的分解定理。这个不变量的描述涉及到$X$和$Y$上的交上同调复形的柄，但是在$X$和$Y$都是单纯形的情况下，有一个关于相对$f$ -向量的简单公式。
2016-01-18 math.AG math.CO
Chromatic numbers, morphism complexes, and Stiefel-Whitney characteristic classes
组合数学，特别是图论，有着丰富的历史，是其他数学领域工具的成功应用领域，包括拓扑方法。在这里，我们调查的研究Hom-复合物，以及这些方法可以用来获得下界的图的色数，在最近的一系列文件\cite{BK03a,BK03b,BK03c,CK1,CK2,K4,K5}。结构理论在历史背景下得到了发展，最终证明了Lovász猜想，可以表述如下：对于图G，使得复Hom（C_{2r+1}，G）是k-连通的，对于某些整数r>0和k>-2，我们有χ（G）>k+3。除了在这一领域中更常见的上同调群之外，所涉及的代数拓扑概念是谱序列和Stiefel-Whitney特征类。对于首次出现在本调查中的所有新结果，都提供了完整的证明。
2005-12-06 math.AT math.CO
A glimpse into continuous combinatorics of posets, polytopes, and matroids
这既是一个暂时的和研究论文，我们主张系统研究连续类似物的有限偏序集，凸多胞体，定向拟阵，安排的子空间，有限单纯复形，和其他组合结构。在说明性的例子中，有一类“连续凸多胞体”的欧拉公式（Kalai和Wigderson编写），一类“连续拟阵”的对偶结果，格拉斯曼偏序集中理想的欧拉示性数的计算（与Gian-Carlo Rota的问题有关），对拓扑偏序集的同伦补公式的阐述及其与Kendall和Karoui关于“加权重心空间'和Vassiliev关于奇点的单纯分解的一个猜想。我们还包括一个扩展的指数不等式（Sarkaria不等式）的基础上解释图的空间连续偏序集。
2016-03-27 math.AT math.CO math.GT
Simplicial complexes and matroids with vanishing $T^2$
该研究针对第二余切上同调模$T^2$消失的根单项式理想商，结合单纯复形与拟阵的组合性质，给出一维复形的完整刻画与列表，刻画均匀拟阵的$T^2$分次分量，证明余秩≤2的拟阵$T^2$消失并提出相关猜想。
2025-03-20 math.AC math.AG math.CO
Complexes of pattern-avoiding injective words
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Oregon（俄勒冈大学）
本文通过固定置换模式定义单射词复形的自然子复形，证明其在多数模式下的可壳性并构造同调基，同时利用枚举组合学证明可壳性，并推导出模式回避置换的新的精细计数公式。
2026-10-07 math.CO
Möbius transform, moment-angle complexes and Halperin-Carlsson conjecture
本文利用$K$的Stanley-Reisner面环的贝蒂数给出了$[m]=\{1, ..., m\}$上抽象单纯复形$K$的默比乌斯变换的代数组合公式.此外，我们采用一种压缩$K$的方法来估计这些贝蒂数之和的下界。作为一个应用，与力矩-角度复合体$\mathcal{Z}_K$（分别为：实矩-角复形$K$），证明了Halperin-Carlsson猜想对$\mathcal{Z}_K$（分别为. ${\Bbb R}\mathcal{Z}_K$）在天然$T^m$ -对$\mathcal{Z}_K$作用的限制下（分别$({\Bbb Z}_2)^m$ -对${\Bbb R}\mathcal{Z}_K$的作用）。
2009-09-12 math.AC math.AT math.CO
Combinatorics via Closed Orbits: Number Theoretic Ramanujan Graphs are not Unique Neighbor Expanders
寻找具有强顶点扩展特性的扩展图的问题，例如唯一邻居扩展和无损扩展，是计算机科学的核心。构建这些的一个障碍是，强膨胀的概念不能通过谱膨胀范式来证明。一个非常对称和结构化的最佳频谱扩展器族（即，拉马努金图（Ramanujan graphs）是由Lubotzky、Phillips和Sarnak利用数论构造的，随后被其他人推广。我们称这样的图为数论拉马努金图。这些图不仅是谱最优的，而且具有强对称性和丰富的结构。因此，数论Ramanujan图是无损扩张器，或者至少是唯一的邻居扩张器，这一点已经被广泛地证实。在这项工作中，我们反驳这一猜想，通过证明，有数论拉马努金图，甚至不是唯一的邻居扩展。这是通过引入一个新的组合范例，我们称之为闭轨道方法。闭轨道方法允许构造具有外部子结构的有限组合对象。这是通过观察存在具有外部子结构的无限组合结构来完成的，这些子结构来自结构的自同构群的子群的作用。我们的思想的核心是一个系统的方法来构建一个有限商的无限结构包含一个简单的影子的无限子结构，它保持其外部的组合性质。该方法的其他应用是数论Ramanujan图的边扩展和Ramanujan复形的顶点扩展。最后，在图的量子遍历性领域，我们产生数论Ramanujan图与对应于零特征值的小支持的本征函数。这再次违背了共同的期望。
2022-03-31 math.CO
Dimension identities, almost self-conjugate partitions, and BGG complexes for Hermitian symmetric pairs
本文研究臂腿差为任意常数 m 的分拆，将其视为最高权，建立 gl_n 与 gl_{n+m} 模之间的无限族维数恒等式，并在抛物范畴 O 中构造同余块，从而推广 Littlewood 恒等式及其 BGG 复形。
2025-09-27 math.CO math.RT
Noncrossing Combinatorics, the Full Twist, and Decategorification of Knot Invariants
Harvard University（哈佛大学）；The University of Texas at Dallas（达拉斯德州大学）
该研究针对纽结不变量，提出去范畴化的组合技术，关联对偶辫群生成元等与纽结不变量，证明$(a,z=0)$-HOMFLYPT多项式可通过该技术计算，还得到非交叉分划等相关模型。
2026-08-07 math.CO math.GR math.GT
Combinatorial Topology and the Global Dimension of Algebras Arising in Combinatorics
在一篇极具影响力的论文中，Bidigare、Hanlon和Rockmore证明了一些流行的马尔可夫链是超平面排列面上的随机游动。他们对这些马尔可夫链的分析利用了面集上的幺半群结构。这个理论后来被布朗扩展到一个更大的类幺半群称为左正则带。在这两种情况下，这些幺半群的表示论都发挥了重要作用。特别地，它被用来计算马尔可夫链的转移算子的谱，并证明转移算子的可对角化性。在本文中，我们建立了一个密切的联系代数和组合不变量的左正则带：我们表明，某些同调不变量的代数左正则带符合上同调序复合自然相关联的左正则带。例如，我们证明了这些代数的整体维数是有界的相关阶复的勒雷数以上。相反，我们将每个旗复形关联到一个左正则带，该左正则带的代数的全局维数恰好是旗复形的勒雷数。
2012-09-18 math.CO math.GR math.RA
Torus actions, combinatorial topology and homological algebra
本文综述了与多面体、单纯复形、立方复形和子空间排列等基本组合概念有关的一些新结果和未解决的问题。特别注意的情况下，单纯和立方细分的流形，特别是领域。我们描述了重要的建设，允许研究所有这些组合对象的交换和同调代数的方法。所提出的组合问题的方法依赖于目前正在开发的作者的力矩角复合物的理论。该理论的中心周围的建设，分配给每个单纯复$K$与$m$顶点的$T^m$-空间$\zk$与一个特殊的二阶细胞分解。在这一理论的框架内，著名的非奇异环面品种出现的轨道空间的最大自由行动的subtori的矩角复合对应的单纯球。我们用相应的矩角复形的双阶上同调环来表示单纯复形和相关的组合几何对象的不同不变量。最后，我们表明，新的组合数学，几何和拓扑结构之间的关系，导致一些著名的拓扑问题的解决方案。
2000-10-07 math.AC math.AG math.AT
A new shellability proof of an identity of Dixon
我们给出了一个新的证明的老身份狄克逊（1865年至1936年），使用工具从拓扑组合。狄克逊恒等式是通过构造一个非纯单纯复形$Δ(n)$的无限族来重建的，该复形由正整数索引，使得每个维度的$Δ(n)$的面数的交替和是恒等式的左手边。我们证明了$Δ(n)$对所有$n$都是可壳的。然后，利用一个可壳单纯复形同伦等价于一个球楔的事实，我们通过计算（通过一个生成函数）每个维度的$Δ(n)$的小平面的数量来计算$Δ(n)$的贝蒂数，这些小平面以壳的顺序沿着它们的整个边界附着。换句话说，狄克逊的恒等式是用欧拉-庞加莱关系重新建立的。
2016-05-10 math.CO
Generalized Noncrossing Partitions and Combinatorics of Coxeter Groups
这本回忆录构成了作者在康奈尔大学的博士论文。它既是一部临时著作，也是对新研究的描述。在回忆录的心脏，我们介绍和研究偏序集$NC^{(k)}(W)$为每个有限Coxeter组$W$和每个正整数$k$。当$k=1$时，我们的定义与Brady-Watt和Bessis提出的广义非交叉划分一致.当$W$是对称群时，我们得到了经典$k$ -可除非交叉划分的偏序集，这是Edelman首先研究的.在此过程中，我们包括对相关背景材料的全面介绍。在定义我们的推广$NC^{(k)}(W)$之前，我们从头开始发展了代数非交叉划分理论$NC(W)$。这涉及研究有限Coxeter群$W$相对于其{ \em all}反射的生成集$T$，而不是通常的Coxeter生成集$S$。这是第一次这种材料出现在一个地方。最后，事实证明，我们的偏序集$NC^{(k)}(W)$与Athanasiadis的"广义非嵌套划分“和Fomin和Reading的"广义簇复合体”有许多共同的枚举特征。特别是，有一个广义的“Fuss-Catalan数”，在$W$的不变度方面有一个很好的封闭公式，在每种情况下都起着重要的作用。我们给出了一个基本的介绍，这些主题，我们描述了几个apturtures有关这三个家庭的“福斯-加泰罗尼亚对象”。
2007-10-18 math.CO math.GR
Shellings from relative shellings, with an application to NP-completeness
单纯复形的壳在拓扑和代数组合学中一直是一个有用的工具。复合体的外壳以一种有用的方式暴露了大量的信息量，但不容易构造，通常需要关于复合体结构的深层信息。人们自然会问，是否可以通过计算有效地找到壳。在最近的一篇论文中，Goaoc、Paták、Patáková、Tancer和Wagner对这个问题给出了否定的回答（假设P \neq是NP），表明判定一个单纯复形是否可壳的问题是NP-完全的。在本文中，我们给出了这些作者的NP完全性证明中使用的各种小工具的简化构造。利用这些小工具，结合相对可壳性和其他思想，我们还展示了一个更简单的证明的NP-完全性的可壳性判定问题。我们的方法系统地使用相对壳，以建立大的壳复合物所需的性能。
2020-11-09 cs.CG math.CO
Koszul Gorenstein algebras from Cohen-Macaulay simplicial complexes
本研究将纯标志单纯复形关联到标准分次Gorenstein代数，刻画了其Koszul性、线性预解式等性质与复形组合拓扑条件的等价关系，给出应用并否定了Charney-Davis猜想的代数推广。
2021-12-23 math.AC math.CO
Augmental Homology and the Kynneth Formula for Joins
“单纯复形“和“连接”（*）今天在组合学中使用的不是经典的概念，参见。Spanier（1966）p.108 -9，但是，除了\emptyset之外，具有{ \emptyset }作为子复合物的复合物，\Sigma 1 * \Sigma 2：= { \sigma 1 \cup \sigma 2| \sigmai \in \Sigmai }意味着单位元素w.r.t.连接操作，从\emptyset到{ \emptyset }。将经典实现函子推广到这个单纯复形范畴，我们最终得到一个“受限”的拓扑空间范畴，“包含”经典和经典的（上）同调理论，以及特别发明的简化版本，自动变得过时，有利于一个统一的和更代数有效的理论。这种非常适度的范畴修改极大地改进了代数和拓扑之间的相互作用。例如，它使得计算拓扑对连接的同调群成为可能，用相对因子群表示，导致流形连接的真正简单的边界公式：Bd（X1 * X2）=（（BdX 1 * X2）\cup（X1 * BdX 2）），其乘积对应物在经典上也是正确的。也很容易看出，没有有限单纯n-流形有（n-2）维边界，参见。林前1 p.26，并证明了以整数为系数模的单纯同调流形都是局部可定向的，参见.林前第2页29。
2001-09-11 math.AT math.CO
The face numbers of homology spheres
本文通过构造多面体复形上的应力代数，证明其Gorenstein性和弱Lefschetz性质，从而证明了单纯实同调球面的$g$-猜想。
2024-07-01 math.AC math.CO math.RA
