Some multivariable Rado numbers
方程的Rado数是与方程相关联的拉姆齐理论量。设$\mathcal{E}$是一个线性方程。用$\operatorname{R}_r(\mathcal{E})$表示最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E})]$的任何$r$着色必须允许$\mathcal{E}$的单色解。本文给出了$\sum_{i=1}^{m-2}x_i+kx_{m-1}=\ell x_{m}$的Rado数的上下界，并给出了一些精确值。进一步，我们得到了$\ell=m=4$和$m=5, \ell=k+i \ (1\leq i\leq 5)$的一些结果.作为推广，线性方程组$\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r$的\emph{$r$-color Rado numbers}被定义为最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)]$的任何$r$ -着色必须允许某个$\mathcal{E}_i$的单色解，其中$1\leq i\leq r$。利用Lovász局部引理给出了$\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)$的下…
2022-03-11 math.CO
Off-diagonal Rado numbers for $x+y+c=z$ and $x+y+k=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究了非齐次线性方程组$x+y+c=z$和$x+y+k=z$（其中$c≤k）的离散和连续对角线Rado数，确定了精确的两色离散和连续对角线Rado数R₂(c,k)。
2026-08-12 math.CO
Rado Numbers of Regular Nonhomogeneous Equations
我们考虑正则方程$\mathcal{E}(b)$的Rado数形式为\[ c_1x_1+c_2x_2+\dots+ c_{k-1}x_{k-1} = x_k + b, \]其中$b \in \mathbb{Z}$和$c_i \in \mathbb{Z}^{+}$对所有$i$ .给出了$b>0$和$b<0$的$t$ -色Rado数$r(\mathcal{E}(b);t)$用$r(\mathcal{E}(0);t)$表示的上界和下界的充分条件.我们还给出了例子，从这些结果中得到的Rado数的精确值。
2019-08-30 math.CO
New Upper and Lower Bounds on the Rado Numbers
若E是线性齐次方程，c是自然数，则Rado数$R_c(E)$是最小的N，使得从1到N的任何正整数的c-染色都包含单色解.刻划了R_c（E）总是存在的Rado。Rado定理的原始证明给出了R_c（E）（当它存在时）的极大界。本文建立了R_c（E）的较好的上界和一些下界。在附录中，我们使用我们的一些定理，以及来自概率SAT求解器的想法，来找到许多新的Rado数。
2012-06-21 math.CO
Rado Numbers and SAT Computations
给定一个线性方程$\mathcal{E}$，$k$ -色Rado数$R_k(\mathcal{E})$是最小的整数$n$，使得$\{1,2,3,\dots,n\}$的每个$k$ -着色都包含$\mathcal E$的单色解. $\mathcal E$的正则度，记为$dor(\mathcal E)$，是使得$R_k(\mathcal E)$是有限的最大值$k$。本文给出了三元方程的Rado数$R_3(\mathcal{E})$和正则度$\mathcal{E}$的新的理论和计算结果。%我们使用SAT求解器来计算固定整数$a,b,$和$c$的三色雷达数$R_3(ax+by+cz = 0)$的许多新值。我们还给出了一个基于SAT的方法来计算这些数的无限族。特别是，我们表明，$R_3(x-y = (m-2) z)$的值等于$m^3-m^2-m-1$的$m\ge 3$。这解决了Myers的一个猜想，并暗示了广义Schur数$S(m,3) = R_3(x_1+x_2 + \dots x_{m-1} = x_m)$等于$m^3-m^2-m-1$的猜想。我们的SAT求解器的计算，结合我们新的组合结果，给出了改进的$dor(ax+by = cz)$和精确值为$1\le a,b,c\le 5 $的界限。我们还给出了Golowich猜想的反例。
2022-10-07 math.CO
Determination of the two-color Rado number for $a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$
对于正整数$a_1,a_2,...,a_m$，我们确定了最小正整数$R(a_1,...,a_m)$，使得对于集合$[1,n]={1,...,n}$和$n\ge R(a_1,...,a_m)$的每一个2-着色，存在方程$a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$和$x_0,...,x_m\in[1,n]$的单色解. $R(a_1,...,a_m)$的精确值显示为$av^2+v-a$，其中$a=min{a_1,...,a_m}$和$v=\sum_{i=1}^{m}a_i$。这证实了B的一个猜想。Hopkins和D.沙尔
2007-12-24 math.CO math.NT
Off-diagonal Rado number for $x+y+c=z$ and $x+qy=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文确定了非齐次线性方程x+y+c=z和x+qy=z的双色非对角线Rado数R₂(c,q)。
2026-02-27 cs.DM math.CO
Equations resolving a conjecture of Rado on partition regularity
一个线性方程L称为k-正则的，如果每个正整数的k-染色都包含L的单色解. Richard Rado证明了对于每一个正整数k，存在一个线性方程是（k-1）-正则的但不是k-正则的.证明了方程$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1} x_i = (-1 + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1}) x_0$具有这一性质。这个猜想是Richard K. Guy的书“Unsolved problems in数论“，在那里它被归因于Rado的1933年论文，“Kombinatorik”。
2009-01-25 math.CO
The Rado Path Decomposition Theorem
本文讨论Rado的一个定理：每一个自然数对的r-染色都有一个路分解。
2018-12-18 math.CO math.LO
On the off-diagonal unordered Erdős-Rado numbers
本文研究无序非对角规范 Ramsey 数，证明 CR(s,r) 的新界并匹配已知下界，同时给出 ER(m,ℓ,r) 的界。
2024-09-17 math.CO
Canonical Ramsey numbers of sparse graphs
本文研究了稀疏图的Erdős-Rado数及受限拉姆齐数问题，证明了度数有界的二部图该数为多项式级，一般图为指数级，并给出了树与路径的受限拉姆齐数近乎最优的上界。
2024-10-11 math.CO
Off-Diagonal Continuous Rado Numbers $x_1 + x_2 + \dots + x_k = x_0$
South Dakota State University（南达科他州立大学）
本文研究了连续版非对角线拉多数，通过扩展原有二色非对角线广义舒尔数的结果，确定了实数范围内满足特定方程的最小数。
2025-11-25 math.CO
Solution Regularity of k-partite Linear Systems -- A Variant of Rado's Theorem
组合数论中的一个经典问题是，一个方程在其定义域的某个子集内是否有解。Rado定理给出了线性方程组在正整数着色时有单色解的一组充要条件。在本文中，我们提供了这个定理的一个变体。对于$k \ge 2$，我们提出的条件，使得当一组变量被划分成$k$子集，有一个解决方案，使每个子集的变量是单色的，我们称之为半单色的解决方案。我们采用Graham，Rothschild和Spencer的smod $p$染色，将半单色解的存在性转化为线性多项式公共根的存在性.利用这一思想，我们可以进一步将定理推广到一般代数数域上的线性方程组。
2022-10-01 math.CO math.NT
Rainbow and Gallai-Rado numbers involving binary function equations
本文研究涉及二元函数方程的 Rainbow 数和 Gallai-Rado 数，给出了若干精确值，并提出计算非线性二元函数方程 Rainbow 数的算法。
2024-05-24 math.CO math.NT
On the stability of the Erdős-Ko-Rado theorem
以一定的概率删除Kneser图的边：在多大的概率下，这个随机图的独立数等于Kneser图本身的独立数？我们证明了这个问题在某些制度的一个尖锐的阈值结果。由于Kneser图中的一个独立集与一个一致相交族相同，这给了我们一个Erdens-Ko-Rado定理的随机模拟。
2016-09-06 math.CO
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
On Rado numbers for equations with unit fractions
University of Denver（丹佛大学）
本研究聚焦单位分数方程的拉多数问题，通过构造满足线性方程单色解且最小公倍数足够小的有限集方法，改进了相关上界，该方法还可推广至其他相关方程的拉多数研究。
2024-06-25 math.CO
On the two-colour Rado number for $\sum_{i=1}^m a_ix_i=c$
本文通过引入正整数集合的 t-可分配性概念，研究线性方程在双色情形下的 Rado 数，在特定系数条件下给出精确值或上下界，推广了已有结果。
2024-10-21 math.CO
Transference for the Erdős-Ko-Rado theorem
对于自然数$n,r \in \mathbb{N}$具有$n\ge r$，Kneser图$K(n,r)$是$\{1,\dots,n\}$的$r$ -元素子集族上的图，其中两个集合相邻当且仅当它们不相交。以一定的概率删除$K(n,r)$的边，这些边彼此独立：这个随机图的独立数是否等于Kneser图本身的独立数？我们肯定地回答这个问题，只要$r/n$是有界远离$1/2$，即使当保留的Kneser图的边缘的概率是相当小的。这给了我们一个随机模拟的Erdens-Ko-Rado定理，因为一个独立集在Kneser图是相同的一致相交的家庭。为了证明我们的主要结果，我们给出了一个族中不相交对个数的一些新的估计，这些估计是独立的。
2016-09-06 math.CO
The Rado Multiplicity Problem in Vector Spaces over Finite Fields
本文将 flag algebra 方法扩展至有限域向量空间，确定了 F_3^n 的 3-着色中单色 3-AP 的最小数量，并给出 F_5^n 的 2-着色中单色 4-AP 最小数量的首个非平凡下界。
2023-04-01 math.CO math.NT math.OC
A Turán theorem for extensions via an Erdős-Ko-Rado theorem for Lagrangians
$r$ -一致超图$G$的扩张是通过对$G$的每一对未被$G$中的边覆盖的顶点添加包含这对顶点和$(r-2)$新顶点的额外边而得到的.本文确定了由两条顶点不相交边组成的$r$ -图的扩张图的Turán数，解决了Hefetz和Keevash的一个猜想，Hefetz和Keevash以前确定了$r=3$的这个Turán数.作为证明的关键成分，我们证明了相交$r$ -图的拉格朗日是最大化的主要相交$r$ -图$r \geq 4$。
2017-07-05 math.CO
On the stability of some Erdős--Ko--Rado type results
考虑经典Kneser图$K(n,r)$：对于两个自然数$ r, n $，使得$r \le n / 2$，其顶点是大小为$r$的$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$的所有子集，并且如果相应的子集不相交，则两个这样的顶点相邻。Erdens-Ko-Rado定理指出，这个图中最大独立集的大小是$\binom{n-1}{r-1}$。现在让我们删除图$K(n,r)$的每条边，其中每个边都具有一定的固定概率$p$，并且彼此独立。非常令人惊讶的是，图$ K(n,r) $的这种随机子图$K_p(n,r)$的独立数很可能与初始图的独立数相同。这种现象称为独立数的稳定性。本文研究了图$G(n,r,1)$的随机子图的独立数，这些子图的顶点与Kneser图中的顶点相同，且如果两个顶点相交于一个元素，则两个顶点之间存在一条边.我们证明了恒定$r$和$p=\frac{1}{2}$的稳定性结果。为了做到这一点，我们表明，任何足够大的独立集在$G(n,r,1)$有一些预定义的结构，这是一个结果的独立利益。
2015-09-30 math.CO
Inverse problems of the Erdős-Ko-Rado type theorems for families of vector spaces and permutations
自从著名的Erdens-Ko-Rado定理开始研究子集族的相交性以来，关于各种组合对象族的相交性的极值问题得到了广泛的研究。其中，关于子集族、向量空间和置换的研究尤为引人关注。最近，作者提出了一个新的子集族的数量交问题：对于$\mathcal{F}\subseteq {[n]\choose k}$，定义它的\emph{total intersection number}为$\mathcal{I}(\mathcal{F})=\sum_{F_1,F_2\in \mathcal{F}}|F_1\cap F_2|$ .那么，当$\mathcal{F}$在${[n]\choose k}$中具有最大总相交数时，它的结构是什么？在\cite{KG2020}中，作者研究了这一问题，并刻画了使给定尺寸的总相交数最大化的族的极值结构。在本文中，我们考虑类似的问题，这对家庭的向量空间和置换。对于一定范围内的家庭规模，我们提供了结构特征的家庭的子空间和家庭的排列具有最大的总相交数。这些结果在一定程度上决定了对于某些特定的$|\mathcal{F}|$值，最优族的唯一结构，并刻画了最大总相交数与相交的关系.此外，我们还给出了给定大小的子空间族和置换族的总相交数的几个上界。
2021-01-09 math.CO
An Erd{\H o}s-Ko-Rado theorem for permutations with fixed number of cycles
令$S_{n}$表示$[n]=\{1,2,\dots, n\}$的置换集。对于正整数$k$，将$S_{n,k}$定义为具有恰好$k$不相交循环的$[n]$的所有排列的集合，即，\[ S_{n,k} = \{π\in S_{n}: π= c_{1}c_{2} \cdots c_{k}\},\]，其中$c_1,c_2,\dots ,c_k$为不相交循环。$S_{n,k}$的大小由$\left [ \begin{matrix}n\\ k \end{matrix}\right]=(-1)^{n-k}s(n,k)$给出，其中$s(n,k)$是第一类斯特林数。如果$\mathcal{A}$的任何两个元素至少有$t$公共圈，则称族$\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$为$t$ -{ \em相交}。本文证明了，给定任意正整数$k,t$，$k\geq t+1$，存在一个整数$n_0=n_0(k,t)$，使得对所有的$n\geq n_0$，如果$\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$是$t$ -相交的，则\[ |\mathcal{A}| \le \left [ \begin{matrix}n-t\\ k-t \end{matrix}\right],\]具有相等性当且仅当$\mathcal{A}$是$t$不动点的稳定子.
2014-02-04 math.CO
A rainbow $r$-partite version of the Erdős-Ko-Rado theorem
令$f(n,r,k)$是使得包含在$\binom{[n]}{r}$中的每个大于$f(n,r,k)$的超图包含大小为$k$的匹配的最小数，并且令$g(n,r,k)$是使得包含在$r$ -部分$r$ -图$[n]^{r}$中的每个大于$g(n,r,k)$的超图包含大小为$k$的匹配的最小数. Erdens-Ko-Rado定理指出$f(n,r,2)=\binom{n-1}{r-1}$ ~~（$r \le \frac{n}{2}$），并且很容易证明$g(n,r,k)=(k-1)n^{r-1}$。启发本文的猜想是，如果$F_1,F_2,\ldots,F_k\subseteq \binom{[n]}{r}$的大小大于$f(n,r,k)$或$F_1,F_2,\ldots,F_k\subseteq [n]^{r}$的大小大于$g(n,r,k)$，则存在彩虹匹配，即选择不相交的边缘$f_i \in F_i$。本文主要讨论猜想的第二部分，并为$r\le 3$证明它。\vspace{.1cm}我们还证明了对每个$r$和$k$都存在$n_0=n_0(r,k)$使得$r$ -partite版本的猜想对$n>n_0$成立.
2016-05-22 math.CO
Lower Bounds for the Hales-Jewett Numbers via Symmetric and One-Weight Colorings
利用坐标对称着色将立方体压缩到字母计数向量的离散单纯形上，将无线条件转化为约束满足问题，通过 SAT 求解器找到显式着色表，证明 HJ(3,3)≥22 和 HJ(4,2)≥14，改进了已知下界。
2026-07-28 math.CO
On Rado's single equation theorem
University of Oxford（牛津大学）
研究非零整数a,b下，存在自然数N，使得在N色染色中存在同色类x,y,z满足ax-ay=bz。
2026-03-18 math.CO math.NT
Erdős-Ko-Rado Theorem for Bounded Multisets
令$ k, m, n $是正整数，其中$ k \geq 2 $。$ k $ -$ [n]_m $的多重集合是来自集合$ \{1, 2, \ldots, n\} $的$ k $整数的集合，其中整数可以出现不止一次，但最多出现$ m $次。一个这样的$ k $ -多重集的族称为交族，如果族中的每对$ k $ -多重集都有非空交。一个有限实数序列$\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$称为单峰的，如果存在某个$k\in \{1,2,\ldots,n\}$，使得$a_1\leq a_2\leq\ldots\leq a_{k-1}\leq a_k\geq a_{k+1}\geq \ldots\geq a_n$。给定$m,n,k$，将$C_{k,l}$表示为生成函数$(\sum_{i=1}^mx^i)^l$中$x^k$的系数，其中$1\leq l\leq n$。本文首先证明了$\{C_{k,1},C_{k,2},\ldots,C_{k,n}\}$序列是单峰的。然后以此为工具证明了每个$ k $ -多重集包含一个固定元素的相交族达到$ n \geq k + \lceil k/m\rceil $的最大基数。在$m = 1$和$m=\infty$的特殊情况下，我们的结果分别给出了著名的Erdens-Ko-Rado定理和Meagher和Purdy对此问题的无界多集版本。本文的主要结果可以看作是…
2023-03-12 math.CO
Erd\H os-Ko-Rado theorem for $\{0,\pm 1\}$-vectors
本文的主要目的是确定满足下列条件的$\{0,\pm 1\}$ -向量的最大数目。所有向量的长度都是$n$，确切地说，坐标的$k$是$+1$，一个是$-1$，$n \geq 2k$。此外，没有两个向量的标量积等于可能的最小值$-2$。因此，这个问题可以被看作是经典的Erd \H os-Ko-Rado定理的扩展。相当令人惊讶的是，在$n=k^2$处的最大值的行为中存在相变。尽管如此，我们的解决方案是完整的。主要的工具是从极值集理论，其中一些可能是独立的利益。
2017-11-03 cs.DM math.CO
The Erdős-Ko-Rado property of trees of depth two
如果集合族中的任何两个集合相交，则集合族是相交的。给定图$G$和整数$r\geq 1$，令$\mathcal{I}^{(r)}(G)$表示$G$的大小为$r$的独立集族。对于$G$的顶点$v$，令$\mathcal{I}^{(r)}_v(G)$表示包含$v$的大小为$r$的独立集的族。这个家族被称为$r$ -星。如果没有相交的$ \mathcal{I}^{(r)}(G)$子族大于最大的$r$ -星，则称$G$为$r$ -EKR.令$k, n, r \geq 1$和令$T(n, k)$是深度为2的树，其中根具有度$n$，并且根的每个邻居具有相同数量的邻居$k + 1$。对于每一个$k \geq 2$，我们表明，$T(n, k)$是$r$ -EKR，如果$2r \leq n$，扩展Borg和Feghali，约翰逊和托马斯的结果，谁考虑的情况下$k = 1$。
2019-07-10 math.CO
Symbolic Sets for Proving Bounds on Rado Numbers
University of Windsor（温莎大学）
本文使用SAT求解器计算了特定线性方程的未知Rado数，并受求解结果启发证明了新的一般界限，同时开发了基于SymPy和Z3的符号集合工具来自动验证证明的正确性。
2025-10-26 cs.DM cs.LO cs.SC
Maker-Breaker Rado games for equations with radicals
研究Maker-Breaker位置博弈中，Maker能否通过选择数字构成含根式方程的解，确定了临界值$f(k,\ell)$和$f^*(k,\ell)$的精确或渐近公式，并利用组合、数论及算术拉姆齐理论证明。
2024-02-25 math.CO
Erdős-Ko-Rado Theorems for Paths in Graphs
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文研究图中长度-r路径族的1-相交和s-相交性质，证明太阳图和theta图满足EKR性质，并给出Hilton-Milner型结果和横贯数结论。
2026-06-19 math.CO
Fourier analysis on finite groups and the Lovász theta-number of Cayley graphs
我们应用傅里叶分析在有限群上得到Cayley图的Lovász θ-数的简化公式。我们把这些公式用于检查几个情况下的猜想埃利斯，Friedgut和皮尔佩尔在最近的文章证明了一个版本的Erdens-Ko-Rado定理$k$交叉家庭的排列。我们还引入了$k$ -交叉置换族的概念的$q$ -模拟，并通过计算机验证了相应的Erdens-Ko-Rado断言的几种情况。
2013-07-22 math.CO math.OC
Decompositions of edge-coloured infinite complete graphs into monochromatic paths II
Erdens证明了自然数上的任意2-边着色完全图都可以顶点分解为两条不同颜色的单色路。R.拉多到任意有限数量的颜色。证明了有限边着色的无限完全图的顶点都可以划分为不相交的不同颜色的单色路。这就回答了R. 1978年的雷达。
2016-03-16 math.CO math.LO
The upper bound on number of graphs, with fixed number of vertices, that vertices can be colored with n colors
本文提出并证明了一个定理，该定理描述了具有固定顶点数|V|且能被固定n种颜色着色的图的个数的上界。界限使用2的幂将两个数字联系起来，而指数是|V|和n之间的差。本文还对顶点数为|V|和色数为色数n的图的个数给出了三个定理。
2003-11-25 math.CO
A sharp lower bound for some reciprocal Rado numbers
Community College of Aurora（奥罗拉社区学院）
本文研究了递归拉多数的下界，证明了对于r≥1，f_r(2)≥4^r/2，且对于k≥3，f_r(k)≥(2^r-1)k^r。当r=2时，针对特定k值给出更精确的下界，并提供了新的计算结果和一般化的下界扩展。
2026-07-07 cs.DM math.CO math.NT
