The Discrete Rado Number for $x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$
对于正整数$m$和实数$c$，令$R = R(m,c,2)$表示等式$x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$的离散2色Rado数。换句话说，$R$是最小的整数，使得对于整数${1, 2, \dots, R}$的任何着色，都存在具有相同颜色的数字$x_1, x_2, \dots, x_m, x_0$，使得$x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$。在这篇文章中，我们表明，如果$m \geq 2$和$c > 0$，那么$$ \begin{array}{cc} R(m,c,2) = \begin{cases} \infty & \text{for $m$ even, $c$ odd} \newline \big\lceil \frac{m}{2} \big\lceil \frac{m+c}{2} \big\rceil + \frac{c}{2} \big\rceil & \text{otherwise.} \end{cases} \end{array} $$对于实数$a$和$c$，我们看看方程$x_1 + c = ax_0$的双色Rado数。我们证明了如果$a > 1$和$c > 0$，则2色连续Rado数是$$ R_\mathbb{R}(1, c, a) = \begin{cases} \infty & \text{if $…
2015-05-19 math.CO
Sharp exponents for bipartite Erdős-Rado numbers
本文研究二部 Erdős-Rado 数的渐近增长，证明其满足 $\log ER_B(m) = Θ(m \log m)$，从而在二部设定下确定了精确指数，而非二部设定的上下界仍存在 $\log m$ 的间隙。
2024-11-15 math.CO
Off-Diagonal Continuous Rado Numbers $x_1 + x_2 + \dots + x_k = x_0$
South Dakota State University（南达科他州立大学）
本文研究了连续版非对角线拉多数，通过扩展原有二色非对角线广义舒尔数的结果，确定了实数范围内满足特定方程的最小数。
2025-11-25 math.CO
Some multivariable Rado numbers
方程的Rado数是与方程相关联的拉姆齐理论量。设$\mathcal{E}$是一个线性方程。用$\operatorname{R}_r(\mathcal{E})$表示最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E})]$的任何$r$着色必须允许$\mathcal{E}$的单色解。本文给出了$\sum_{i=1}^{m-2}x_i+kx_{m-1}=\ell x_{m}$的Rado数的上下界，并给出了一些精确值。进一步，我们得到了$\ell=m=4$和$m=5, \ell=k+i \ (1\leq i\leq 5)$的一些结果.作为推广，线性方程组$\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r$的\emph{$r$-color Rado numbers}被定义为最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)]$的任何$r$ -着色必须允许某个$\mathcal{E}_i$的单色解，其中$1\leq i\leq r$。利用Lovász局部引理给出了$\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)$的下…
2022-03-11 math.CO
Rado Numbers of Regular Nonhomogeneous Equations
我们考虑正则方程$\mathcal{E}(b)$的Rado数形式为\[ c_1x_1+c_2x_2+\dots+ c_{k-1}x_{k-1} = x_k + b, \]其中$b \in \mathbb{Z}$和$c_i \in \mathbb{Z}^{+}$对所有$i$ .给出了$b>0$和$b<0$的$t$ -色Rado数$r(\mathcal{E}(b);t)$用$r(\mathcal{E}(0);t)$表示的上界和下界的充分条件.我们还给出了例子，从这些结果中得到的Rado数的精确值。
2019-08-30 math.CO
New Upper and Lower Bounds on the Rado Numbers
若E是线性齐次方程，c是自然数，则Rado数$R_c(E)$是最小的N，使得从1到N的任何正整数的c-染色都包含单色解.刻划了R_c（E）总是存在的Rado。Rado定理的原始证明给出了R_c（E）（当它存在时）的极大界。本文建立了R_c（E）的较好的上界和一些下界。在附录中，我们使用我们的一些定理，以及来自概率SAT求解器的想法，来找到许多新的Rado数。
2012-06-21 math.CO
Rado Numbers and SAT Computations
给定一个线性方程$\mathcal{E}$，$k$ -色Rado数$R_k(\mathcal{E})$是最小的整数$n$，使得$\{1,2,3,\dots,n\}$的每个$k$ -着色都包含$\mathcal E$的单色解. $\mathcal E$的正则度，记为$dor(\mathcal E)$，是使得$R_k(\mathcal E)$是有限的最大值$k$。本文给出了三元方程的Rado数$R_3(\mathcal{E})$和正则度$\mathcal{E}$的新的理论和计算结果。%我们使用SAT求解器来计算固定整数$a,b,$和$c$的三色雷达数$R_3(ax+by+cz = 0)$的许多新值。我们还给出了一个基于SAT的方法来计算这些数的无限族。特别是，我们表明，$R_3(x-y = (m-2) z)$的值等于$m^3-m^2-m-1$的$m\ge 3$。这解决了Myers的一个猜想，并暗示了广义Schur数$S(m,3) = R_3(x_1+x_2 + \dots x_{m-1} = x_m)$等于$m^3-m^2-m-1$的猜想。我们的SAT求解器的计算，结合我们新的组合结果，给出了改进的$dor(ax+by = cz)$和精确值为$1\le a,b,c\le 5 $的界限。我们还给出了Golowich猜想的反例。
2022-10-07 math.CO
Determination of the two-color Rado number for $a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$
对于正整数$a_1,a_2,...,a_m$，我们确定了最小正整数$R(a_1,...,a_m)$，使得对于集合$[1,n]={1,...,n}$和$n\ge R(a_1,...,a_m)$的每一个2-着色，存在方程$a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$和$x_0,...,x_m\in[1,n]$的单色解. $R(a_1,...,a_m)$的精确值显示为$av^2+v-a$，其中$a=min{a_1,...,a_m}$和$v=\sum_{i=1}^{m}a_i$。这证实了B的一个猜想。Hopkins和D.沙尔
2007-12-24 math.CO math.NT
On the off-diagonal unordered Erdős-Rado numbers
本文研究无序非对角规范 Ramsey 数，证明 CR(s,r) 的新界并匹配已知下界，同时给出 ER(m,ℓ,r) 的界。
2024-09-17 math.CO
The Rado Path Decomposition Theorem
本文讨论Rado的一个定理：每一个自然数对的r-染色都有一个路分解。
2018-12-18 math.CO math.LO
Decomposition of bi-colored square arrays into balanced diagonals
给定一个$n\times n$数组$M$（$n\ge 7$），其中每个单元都被着色为两种颜色中的一种，我们给出了$M$划分为$n$对角线的一个充要条件，每个对角线至少包含每种颜色的一个单元.因此，如果每种颜色出现在至少$2n-1$单元中，则存在这样的分区。证明使用的结果完成部分拉丁方。
2015-08-15 math.CO
Canonical Ramsey numbers of sparse graphs
本文研究了稀疏图的Erdős-Rado数及受限拉姆齐数问题，证明了度数有界的二部图该数为多项式级，一般图为指数级，并给出了树与路径的受限拉姆齐数近乎最优的上界。
2024-10-11 math.CO
Solution Regularity of k-partite Linear Systems -- A Variant of Rado's Theorem
组合数论中的一个经典问题是，一个方程在其定义域的某个子集内是否有解。Rado定理给出了线性方程组在正整数着色时有单色解的一组充要条件。在本文中，我们提供了这个定理的一个变体。对于$k \ge 2$，我们提出的条件，使得当一组变量被划分成$k$子集，有一个解决方案，使每个子集的变量是单色的，我们称之为半单色的解决方案。我们采用Graham，Rothschild和Spencer的smod $p$染色，将半单色解的存在性转化为线性多项式公共根的存在性.利用这一思想，我们可以进一步将定理推广到一般代数数域上的线性方程组。
2022-10-01 math.CO math.NT
Colored partitions of a convex polygon by noncrossing diagonals
对于任意正整数$a$和$b$，我们列举了所有由凸多边形的不相交对角线划分成边数与$b$模$a$全等的多边形的着色划分.对于这样的分区的数量由一个固定数量的对角线，我们给出了一个递归关系和一个明确的表示部分贝尔多项式。我们使用这些多项式的基本属性，有效地将限制类型的多边形中允许的分区。
2015-03-17 math.CO
Rainbow and Gallai-Rado numbers involving binary function equations
本文研究涉及二元函数方程的 Rainbow 数和 Gallai-Rado 数，给出了若干精确值，并提出计算非线性二元函数方程 Rainbow 数的算法。
2024-05-24 math.CO math.NT
Helly type problems in convexity spaces
该研究报告了有界Radon数凸性空间组合性质的最新进展，讨论了Radon数与多种Helly相关性质、弱ε-网及(p,q)定理的关系，并应用该理论引入新一致超图类且证明其χ-有界。
2025-02-17 math.CO
The $S$-packing coloring of the infinite diagonal grid with $S = (1,6,6,\ldots)$
本文证明了无限对角网格在序列 $S=(1,6,6,\ldots)$ 下的 $S$-packing 色数为 40，从而证实了第一作者与 Tiyajamorn 提出的猜想。
2025-09-20 math.CO
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
Upper Bounds on Sets of Orthogonal Colorings of Graphs
我们将正交拉丁方的概念推广到单图的染色。一个图的两个$n$ -着色称为\emph{orthogonal}，如果当两个顶点在一个着色中共享一种颜色时，它们在另一个着色中具有不同的颜色。我们表明，通常的界限上的最大尺寸的一组特定的正交拉丁结构，如拉丁广场，行拉丁广场，等- $n$广场，单对角拉丁方，双对角拉丁方，或数独广场是一个特殊情况下的界限上的正交染色的图。
2012-11-29 math.CO
On Rado numbers for equations with unit fractions
University of Denver（丹佛大学）
本研究聚焦单位分数方程的拉多数问题，通过构造满足线性方程单色解且最小公倍数足够小的有限集方法，改进了相关上界，该方法还可推广至其他相关方程的拉多数研究。
2024-06-25 math.CO
Off-diagonal book Ramsey numbers
书图$B_n^{(k)}$由沿公共$K_k$连接的$K_{k+1}$的$n$个拷贝组成。在本文的前序部分，我们研究了对角Ramsey数$r(B_n^{(k)}, B_n^{(k)})$。这里我们考虑固定$c \in (0,1]$的自然非对角变体$r(B_{cn}^{(k)}, B_n^{(k)})$。在这个更一般的设置，我们表明，一个有趣的二分法出现：对于非常小的$c$，一个简单的$k$ -部建设规定的拉姆齐函数和所有近极值着色接近$k$ -部，而对于$c$有界远离$0$，随机着色的适当的密度是渐近最佳的，所有近极值着色是准随机的。我们的研究也提出了一系列关于$c$中间值的问题。
2022-11-23 math.CO
Off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
拉姆齐数$r_k(s,n)$是最小的$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色包含大小为$s$的红色集合或大小为$n$的蓝色集合，其中如果集合的所有$k$ -子集都是红色（蓝色），则集合是红色（蓝色）。由$P_{s}$表示的大小为$s$的$k$ -均匀\emph{tight path}是$\mathbb{Z}$中的$s$顶点$v_1 < \cdots < v_{s}$和形式为$\{v_j,v_{j+1},\ldots, v_{j + k -1}\}$的所有$s-k+1$边的集合。令$r_k(P_s, n)$为最小$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色导致红色$P_{s}$或大小为$n$的蓝色集合。估计$k=2$的$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$的问题可以追溯到1935年Erdos和Szekeres的开创性工作，而$k\ge 3$的情况是由Erdos和Rado在1952年首次研究的。在本文中，我们推导出一个定量关系之间的$r_k(P_s, n)$和$r_k(n, n)$的双变异。这产生几个结果，包括以下：（1）我们确定正确的塔增长率为$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$为$s \ge k+3$。Erdos和Hajnal在1972年提出了确定所有$s \ge k+1$的$r_k(…
2015-05-29 math.CO
The Rado Multiplicity Problem in Vector Spaces over Finite Fields
本文将 flag algebra 方法扩展至有限域向量空间，确定了 F_3^n 的 3-着色中单色 3-AP 的最小数量，并给出 F_5^n 的 2-着色中单色 4-AP 最小数量的首个非平凡下界。
2023-04-01 math.CO math.NT math.OC
Diagonal Ramsey numbers in multipartite graphs related to stars
令$n$顶点上的星，即$K_{1,n-1}$，用$S_n$表示。如果完全平衡多部图$K_{j \times s}$的边的每两个着色都有一个$S_n$的第一种颜色的副本或一个$S_m$的第二种颜色的副本，则我们称之为$K_{j \times s}\rightarrow (S_n,S_m)$。拉姆齐多方数$m_j(S_n, S_m)$的大小是使得$K_{j \times s}\rightarrow (S_n,S_m)$的最小自然数$s$。本文给出了$n,m \ge 3$和$j \ge 3$的尺寸Ramsey数$m_j(S_n,S_m)$的精确值.
2019-01-05 math.CO
Bounds on the Threshold Ramsey Multiplicity of Ramsey Numbers with Many Colors
University of North Dakota（北达科他大学）
本文推导多色非对角阈值拉姆齐重数的上界，改进了对角二色情形下的基础随机染色估计，得到$m(3,3,3)=5$、$m(3,3,4)\leq10$的结果，并给出通用改进框架。
2026-08-03 math.CO
Helly-type theorems for separated $d$-intervals
本文针对分离 $d$-区间导出的凸性空间，建立了包含 Radon 数、Helly 数、彩色及分数 Helly 定理和 $(p,q)$ 定理在内的系列 Helly 型定理，主要利用单纯复形和可坍缩性进行证明。
2025-05-22 math.CO
On signed diagonal flip sequences
Eliahou \cite{2}和Kryuchkov \cite{9}提出了一个命题，Gravier和Payan \cite{4}证明了这个命题等价于四色定理。它指出，一个多边形的任何三角剖分都可以通过一系列有符号的对角翻转转换为同一多边形的另一个三角剖分。众所周知，任何一对多边形三角剖分都是由一系列（无符号）对角翻转连接的。本文给出了对角翻转序列是符号对角翻转序列的一个充分和必要条件。
2011-02-04 math.CO
On a Diagonal Conjecture for Classical Ramsey Numbers
令$R(k_1, \cdots, k_r)$表示整数$k_i \ge 2$的经典$r$ -色Ramsey数.经典Ramsey数的对角猜想（DC）提出：如果$k_1, \cdots, k_r$和$k_{r-1} \leq k_r$是不小于3的整数，则有$R(k_1, \cdots, k_{r-2}, k_{r-1}-1, k_r +1) \leq R(k_1, \cdots, k_r)$ .我们得到了这个猜想的一些含义，它的有效性，目前的证据，并讨论相关问题。让$R_r(k)$代表$r$颜色拉姆齐数$R(k, \cdots, k)$。众所周知，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$存在，或者是有限的，或者是无限的。这个极限与$K_3$ -free图的补图的香农容量有关.证明了如果DC成立，且$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$是有限的，则对每个整数$k \geq 3$，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(k)^{1/r}$是有限的.
2019-06-21 math.CO
Diagonal Ramsey numbers for wheels
Qinghai Normal University（青海师范大学）；Keio University（庆应义塾大学）
本文研究了轮图的对角Ramsey数，改进了之前的结果，给出了更精确的上下界，并提供了关于k着色Ramsey数的递归界。
2026-05-21 math.CO
Upper bounds on diagonal Ramsey numbers [after Campos, Griffiths, Morris, and Sahasrabudhe]
本文综述了对角 Ramsey 数上界问题的历史，并介绍了 Campos 等人将上界改进至 $N=3.993^k$ 的突破性证明及后续的替代性概念证明。
2024-12-20 math.CO
Metric Dimension of a Diagonal Family of Generalized Hamming Graphs
经典Hamming图是完全图的笛卡儿积，如果两个顶点的坐标恰好不同，则它们是相邻的。出于对酉凯莱图的连接，我们考虑了一个推广，其中两个顶点相邻，如果他们没有共同的坐标。经典Hamming图的度量维数是渐近已知的，但是，即使在超立方体的情况下，也很少有精确的度量维数被发现.相反，我们确定了$3$维广义Hamming图的整个对角族的度量维数.我们的方法是建设性的，并有可能通过第一个特征解析集的禁止子图的辅助边着色超图。
2022-08-02 math.CO
Lower bounds for multicolor Ramsey numbers
我们给出了一个指数改善的下界对角线拉姆齐数的任何固定数量的颜色大于两个。
2020-11-25 math.CO
Triangle-Free Triangulations, Hyperplane Arrangements and Shifted Tableaux
将凸多边形的着色无三角形三角剖分中对角线的翻转解释为在某一图形超平面排列中两个相邻腔室之间的移动。推导了相应翻转图中测地线的性质。特别是，它表明：（1）每一个对角线是翻转一次，在一个测地线之间的显着对极;（2）这些对极之间的测地线的数量等于两倍的数量的杨氏tableaux截断移位楼梯形状。
2012-08-10 math.CO
Combinatorial model for m-cluster categories in type E
我们重新讨论了几何描述的集群类别在类型E的着色对角线的多边形，并推广到m-集群类别的情况下。作为应用，我们把多边形中的着色对角线与E_6，E_7，E_8型的半标准Young图联系起来。这为E_6、E_8型Grassmannian簇代数和E_7型子簇代数的半标准Young图提供了一种新的相容性描述。
2019-11-27 math.CO math.RT
Off-diagonal ordered Ramsey numbers of matchings
对于有序图$G$和$H$，有序Ramsey数$r_<(G,H)$是最小的$n$，使得在顶点$\{1,\dots,n\}$上的完全图的每个红/蓝边着色包含$G$的蓝色副本或$H$的红色副本，其中嵌入必须保持顶点的相对顺序。首先由Conlon、Fox、Lee和Sudakov研究的一个感兴趣的数是“非对角”有序拉姆齐数$r_<(M, K_3)$，其中$M$是$n$顶点上的有序匹配。特别地，Conlon等人询问了对于$\max r_<(M, K_3)$可以获得什么样的渐近界（在$n$中），其中最大值是在$n$顶点上的所有有序匹配$M$上。最著名的上界是$O(n^2/\log n)$，而最著名的下界是$Ω((n/\log n)^{4/3})$，Conlon等人假设对于每个有序匹配的$M$，都有$r_<(M, K_3) = O(n^{2-ε})$。我们解决了这个猜想的两个特殊情况。我们发现，非对角有序的拉姆齐数的匹配，边缘不交叉是近线性的。我们还证明了一个真正的次二次区间色数$2$随机匹配的上界。
2018-08-13 math.CO
New Upper Bounds for the Erdős-Gyárfás Problem on Generalized Ramsey Numbers
图$G$的$(p,q)$ -染色是$G$的边染色，它至少为每个$p$ -团分配$q$颜色。确定完全图$K_n$的$(p,q)$ -着色所需的最小颜色数$f(n,p,q)$的问题是确定对角Ramsey数$r_k(p)$的著名问题的自然推广。$f(n,p,q)$最著名的一般上界是由Erdens和Gyárfás在1997年使用概率论证给出的。从那时起，在$p=q$的情况下，已得到改进的界限仅为$p\in\{4,5\}$，其中每一个证明了给出一个确定性的结构相结合的$(p,p-1)$ -着色使用几种颜色与代数着色。在本文中，我们提供了一个框架，证明新的上界$f(n,p,p)$的风格，这些早期的建设。我们用$p-1$颜色描述了$p$ -团的所有着色，这些颜色可以出现在我们修改后的$(p,p-1)$ -Conlon、Fox、Lee和Sudakov着色中。这使我们能够大大减少识别$(p,p)$ -着色所需的案例检查量，否则这将使这个问题对于大的$p$值变得棘手。此外，我们推广了我们的代数着色从$p=5$设置，并使用这给改进的上界$f(n,6,6)$和$f(n,8,8)$。
2020-06-19 math.CO
A sharp lower bound for some reciprocal Rado numbers
Community College of Aurora（奥罗拉社区学院）
本文研究了递归拉多数的下界，证明了对于r≥1，f_r(2)≥4^r/2，且对于k≥3，f_r(k)≥(2^r-1)k^r。当r=2时，针对特定k值给出更精确的下界，并提供了新的计算结果和一般化的下界扩展。
2026-07-07 cs.DM math.CO math.NT
Lower bounds for multicolor van der Waerden numbers
我们给出了一个指数改进的对角van der Waerden数的$r\ge 5$颜色。
2023-01-15 math.CO math.NT
On off-diagonal Ramsey numbers for vector spaces over $\mathbb{F}_{2}$
本文证明了$\mathbb{F}_{2}^{n}$上一维子空间红蓝着色的非对角Ramsey数满足多项式界，回答了Nelson和Nomoto的问题，并证实了偶平面二元拟阵的多项式$\chi$-有界性。
2024-12-23 math.CO math.NT
On a Problem of Ramsey Theory
本文研究完全三色图K17^(3)中同色单色三角形的最小数量问题，通过分析17个顶点的完全图的三色着色性质，推广了Greenwood和Gleason关于Ramsey数R(3,3,3)=17的经典结论。
2024-08-01 cs.DM math.CO
