Sharp exponents for bipartite Erdős-Rado numbers
本文研究二部 Erdős-Rado 数的渐近增长，证明其满足 $\log ER_B(m) = Θ(m \log m)$，从而在二部设定下确定了精确指数，而非二部设定的上下界仍存在 $\log m$ 的间隙。
2024-11-15 math.CO
Some multivariable Rado numbers
方程的Rado数是与方程相关联的拉姆齐理论量。设$\mathcal{E}$是一个线性方程。用$\operatorname{R}_r(\mathcal{E})$表示最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E})]$的任何$r$着色必须允许$\mathcal{E}$的单色解。本文给出了$\sum_{i=1}^{m-2}x_i+kx_{m-1}=\ell x_{m}$的Rado数的上下界，并给出了一些精确值。进一步，我们得到了$\ell=m=4$和$m=5, \ell=k+i \ (1\leq i\leq 5)$的一些结果.作为推广，线性方程组$\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r$的\emph{$r$-color Rado numbers}被定义为最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)]$的任何$r$ -着色必须允许某个$\mathcal{E}_i$的单色解，其中$1\leq i\leq r$。利用Lovász局部引理给出了$\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)$的下…
2022-03-11 math.CO
Off-diagonal Rado numbers for $x+y+c=z$ and $x+y+k=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究了非齐次线性方程组$x+y+c=z$和$x+y+k=z$（其中$c≤k）的离散和连续对角线Rado数，确定了精确的两色离散和连续对角线Rado数R₂(c,k)。
2026-08-12 math.CO
Rado Numbers of Regular Nonhomogeneous Equations
我们考虑正则方程$\mathcal{E}(b)$的Rado数形式为\[ c_1x_1+c_2x_2+\dots+ c_{k-1}x_{k-1} = x_k + b, \]其中$b \in \mathbb{Z}$和$c_i \in \mathbb{Z}^{+}$对所有$i$ .给出了$b>0$和$b<0$的$t$ -色Rado数$r(\mathcal{E}(b);t)$用$r(\mathcal{E}(0);t)$表示的上界和下界的充分条件.我们还给出了例子，从这些结果中得到的Rado数的精确值。
2019-08-30 math.CO
Generalised Rado and Roth criteria
研究了方程$a_1P(x_1) + \cdots + a_sP(x_s) = b$的Ramsey性质，其中$a_1,\ldots,a_s,b$为整数，$P$为$d$次的整数多项式.提供至少有$(1+o(1))d^2$变量，我们表明，Rado的标准和相交性条件完全证明了这种形式的方程承认单色解决方案的任意有限着色的正整数。进一步，我们得到了这类方程的一个Roth型定理，证明了这类方程在任意正上密度整数集合上存在非常数解当且仅当$b= a_1 + \cdots + a_s = 0$ .此外，我们建立了清晰的渐近下界的单色/稠密的解决方案（过饱和）的数量。
2022-10-09 math.CO math.NT
New Upper and Lower Bounds on the Rado Numbers
若E是线性齐次方程，c是自然数，则Rado数$R_c(E)$是最小的N，使得从1到N的任何正整数的c-染色都包含单色解.刻划了R_c（E）总是存在的Rado。Rado定理的原始证明给出了R_c（E）（当它存在时）的极大界。本文建立了R_c（E）的较好的上界和一些下界。在附录中，我们使用我们的一些定理，以及来自概率SAT求解器的想法，来找到许多新的Rado数。
2012-06-21 math.CO
Rado Numbers and SAT Computations
给定一个线性方程$\mathcal{E}$，$k$ -色Rado数$R_k(\mathcal{E})$是最小的整数$n$，使得$\{1,2,3,\dots,n\}$的每个$k$ -着色都包含$\mathcal E$的单色解. $\mathcal E$的正则度，记为$dor(\mathcal E)$，是使得$R_k(\mathcal E)$是有限的最大值$k$。本文给出了三元方程的Rado数$R_3(\mathcal{E})$和正则度$\mathcal{E}$的新的理论和计算结果。%我们使用SAT求解器来计算固定整数$a,b,$和$c$的三色雷达数$R_3(ax+by+cz = 0)$的许多新值。我们还给出了一个基于SAT的方法来计算这些数的无限族。特别是，我们表明，$R_3(x-y = (m-2) z)$的值等于$m^3-m^2-m-1$的$m\ge 3$。这解决了Myers的一个猜想，并暗示了广义Schur数$S(m,3) = R_3(x_1+x_2 + \dots x_{m-1} = x_m)$等于$m^3-m^2-m-1$的猜想。我们的SAT求解器的计算，结合我们新的组合结果，给出了改进的$dor(ax+by = cz)$和精确值为$1\le a,b,c\le 5 $的界限。我们还给出了Golowich猜想的反例。
2022-10-07 math.CO
Determination of the two-color Rado number for $a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$
对于正整数$a_1,a_2,...,a_m$，我们确定了最小正整数$R(a_1,...,a_m)$，使得对于集合$[1,n]={1,...,n}$和$n\ge R(a_1,...,a_m)$的每一个2-着色，存在方程$a_1x_1+...+a_mx_m=x_0$和$x_0,...,x_m\in[1,n]$的单色解. $R(a_1,...,a_m)$的精确值显示为$av^2+v-a$，其中$a=min{a_1,...,a_m}$和$v=\sum_{i=1}^{m}a_i$。这证实了B的一个猜想。Hopkins和D.沙尔
2007-12-24 math.CO math.NT
Off-diagonal Rado number for $x+y+c=z$ and $x+qy=z$
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文确定了非齐次线性方程x+y+c=z和x+qy=z的双色非对角线Rado数R₂(c,q)。
2026-02-27 cs.DM math.CO
The Muirhead-Rado inequality, 1 Vector majorization and the permutohedron
本文证明了向量优超的等价刻画：$\mathbf{b} \preceq \mathbf{a}$ 当且仅当存在双随机矩阵 $P$ 使 $P\mathbf{a}=\mathbf{b}$，当且仅当 $\mathbf{b}$ 位于由 $\mathbf{a}$ 生成的排列多面体中。
2024-05-05 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with five vertices and eight edges
Gallai $k$ -染色是不含彩虹三角形的完全图的$k$ -边染色.对于给定的图$G_1, G_2, G_3$和具有该$k=r+s+t$的非负整数$r, s, t$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: r\cdot G_1,~ s\cdot G_2, ~t\cdot G_3)$是最小整数$n$，使得每个Gallai $k$ -彩色$K_{n}$包含由第一$r$颜色之一着色的$G_1$的单色拷贝或由中间$s$颜色之一着色的$G_2$的单色拷贝或由以下颜色之一着色的$G_3$的单色拷贝：最后的$t$颜色本文确定了当$G_1=B_{3}^{+}$，$G_2=S_{3}^+$和$G_3=K_3$满足时的Gallai-Ramsey数的值.然后得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: B_{3}^{+})$。从而完全解决了五点八边图的Gllai-Ramsey数问题。进一步，分别得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot S_3^+)$、$gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot K_3)$和$gr_{k}(K_{3}: s\cdot S_3^+,~ (k-s)\cdot K_3)$.
2020-08-26 math.CO
On the off-diagonal unordered Erdős-Rado numbers
本文研究无序非对角规范 Ramsey 数，证明 CR(s,r) 的新界并匹配已知下界，同时给出 ER(m,ℓ,r) 的界。
2024-09-17 math.CO
An Erdős-Ko-Rado theorem for subset partitions
$k\ell$ -子集分区或$(k,\ell)$ -子分区是$n$ -集合的$k\ell$ -子集，该集合被划分为$\ell$不同的类，每个类的大小为$k$ .两个$(k,\ell)$ -子分区被称为$t$ -相交，如果它们至少有共同的$t$类。本文证明了$(k,\ell)$ -子划分相交族的一个Erdens-Ko-Rado定理。我们发现，$n \geq k\ell$，$\ell \geq 2$和$k \geq 3$，最大的$1$交叉的家庭包含最多$\frac{1}{(\ell-1)!}\binom{n-k}{k}\binom{n-2k}{k}\cdots\binom{n-(\ell-1)k}{k}$ $(k,\ell)$ -子分区，这个界限是唯一达到的家庭的$(k,\ell)$ -子分区与一个共同的固定类，称为\emph{canonical intersecting family of $(k,\ell)$-subpartitions}。此外，假设$n$相对于$k,\ell$和$t$足够大，则最大的$t$交叉族是包含$t$固定类的公共集合的$(k,\ell)$子分区族.
2013-11-27 math.CO
The Rado Path Decomposition Theorem
本文讨论Rado的一个定理：每一个自然数对的r-染色都有一个路分解。
2018-12-18 math.CO math.LO
Canonical Ramsey numbers of sparse graphs
本文研究了稀疏图的Erdős-Rado数及受限拉姆齐数问题，证明了度数有界的二部图该数为多项式级，一般图为指数级，并给出了树与路径的受限拉姆齐数近乎最优的上界。
2024-10-11 math.CO
Off-Diagonal Continuous Rado Numbers $x_1 + x_2 + \dots + x_k = x_0$
South Dakota State University（南达科他州立大学）
本文研究了连续版非对角线拉多数，通过扩展原有二色非对角线广义舒尔数的结果，确定了实数范围内满足特定方程的最小数。
2025-11-25 math.CO
On Rado numbers for equations with unit fractions
University of Denver（丹佛大学）
本研究聚焦单位分数方程的拉多数问题，通过构造满足线性方程单色解且最小公倍数足够小的有限集方法，改进了相关上界，该方法还可推广至其他相关方程的拉多数研究。
2024-06-25 math.CO
Solution Regularity of k-partite Linear Systems -- A Variant of Rado's Theorem
组合数论中的一个经典问题是，一个方程在其定义域的某个子集内是否有解。Rado定理给出了线性方程组在正整数着色时有单色解的一组充要条件。在本文中，我们提供了这个定理的一个变体。对于$k \ge 2$，我们提出的条件，使得当一组变量被划分成$k$子集，有一个解决方案，使每个子集的变量是单色的，我们称之为半单色的解决方案。我们采用Graham，Rothschild和Spencer的smod $p$染色，将半单色解的存在性转化为线性多项式公共根的存在性.利用这一思想，我们可以进一步将定理推广到一般代数数域上的线性方程组。
2022-10-01 math.CO math.NT
Rainbow and Gallai-Rado numbers involving binary function equations
本文研究涉及二元函数方程的 Rainbow 数和 Gallai-Rado 数，给出了若干精确值，并提出计算非线性二元函数方程 Rainbow 数的算法。
2024-05-24 math.CO math.NT
An Erd{\H o}s-Ko-Rado theorem for permutations with fixed number of cycles
令$S_{n}$表示$[n]=\{1,2,\dots, n\}$的置换集。对于正整数$k$，将$S_{n,k}$定义为具有恰好$k$不相交循环的$[n]$的所有排列的集合，即，\[ S_{n,k} = \{π\in S_{n}: π= c_{1}c_{2} \cdots c_{k}\},\]，其中$c_1,c_2,\dots ,c_k$为不相交循环。$S_{n,k}$的大小由$\left [ \begin{matrix}n\\ k \end{matrix}\right]=(-1)^{n-k}s(n,k)$给出，其中$s(n,k)$是第一类斯特林数。如果$\mathcal{A}$的任何两个元素至少有$t$公共圈，则称族$\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$为$t$ -{ \em相交}。本文证明了，给定任意正整数$k,t$，$k\geq t+1$，存在一个整数$n_0=n_0(k,t)$，使得对所有的$n\geq n_0$，如果$\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$是$t$ -相交的，则\[ |\mathcal{A}| \le \left [ \begin{matrix}n-t\\ k-t \end{matrix}\right],\]具有相等性当且仅当$\mathcal{A}$是$t$不动点的稳定子.
2014-02-04 math.CO
Optimization Tools for Computing Colorings of $[1,\cdots ,n]$ with Few Monochromatic Solutions on $3$-variable Linear Equations
本文借助整数优化与半定优化工具，构造三变量非正则齐次线性方程的最优或近最优二着色，并将 Schur 方程的结果推广到多色情形。
2024-10-29 math.CO
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs II
本文研究了图笛卡尔积的区间边着色，给出了W(G□H)的精确下界及连通图的新上界，并改进了多维环面和Hamming图的已知界限，同时探讨了Fibonacci立方体的区间着色。
2024-09-26 math.CO
Star-critical Gallai-Ramsey numbers of graphs
Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$是最小的整数$n$，使得每个$k$ -边着色的$K_{n}$对于某些$i\in [k]$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。我们找到最大的明星，可以从$K_n$，使基本的图形仍然被迫有彩虹$K_3$或单色$H_{i}$在彩色$i$的一些$i\in [k]$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数$gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$为最小整数$s$，使得对于某些$i\in [k]$，每个$k$ -边色$K_{n}-K_{1, n-1-s}$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。当$H=H_{1}=\cdots=H_{k}$时，我们简单地用$gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$表示$gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$。我们确定了完全图和一些小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们表明，$gr_{k}^{*}(K_3: H)$是指数的$k$，如果$H$不是二分的，线性的$k$，如果$H$是二分的，但不是一个明星和常数（不依赖于$k$），如果$H$是一个明星。
2021-03-02 math.CO
Cycles of length 3 and 4 in edge-colored complete graphs with restrictions in the color transitions
本文研究$H$-染色完全图中$H$-圈的存在性，给出保证每个顶点均含于长度3和4的$H$-圈的条件，并推广了正常染色游走的经典定理。
2023-05-11 math.CO
Homomorphisms of planar $(m, n)$-colored-mixed graphs to planar targets
$(m, n)$着色混合图$G=(V, A_1, A_2,\cdots, A_m, E_1, E_2,\cdots, E_n)$是具有弧的$m$颜色和边的$n$颜色的图。我们不允许两个弧或边具有相同的端点。从一个$(m,n)$ -着色混合图$G$到另一个$(m, n)$ -着色混合图$H$的同态是一个态射$φ:V(G)\rightarrow V(H)$，使得每条边（分别为.弧）被映射到$G$的边缘（分别弧）的相同颜色（和方向）的$H$。一个$(m,n)$ -着色混合图$T$称为$P_g^{(m, n)}$ -泛图，如果$P_g^{(m, n)}$中的每个图（围长至少为$g$的平面$(m, n)$ -着色混合图）都与$T$有同态.我们发现，平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图不存在$2m+n\ge3$（和任何值的$g$），并找到一个最小的（在顶点数）平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图在其他情况下。
2020-08-31 math.CO
Chromatic Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_1 \ge \cdots \ge a_r \ge 2$，我们记为$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$当且仅当对于顶点集$V(G)$的每一个$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1, \cdots, r\}$，在$G$中存在一个单色$K_{a_i}$.顶点Folkman数$F_v(a_1 ,\cdots ,a_r; s)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$K_s$图$G$，使得$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ .众所周知，如果$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$，则$χ(G) \geq m$，其中$m = 1+ \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$。本文研究了具有色数$χ(G)=m$的一类Folkman图$G$，从而引出了色Folkman数的新概念。我们建设性地证明了一些存在性结果，其中包括：对于所有的$r,s \ge 2$，存在$K_{s+1}$ -free图$G$，使得$G \rightarrow (s,\cdots_r,s)^v$和$G$对于这个$r$ -color arrowing成立具有最小可能的色数$r(s-1)+1$.我们还猜想，在某些情况下，我们的构造是最好的，特别是对于每个$s \ge 2$，…
2019-05-27 math.CO
The Rado Multiplicity Problem in Vector Spaces over Finite Fields
本文将 flag algebra 方法扩展至有限域向量空间，确定了 F_3^n 的 3-着色中单色 3-AP 的最小数量，并给出 F_5^n 的 2-着色中单色 4-AP 最小数量的首个非平凡下界。
2023-04-01 math.CO math.NT math.OC
Another proof that the two color bipartite Ramsey number is $O(2^t)$
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文独立证明了二分拉姆齐数 $b_2(t)\le 128\cdot 2^t$，并推广到一般 $q$ 色情形 $b_q(t)\le 128\cdot q^t$，通过密度论证给出 Zarankiewicz 数的统一上界。
2026-10-01 math.CO
Solutions for two conjectures on kaleidoscopic edge-colorings
对于$r$ -正则图$G$，我们定义了一个边着色的$c$，其颜色来自于$\{1,2,\cdots,$ $k\}$，使得$G$的任意顶点至少与每种颜色的一条边关联.顶点$v$的多集颜色$c_m(v)$被定义为有序元组$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$，其中$a_i \ (1\leq i\leq k)$表示与$G$中的$v$关联的具有颜色$i$的边的数目。然后这个边着色$c$被称为$G$的{ \it $k$ -万花筒着色}，如果$G$中的每两个不同的顶点有不同的多集颜色，这样，图$G$被定义为{ \it $k$ -万花筒}。在本文中，我们确定完全图$K_n$的整数$k$是$k$ -万花筒，从而解决了[P. Zhang，A Kaleidoscope View of Graph Colorings，Springer，New York，2016]中的一个猜想，即对于任何整数$n$和$k$与$n\geq k+3 \geq 6$，完全图$K_n$是$k$ -万花筒。然后，我们构造了一个$r$ -正则$3$ -万花筒的顺序$\binom{r-1}{2}-1$为每个整数$r\geq 7$，其中$r\equiv 3\ (\text{mod}\ 4)$，这解决了另一个猜想，在同一本书的最大阶$r$ -正则$3$ -万花筒。
2016-11-24 math.CO
A sharp lower bound for some reciprocal Rado numbers
Community College of Aurora（奥罗拉社区学院）
本文研究了递归拉多数的下界，证明了对于r≥1，f_r(2)≥4^r/2，且对于k≥3，f_r(k)≥(2^r-1)k^r。当r=2时，针对特定k值给出更精确的下界，并提供了新的计算结果和一般化的下界扩展。
2026-07-07 cs.DM math.CO math.NT
Gallai-Ramsey number of odd cycles with chords
Gallai染色是指没有彩虹三角形的完全图的边的染色，Gallai $k$-染色是指使用最多$k$颜色的Gallai染色。对于整数$k\geq 1$，给定图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。我们证明了对于所有的$k\geq 1$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$.这意味着$GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$均为$k\geq 1$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少五个顶点上所有奇圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
On a Diagonal Conjecture for Classical Ramsey Numbers
令$R(k_1, \cdots, k_r)$表示整数$k_i \ge 2$的经典$r$ -色Ramsey数.经典Ramsey数的对角猜想（DC）提出：如果$k_1, \cdots, k_r$和$k_{r-1} \leq k_r$是不小于3的整数，则有$R(k_1, \cdots, k_{r-2}, k_{r-1}-1, k_r +1) \leq R(k_1, \cdots, k_r)$ .我们得到了这个猜想的一些含义，它的有效性，目前的证据，并讨论相关问题。让$R_r(k)$代表$r$颜色拉姆齐数$R(k, \cdots, k)$。众所周知，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$存在，或者是有限的，或者是无限的。这个极限与$K_3$ -free图的补图的香农容量有关.证明了如果DC成立，且$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$是有限的，则对每个整数$k \geq 3$，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(k)^{1/r}$是有限的.
2019-06-21 math.CO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
Lower bounds for piercing and coloring boxes
给定$\mathbb{R}^d$中的一个平行轴盒族$\mathcal{B}$，设$τ$表示它的刺穿数，$ν$表示它的独立数。对于给定的$d\geq 2$，$τ/ν$是否可以任意大是一个老问题。在这里，对于每个$ν$，我们构建了一个家庭的轴平行盒实现$$τ\geq Ω_d(ν)\cdot\left(\frac{\log ν}{\log\log ν}\right)^{d-2}.$$这不仅回答了前面的问题，为每个$d\geq 3$积极，但也匹配最好的已知的上界的双对数因子。我们的主要建设有进一步的影响的拉姆齐和着色性质的配置框以及。我们证明了在$\mathbb{R}^{d}$中存在一个$n$盒族，其相交图具有团和独立数$O_d(n^{1/2})\cdot \left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)^{-(d-2)/2}.$。这是对平凡上界$O_d(n^{1/2})$的第一次改进，并与最知名的下界匹配到双对数因子。最后，对于每一个$ω$满足$\frac{\log n}{\log\log n}\ll ω\ll n^{1-\varepsilon}$，我们构建了一个相交图的$n$盒的团数最多$ω$，色数$Ω_{d,\varepsilon}(ω)\cdot \left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)^{d-2}.$这匹配最好的已知…
2022-10-11 math.CO
Maker-Breaker Rado games for equations with radicals
研究Maker-Breaker位置博弈中，Maker能否通过选择数字构成含根式方程的解，确定了临界值$f(k,\ell)$和$f^*(k,\ell)$的精确或渐近公式，并利用组合、数论及算术拉姆齐理论证明。
2024-02-25 math.CO
Rainbow Numbers for the Generalized Schur Equation $x_1 + x_2 + \cdots + x_{m-1} = x_m$
本文研究广义Schur方程的彩虹Schur数 $RS_m(n)$，给出了对所有 $m \geq 4$ 和所有 $n$ 均成立的精确公式，并考虑了至少使用 $t$ 种颜色的弱化版本。
2024-01-14 math.CO math.NT
On upper bounds for the multi-fold chromatic numbers of the plane
平面$χ_m$的多重色数是最小的颜色数$k$，足以使欧几里德平面的每个点都精确地用$m$颜色着色，使得对于彼此相距单位距离的任何一对点，$k$集合的两个对应的$m$子集不包含任何公共颜色。我们考虑平面的$m$ -fold色数的上界.我们的主要结果是，对于任何$m$不等式$χ_m<(1+2/\sqrt3)^2\cdot m+3.501$成立。
2022-06-25 math.CO
On the maximum number of colorings of a graph
设$\mathcal{C}_k(n)$是$n$阶的所有连通$k$ -色图的族.给定一个自然数$x\geq k$，我们考虑在$\mathcal{C}_k(n)$中求图的最大$x$ -染色数的问题.当使用$k\leq 3$时，这个问题的答案是已知的，而当使用$k\geq 4$时，这个问题是完全开放的。对于$k\geq 4$，证实了$x$着色的最大数量是$x(x-1)\cdots (x-k+1)\,x^{n-k}$。本文在图的独立数至多为$2$的附加条件下证明了这个猜想。
2017-12-21 math.CO
New upper bounds for the chromatic numbers of Euclidean spaces
本文通过构造显式有理格和解析方法，将欧几里得空间色数上界改进为R^4≤43、R^5≤132等，反驳了相关猜想，并首次给出R^10低于3^n的界。
2026-09-18 math.CO
On the balanced decomposition number
图$G$的{ \em平衡着色}表示顶点集$V(G)$的互不相交子集的三元组$\{P_1,P_2,X\}$，使得$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$和$|P_1|=|P_2|$。与$G$的平衡着色$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$相关联的{ \em平衡分解}被定义为$V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$（对于某些$r$）的划分，使得对于每个$i \in \{1,\cdots,r\}$，$G$的子图$G[V_i]$是连通的，并且$|V_i \cap P_1| = |V_i \cap P_2|$。定义图$G$的{ \em平衡分解数}为最小整数$s$，使得对$G$的每一个平衡着色$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$，存在一个平衡分解$V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$，其每个元素$V_i (i=1, \cdots, r)$最多有$s$个顶点. S. Fujita和H. Liu [1/SIAM J. Discrete Math.24，（2010），pp. 1597--1616\/]证明了一个很好的定理：图$G$的平衡分解数至多为$3$当且仅当$G$是$\lfloor\frac{|V(G)|}{2}\rfloor$ -连通的.不幸的是，他们的证明是冗长的（…
2014-02-20 cs.DM math.CO
N-colored generalized Frobenius partitions: Generalized Kolitsch identities
设$N\geq 1$与$(N,6)=1$无平方。设$cϕ_N(n)$表示Andrews在1984年引入的$n$的$N$ -着色广义Frobenius划分的个数.证明了$$ cϕ_N(n)= \sum_{d \mid N} N/d \cdot P\left( \frac{ N}{d^2}n - \frac{N^2-d^2}{24d^2} \right) + b(n)$$，其中$C(z) := (q;q)^N_\infty\sum_{n=1}^{\infty} b(n) q^n$是$S_{(N-1)/2} (Γ_0(N),χ_N)$的尖点形式.这推广和加强了Kolitsch和Chan-Wang-Yan处理$N$是素数时的结果。作为直接应用，我们得到了$cϕ_N(n)$在经典分拆函数下的一个渐近公式.
2021-04-20 math.CO math.NT
