Rainbow and Gallai-Rado numbers involving binary function equations
本文研究涉及二元函数方程的 Rainbow 数和 Gallai-Rado 数，给出了若干精确值，并提出计算非线性二元函数方程 Rainbow 数的算法。
2024-05-24 math.CO math.NT
The Discrete Rado Number for $x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$
对于正整数$m$和实数$c$，令$R = R(m,c,2)$表示等式$x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$的离散2色Rado数。换句话说，$R$是最小的整数，使得对于整数${1, 2, \dots, R}$的任何着色，都存在具有相同颜色的数字$x_1, x_2, \dots, x_m, x_0$，使得$x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$。在这篇文章中，我们表明，如果$m \geq 2$和$c > 0$，那么$$ \begin{array}{cc} R(m,c,2) = \begin{cases} \infty & \text{for $m$ even, $c$ odd} \newline \big\lceil \frac{m}{2} \big\lceil \frac{m+c}{2} \big\rceil + \frac{c}{2} \big\rceil & \text{otherwise.} \end{cases} \end{array} $$对于实数$a$和$c$，我们看看方程$x_1 + c = ax_0$的双色Rado数。我们证明了如果$a > 1$和$c > 0$，则2色连续Rado数是$$ R_\mathbb{R}(1, c, a) = \begin{cases} \infty & \text{if $…
2015-05-19 math.CO
Sharp exponents for bipartite Erdős-Rado numbers
本文研究二部 Erdős-Rado 数的渐近增长，证明其满足 $\log ER_B(m) = Θ(m \log m)$，从而在二部设定下确定了精确指数，而非二部设定的上下界仍存在 $\log m$ 的间隙。
2024-11-15 math.CO
Off-diagonal Rado number for $x+y+c=z$ and $x+qy=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文确定了非齐次线性方程x+y+c=z和x+qy=z的双色非对角线Rado数R₂(c,q)。
2026-02-27 cs.DM math.CO
Some multivariable Rado numbers
方程的Rado数是与方程相关联的拉姆齐理论量。设$\mathcal{E}$是一个线性方程。用$\operatorname{R}_r(\mathcal{E})$表示最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E})]$的任何$r$着色必须允许$\mathcal{E}$的单色解。本文给出了$\sum_{i=1}^{m-2}x_i+kx_{m-1}=\ell x_{m}$的Rado数的上下界，并给出了一些精确值。进一步，我们得到了$\ell=m=4$和$m=5, \ell=k+i \ (1\leq i\leq 5)$的一些结果.作为推广，线性方程组$\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r$的\emph{$r$-color Rado numbers}被定义为最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)]$的任何$r$ -着色必须允许某个$\mathcal{E}_i$的单色解，其中$1\leq i\leq r$。利用Lovász局部引理给出了$\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)$的下…
2022-03-11 math.CO
Off-diagonal Rado numbers for $x+y+c=z$ and $x+y+k=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究了非齐次线性方程组$x+y+c=z$和$x+y+k=z$（其中$c≤k）的离散和连续对角线Rado数，确定了精确的两色离散和连续对角线Rado数R₂(c,k)。
2026-08-12 math.CO
Rado Numbers of Regular Nonhomogeneous Equations
我们考虑正则方程$\mathcal{E}(b)$的Rado数形式为\[ c_1x_1+c_2x_2+\dots+ c_{k-1}x_{k-1} = x_k + b, \]其中$b \in \mathbb{Z}$和$c_i \in \mathbb{Z}^{+}$对所有$i$ .给出了$b>0$和$b<0$的$t$ -色Rado数$r(\mathcal{E}(b);t)$用$r(\mathcal{E}(0);t)$表示的上界和下界的充分条件.我们还给出了例子，从这些结果中得到的Rado数的精确值。
2019-08-30 math.CO
Resolving a Conjecture on Degree of Regularity of Linear Homogeneous Equations
一个线性方程是$r$ -正则的，如果对正整数的每一个$r$ -染色，都存在满足该方程的同色正整数.在2005年，Fox和Radoicic证明了方程$x_1 + 2x_2 + \cdots + 2^{n-2}x_{n-1} - 2^{n-1}x_n = 0$，对于任何$n \geq 2$，都有一个正则度$n-1$，这验证了Rado在1933年提出的一个猜想。拉多的猜想已经被另一个方程族所证实。本文证明了Fox和Radoicic方程族确实具有$n-1$的正则度.我们还提供了一些扩展这个结果。
2014-04-13 math.CO
The Rado Path Decomposition Theorem
本文讨论Rado的一个定理：每一个自然数对的r-染色都有一个路分解。
2018-12-18 math.CO math.LO
New Upper and Lower Bounds on the Rado Numbers
若E是线性齐次方程，c是自然数，则Rado数$R_c(E)$是最小的N，使得从1到N的任何正整数的c-染色都包含单色解.刻划了R_c（E）总是存在的Rado。Rado定理的原始证明给出了R_c（E）（当它存在时）的极大界。本文建立了R_c（E）的较好的上界和一些下界。在附录中，我们使用我们的一些定理，以及来自概率SAT求解器的想法，来找到许多新的Rado数。
2012-06-21 math.CO
Rado Numbers and SAT Computations
给定一个线性方程$\mathcal{E}$，$k$ -色Rado数$R_k(\mathcal{E})$是最小的整数$n$，使得$\{1,2,3,\dots,n\}$的每个$k$ -着色都包含$\mathcal E$的单色解. $\mathcal E$的正则度，记为$dor(\mathcal E)$，是使得$R_k(\mathcal E)$是有限的最大值$k$。本文给出了三元方程的Rado数$R_3(\mathcal{E})$和正则度$\mathcal{E}$的新的理论和计算结果。%我们使用SAT求解器来计算固定整数$a,b,$和$c$的三色雷达数$R_3(ax+by+cz = 0)$的许多新值。我们还给出了一个基于SAT的方法来计算这些数的无限族。特别是，我们表明，$R_3(x-y = (m-2) z)$的值等于$m^3-m^2-m-1$的$m\ge 3$。这解决了Myers的一个猜想，并暗示了广义Schur数$S(m,3) = R_3(x_1+x_2 + \dots x_{m-1} = x_m)$等于$m^3-m^2-m-1$的猜想。我们的SAT求解器的计算，结合我们新的组合结果，给出了改进的$dor(ax+by = cz)$和精确值为$1\le a,b,c\le 5 $的界限。我们还给出了Golowich猜想的反例。
2022-10-07 math.CO
The Rado Multiplicity Problem in Vector Spaces over Finite Fields
本文将 flag algebra 方法扩展至有限域向量空间，确定了 F_3^n 的 3-着色中单色 3-AP 的最小数量，并给出 F_5^n 的 2-着色中单色 4-AP 最小数量的首个非平凡下界。
2023-04-01 math.CO math.NT math.OC
Equations resolving a conjecture of Rado on partition regularity
一个线性方程L称为k-正则的，如果每个正整数的k-染色都包含L的单色解. Richard Rado证明了对于每一个正整数k，存在一个线性方程是（k-1）-正则的但不是k-正则的.证明了方程$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1} x_i = (-1 + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1}) x_0$具有这一性质。这个猜想是Richard K. Guy的书“Unsolved problems in数论“，在那里它被归因于Rado的1933年论文，“Kombinatorik”。
2009-01-25 math.CO
On the off-diagonal unordered Erdős-Rado numbers
本文研究无序非对角规范 Ramsey 数，证明 CR(s,r) 的新界并匹配已知下界，同时给出 ER(m,ℓ,r) 的界。
2024-09-17 math.CO
Canonical Ramsey numbers of sparse graphs
本文研究了稀疏图的Erdős-Rado数及受限拉姆齐数问题，证明了度数有界的二部图该数为多项式级，一般图为指数级，并给出了树与路径的受限拉姆齐数近乎最优的上界。
2024-10-11 math.CO
Off-Diagonal Continuous Rado Numbers $x_1 + x_2 + \dots + x_k = x_0$
South Dakota State University（南达科他州立大学）
本文研究了连续版非对角线拉多数，通过扩展原有二色非对角线广义舒尔数的结果，确定了实数范围内满足特定方程的最小数。
2025-11-25 math.CO
Decompositions of edge-colored infinite complete graphs into monochromatic paths
图或超图$G=(V,E)$的$r$ -边染色是映射$c:E\to \{0, \dots, r-1\}$ .推广了Rado的结果，回答了Rado，Gyárfás和Sárközy的问题，证明了（1.）每个$r$ -边着色的可数无限完全$k$ -一致超图的顶点集可被划分为具有不同颜色的$r$单色紧路（$k$ -一致超图中的紧路是不同顶点的序列，使得每个$k$连续顶点的集合形成边），（2.）对于所有自然数$r$和$k$，存在一个自然数$M$，使得每个$r$ -边着色的可数无限完全图的顶点集可以被划分为除有限集之外的路径的$M$单色$k^{th}$幂（路径的$k^{th}$幂是不同顶点的序列$v_0, v_1, \dots$，使得$1\le|i-j| \le k$暗示$v_iv_j$是边），（3）每个$2$ -边着色的可数无限完全图的顶点集都可以划分为$4$单色路平方，但不一定划分为$3$，（4）$ω_1$上的每个$2$ -边着色完全图的顶点集都可以被划分为具有不同颜色的$2$单色路.
2016-01-06 math.CO
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
On Rado numbers for equations with unit fractions
University of Denver（丹佛大学）
本研究聚焦单位分数方程的拉多数问题，通过构造满足线性方程单色解且最小公倍数足够小的有限集方法，改进了相关上界，该方法还可推广至其他相关方程的拉多数研究。
2024-06-25 math.CO
The Determination of 2-color zero-sum generalized Schur Numbers
考虑等式$\mathcal{E}: x_1+ \cdots+x_{k-1} =x_{k}$，并设$k$和$r$为正整数，使得$r\mid k$。数$S_{\mathfrak{z},2}(k;r)$被定义为最小正整数$t$，使得对于任何2-着色$χ: [1, t] \to \{0, 1\}$，存在方程$\mathcal{E}$的解$(\hat{x}_1, \hat{x}_2, \ldots, \hat{x}_k)$，满足$\displaystyle \sum_{i=1}^kχ(\hat{x}_i) \equiv 0\pmod{r}$。在最近的一篇论文中，第一作者提出了确定$S_{\mathfrak{z}, 2}(k;4)$的精确值的问题。在这篇文章中，我们解决了这个问题，并显示，更一般地说，$S_{\mathfrak{z}, 2}(k, r)=kr - 2r+1$对所有正整数$k$和$r$与$k>r$和$r \mid k$。
2018-03-08 math.CO
Reflection on the coloring and chromatic numbers
证明了图的色数的反射与图的色数的非反射是一致的。此外，还证明了图的色数的非紧性与下列紧性原理相容：Rado猜想，Fodor型反射，$Δ$ -反射，Stationary-sets反射，Martin极大值，以及推广的Chang猜想.这是通过表明，在$\mathrm{GCH}$型假设下，色数的不紧性的实例可以从与大量的紧凑性兼容的类平方原理中推导出来。此外，我们证明了，在相反的色数，色数不允许任意大的非紧性差距。
2017-08-23 math.CO math.LO
Determination of the size of defining set for Steiner triple systems
每个Steiner三元系都是一致超图。超图及其特殊情形Steiner三元系{STS} $(v)$的着色得到了广泛的研究.但超图的着色的定义集，甚至其特殊情况{STS} $(v)$，还没有得到研究。研究了{STS} $(v)$的$3$ -着色的最小定义集和最大最小定义集。对所有非同构的{STS} $(v)$，$v\le 15$，确定了最小定义集和最大最小定义集.此外，我们还找到了所有$v$阶Steiner三元系的{ \sf定义数}，以及对于每个可接受的$v$，所有$v$阶Steiner三元系的最大最小定义集大小的一些下界。
2018-07-22 math.CO
Strong colorings based on oscillations
University of Toronto（多伦多大学）；Institut de Mathématiques de Jussieu, CNRS（巴黎数学研究所，法国国家科学研究中心）；Matematički Institut, SANU（塞尔维亚科学和艺术院数学研究所）；University of North Texas（北德克萨斯大学）
证明对任意不可数基数κ，存在着色c: [κ]^2→ω使得任意序型为ω_1且在公共上确界中驻定的A,B⊆κ满足c''A⊗B=ω，从而否定Erdős-Rado定理的驻定版本和高维Friedman性质，并展示定理的最优性。
2026-06-04 math.CO math.LO
A sharp lower bound for some reciprocal Rado numbers
Community College of Aurora（奥罗拉社区学院）
本文研究了递归拉多数的下界，证明了对于r≥1，f_r(2)≥4^r/2，且对于k≥3，f_r(k)≥(2^r-1)k^r。当r=2时，针对特定k值给出更精确的下界，并提供了新的计算结果和一般化的下界扩展。
2026-07-07 cs.DM math.CO math.NT
Replacing the host K_n by n-chromatic graphs in Ramsey-type results
将拉姆齐理论中的两个著名结果从$K_n$推广到任意的$n$ -色图.首先是一个注意到Erd \H OS和雷达指出，在每2着色的边缘$K_n$有一个单色树上$n$顶点。第二个是Cockayne和Lorimer的定理，指出对于满足$n_1=\max\{n_1,n_2,\dots,n_t\}$和$n=n_1+1+\sum_{i=1}^t (n_i-1)$的正整数，以下成立。在$K_n$的边与颜色$1,2\dots,t$的每个着色中，对于某些$i\in \{1,2,\dots,t\}$，存在大小$n_i$的单色匹配。
2015-06-15 math.CO
Optimization Tools for Computing Colorings of $[1,\cdots ,n]$ with Few Monochromatic Solutions on $3$-variable Linear Equations
本文借助整数优化与半定优化工具，构造三变量非正则齐次线性方程的最优或近最优二着色，并将 Schur 方程的结果推广到多色情形。
2024-10-29 math.CO
A Note On Rainbow 4-Term Arithmetic Progression
本文基于已有构造证明对所有自然数n存在平衡4-染色，并确立非负整数k≥3和n>1下平衡k-染色包含彩虹AP(k)当且仅当k=3，同时讨论了Z_n的无彩虹等数量4-染色。
2025-02-03 math.CO
Subset sums, completeness and colorings
我们开发了新的技术，使我们能够证明各种各样的结果有关的子集和完整的序列的正整数，包括解决方案，一些长期存在的开放问题。其中包括：Burr和Erdés关于Ramsey完全序列的三个问题的解决方案，Erdés后来提供了350美元的合并总额;密度完全序列的新概念的类似结果; Alon和Erdés关于着色小于$n$的正整数所需的最小颜色数的猜想的解决方案，因此$n$不能被写为单色和;确切确定的极值功能介绍了Erdés和格雷厄姆的整数集，避免了一个给定的子集和，并回答了一个问题，重申了几个作者，一个均匀的加强一个开创性的结果Szemerédi和武对长期等差数列的子集和。
2021-04-30 math.CO math.NT
Lower Bounds for the Hales-Jewett Numbers via Symmetric and One-Weight Colorings
利用坐标对称着色将立方体压缩到字母计数向量的离散单纯形上，将无线条件转化为约束满足问题，通过 SAT 求解器找到显式着色表，证明 HJ(3,3)≥22 和 HJ(4,2)≥14，改进了已知下界。
2026-07-28 math.CO
Graph Homomorphisms via Vector Colorings
本文利用半定规划研究了同态$G\to H$的存在性。具体地说，我们使用的向量色数的图，定义为最小的实数$t \ge 2$，存在的单位向量$i\mapsto p_i$分配到它的顶点，使$\langle p_i, p_j\rangle\le -1/(t-1),$时，$i\sim j$。我们的方法允许在不使用Erdens-Ko-Rado定理的情况下重新证明，对于$n>2r$，Kneser图$K_{n:r}$和$q$-Kneser图$qK_{n:r}$是核，并且对于$n/r = n'/r'$，存在同态$K_{n:r}\to K_{n':r'}$当且仅当$n$整除$n'$。在新的应用方面，我们证明了$n$ -立方体$H_{n,k}$的距离$k$ -图的偶权分量是核，并且非二部泰勒图是核。此外，我们给出了当$n/k = n'/k'$时，同态$H_{n,k}\to H_{n',k'}$存在的一个充分必要条件。最后，我们证明了如果一个2-行走正则图（非二部且不完全多部）有唯一的最优向量染色，则它是一个核。基于这个充分条件，我们对Ted Spence的强正则图列表进行了计算研究，发现至少84%是核。
2019-03-28 math.CO
On r-dynamic Coloring of Grids
图$G$的一个\textit{$r$-dynamic $k$-coloring}是$G$的一个适当的$k$ -着色，使得$V(G)$中的每个顶点至少在$\min\{d(v),r\}$不同的颜色类中有邻居。图$G$的\textit{$r$-dynamic chromatic number}，记作$χ_r(G)$，是使$G$具有这种着色的最小$k$。证明了Jahanbekam，Kim，O和West的一个猜想，证明了当$m$.这就完成了对所有$r,m,n$的$m$ -by- $n$网格的$r$ -动态色数的确定.
2014-07-13 cs.DM math.CO
Off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
拉姆齐数$r_k(s,n)$是最小的$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色包含大小为$s$的红色集合或大小为$n$的蓝色集合，其中如果集合的所有$k$ -子集都是红色（蓝色），则集合是红色（蓝色）。由$P_{s}$表示的大小为$s$的$k$ -均匀\emph{tight path}是$\mathbb{Z}$中的$s$顶点$v_1 < \cdots < v_{s}$和形式为$\{v_j,v_{j+1},\ldots, v_{j + k -1}\}$的所有$s-k+1$边的集合。令$r_k(P_s, n)$为最小$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色导致红色$P_{s}$或大小为$n$的蓝色集合。估计$k=2$的$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$的问题可以追溯到1935年Erdos和Szekeres的开创性工作，而$k\ge 3$的情况是由Erdos和Rado在1952年首次研究的。在本文中，我们推导出一个定量关系之间的$r_k(P_s, n)$和$r_k(n, n)$的双变异。这产生几个结果，包括以下：（1）我们确定正确的塔增长率为$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$为$s \ge k+3$。Erdos和Hajnal在1972年提出了确定所有$s \ge k+1$的$r_k(…
2015-05-29 math.CO
Ramsey multiplicity and the Turán coloring
本文证明 Turán 染色对无限族图是唯一的极值染色，首次确定了 Burr-Rosta 猜想失效图的 Ramsey 多重性常数，并给出条件性的三色结果。
2023-06-27 math.CO
